تحديد موقع بيلينسون-بيرنشتاين

الموسوعة الحرة

في الرياضيات، وخاصة في نظرية التمثيل والهندسة الجبرية ، تربط نظرية بيلينسون-بيرنشتاين للتوطين وحدات D على أصناف الأعلام G / B بتمثيلات جبر ليز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}مرتبط بمجموعة اختزالية G. تم تقديمه بواسطة بيلينسون وبرنشتاين (1981) .

تشمل امتدادات هذه النظرية حالة أصناف الأعلام الجزئية G / P ، حيث P هي زمرة جزئية مكافئة في Holland & Polo (1996)، ونظرية تربط وحدات D على Grassmannian الأفيني بتمثيلات جبر Kac–Moodyز^{\displaystyle {\widehat {\mathfrak {g}}}}في Frenkel & Gaitsgory (2009) .

إفادة

ليكن G زمرة اختزالية على الأعداد المركبة، و B زمرة بوريل جزئية. عندئذٍ يوجد تكافؤ بين الفئات [ 1 ].

د-مود(جي/ب) ≃ (يو(ز)/كير⁡χ)-مود.{\displaystyle {\mathcal {D}}{\text{-Mod}}(G/B)\ \simeq \ \left(U({\mathfrak {g}})/\ker \chi \right){\text{-Mod}}.}

على اليسار توجد فئة الوحدات النمطية D على G/B . على اليمين χ هو تشاكل χ  : Z(U(g)) → C من مركز الجبر الشامل المغلف.

Z(يو(ز)) ≃ طبيعي(ت)دبليو،ρ،{\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))\ \simeq \ {\text{Sym}}({\mathfrak {t}})^{W,\rho },}

يتوافق ذلك مع الوزن -ρ ∈ t * المُعطى بطرح نصف مجموع الجذور الموجبة للدالة g . يتم إزاحة تأثير W المذكور أعلاه على t * = Spec Sym(t) بحيث يتم تثبيت -ρ .

نسخة ملتوية

يوجد تكافؤ بين الفئات [ 2 ]

دλ-مود(جي/ب) ≃ (يو(ز)/كير⁡χλ)-مود.{\displaystyle {\mathcal {D}}_{\lambda }{\text{-Mod}}(G/B)\ \simeq \ \left(U({\mathfrak {g}})/\ker \chi _{\lambda }\right){\text{-Mod}}.}

لأي λ ∈ t * بحيث لا يقترن λ-ρ مع أي جذر موجب α لإعطاء عدد صحيح غير موجب (فهو "مسيطر منتظم"):

(λ-ρ،α) ∈ ج-Z≤0.{\displaystyle (\lambda -\rho ,\alpha )\ \in \ \mathbf {C} -\mathbf {Z} _{\leq 0}.}

هنا χ هو الحرف المركزي المقابل لـ λ-ρ ، و D λ هي حزمة الحلقات على G/B التي تشكلت من خلال أخذ *-الدفع الأمامي لـ D G/U على طول حزمة T G/U → G/B ، وهي حزمة من الحلقات التي مركزها هو الحزمة الثابتة من الجبر U(t) ، وأخذ خارج القسمة بواسطة الحرف المركزي المحدد بواسطة λ (وليس λ-ρ ).

مثال: SL 2

تُعرَّف جبر لي لحقول المتجهات على الخط الإسقاطي P1 بـ sl2 ، و

يو(sل2)/Ω ≃ د(P1){\displaystyle U({\mathfrak {sl}}_{2})/\Omega \ \simeq \ {\mathcal {D}}(\mathbf {P} ^{1})}

عبر

(هـ،ح،و) ↦ (∂z،-2z∂z،z2∂z){\displaystyle (e,h,f)\ \mapsto \ (\partial _{z},-2z\partial _{z},z^{2}\partial _{z})}

يمكن التحقق من أن التراكيب الخطية لثلاثة حقول متجهة C ⊂ P 1 هي حقول المتجهات الوحيدة التي تمتد إلى ∞ ∈ P 1. هنا،

Ω = هـو+وهـ+12ح2{\displaystyle \Omega \ =\ ef+fe+{\frac {1}{2}}h^{2}}

يتم إرسالها إلى الصفر.

التمثيل الوحيد ذو الأبعاد المحدودة sl² الذي يؤثر عليه Ω بصفر هو التمثيل التافه k ، والذي يُرسل إلى الحزمة الثابتة ، أي حلقة الدوال O ∈ D-Mod . يُرسل نموذج فيرما ذو الوزن 0 إلى D-Module δ المدعوم عند 0 ∈ P¹ .

كل تمثيل ذي أبعاد محدودة يتوافق مع التواء مختلف.

مراجع

  1. ↑ نظرية 3.3.1، بيلينسون، أ. وبرنشتاين، ج.، 1993. برهان على تخمينات جانتزن.
  2. ↑ نظرية 3.3.1، بيلينسون، أ. وبرنشتاين، ج.، 1993. برهان على تخمينات جانتزن.
  • بيلينسون، الكسندر. برنشتاين، جوزيف (1981)، “Localisation de g- modules”، Comptes Rendus de l'Académie des Sciences، Série I ، 292 (1): 15–18 ، MR 0610137 
  • هولاند، مارتن ب.؛ بولو، باتريك (1996)، " نظرية K للمؤثرات التفاضلية الملتوية على أصناف الأعلام"، Inventiones Mathematicae ، 123 (2): 377-414 ، doi : 10.1007/s002220050033 ، MR 1374207 ، S2CID 189819773  
  • فرينكل، إدوارد ؛ غايتسغوري، دينيس (2009)، "توطينز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"وحدات على غراسماني الأفيني"، حوليات الرياضيات (2) ، 170 (3): 1339-1381 ، arXiv : math/0512562 ، doi : 10.4007/annals.2009.170.1339 ، MR 2600875 ، S2CID 17597920  
  • هوتا، ر. وتانيسكي، ت.، 2007. وحدات D، والحزم المنحرفة، ونظرية التمثيل (المجلد 236). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا.
  • بيلينسون، أ. وبرنشتاين، ج.، 1993. برهان على حدسيات جانتزن. ADVSOV، ص  1-50.