المنطق المتناقض

المنطق المتناقض هو نوع من المنطق غير الكلاسيكي يسمح بتعايش عبارات متناقضة دون أن يؤدي إلى انهيار منطقي يسمح بإثبات صحة أي شيء. وبالتحديد، يُعدّ المنطق المتناقض فرعًا من فروع المنطق يهتم بدراسة وتطوير أنظمة منطقية "تتحمل التناقض"، مستبعدًا عمدًا مبدأ الانهيار المنطقي .

نوقشت المنطقيات المتسامحة مع التناقضات منذ عام 1910 على الأقل (وربما قبل ذلك بكثير، كما في كتابات أرسطو على سبيل المثال )؛ ^{[ 1 ]} ومع ذلك، صاغ مصطلح " المنطق شبه المتسق " (بمعنى "بجانب المتسق") في عام 1976، الفيلسوف البيروفي فرانسيسكو ميرو كيسادا كانتوارياس ، ^{[ 2 ]} بناءً على طلب نيوتن دا كوستا ، الذي يُنسب إليه الفضل غالبًا في تأسيس هذا المجال. ^{[ 3 ] [ 4 ]} وقد أُطلق على دراسة المنطق شبه المتسق اسم "الاتساق شبه المتسق" ، ^{[ 5 ]} والذي يشمل مدرسة "الدياليثية" .

في المنطق الكلاسيكي (وكذلك المنطق الحدسي ومعظم أنواع المنطق الأخرى)، تستلزم التناقضات كل شيء. هذه الخاصية، المعروفة بمبدأ الانفجار أو ex contrastione sequitur quodlibet ( باللاتينية ، "من التناقض، يتبع كل شيء") ^{[ 6 ]} ، يمكن التعبير عنها رسميًا على النحو التالي:

1	${\displaystyle P\land \neg P}$	الفرضية
2	${\displaystyle P\,}$	حذف الاقتران	من 1
3	${\displaystyle P\lor A}$	مقدمة الفصل	من 2
4	${\displaystyle \neg P\,}$	حذف الاقتران	من 1
5	${\displaystyle A\,}$	القياس المنطقي المنفصل	من 3 و 4

وهذا يعني: إذا افترضنا صحة كل من العبارة P ونفيها ¬P ، فإن إحدى العبارتين P و A (أيهما اختياري) صحيحة على الأقل. وبالتالي، إما P أو A صحيحة. ولكن، إذا علمنا أن P أو A صحيحة، وأن P خاطئة (أي أن ¬P صحيحة)، نستنتج أن A ، التي قد تكون أي شيء، صحيحة. وهكذا، إذا احتوت نظرية ما على تناقض واحد، فإنها تكون بديهية ، أي أن كل جملة فيها تُعتبر نظرية.

السمة المميزة أو الأساسية للمنطق شبه المتسق هي رفضه لمبدأ الانفجار. ونتيجة لذلك، يمكن استخدام المنطق شبه المتسق، على عكس المنطق الكلاسيكي وغيره، لصياغة نظريات غير متسقة ولكنها غير بديهية.

إن علاقات الاستلزام في المنطق شبه المتسق أضعف من الناحية القضوية من المنطق الكلاسيكي ؛ أي أنها تعتبر عددًا أقل من الاستدلالات القضوية صحيحة. والخلاصة أن المنطق شبه المتسق لا يمكن أن يكون امتدادًا قضويًا للمنطق الكلاسيكي، أي أنه لا يمكنه التحقق قضويًا من كل استلزام يتحقق منه المنطق الكلاسيكي. وبالتالي، يُعد المنطق شبه المتسق، بمعنى ما، أكثر تحفظًا وحذرًا من المنطق الكلاسيكي. وبسبب هذا التحفظ، يمكن للغات شبه المتسقة أن تكون أكثر تعبيرًا من نظيراتها الكلاسيكية، بما في ذلك التسلسل الهرمي للغات الوصفية الذي وضعه ألفريد تارسكي وآخرون. يقول سولومون فيفرمان : "تزخر اللغة الطبيعية بتعبيرات ذاتية الإشارة، سواء بشكل مباشر أو غير مباشر، ولكنها تبدو غير ضارة - وكلها مستبعدة من إطار تارسكي." ^{[ 7 ]} ويمكن التغلب على هذا القيد التعبيري - حيث تُعتبر التكرارات في المنطق الكلاسيكي زائدة عن الحاجة - في المنطق شبه المتسق.

يتمثل الدافع الرئيسي وراء المنطق شبه المتسق في الاعتقاد بإمكانية الاستدلال بالمعلومات المتناقضة بطريقة مضبوطة ومميزة. إلا أن مبدأ الانفجار يحول دون ذلك، ولذا يجب التخلي عنه. في المنطق غير شبه المتسق، توجد نظرية واحدة فقط متناقضة: النظرية التافهة التي تُعتبر كل جملة فيها بمثابة نظرية. يُمكّن المنطق شبه المتسق من التمييز بين النظريات المتناقضة والاستدلال بها.

أدى البحث في المنطق المتناقض جزئيًا إلى ظهور مدرسة الدياليثية الفلسفية (التي دافع عنها غراهام بريست بشكل خاص )، والتي تؤكد وجود تناقضات حقيقية في الواقع، مثل وجود جماعات من الناس تحمل آراءً متضاربة حول قضايا أخلاقية مختلفة. ^{[ 8 ]} إن تبني الدياليثية يُلزم المرء عقلانيًا بنوع من المنطق المتناقض جزئيًا، وإلا فإنه سيقع في فخ التفاهة ، أي قبول صحة جميع التناقضات (وبالتالي جميع العبارات). ^{[ 9 ]} مع ذلك، فإن دراسة المنطق المتناقض جزئيًا لا تستلزم بالضرورة تبني وجهة نظر الدياليثية. فعلى سبيل المثال، لا يُشترط على المرء الالتزام بوجود نظريات صحيحة أو تناقضات حقيقية، بل يُفضل معيارًا أضعف كالكفاية التجريبية ، كما اقترح باس فان فراسن . ^{[ 10 ]}

في المنطق الكلاسيكي، تُعتبر قوانين أرسطو الثلاثة، وهي الوسط المرفوع ( p أو ¬p )، وعدم التناقض (¬( p ∧ ¬p ) )، والهوية ( p إذا وفقط إذا p )، متطابقة، نظرًا لتداخل تعريفات الروابط المنطقية. علاوة على ذلك، يُفترض تقليديًا أن التناقض (وجود تناقضات في نظرية أو في مجموعة معارف) والتفاهة (حقيقة أن هذه النظرية تستلزم جميع النتائج الممكنة) متلازمان، شريطة إمكانية النفي. ويمكن التشكيك في هذه الآراء فلسفيًا، تحديدًا لأنها لا تُميّز بين التناقض وأشكال عدم الاتساق الأخرى.

من جهة أخرى، يمكن استخلاص بديهية من "الصراع" بين الاتساق والتناقض، بمجرد التمييز بين هذين المفهومين بشكل صحيح. بل قد يتم استيعاب مفهومي الاتساق وعدم الاتساق على مستوى لغة الموضوع.

ينطوي التناقض على مقايضات. وعلى وجه الخصوص، يتطلب التخلي عن مبدأ الانفجار التخلي عن واحد على الأقل من المبدأين التاليين: ^{[ 11 ]}

مقدمة الفصل	${\displaystyle A\vdash A\lor B}$
القياس المنطقي المنفصل	${\displaystyle A\lor B,\neg A\vdash B}$

وقد تم الطعن في كلا هذين المبدأين.

يتمثل أحد المناهج في رفض إدخال الفصل مع الإبقاء على القياس الانفصالي والتعدي. في هذا المنهج، تسري قواعد الاستدلال الطبيعي ، باستثناء إدخال الفصل والوسط المرفوع ؛ علاوة على ذلك، فإن الاستدلال A⊢B لا يعني بالضرورة الاستلزام A⇒B. كما تسري الخصائص البوليانية المعتادة التالية: النفي المزدوج ، بالإضافة إلى الاستدلالات التجميعية ، والتبادلية ، والتوزيعية ، ودي مورغان ، والتكرارية (للاقتران والفصل). علاوة على ذلك، فإن برهان النفي المقاوم للتناقض ينطبق على الاستلزام: (A⇒(B∧¬B))⊢¬A.

ثمة مقاربة أخرى تتمثل في رفض القياس الانفصالي. فمن منظور ثنائية الحقيقة ، من المنطقي تمامًا أن يفشل القياس الانفصالي. تقوم فكرة هذا القياس على أنه إذا كان ¬A ، فإن A مستبعد ويمكن استنتاج B من A ∨ B. مع ذلك، إذا كان من الممكن أن يكون A صحيحًا كما هو الحال مع ¬A ، فإن حجة الاستدلال تضعف.

ثمة نهج آخر يتمثل في الجمع بين الأمرين. ففي العديد من أنظمة المنطق ذات الصلة ، وكذلك المنطق الخطي ، يوجد رابطان منفصلان للفصل. أحدهما يسمح بإدخال الفصل، والآخر يسمح بالقياس المنطقي للفصل. وبالطبع، ينطوي هذا على عيوب الروابط المنفصلة، ​​بما في ذلك الخلط بينها وصعوبة الربط بينها.

علاوة على ذلك، فإن قاعدة إثبات النفي (أدناه) في حد ذاتها غير قوية من حيث عدم الاتساق بمعنى أنه يمكن إثبات نفي كل قضية من خلال التناقض.

إثبات النفي	لو${\displaystyle A\vdash B\land \neg B}$، ثم${\displaystyle \vdash \neg A}$

بالمعنى الدقيق للكلمة، فإن الاكتفاء بالقاعدة المذكورة أعلاه يُعدّ تناقضًا جزئيًا، لأنه ليس من الممكن إثبات كل قضية من خلال تناقض. ومع ذلك، إذا كانت قاعدة حذف النفي المزدوج (${\displaystyle \neg \neg A\vdash A}$وإذا أُضيفَتْ أيضًا، فإنه يُمكن إثبات كل قضية من خلال التناقض. ولا ينطبق حذف النفي المزدوج على المنطق الحدسي .

أحد الأمثلة على المنطق المتناقض هو النظام المعروف باسم LP (" منطق المفارقة ")، والذي اقترحه لأول مرة عالم المنطق الأرجنتيني فلورنسيو غونزاليس أسينخو في عام 1966، ثم شاع استخدامه لاحقًا على يد بريست وآخرين. ^{[ 12 ]}

إحدى طرق عرض دلالات البرمجة الخطية هي استبدال التقييم الوظيفي المعتاد بتقييم علائقي . ^{[ 13 ]} العلاقة الثنائية${\displaystyle V\,}$يربط صيغة بقيمة صحيحة :${\displaystyle V(A,1)\,}$هذا يعني أن${\displaystyle A\,}$صحيح، و${\displaystyle V(A,0)\,}$هذا يعني أن${\displaystyle A\,}$هذا خطأ. يجب أن تُسند إلى الصيغة قيمة صدق واحدة على الأقل ، ولكن ليس من الضروري أن تُسند إليها قيمة صدق واحدة على الأكثر . فيما يلي العبارات الدلالية للنفي والفصل :

• ${\displaystyle V(\neg A,1)\Leftrightarrow V(A,0)}$
• ${\displaystyle V(\neg A,0)\Leftrightarrow V(A,1)}$
• ${\displaystyle V(A\lor B,1)\Leftrightarrow V(A,1){\text{ or }}V(B,1)}$
• ${\displaystyle V(A\lor B,0)\Leftrightarrow V(A,0){\text{ و }}V(B,0)}$

(أما الروابط المنطقية الأخرى فتُعرَّف من حيث النفي والفصل كالمعتاد.) أو بعبارة أخرى، يمكن التعبير عن نفس الفكرة بشكل أقل رمزية:

• يكون نفي A صحيحًا إذا وفقط إذا كان A خاطئًا
• تكون العبارة "ليس أ" خاطئة إذا وفقط إذا كانت العبارة "أ" صحيحة.
• تكون العبارة أ أو ب صحيحة إذا وفقط إذا كانت العبارة أ صحيحة أو العبارة ب صحيحة
• تكون A أو B خاطئة إذا وفقط إذا كانت A خاطئة و B خاطئة

ثم يتم تعريف النتيجة المنطقية (الدلالية) على أنها الحفاظ على الحقيقة:

${\displaystyle \Gamma \vDash A}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A\,}$يكون ذلك صحيحًا كلما كان كل عنصر من عناصر${\displaystyle \Gamma \,}$هذا صحيح.

والآن لننظر في عملية التقييم${\displaystyle V\,}$بحيث${\displaystyle V(A,1)\,}$و${\displaystyle V(A,0)\,}$لكن الأمر ليس كذلك.${\displaystyle V(B,1)\,}$من السهل التحقق من أن هذا التقييم يُشكّل مثالًا مضادًا لكلٍّ من التفكيك والقياس المنطقي الانفصالي. ومع ذلك، فهو أيضًا مثال مضاد لقاعدة القياس المنطقي للشرط المادي في المنطق الخطي. لهذا السبب، عادةً ما يدعو أنصار المنطق الخطي إلى توسيع النظام ليشمل رابطًا شرطيًا أقوى لا يمكن تعريفه من حيث النفي والانفصال. ^{[ 14 ]}

كما يمكن التحقق، يحافظ المنطق المنطقي (LP) على معظم أنماط الاستدلال الأخرى التي يُتوقع صحتها، مثل قوانين دي مورغان وقواعد الإدخال والحذف المعتادة للنفي والربط والفصل. والمثير للدهشة أن الحقائق المنطقية (أو التكرارات ) في المنطق المنطقي هي نفسها تلك الموجودة في منطق القضايا الكلاسيكي. ^{[ 15 ]} (يختلف المنطق المنطقي والمنطق الكلاسيكي فقط في الاستدلالات التي يعتبرانها صحيحة). يؤدي تخفيف شرط أن تكون كل صيغة إما صحيحة أو خاطئة إلى منطق متناقض أضعف يُعرف باسم الاستلزام من الدرجة الأولى (FDE). على عكس المنطق المنطقي، لا يحتوي الاستلزام من الدرجة الأولى على أي حقائق منطقية.

يُعدّ LP واحداً فقط من بين العديد من المنطق المتناقض الذي تم اقتراحه. ^{[ 16 ]} وهو يُقدّم هنا فقط كمثال توضيحي لكيفية عمل المنطق المتناقض.

يُعد منطق الصلة أحد أهم أنواع المنطق المتناقض . ويكون المنطق ذا صلة إذا استوفى الشرط التالي:

إذا كانت A → B نظرية، فإن A و B يشتركان في ثابت غير منطقي .

ويترتب على ذلك أن منطق الصلة لا يمكن أن يحتوي على ( p ∧ ¬p ) → q كنظرية، وبالتالي (بناءً على افتراضات معقولة) لا يمكنه التحقق من صحة الاستدلال من { p , ¬p } إلى q .

يتداخل المنطق شبه المتسق بشكل كبير مع المنطق متعدد القيم ؛ ومع ذلك، ليس كل منطق شبه متسق متعدد القيم (وبالطبع، ليس كل منطق متعدد القيم شبه متسق). المنطق الثنائي ، وهو أيضاً متعدد القيم، شبه متسق، ولكن العكس غير صحيح. يصبح المنطق شبه المتسق المثالي ثلاثي القيم المذكور أدناه هو المنطق RM3 عند إضافة عكسه.

يسمح المنطق الحدسي بأن يكون A ∨ ¬A غير مكافئ للصواب، بينما يسمح المنطق المتناقض بأن يكون A ∧ ¬A غير مكافئ للخطأ. لذا، يبدو من الطبيعي اعتبار المنطق المتناقض " نظيرًا " للمنطق الحدسي. مع ذلك، يُعد المنطق الحدسي نظامًا منطقيًا محددًا، بينما يشمل المنطق المتناقض فئة واسعة من الأنظمة. وعليه، يُطلق على المفهوم المقابل للتناقض اسم الاكتمال المتناقض ، و"نظير" المنطق الحدسي (وهو منطق مكتمل متناقض محدد) هو نظام متناقض متناقض محدد يُسمى المنطق المضاد للحدسي أو المنطق الحدسي المزدوج (ويُشار إليه أحيانًا بالمنطق البرازيلي لأسباب تاريخية). ^{[ 17 ]} يتضح التناقض بين النظامين بشكل أفضل ضمن إطار حساب التتابعات . ففي حين أن التتابع في المنطق الحدسي...

${\displaystyle \vdash A\lor \neg A}$

لا يمكن استنتاجه، في المنطق الحدسي المزدوج

${\displaystyle A\land \neg A\vdash }$

لا يمكن استنتاجها . وبالمثل، في المنطق الحدسي، فإن المتتالية

${\displaystyle \neg \neg A\vdash A}$

لا يمكن اشتقاقها، بينما في المنطق الحدسي المزدوج

${\displaystyle A\vdash \neg \neg A}$

غير قابل للاستنتاج. يحتوي المنطق الحدسي المزدوج على رابط # يُعرف بالفرق الزائف ، وهو نظير الاستلزام الحدسي. بشكل عام، يمكن قراءة A # B على أنها " A ولكن ليس B ". مع ذلك، فإن # ليس دالة صدق كما قد يتوقع المرء من عامل "ولكن ليس"؛ وبالمثل، لا يمكن التعامل مع عامل الاستلزام الحدسي على أنه " ¬( A ∧ ¬B ) ". يتميز المنطق الحدسي المزدوج أيضًا برابط أساسي ⊤، وهو نظير ⊥ الحدسي: يمكن تعريف النفي على أنه ¬A = (⊤ #A ) .

يمكن العثور على شرح كامل للازدواجية بين المنطق المتناقض والمنطق الحدسي، بما في ذلك شرح لسبب عدم تطابق المنطق الحدسي المزدوج والمنطق المتناقض، في برونر وكارنيلي (2005).

تتجنب هذه المنطقات الأخرى الانفجار: حساب القضايا الاستلزامي ، وحساب القضايا الإيجابي ، وحساب التكافؤ ، والمنطق الأدنى . يُعدّ المنطق الأدنى، وهو الأخير، متسقًا جزئيًا وكاملًا جزئيًا (نظام فرعي من المنطق الحدسي). أما المنطقات الثلاثة الأخرى، فلا تسمح أصلًا بالتعبير عن تناقض، لافتقارها إلى القدرة على تكوين النفي.

فيما يلي مثال على منطق ثلاثي القيم وهو متسق جزئيًا ومثالي كما هو مُعرَّف في كتاب "المنطق المتسق جزئيًا المثالي" من تأليف أ. أريلي، أ. أفرون، وأ. زامانسكي، وخاصة الصفحات 22-23. ^{[ 18 ]} قيم الصواب الثلاث هي: t (صحيح فقط)، b (صحيح وخاطئ معًا)، و f (خاطئ فقط).

تكون الصيغة صحيحة إذا كانت قيمتها المنطقية إما t أو b وفقًا للتقييم المستخدم. وتُعدّ الصيغة تحصيل حاصل في المنطق شبه المتسق إذا كانت صحيحة في كل تقييم يُسقط القضايا الذرية على المجموعة { t , b , f }. كل تحصيل حاصل في المنطق شبه المتسق هو أيضًا تحصيل حاصل في المنطق الكلاسيكي. بالنسبة لتقييم ما، تكون مجموعة الصيغ الصحيحة مغلقة تحت قاعدة القياس المنطقي ونظرية الاستنتاج . أي تحصيل حاصل في المنطق الكلاسيكي لا يحتوي على نفي هو أيضًا تحصيل حاصل في المنطق شبه المتسق (عن طريق دمج b في t ). يُشار إلى هذا المنطق أحيانًا باسم "Pac" أو "LFI1".

تم تطبيق المنطق المتناقض كوسيلة لإدارة عدم الاتساق في العديد من المجالات، بما في ذلك: ^{[ 19 ]}

• علم الدلالة : طُرح المنطق المتناقض كوسيلة لتقديم وصف رسمي بسيط وبديهي للحقيقة لا يقع فريسةً للمفارقات مثل مفارقة الكاذب . ومع ذلك، يجب على هذه الأنظمة أيضًا تجنب مفارقة كاري ، وهي أكثر صعوبة لأنها لا تنطوي أساسًا على النفي.
• علم المعرفة ومراجعة المعتقدات : تم اقتراح المنطق المتناقض كوسيلة للتفكير في النظريات وأنظمة المعتقدات غير المتسقة ومراجعتها.
• إدارة المعرفة والذكاء الاصطناعي : استخدم بعض علماء الحاسوب المنطق شبه المتسق كوسيلة للتعامل بسلاسة مع المعلومات غير المتسقة ^{[ 20 ]} أو المتناقضة ^{[ 21 ]} . وقد اقتُرح الإطار الرياضي وقواعد المنطق شبه المتسق كدالة تنشيط للعصبون الاصطناعي بهدف بناء شبكة عصبية لتقريب الدوال ، وتحديد النماذج ، والتحكم بنجاح. ^{[ 22 ]}
• المنطق الواجبي وما وراء الأخلاق : تم اقتراح المنطق المتناقض كوسيلة للتعامل مع الصراعات الأخلاقية وغيرها من الصراعات المعيارية.
• هندسة البرمجيات ^: تم اقتراح المنطق شبه المتسق كوسيلة للتعامل مع التناقضات المنتشرة بين الوثائق وحالات الاستخدام وشفرة أنظمة البرمجيات الكبيرة . ^{[ 23 ] [ 24 ]} [ ^{25 ]}
• نظام خبير . تم استخدام خوارزمية المحلل الموازي القائمة على المنطق المشروح المتسق الموازي بواسطة التعليقات التوضيحية ثنائية القيمة (PAL2v)، والتي تسمى أيضًا المنطق الاستدلالي المشروح المتسق الموازي (PAL E t)، والمشتقة من المنطق المتسق الموازي، في أنظمة صنع القرار، مثل دعم التشخيص الطبي. ^{[ 26 ]}
• يستخدم تصميم الإلكترونيات بشكل روتيني منطقًا رباعي القيم ، حيث يؤدي كل من "المقاومة العالية (z)" و"عدم الاكتراث (x)" أدوارًا مشابهة لـ "لا أعرف" و"صحيح وخاطئ" على التوالي، بالإضافة إلى "صحيح وخاطئ". وقد طُوّر هذا المنطق بشكل مستقل عن المنطق الفلسفي .
• نظام التحكم : أظهر نظام التحكم المرجعي النموذجي المبني باستخدام شبكة عصبية متكررة متناسقة جزئياً لبندول مقلوب دوار متانة أفضل وجهد تحكم أقل مقارنةً بنظام التحكم الكلاسيكي ذي موضع القطب المضبوط جيداً. ^{[ 27 ]}
• مرشح رقمي : يمكن استخدام خوارزمية مرشح PAL2v، التي تستخدم خلية عصبية اصطناعية متناقضة للتعلم عن طريق استخلاص التناقض (PANLctx) في تكوين شبكة تحليل متناقضة (PANnet)، استنادًا إلى قواعد ومعادلات PAL2V، كمُقدِّر، ومُستخلص متوسط، ومرشح، وفي معالجة الإشارات لأتمتة الصناعة والروبوتات. ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}
• مستخرج التناقضات . تم استخدام خوارزمية تكرارية تعتمد على قواعد ومعادلات PAL2v لاستخراج التناقضات في مجموعة من البيانات الإحصائية. ^{[ 31 ]}
• الفيزياء الكمية
• فيزياء الثقوب السوداء
• إشعاع هوكينج
• الحوسبة الكمومية
• الإلكترونيات الدورانية
• التشابك الكمي
• الاقتران الكمي
• مبدأ عدم اليقين

يرتكز المنطق، كما هو مفهوم كلاسيكياً، على ثلاثة قواعد رئيسية ( قوانين الفكر ): قانون الهوية ، وقانون عدم التناقض ، وقانون الوسط المرفوع . أما المنطق المتناقض فيختلف عن المنطق الكلاسيكي برفضه مبدأ الانفجار .

سعى عالم المنطق ستيوارت شابيرو إلى تقديم حجة لصالح المنطق المتناقض كجزء من حجته المؤيدة لنظرة تعددية للمنطق (أي الرأي القائل بأن أنواع المنطق المختلفة متساوية في ملاءمتها أو صحتها). وقد وجد أنه يمكن تقديم حجة مفادها أن المنطق الحدسي باعتباره "المنطق الصحيح الوحيد"، أو أن تعددية المنطق الحدسي والمنطق الكلاسيكي مثيرة للاهتمام ومثمرة. ومع ذلك، عندما يتعلق الأمر بالمنطق المتناقض، لم يجد "أمثلة مقنعة (على الأقل بالنسبة لي)". ^{[ 32 ]}

في كتابه "إنقاذ الحقيقة من المفارقة"، يتناول هارتري فيلد قيمة المنطق المتسق جزئيًا كحلٍّ للمفارقات . ^{[ 33 ]} يدافع فيلد عن وجهة نظر تتجنب كلًا من فائض الحقيقة (حيث يمكن أن تكون العبارة صحيحة وخاطئة في آنٍ واحد) وفجوات الحقيقة (حيث لا تكون العبارة صحيحة ولا خاطئة). أحد اهتمامات فيلد هو مشكلة النظرية الفوقية المتسقة جزئيًا : إذا كان المنطق نفسه يسمح بأن تكون التناقضات صحيحة، فقد تضطر النظرية الفوقية التي تصف المنطق أو تحكمه إلى أن تكون متسقة جزئيًا أيضًا. إذا كانت النظرية الفوقية متسقة جزئيًا، فقد يكون تبرير المنطق (لماذا يجب علينا قبوله) موضع شك، لأن أي حجة تُطرح ضمن إطار متسق جزئيًا يمكن أن تكون صحيحة وخاطئة في الوقت نفسه. هذا يخلق تحديًا لأنصار المنطق المتسق جزئيًا لشرح كيفية تبرير منطقهم دون الوقوع في المفارقة أو فقدان القدرة التفسيرية. أعرب ستيوارت شابيرو عن مخاوف مماثلة: "هناك مفاهيم وأفكار معينة يستحضرها أصحاب نظرية الدياليثية (بشكل غير رسمي)، لكنهم لا يستطيعون التعبير عنها بشكل كافٍ، ما لم تكن النظرية العليا متسقة (تمامًا). إن الإصرار على نظرية عليا متسقة من شأنه أن يقوض الجانب الأساسي من الدياليثية". ^{[ 34 ]}

في كتابه "في التناقض"، الذي يدافع فيه عن ثنائية الحقيقة المتناقضة، يعترف غراهام بريست بصعوبات ما وراء النظرية: "هل توجد نظرية ما وراء نظرية لمنطق ثنائية الحقيقة تكون مقبولة من حيث التناقض؟ الإجابة على هذا السؤال ليست واضحة على الإطلاق." ^{[ 35 ]}

جادل ليتمان وكيث سيمونز بأن نظرية الدياليثية غير مفهومة: "بمجرد أن ندرك أن النظرية لا تتضمن فقط العبارة '(L) صحيح وخاطئ في نفس الوقت' ولكن أيضًا العبارة '(L) ليس صحيحًا وخاطئًا في نفس الوقت' فقد نشعر بالحيرة." ^{[ 36 ]}

وقد جادل بعض الفلاسفة ضد نظرية الدياليثية على أساس أن عدم البديهية في التخلي عن أي من المبادئ الثلاثة المذكورة أعلاه يفوق أي عدم بديهية قد يكون لمبدأ الانفجار.

اعترض آخرون، مثل ديفيد لويس ، على المنطق المتناقض على أساس أنه من المستحيل ببساطة أن تكون العبارة ونفيها صحيحين معًا. ^{[ 37 ]} ومن الاعتراضات ذات الصلة أن "النفي" في المنطق المتناقض ليس نفيًا حقيقيًا ؛ بل هو مجرد عامل لتكوين التناقض الفرعي . ^{[ 38 ]}

توجد مناهج تسمح بحلّ المعتقدات المتضاربة دون انتهاك أيٍّ من المبادئ المنطقية البديهية. تستخدم معظم هذه الأنظمة منطقًا متعدد القيم مع الاستدلال البايزي ونظرية دمبستر-شيفر ، مما يسمح بأنه لا يوجد اعتقاد غير تحصيلي قاطع تمامًا (100%) لأنه يجب أن يستند إلى معرفة غير كاملة، ومجردة، ومفسّرة، وربما غير مؤكدة، وربما غير مستنيرة، وربما خاطئة (بالطبع، هذا الافتراض نفسه، إذا كان غير تحصيلي، يستلزم قابليته للدحض، إذا كنا نعني بـ "قابل للدحض" أنه "ليس قاطعًا تمامًا [100%]").

من بين الشخصيات البارزة في تاريخ و/أو التطور الحديث للمنطق المتناقض:

• آلان روس أندرسون (الولايات المتحدة، 1925-1973). أحد مؤسسي منطق الصلة ، وهو نوع من المنطق المتناقض.
• فلورنسيو غونزاليس أسينجو ( الأرجنتين 1927-2013)
• ديدريك باتينز (بلجيكا)
• قام نويل بيلناب (الولايات المتحدة، مواليد 1930) بتطوير الروابط المنطقية لمنطق رباعي القيم .
• جان إيف بيزيو (فرنسا/سويسرا، مواليد 1965). كتب على نطاق واسع عن السمات الهيكلية العامة والأسس الفلسفية للمنطق المتناقض.
• روس برادي (أستراليا)
• برايسون براون (كندا)
• والتر كارنيلي ( البرازيل ). مطور دلالات الترجمات الممكنة ، وهي دلالات جديدة تجعل المنطق المتناقض قابلاً للتطبيق ومفهومًا فلسفيًا.
• نيوتن دا كوستا ( البرازيل ، 1929-2024). أحد أوائل من طوروا أنظمة رسمية للمنطق المتناقض.
• إيتالا إم إل دي أوتافيانو ( البرازيل )
• ج. مايكل دان (الولايات المتحدة). شخصية مهمة في منطق الصلة.
• كارل هيويت
• ستانيسواف ياسكوفسكي ( بولندا ). أحد أوائل من طوروا أنظمة رسمية للمنطق المتناقض.
• آر إي جينينغز (كندا)
• ديفيد كيلوج لويس (الولايات المتحدة الأمريكية، 1941-2001). ناقد فصيح للمنطق المتناقض.
• جان لوكاسيفيتش ( بولندا ، 1878–1956)
• روبرت ك. ماير (الولايات المتحدة/أستراليا)
• كريس مورتنسن (أستراليا). كتب باستفاضة عن الرياضيات المتناقضة .
• لورينزو بينيا (إسبانيا، مواليد 1944). طور خطًا أصليًا من المنطق المتناقض، وهو المنطق التدريجي (المعروف أيضًا باسم المنطق المتعدي ، TL)، وهو مشابه للمنطق الضبابي .
• فال بلوموود [سابقًا روتلي] (أستراليا، مواليد 1939). متعاون متكرر مع سيلفان.
• غراهام بريست (أستراليا). ربما يكون أبرز المدافعين عن المنطق المتناقض في العالم اليوم.
• فرانسيسكو ميرو كيسادا ( بيرو ). صاغ مصطلح المنطق المتناقض .
• بي إتش سلاتر (أستراليا). ناقد آخر بارع للمنطق المتناقض.
• ريتشارد سيلفان [المعروف سابقًا باسم روتلي] (نيوزيلندا/أستراليا، 1935-1996). شخصية مهمة في منطق الصلة ومتعاون متكرر مع بلوموود وبريست.
• نيكولاي أ. فاسيليف (روسيا، 1880-1940). أول من بنى منطقًا متسامحًا مع التناقض (1910).

• منطق منحرف
• المنطق الصوري
• المنطق الضبابي
• منطق الاحتمالات
• المنطق الحدسي
• جدول الرموز المنطقية

• جان إيف بزياو ؛ والتر كارنيلي ؛ دوف غاباي ، محرران. (2007). دليل التناقض . لندن: كلية الملك. رقم ISBN 978-1-904987-73-4.
• أوياما، هيروشي (2004). "LK، LJ، المنطق الحدسي المزدوج، والمنطق الكمي" . مجلة نوتردام للمنطق الصوري . 45 (4): 193-213 . doi : 10.1305/ndjfl/1099238445 .
• بيرتوسي، ليوبولدو، محرر. (2004). التسامح مع التناقض . برلين: سبرينغر. ISBN 3-540-24260-0.
• برونر، أندرياس وكارنيلي، والتر (2005). "مناهضة الحدس والتناقض الظاهري" . مجلة المنطق التطبيقي . 3 (1): 161-184 . doi : 10.1016/j.jal.2004.07.016 .
• بيزيو، جان إيف (2000). "ما هو المنطق المتناقض؟". في د. باتنز وآخرون  (محررون). آفاق المنطق المتناقض . بالدوك: دار نشر الدراسات البحثية. ص 95-111 . ISBN  0-86380-253-2.
• بريمر، مانويل (2005). مقدمة في المنطق المتناقض . فرانكفورت: بيتر لانغ. ISBN 3-631-53413-2.
• براون، برايسون (2002). "حول التناقض الظاهري". في ديل جاكيت (محرر). دليل إلى المنطق الفلسفي . مالدن، ماساتشوستس: بلاكويل للنشر. ص 628-650 . ISBN  0-631-21671-5.
• كارنيلي، والتر؛ كونيلو، مارسيلو إي؛ ماركوس، ج. (2007). "منطق التناقض الشكلي". في: د. غاباي ؛ ف. غوينتنر (محرران). دليل المنطق الفلسفي، المجلد 14 (  الطبعة الثانية). هولندا: دار كلوير الأكاديمية للنشر . الصفحات 1-93 . ISBN  978-1-4020-6323-7.
• فيفرمان، سولومون (1984). "نحو نظريات مفيدة خالية من التصنيف، الجزء الأول". مجلة المنطق الرمزي . 49 (1): 75-111 . doi : 10.2307/2274093 . JSTOR 2274093. S2CID 10575304 .  
• هيويت، كارل (2008أ). "الحوسبة التنظيمية واسعة النطاق تتطلب انعكاسًا غير طبقي وتناقضًا قويًا". في: خايمي سيشمان؛ بابلو نورييغا؛ جوليان بادجيت؛ ساشا أوسوفسكي (محررون). التنسيق، والمنظمات، والمؤسسات، والمعايير في أنظمة الوكلاء III . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد  4780. سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-3-540-79003-7 .
• هيويت، كارل (2008ب). "الفطرة السليمة لتحمل التزامن وعدم الاتساق باستخدام المنطق المباشر ونموذج الممثل". arXiv : 0812.4852 [ cs.LO ].
• لويس، ديفيد (1998) [1982]. "المنطق للمُراوغين". أوراق في المنطق الفلسفي . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 97-110 . ISBN  0-521-58788-3.
• بينا، لورينزو (1996). "نظرية غراهام بريست 'الجدلية': هل هي صحيحة تمامًا؟" . سوريتس . 7 : 28-56 . hdl : 10261/9714 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2011-07-04 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2009-05-03 .
• بريست، غراهام (2002). "المنطق المتناقض". في: د. غاباي ؛ ف. غوينتنر (محرران). دليل المنطق الفلسفي . المجلد  6 (  الطبعة الثانية). هولندا: دار كلوير الأكاديمية للنشر . الصفحات 287-393 . ISBN  1-4020-0583-0.
• بريست، غراهام وتاناكا، كوجي (2009) [1996]. "المنطق المتناقض" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 يونيو 2010 .(نُشر لأول مرة يوم الثلاثاء 24 سبتمبر 1996؛ مراجعة جوهرية يوم الجمعة 20 مارس 2009)
• سلاتر، ب. هـ. (1995). "المنطق المتناقض؟". مجلة المنطق الفلسفي . 24 (4): 451-454 . doi : 10.1007/BF01048355 . S2CID 12125719 . 
• وودز، جون (2003). المفارقة والتناقض: حل النزاعات في العلوم المجردة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-00934-0.
• دي كارفاليو، أ.؛ جوستو، ج. ف.؛ دي أوليفيرا، أ. م.؛ دا سيلفا فيلهو، ج. إ. (2024). "مراجعة شاملة حول منطق الأدلة المشروح المتناقض: الخوارزميات والتطبيقات والآفاق". تطبيقات الهندسة للذكاء الاصطناعي . 127ب 107342. doi : 10.1016/j.engappai.2023.107342 . ISSN 0952-1976 . 

• فيزر، جيمس؛ داودن، برادلي (محرران). "المنطق المتناقض" . موسوعة الإنترنت للفلسفة . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .  
• زالتا، إدوارد ن. (محرر). "المنطق المتناقض" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . الرقم الدولي الموحد للدوريات 1095-5054 . رقم OCLC 429049174 .  
• زالتا، إدوارد ن. (محرر). "الرياضيات غير المتسقة" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . الرقم الدولي الموحد للدوريات 1095-5054 . رقم OCLC 429049174 .  
• "المؤتمر العالمي حول التناقضات، غنت 1997، جوكي 2000، تولوز 2003، ملبورن 2008، كولكاتا 2014"
• منطق الرتبة الأولى المتسق جزئيًا ذو مستويات هرمية لا نهائية من التناقض LP#. النظام البديهي HST#، كتعميم متسق جزئيًا لنظرية مجموعات هرباسيك HST
• أ. أريلي، أ. أفرون، أ. زامانسكي، "المنطق المثالي المتناقض"