نموذج بيفرتون-هولت

يُعد نموذج بيفرتون -هولت نموذجًا كلاسيكيًا للسكان في الزمن المنفصل، والذي يعطي العدد المتوقع n _{t +1} (أو الكثافة ) للأفراد في الجيل t + 1 كدالة لعدد الأفراد في الجيل السابق.   

${\displaystyle n_{t+1}={\frac {R_{0}n_{t}}{1+n_{t}/M}}.}$

يُفسَّر R₀ هنا على أنه معدل التكاثر لكل جيل _{، و} K  =  ( R₀ _-  1  ) M هي القدرة الاستيعابية للبيئة. طُرِح نموذج بيفرتون-هولت في سياق مصايد الأسماك بواسطة بيفرتون وهولت (1957). وقد استُنبط النموذج لاحقًا في ظل افتراضات أخرى، مثل التنافس المباشر (برانستروم وسومبتر 2005)، والتنافس المحدود بالموارد خلال العام (جيريتز وكيسدي 2004)، أو حتى كنتيجة لبقع مالتوسية المصدر والمصب المرتبطة بانتشار يعتمد على الكثافة (برافو دي لا بارا وآخرون 2013). يمكن تعميم نموذج بيفرتون-هولت ليشمل التنافس على الموارد (انظر نموذج ريكر ، ونموذج هاسل، ونموذج ماينارد سميث -سلاتكين). كما يُمكن إضافة مُعامل يعكس التجمع المكاني للأفراد (انظر برانستروم وسومبتر 2005). 

على الرغم من كون النموذج غير خطي ، إلا أنه يمكن حله بشكل صريح، لأنه في الواقع معادلة خطية غير متجانسة في 1/ n . الحل هو

${\displaystyle n_{t}={\frac {Kn_{0}}{n_{0}+(K-n_{0})R_{0}^{-t}}}.}$

بسبب هذا الهيكل، يمكن اعتبار النموذج بمثابة النظير الزمني المتقطع للمعادلة اللوجستية الزمنية المستمرة لنمو السكان التي قدمها فيرهولست ؛ وللمقارنة، فإن المعادلة اللوجستية هي

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN\left(1-{\frac {N}{K}}\right),}$

وحلها هو

${\displaystyle N(t)={\frac {KN(0)}{N(0)+(KN(0))e^{-rt}}}.}$

• بيفرتون، آر جيه إتش؛ هولت، إس جيه (1957)، حول ديناميات تجمعات الأسماك المستغلة ، سلسلة تحقيقات مصايد الأسماك، المجلد الثاني، المجلد التاسع عشر، وزارة الزراعة ومصايد الأسماك والأغذية
• برانستروم، آكي؛ سومبتر، ديفيد جيه تي (2005)، "دور المنافسة والتكتل في ديناميات السكان" (ملف PDF) ، وقائع الجمعية الملكية ب ، المجلد  272، العدد  1576، الصفحات 2065-2072 ، doi : 10.1098/rspb.2005.3185 ، PMC 1559893 ، PMID 16191618 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 11 يوليو 2007   
• برافو دي لا بارا، ر. مارفا، م.؛ سانشيز، E.؛ Sanz، L. (2013)، “الحد من الأنظمة الديناميكية المنفصلة مع تطبيقات النماذج السكانية الديناميكية” (PDF) ، نموذج الرياضيات Nat Phenom ، المجلد.  8، لا.  6، ص 107 – 129 
• جيريتز، ستيفان أ.هـ؛ كيسدي، إيفا (2004)، "حول الأساس الآلي لنماذج السكان ذات الزمن المتقطع مع الديناميكيات المعقدة"، مجلة علم الأحياء النظري ، المجلد  228، العدد  2، الصفحات 261-269 ، رمز Bibcode : 2004JThBi.228..261G ، doi : 10.1016/j.jtbi.2004.01.003 ، PMID 15094020  
• ريكر، دبليو إي ( 1954)، "المخزون والتجنيد"، مجلة مجلس أبحاث مصايد الأسماك الكندية ، المجلد  11، الصفحات 559-623