Projective line

In projective geometry and mathematics more generally, a projective line is, roughly speaking, the extension of a usual line by a point called a point at infinity. The statement and the proof of many theorems of geometry are simplified by the resulting elimination of special cases; for example, two distinct projective lines in a projective plane meet in exactly one point (there is no "parallel" case).

There are many equivalent ways to formally define a projective line; one of the most common is to define a projective line over a fieldK, commonly denoted P¹(K), as the set of one-dimensional subspaces of a two-dimensional K-vector space. This definition is a special instance of the general definition of a projective space.

The projective line over the reals is a manifold; see Real projective line for details.

An arbitrary point in the projective line P¹(K) may be represented by an equivalence class of homogeneous coordinates, which take the form of a pair

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]}$

of elements of K that are not both zero. Two such pairs are equivalent if they differ by an overall nonzero factor λ:

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\sim [\lambda x_{1}:\lambda x_{2}].}$

The projective line may be identified with the line K extended by a point at infinity. More precisely, the line K may be identified with the subset of P¹(K) given by

${\displaystyle \left\{[x:1]\in \mathbf {P} ^{1}(K)\mid x\in K\right\}.}$

This subset covers all points in P¹(K) except one, which is called the point at infinity:

${\displaystyle \infty =[1:0].}$

This allows to extend the arithmetic on K to P¹(K) by the formulas

${\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty ,\qquad {\frac {1}{\infty }}=0,}$

${\displaystyle x\cdot \infty =\infty \quad {\text{if}}\quad x\not =0}$

${\displaystyle x+\infty =\infty \quad {\text{if}}\quad x\not =\infty }$

Translating this arithmetic in terms of homogeneous coordinates gives, when [0 : 0] does not occur:

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]+[y_{1}:y_{2}]=[(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}):x_{2}y_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\cdot [y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{1}:x_{2}y_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]^{-1}=[x_{2}:x_{1}].}$

بشكل عام، تؤثر مجموعة التحويلات المتجانسة ذات المعاملات في K على الخط الإسقاطي ^P1 ( K ) . هذا التأثير الجماعي متعدٍ ، لذا فإن P1 ( K ) فضاء متجانس للمجموعة، وغالبًا ما يُكتب PGL2 ₍ K ) للتأكيد على الطبيعة الإسقاطية لهذه التحويلات. تنص خاصية التعدي على وجود تحويل متجانس يحول أي نقطة Q إلى أي نقطة R أخرى . وبالتالي ^{، فإن} النقطة عند اللانهاية على P1 ( K ) هي نتاج اختيار الإحداثيات: إحداثيات متجانسة ^.

${\displaystyle [X:Y]\sim [\lambda X:\lambda Y]}$

يمكن التعبير عن فضاء فرعي أحادي البعد بنقطة واحدة غير صفرية ( X ، Y ) تقع فيه، ولكن يمكن لتناظرات الخط الإسقاطي أن تنقل النقطة ∞ = [ 1  :0 ] إلى أي نقطة أخرى، ولا يتم تمييزها بأي شكل من الأشكال.

بل إن الأمر يتجاوز ذلك بكثير، إذ يمكن لبعض التحويلات أن تنقل أي نقاط مميزة معطاة Qᵢ _، حيث i = 1، 2، 3، _إلى أي ثلاثية Rᵢ أخرى من النقاط المميزة ( التعدي الثلاثي ). هذا القدر من التحديد "يستغل" الأبعاد الثلاثة لـ PGL ₂ ( K )؛ بعبارة أخرى، يكون تأثير المجموعة متعديًا ثلاثيًا بشكل حاد . الجانب الحسابي لهذا هو النسبة التبادلية . في الواقع، العكس المعمم صحيح: تأثير المجموعة المتعدي ثلاثيًا بشكل حاد هو دائمًا (متماثل مع) شكل معمّم لتأثير PGL ₂ ( K ) على خط إسقاطي، مستبدلًا "الحقل" بـ "حقل KT" (تعميم العكس إلى نوع أضعف من الالتفاف)، و"PGL" بتعميم مماثل للخرائط الخطية الإسقاطية. ^{[ 1 ]}

الخط الإسقاطي مثال أساسي على المنحنى الجبري . من منظور الهندسة الجبرية، ^يُعدّ P1 ( K ) منحنى غير شاذ من النوع 0. إذا كانت K مجموعة جبرية مغلقة ، فهو المنحنى الوحيد من هذا النوع فوق K ، حتى التكافؤ النسبي . بشكل عام، يكون المنحنى (غير الشاذ) من النوع 0 مكافئًا نسبيًا فوق K للقطع المخروطي C ، والذي بدوره مكافئ ثنائيًا للخط الإسقاطي إذا وفقط إذا كان لـ C نقطة معرفة فوق K ؛ هندسيًا، يمكن استخدام هذه النقطة P كنقطة أصل لتوضيح التكافؤ الثنائي.

حقل الدوال للخط الإسقاطي هو حقل الدوال الكسرية K ( T ) على K ، في متغير واحد غير محدد T. إن التشاكلات الذاتية للحقل K ( T ) على K هي تحديدًا المجموعة PGL ₂ ( K ) التي نوقشت أعلاه.

أي حقل دالة K ( V ) لمتنوعة جبرية V فوق K ، باستثناء نقطة واحدة، له حقل جزئي متماثل مع ^K ( T ) . من منظور الهندسة الثنائية النسبية ، يعني هذا وجود دالة نسبية من V إلى P₁ ( K )، وهي دالة غير ثابتة. ستُغفل الصورة عددًا محدودًا فقط من نقاط ^P₁ ( K ) ، وستكون الصورة العكسية لنقطة نموذجية P ذات بُعد dim V⁻¹ . هذه هي بداية طرق في الهندسة الجبرية تعتمد على الاستقراء البُعدي . تؤدي الدوال النسبية دورًا مشابهًا للدوال الميرومورفية في التحليل العقدي ، وفي حالة أسطح ريمان المدمجة، يتطابق المفهومان.

إذا افترضنا أن V ذات بُعد واحد، نحصل على صورة لمنحنى جبري نموذجي C مُقدَّم "فوق" P1 ( K ). بافتراض أن C ^غير شاذ (وهو ما لا يُفقد العمومية بدءًا من K ( C ))، يُمكن إثبات أن مثل هذا التطبيق الكسري من C إلى P1 ( K ) سيكون مُعرَّفًا في كل مكان. (لا ينطبق هذا في حال وجود نقاط شاذة، إذ قد تُعطي نقطة مزدوجة ^{، على سبيل المثال ، حيث} يتقاطع منحنى مع نفسه ، نتيجة غير مُحدَّدة بعد تطبيق تطبيق كسري). يُعطي هذا صورةً يكون فيها التفرع هو السمة الهندسية الرئيسية .

يمكن تمثيل العديد من المنحنيات، مثل المنحنيات الإهليلجية الفائقة ، بشكل مجرد، كأغطية متفرعة للخط الإسقاطي. ووفقًا لصيغة ريمان-هرويتز ، فإن الجنس يعتمد فقط على نوع التفرع.

المنحنى العقلاني هو منحنى مكافئ ثنائيًا لخط إسقاطي (انظر التنوع العقلاني )؛ جنسه 0. المنحنى الطبيعي العقلاني في الفضاء الإسقاطي P ^_n هو منحنى عقلاني لا يقع في أي فضاء جزئي خطي مناسب؛ من المعروف أن هناك مثالًا واحدًا فقط (حتى التكافؤ الإسقاطي)، ^{[ 2 ]} معطى بشكل وسيطي في إحداثيات متجانسة كما يلي:

[1  : t  : t ²  : ...  : t ⁿ ].

انظر إلى المكعب الملتوي للاطلاع على الحالة الأولى المثيرة للاهتمام.

• منحنى جبري
• النسبة التبادلية
• تحويل موبيوس
• خط إسقاطي فوق حلقة
• الخط الحقيقي الممتد إسقاطيًا
• المدى المقذوف
• نظرية العجلة