نظرية التمثيل

يُطلق على الفضاء المتجهي V اسم فضاء تمثيل φ، ويُطلق على بُعده ( إذا كان محدودًا) اسم بُعد التمثيل (وأحيانًا درجته ، كما في ^{[ 18 ]} ). ومن الممارسات الشائعة أيضًا الإشارة إلى V نفسه على أنه التمثيل عندما يكون التشاكل φ واضحًا من السياق؛ وإلا فيمكن استخدام الرمز ( V , φ ) للدلالة على التمثيل.

عندما يكون V ذا بُعد محدود n ، يمكن للمرء اختيار أساس لـ V لتحديد V مع F n ^، وبالتالي استعادة تمثيل مصفوفة مع إدخالات في الحقل F.

التمثيل الفعال أو الأمين هو تمثيل ( V ، φ )، والذي يكون فيه التشاكل φ أحاديًا .

لو${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$فضاءات المتجهات فوق${\displaystyle \mathbb {F} }$، مزودة برسومات${\displaystyle \varphi }$و${\displaystyle \psi }$من مجموعة${\displaystyle G}$ثم خريطة متغيرة من${\displaystyle V}$ل${\displaystyle W}$هي خريطة خطية${\displaystyle \alpha :V\rightarrow W}$بحيث $${\displaystyle \alpha (g\cdot v)=g\cdot \alpha (v)}$$ للجميع${\displaystyle g}$في${\displaystyle G}$و${\displaystyle v}$في${\displaystyle V}$. من ناحية${\displaystyle \varphi :G\rightarrow {\text{GL}}(V)}$و${\displaystyle \psi :G\rightarrow {\text{GL}}(W)}$، هذا يعنى $${\displaystyle \alpha \circ \varphi (g)=\psi (g)\circ \alpha }$$ للجميع${\displaystyle g}$في${\displaystyle G}$أي أن المخطط التالي يتبادل :

تُعرَّف الخرائط المتغيرة لتمثيلات الجبر الترابطي أو جبر لي بشكل مماثل. إذا${\displaystyle \alpha }$إذا كان العنصر قابلاً للعكس، فإنه يُقال إنه تماثل ، وفي هذه الحالة${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$(أو بتعبير أدق،${\displaystyle \varphi }$و${\displaystyle \psi }$تُعرف هذه التمثيلات باسم التمثيلات المتماثلة ، أو التمثيلات المتكافئة . ويُطلق على الخريطة المتغيرة غالبًا اسم خريطة متشابكة من التمثيلات. وينطبق هذا أيضًا على حالة المجموعة.${\displaystyle G}$ويُطلق عليه أحيانًا اسم${\displaystyle G}$-map أو${\displaystyle G}$الخريطة الخطية. ^{[ 19 ]}

تُعتبر التمثيلات المتماثلة، عملياً، "متطابقة"؛ فهي تُقدّم نفس المعلومات حول المجموعة أو الجبر الذي يتم تمثيله. ولذلك، تسعى نظرية التمثيل إلى تصنيف التمثيلات حتى التماثل .

لو${\displaystyle (V,\psi )}$هو تمثيل (على سبيل المثال) لمجموعة${\displaystyle G}$، و${\displaystyle W}$هو فضاء جزئي خطي من${\displaystyle V}$الذي يتم الحفاظ عليه بفعل${\displaystyle G}$بمعنى أنه بالنسبة للجميع${\displaystyle w\in W}$و${\displaystyle g\in G}$،${\displaystyle g\cdot w\in W}$( يُطلق سير على هذه)${\displaystyle W}$مستقر تحت${\displaystyle G}$^{[ 18 ]} )، ثم${\displaystyle W}$يُطلق عليه اسم التمثيل الفرعي : من خلال تعريف$${\displaystyle \phi :G\to {\text{Aut}}(W)}$$أين${\displaystyle \phi (g)}$هو تقييد${\displaystyle \psi (g)}$ل${\displaystyle W}$،${\displaystyle (W,\phi )}$هو تمثيل لـ${\displaystyle G}$وإدراج${\displaystyle W\hookrightarrow V}$هي دالة متغيرة. فضاء القسمة${\displaystyle V/W}$ويمكن أيضًا تحويلها إلى تمثيل لـ${\displaystyle G}$. لو${\displaystyle V}$لها تمثيلان فرعيان فقط، وهما الفضاء الفرعي التافه {0} و${\displaystyle V}$إذا كان التمثيل نفسه، فإنه يُقال إنه غير قابل للاختزال ؛${\displaystyle V}$إذا كان للتمثيل تمثيل فرعي غير تافه مناسب، يقال إن التمثيل قابل للاختزال . ^{[ 20 ]}

يستلزم تعريف التمثيل غير القابل للاختزال معضلة شور : وهي خريطة متغيرة.$${\displaystyle \alpha$$ إن العلاقة بين التمثيلات غير القابلة للاختزال (V, ψ) و(V', ψ') هي إما دالة صفرية أو تماثل، لأن نواتها وصورتها تمثيلات فرعية. على وجه الخصوص، عندما${\displaystyle V=V'}$وهذا يدل على أن التشاكلات الداخلية المتغيرة لـ${\displaystyle V}$تشكل جبر قسمة ترابطي على الحقل الأساسي F. إذا كان F مغلقًا جبريًا ، فإن التشاكلات الداخلية المتغيرة الوحيدة لتمثيل غير قابل للاختزال هي المضاعفات العددية للعنصر المحايد.

تُعدّ التمثيلات غير القابلة للاختزال اللبنات الأساسية لنظرية التمثيل للعديد من المجموعات: إذا كان التمثيل${\displaystyle V}$إذا لم يكن غير قابل للاختزال، فإنه يُبنى من تمثيل فرعي وحاصل قسمة كلاهما "أبسط" بمعنى ما؛ على سبيل المثال، إذا${\displaystyle V}$إذا كان التمثيل محدود الأبعاد، فإن كلاً من التمثيل الفرعي والناتج يكون لهما بُعد أصغر. توجد أمثلة مضادة حيث يكون للتمثيل تمثيل فرعي، ولكنه يحتوي فقط على مُكوِّن واحد غير تافه وغير قابل للاختزال. على سبيل المثال، المجموعة الجمعية${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$له تمثيل ثنائي الأبعاد $${\displaystyle \phi (a)={\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$$ تحتوي هذه المجموعة على المتجه${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$ثابت بواسطة هذا التشاكل، لكن الفضاء الجزئي المكمل يُسقط إلى $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}}}$$ يُعطي تمثيلاً فرعياً واحداً غير قابل للاختزال. هذا صحيح لجميع المجموعات أحادية القوة . ^{[ 21 ] : 112}

إذا كان ( V , φ ) و( W , ψ ) تمثيلين لمجموعة (مثلاً) G ، فإن المجموع المباشر لـ V و W هو تمثيل، بطريقة قياسية، عبر المعادلة

${\displaystyle g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).}$

لا يحمل المجموع المباشر لتمثيلين معلوماتٍ عن المجموعة G أكثر مما يحمله كلٌّ من التمثيلين على حدة. إذا كان التمثيل هو المجموع المباشر لتمثيلين فرعيين غير تافهين، يُقال إنه قابل للتحليل. وإلا، يُقال إنه غير قابل للتحليل.

في الظروف المواتية، يكون كل تمثيل محدود الأبعاد عبارة عن مجموع مباشر لتمثيلات غير قابلة للاختزال: تُسمى هذه التمثيلات بالتمثيلات شبه البسيطة . في هذه الحالة، يكفي فهم التمثيلات غير القابلة للاختزال فقط. تشمل الأمثلة التي تظهر فيها ظاهرة " الاختزال الكامل " هذه (على الأقل على الحقول ذات الخاصية الصفرية ) الزمر المنتهية (انظر نظرية ماشكه )، والزمر المتراصة، وجبر لي شبه البسيط.

في الحالات التي لا ينطبق فيها الاختزال الكامل، يجب على المرء أن يفهم كيف يمكن بناء التمثيلات غير القابلة للتحليل من التمثيلات غير القابلة للاختزال باستخدام امتدادات القسمة بواسطة التمثيلات الفرعية.

يفترض${\displaystyle \phi _{1}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{1})}$و${\displaystyle \phi _{2}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{2})}$هي تمثيلات لمجموعة${\displaystyle G}$ثم يمكننا تكوين تمثيل${\displaystyle \phi _{1}\otimes \phi _{2}}$تأثير G على فضاء متجه الضرب الموتري${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$على النحو التالي: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle (\phi _{1}\otimes \phi _{2})(g)=\phi _{1}(g)\otimes \phi _{2}(g)}$.

لو${\displaystyle \phi _{1}}$و${\displaystyle \phi _{2}}$إذا كانت تمثيلات لجبر لي، فإن الصيغة الصحيحة التي يجب استخدامها هي ^{[ 23 ]}

${\displaystyle (\phi _{1}\otimes \phi _{2})(X)=\phi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \phi _{2}(X)}$.

يمكن التعرف على هذا المنتج باعتباره المنتج المشترك على الجبر المشترك . بشكل عام، فإن حاصل الضرب الموتري للتمثيلات غير القابلة للاختزال ليس غير قابل للاختزال؛ وتُعرف عملية تحليل حاصل الضرب الموتري كمجموع مباشر للتمثيلات غير القابلة للاختزال بنظرية كليبش-غوردان .

في حالة نظرية تمثيل المجموعة SU(2) (أو ما يعادلها، جبر لي المعقد الخاص بها)${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$)، يسهل حساب التفكيك. ^{[ 24 ]} يتم تمييز التمثيلات غير القابلة للاختزال بواسطة مُعامل.${\displaystyle l}$أي عدد صحيح غير سالب أو نصف عدد صحيح؛ عندئذٍ يكون للتمثيل بُعد${\displaystyle 2l+1}$لنفترض أننا نأخذ حاصل الضرب الموتري لتمثيلين، مع تسميات${\displaystyle l_{1}}$و${\displaystyle l_{2},}$حيث نفترض${\displaystyle l_{1}\geq l_{2}}$ثم يتحلل حاصل الضرب الموتري إلى مجموع مباشر لنسخة واحدة من كل تمثيل مع التسمية.${\displaystyle l}$، أين${\displaystyle l}$يتراوح من${\displaystyle l_{1}-l_{2}}$ل${\displaystyle l_{1}+l_{2}}$بزيادات قدرها 1. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle l_{1}=l_{2}=1}$ثم قيم${\displaystyle l}$القيم التي تحدث هي 0 و1 و2. وبالتالي، فإن تمثيل حاصل الضرب الموتري ذو البعد${\displaystyle (2l_{1}+1)\times (2l_{2}+1)=3\times 3=9}$يتحلل إلى مجموع مباشر لتمثيل أحادي البعد${\displaystyle (l=0),}$تمثيل ثلاثي الأبعاد${\displaystyle (l=1),}$وتمثيل خماسي الأبعاد${\displaystyle (l=2)}$.

تُعدّ تمثيلات الزمر أداةً بالغة الأهمية في دراسة الزمر المنتهية. ^{[ 25 ]} كما أنها تبرز في تطبيقات نظرية الزمر المنتهية في الهندسة وعلم البلورات . ^{[ 26 ]} وتُظهر تمثيلات الزمر المنتهية العديد من سمات النظرية العامة، وتُمهّد الطريق لفروع ومواضيع أخرى في نظرية التمثيل.

في حقل ذي خاصية صفرية ، يتمتع تمثيل المجموعة المنتهية G بعدد من الخصائص المفيدة. أولًا، تمثيلات G شبه بسيطة (قابلة للاختزال كليًا). هذه نتيجة لنظرية ماشكه ، التي تنص على أن أي تمثيل جزئي V لتمثيل G- W له مكمل ثابت تحت G. أحد البراهين هو اختيار أي إسقاط π من W إلى V واستبداله بمتوسطه πG _المعرف بـ

${\displaystyle \pi _{G}(x)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}g\cdot \pi (g^{-1}\cdot x).}$

π _G متغيرة، ونواتها هي المتمم المطلوب.

يمكن فهم تمثيلات G ذات الأبعاد المحدودة باستخدام نظرية الخصائص : خاصية التمثيل φ : G → GL( V ) هي دالة الفئة χ _φ : G → F المعرفة بـ

${\displaystyle \chi _{\varphi }(g)=\mathrm {Tr} (\varphi (g))}$

أين${\displaystyle \mathrm {Tr} }$هو الأثر . يتم تحديد التمثيل غير القابل للاختزال لـ G بشكل كامل من خلال خصائصه.

تنطبق نظرية ماشكه بشكل أعم على الحقول ذات الخاصية الموجبة p ، مثل الحقول المنتهية ، طالما أن العدد الأولي p أولي نسبيًا مع رتبة G. عندما يكون لـ p و | G | عامل مشترك ، توجد تمثيلات G ليست شبه بسيطة، والتي يتم دراستها في فرع فرعي يسمى نظرية التمثيل المعياري .

تُظهر تقنيات حساب المتوسطات أيضًا أنه إذا كانت F أعدادًا حقيقية أو مركبة، فإن أي تمثيل G يحافظ على الضرب الداخلي${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$على V بمعنى أن

${\displaystyle \langle g\cdot v,g\cdot w\rangle =\langle v,w\rangle }$

لكل g في G و v و w في W. وبالتالي فإن أي تمثيل G هو تمثيل وحدوي .

تُعتبر التمثيلات الوحدوية شبه بسيطة تلقائيًا، إذ يُمكن إثبات نتيجة ماشكه بأخذ المتمم المتعامد لتمثيل فرعي. عند دراسة تمثيلات الزمر غير المنتهية، تُقدّم التمثيلات الوحدوية تعميمًا جيدًا للتمثيلات الحقيقية والمركبة للزمرة المنتهية.

يمكن تعميم نتائج مثل نظرية ماشكه والخاصية الوحدوية، التي تعتمد على المتوسط، لتشمل مجموعات أكثر عمومية باستبدال المتوسط ​​بالتكامل، شريطة إمكانية تعريف مفهوم مناسب للتكامل. ويمكن تطبيق ذلك على المجموعات الطوبولوجية المدمجة (بما في ذلك مجموعات لي المدمجة)، باستخدام مقياس هار ، وتُعرف النظرية الناتجة بالتحليل التوافقي المجرد .

في الحقول العشوائية، تُعدّ الزمر المنتهية من نوع لي فئة أخرى من الزمر المنتهية التي تتمتع بنظرية تمثيل جيدة . ومن الأمثلة المهمة على ذلك الزمر الجبرية الخطية على الحقول المنتهية. وتُوسّع نظرية تمثيل الزمر الجبرية الخطية وزمر لي هذه الأمثلة لتشمل الزمر اللانهائية الأبعاد، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بتمثيلات جبر لي . وتتجلى أهمية نظرية الخصائص للزمر المنتهية في نظرية الأوزان لتمثيلات زمر لي وجبر لي.

ترتبط تمثيلات المجموعة المنتهية G أيضًا بشكل مباشر بتمثيلات الجبر عبر جبر المجموعة F [ G ]، وهو فضاء متجهي فوق F مع عناصر G كأساس، ومجهز بعملية الضرب المحددة بواسطة عملية المجموعة، والخطية، وشرط أن تكون عملية المجموعة والضرب القياسي تبادليين.

التمثيلات النمطية لمجموعة منتهية G هي تمثيلات على حقل لا تكون خاصيته أولية نسبياً مع | G |، وبالتالي لا تنطبق نظرية ماشكه (لأن | G | غير قابلة للعكس في F ، وبالتالي لا يمكن القسمة عليها). ^{[ 27 ]} مع ذلك، وسّع ريتشارد براور جزءاً كبيراً من نظرية الخصائص لتشمل التمثيلات النمطية، ولعبت هذه النظرية دوراً هاماً في التقدم المبكر نحو تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية ، لا سيما بالنسبة للمجموعات البسيطة التي لم يكن توصيفها قابلاً للطرق النظرية للمجموعات البحتة لأن مجموعاتها الفرعية من نوع سيلو 2 كانت "صغيرة جداً". ^{[ 28 ]}

إلى جانب تطبيقاتها في نظرية المجموعات، تنشأ التمثيلات النمطية بشكل طبيعي في فروع أخرى من الرياضيات ، مثل الهندسة الجبرية ونظرية الترميز والتوافقية ونظرية الأعداد .

التمثيل الوحدوي لمجموعة G هو تمثيل خطي φ لمجموعة G على فضاء هيلبرت حقيقي أو (عادةً) مركب V، بحيث يكون φ ( g ) مؤثرًا وحدويًا لكل g ∈ G. وقد استُخدمت هذه التمثيلات على نطاق واسع في ميكانيكا الكم منذ عشرينيات القرن العشرين، ويعود الفضل في ذلك بشكل خاص إلى تأثير هيرمان فايل ^{[ 29 ]} ، وقد ألهم هذا تطوير النظرية، ولا سيما من خلال تحليل تمثيلات مجموعة بوانكاريه بواسطة يوجين ويغنر ^{[ 30 ]} . وكان جورج ماكي من الرواد في بناء نظرية عامة للتمثيلات الوحدوية (لأي مجموعة G وليس فقط لمجموعات معينة مفيدة في التطبيقات) ، وقد طوّر هاريش تشاندرا وآخرون نظرية شاملة في خمسينيات وستينيات القرن العشرين ^{[ 31 ] .}

يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في وصف " الفضاء الثنائي الوحدوي "، وهو فضاء التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال للمجموعة G. [ ^{32 ] وتكون} النظرية أكثر تطورًا في حالة كون G زمرة طوبولوجية محلية التراص (هاوسدورف) وتكون التمثيلات متصلة بقوة . ^{[ 11 ]} بالنسبة لـ G الأبيلية، يكون الفضاء الثنائي الوحدوي هو فضاء الخصائص ، بينما بالنسبة لـ G المتراصة، تُظهر نظرية بيتر-ويل أن التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال ذات أبعاد منتهية وأن الفضاء الثنائي الوحدوي منفصل. ^{[ 33 ]} على سبيل المثال، إذا كانت G هي زمرة الدائرة S1 ^، فإن الخصائص تُعطى بالأعداد الصحيحة، ويكون الفضاء الثنائي الوحدوي هو Z.

بالنسبة للمجموعات G غير المتراصة ، يُعدّ تحديد التمثيلات الوحدوية مسألة دقيقة. فعلى الرغم من أن التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال يجب أن تكون "مقبولة" ( كوحدات هاريش-تشاندرا )، ومن السهل تحديد التمثيلات المقبولة التي لها شكل خطي ثابت غير منحل ، إلا أنه من الصعب تحديد متى يكون هذا الشكل موجبًا تمامًا. ولا يزال الوصف الفعال للثنائي الوحدوي، حتى بالنسبة للمجموعات ذات السلوك الجيد نسبيًا مثل مجموعات لي المختزلة الحقيقية (المناقشة أدناه)، مشكلة مفتوحة مهمة في نظرية التمثيل. وقد تم حلها للعديد من المجموعات الخاصة، مثل SL(2, R ) ومجموعة لورنتز . ^{[ 34 ]}

إن الازدواجية بين زمرة الدائرة S1 والأعداد الصحيحة Z ، أو بشكل أعم ^، بين الطارة Tn و Zn ^، معروفة جيدًا في التحليل كنظرية متسلسلات فورييه ، ويعبر تحويل فورييه بالمثل عن حقيقة أن فضاء الخصائص على فضاء متجهي حقيقي هو الفضاء المتجهي المزدوج . وبالتالي ^، فإن نظرية التمثيل الوحدوي والتحليل التوافقي مرتبطان ارتباطًا وثيقًا، ويستغل التحليل التوافقي المجرد هذه العلاقة، من خلال تطوير تحليل الدوال على الزمر الطوبولوجية المدمجة محليًا والفضاءات ذات الصلة. ^{[ 11 ]}

يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في توفير صيغة عامة لتحويل فورييه ونظرية بلانشيريل . ويتحقق ذلك من خلال بناء مقياس على الفضاء ^{الثنائي} الوحدوي وتماثل بين التمثيل المنتظم لـ G على فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي L²(G) على G وتمثيله على فضاء الدوال ^L² على الفضاء الثنائي الوحدوي . وتحقق ثنائية بونترياغين ونظرية بيتر - ويل هذا الهدف للفضاءات G الأبيلية والمتراصة على التوالي. ^{[ 33 ] [ 35 ]}

ثمة نهج آخر يتمثل في النظر في جميع التمثيلات الوحدوية، وليس فقط التمثيلات غير القابلة للاختزال. تشكل هذه التمثيلات فئة ، وتوفر ثنائية تاناكا-كراين طريقة لاستعادة مجموعة متراصة من فئة التمثيلات الوحدوية الخاصة بها.

إذا لم تكن المجموعة أبيلية ولا مضغوطة، فلا توجد نظرية عامة معروفة لها نظير لنظرية بلانشيريل أو انعكاس فورييه، على الرغم من أن ألكسندر غروتينديك وسع ازدواجية تاناكا-كراين إلى علاقة بين المجموعات الجبرية الخطية وفئات تاناكيان .

كما تم توسيع نطاق التحليل التوافقي من تحليل الدوال على مجموعة G إلى الدوال على الفضاءات المتجانسة لـ G. وقد تطورت هذه النظرية بشكل خاص للفضاءات المتناظرة ، كما أنها توفر نظرية للأشكال الذاتية (التي سيتم مناقشتها أدناه).

زمرة لي هي زمرة تُعدّ أيضًا فضاءً أملسًا . العديد من الزمر الكلاسيكية للمصفوفات على الأعداد الحقيقية أو المركبة هي زمر لي. ^{[ 36 ]} العديد من الزمر المهمة في الفيزياء والكيمياء هي زمر لي، ونظرية تمثيلها أساسية لتطبيق نظرية الزمر في هذين المجالين. ^{[ 9 ]}

يمكن تطوير نظرية تمثيل زمر لي أولاً بدراسة الزمر المدمجة، التي تنطبق عليها نتائج نظرية تمثيل الزمر المدمجة. [ 32 ] ويمكن توسيع هذه النظرية لتشمل التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لزمر لي شبه البسيطة باستخدام حيلة فايل الوحدوية : لكل زمرة لي حقيقية شبه بسيطة G تكثيف، وهو زمرة لي مركبة G  c ، وهذه الزمرة المركبة لها زمرة جزئية مدمجة قصوى K. وتتطابق التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لـ G تطابقاً وثيقاً مع تلك الخاصة بـ K.

الزمرة اللي العامة هي حاصل ضرب شبه مباشر لزمرة لي قابلة للحل وزمرة لي شبه بسيطة ( تحليل ليفي ). ^{[ 37 ]} يُعد تصنيف تمثيلات زمر لي القابلة للحل معقدًا بشكل عام، ولكنه غالبًا ما يكون سهلًا في الحالات العملية. ويمكن تحليل تمثيلات حاصل الضرب شبه المباشر باستخدام نتائج عامة تُعرف بنظرية ماكي ، وهي تعميم للطرق المستخدمة في تصنيف ويغنر لتمثيلات زمرة بوانكاريه.

جبر لي على حقل F هو فضاء متجهي على F مزود بعملية ثنائية خطية متناظرة معكوسة تُسمى قوس لي ، والتي تحقق متطابقة جاكوبي . تنشأ جبر لي على وجه الخصوص كفضاءات مماسية لزمر لي عند عنصر المحايد ، مما يؤدي إلى تفسيرها على أنها "تناظرات متناهية الصغر". ^{[ 37 ]} يتمثل أحد المناهج المهمة لنظرية تمثيل زمر لي في دراسة نظرية التمثيل المقابلة لجبر لي، ولكن لتمثيلات جبر لي أهمية جوهرية أيضًا. ^{[ 38 ]}

تتمتع جبر لي، مثل زمر لي، بتفكيك ليفي إلى أجزاء شبه بسيطة وقابلة للحل، مع كون نظرية تمثيل جبر لي القابل للحل غير قابلة للحل بشكل عام. في المقابل، أصبحت التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لجبر لي شبه البسيط مفهومة تمامًا، بفضل أعمال إيلي كارتان . يتم تحليل تمثيل جبر لي شبه بسيط 𝖌 باختيار جبر كارتان جزئي ، وهو في الأساس جبر جزئي أقصى عام 𝖍 من 𝖌 تكون فيه أقواس لي صفرًا ("أبيلي"). يمكن تفكيك تمثيل 𝖌 إلى فضاءات أوزان تمثل فضاءات ذاتية لفعل 𝖍 والنظير المتناهي الصغر للمؤثرات. وبالتالي، فإن بنية جبر لي شبه البسيط تُختزل تحليل التمثيلات إلى توافقيات سهلة الفهم للأوزان الممكنة. ^{[ 37 ]}

تُعدّ الزمر الجبرية الخطية (أو بشكل أعم، مخططات الزمر الأفينية ) نظائر في الهندسة الجبرية لزمر لي ، ولكن على حقول أعم من R أو C فقط . وعلى وجه الخصوص، على الحقول المنتهية، تُنتج زمرًا منتهية من نوع لي . ورغم أن تصنيف الزمر الجبرية الخطية مشابه جدًا لتصنيف زمر لي، إلا أن نظرية تمثيلها مختلفة تمامًا (وأقل فهمًا بكثير) وتتطلب تقنيات مختلفة، نظرًا لضعف طوبولوجيا زاريسكي نسبيًا، وعدم توفر تقنيات التحليل. ^{[ 41 ]}

تدرس نظرية الثوابت تأثيرات التحويلات على المتنوعات الجبرية من منظور تأثيرها على الدوال التي تُشكل تمثيلات للمجموعة. تقليديًا، تناولت هذه النظرية مسألة الوصف الصريح للدوال متعددة الحدود التي لا تتغير، أو التي تكون ثابتة ، تحت التحويلات من مجموعة خطية معينة . أما المنهج الحديث فيُحلل تفكيك هذه التمثيلات إلى عناصر غير قابلة للاختزال. ^{[ 42 ]}

ترتبط نظرية الثوابت للمجموعات اللانهائية ارتباطًا وثيقًا بتطور الجبر الخطي ، ولا سيما نظريات الأشكال التربيعية والمحددات . ومن المواضيع الأخرى ذات التأثير المتبادل القوي الهندسة الإسقاطية ، حيث يمكن استخدام نظرية الثوابت لتنظيم هذا الموضوع، وخلال ستينيات القرن العشرين، أُعيد إحياء هذا الموضوع على يد ديفيد مامفورد في شكل نظريته الهندسية للثوابت . ^{[ 43 ]}

تستند نظرية تمثيل زمر لي شبه البسيطة إلى نظرية الثوابت ^{[ 36 ]} ، وتوجد روابط وثيقة بين نظرية التمثيل والهندسة الجبرية، وتتشابه هذه الروابط مع العديد من الروابط في الهندسة التفاضلية، بدءًا من برنامج إرلانجن لفيلكس كلاين وروابط إيلي كارتان ، التي تضع الزمر والتناظر في صميم الهندسة. ^{[ 44 ]} وتربط التطورات الحديثة نظرية التمثيل ونظرية الثوابت بمجالات متنوعة مثل الهولوونوميا ، والمؤثرات التفاضلية ، ونظرية المتغيرات المركبة المتعددة .

تُعدّ الأشكال التلقائية تعميمًا للأشكال النمطية لتشمل دوالًا تحليلية أكثر عمومية ، ربما لعدة متغيرات عقدية ، ذات خصائص تحويل مماثلة. ^{[ 45 ]} يتضمن هذا التعميم استبدال المجموعة النمطية PSL ₂ ( R ) ومجموعة فرعية توافقية مختارة بمجموعة لي شبه بسيطة G ومجموعة فرعية منفصلة Γ . وكما يمكن اعتبار الأشكال النمطية أشكالًا تفاضلية على خارج قسمة نصف الفضاء العلوي H = PSL ₂ ( R )/SO(2)، يمكن اعتبار الأشكال التلقائية أشكالًا تفاضلية (أو كائنات مشابهة) على Γ\ G / K ، حيث K (عادةً) مجموعة فرعية مضغوطة قصوى من G. مع ذلك، يلزم توخي الحذر، لأن خارج القسمة عادةً ما يحتوي على نقاط شاذة. إن خارج قسمة مجموعة لي شبه بسيطة على مجموعة فرعية مضغوطة هو فضاء متناظر ، وبالتالي فإن نظرية الأشكال التلقائية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالتحليل التوافقي على الفضاءات المتناظرة.

قبل تطوير النظرية العامة، تمّت دراسة العديد من الحالات الخاصة الهامة بالتفصيل، بما في ذلك الأشكال النمطية لهيلبرت والأشكال النمطية لسيجل . ومن النتائج الهامة في هذه النظرية صيغة سيلبرغ للأثر ، وإدراك روبرت لانجلاندز لإمكانية تطبيق نظرية ريمان-روخ لحساب بُعد فضاء الأشكال التلقائية. وقد أثبت مفهوم "التمثيل التلقائي" اللاحق قيمته التقنية الكبيرة في التعامل مع حالة كون G زمرة جبرية ، تُعامل كزمرة جبرية أديلية . ونتيجةً لذلك، نشأت فلسفة كاملة، هي برنامج لانجلاندز ، حول العلاقة بين التمثيل وخصائص نظرية الأعداد للأشكال التلقائية. ^{[ 46 ]}

بمعنى ما، تُعمّم تمثيلات الجبر الترابطي تمثيلات كلٍّ من الزمر وجبر لي. إذ يُولّد تمثيل الزمرة تمثيلاً لحلقة الزمرة أو جبر الزمرة المناظر ، بينما تتطابق تمثيلات جبر لي تقابلاً مع تمثيلات جبر الغلاف الشامل الخاص به . مع ذلك، لا تمتلك نظرية تمثيل الجبر الترابطي العام جميع الخصائص المميزة لنظرية تمثيل الزمر وجبر لي.

يُعطى التمثيل النظري للمجموعة ( المعروف أيضًا باسم تمثيل فعل المجموعة أو تمثيل التبديل ) لمجموعة G على مجموعة X بواسطة دالة ρ من G إلى X ، وهي مجموعة الدوال من X إلى X ، ^بحيث يكون لكل g ₁ و g ₂ في G ولكل x في X :

${\displaystyle \rho (1)[x]=x}$

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]].}$

هذا الشرط وبديهيات المجموعة يعني أن ρ ( g ) هو تقابل (أو تبديل ) لكل g في G. وبالتالي ، يمكننا تعريف تمثيل التبديل بشكل مكافئ بأنه تشاكل مجموعة من G إلى المجموعة المتناظرة SX _لـ X.

يمكن اعتبار كل مجموعة G فئةً تحتوي على عنصر واحد؛ والتشاكلات في هذه الفئة هي عناصر G نفسها . وبالنظر إلى أي فئة C ، فإن تمثيل G في C هو دالة من G إلى C. تختار هذه الدالة عنصرًا X في C وتشاكلًا زمريًا من G إلى Aut( X )، وهي زمرة التشاكل الذاتي لـ X.

في حالة كون C هي Vect _F ، أي فئة الفضاءات المتجهة على حقل F ، فإن هذا التعريف يكافئ التمثيل الخطي. وبالمثل، فإن التمثيل النظري للمجموعات هو مجرد تمثيل لـ G في فئة المجموعات .

كمثال آخر، لننظر إلى فئة الفضاءات الطوبولوجية ، Top . التمثيلات في Top هي تشاكلات من G إلى مجموعة التشاكلات الطوبولوجية لفضاء طوبولوجي X.

ثلاثة أنواع من التمثيلات المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالتمثيلات الخطية هي:

• التمثيلات الإسقاطية : تندرج ضمن فئة الفضاءات الإسقاطية . ويمكن وصفها بأنها "تمثيلات خطية حتى التحويلات العددية".
• التمثيلات الأفينية : تندرج ضمن فئة الفضاءات الأفينية . على سبيل المثال، تؤثر المجموعة الإقليدية بشكل أفيني على الفضاء الإقليدي .
• التمثيلات المشتركة للمجموعات الوحدوية والمضادة للوحدوية : في فئة الفضاءات المتجهة المعقدة مع التشكلات التي تكون تحويلات خطية أو مضادة للخطية .

بما أن المجموعات هي فئات، يمكن أيضًا دراسة تمثيل الفئات الأخرى. أبسط تعميم هو دراسة المونويدات ، وهي فئات تحتوي على عنصر واحد. المجموعات هي مونويدات يكون فيها كل تشاكل قابلًا للعكس. للمونويدات العامة تمثيلات في أي فئة. في فئة المجموعات، تُعرف هذه التمثيلات بأفعال المونويدات ، ولكن يمكن دراسة تمثيلات المونويدات على الفضاءات المتجهة وغيرها من العناصر.

بشكل أعم، يمكن التخلي عن افتراض أن الفئة المُمَثَّلة لا تحتوي إلا على عنصر واحد. وبشكل عام، هذه ببساطة نظرية الدوال بين الفئات، ولا يمكن إضافة الكثير.

كان لحالة خاصة أثرٌ بالغٌ على نظرية التمثيل، ألا وهي نظرية تمثيل الرسوم البيانية الموجهة (الرسم البياني الموجه). ^{[ 15 ]} الرسم البياني الموجه هو ببساطة رسم بياني موجه (مع السماح بالحلقات والأسهم المتعددة)، ولكن يمكن تحويله إلى فئة (وأيضًا إلى جبر) من خلال دراسة المسارات في الرسم البياني. وقد ساهمت تمثيلات هذه الفئات/الجبر في توضيح جوانب عديدة من نظرية التمثيل، على سبيل المثال، من خلال السماح باختزال أسئلة نظرية التمثيل غير البسيطة المتعلقة بمجموعة ما، في بعض الحالات، إلى أسئلة نظرية تمثيل بسيطة تتعلق برسم بياني موجه.