معادلة الأنظمة الكيميائية الحيوية

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 37 صور
الموسوعة الحرة

معادلة الأنظمة البيوكيميائية هي معادلة مختصرة من المعادلات التفاضلية غير الخطية لوصف نموذج حركي لأي شبكة من التفاعلات البيوكيميائية وعمليات النقل المترابطة. [ 1 ] [ 2 ]

تُعبّر المعادلة عن نفسها بالشكل التالي:

دxدت=شمالv(x(ص)،ص){\displaystyle {\dfrac {\bf {dx}}{dt}}={\bf {N}}{\bf {v}}({\bf {x}}(p),p)}

تختلف رموز المتغير التابع x بين المؤلفين. على سبيل المثال، يستخدم بعض المؤلفين الرمز s للدلالة على النوع. [ 2 ] يُستخدم x هنا لمطابقة رموز فضاء الحالة المستخدمة في نظرية التحكم، ولكن كلا الرمزين مقبول.

شمال{\displaystyle {\bf {N}}}هي مصفوفة القياس المتكافئ التي هيم{\displaystyle m}بواسطةن{\displaystyle n}مصفوفة معاملات القياس المتكافئ.م{\displaystyle m}هو عدد الأنواع ون{\displaystyle n}عدد التفاعلات الكيميائية الحيوية. رمز لـشمال{\displaystyle {\bf {N}}}وهو متغير أيضًا. في النمذجة القائمة على القيود، يكون الرمزشمال{\displaystyle {\bf {N}}}يُستخدم عادةً للإشارة إلى "القياس الكمي". ومع ذلك، في نمذجة الديناميكيات الكيميائية الحيوية [ 3 ] وتحليل الحساسية ،شمال{\displaystyle {\bf {N}}}يُستخدم الرمز عادةً للدلالة على "العدد". في مجال الكيمياء، يختلف الرمز المستخدم لمصفوفة القياس الكمي اختلافًا كبيرًا، على الرغم من استخدام الرمزين S وN في الماضي. [ 4 ] [ 5 ]

v{\displaystyle {\bf {v}}}هو متجه عمودي ذو أبعاد n يمثل معدلات التفاعل، وص{\displaystyle p}هو متجه عمودي ذو أبعاد p من المعاملات.

مثال

بالنظر إلى الشبكة البيوكيميائية:

Xo⟶v1 x1⟶v2 x2⟶v3 x3⟶v4 X1$

أينXo{\displaystyle X_{o}}وX1{\displaystyle X_{1}}تُعتبر الأنواع ثابتة لضمان أن يكون النظام مفتوحًا. يمكن كتابة معادلة النظام على النحو التالي: [ 1 ] [ 6 ]

شمال=[1-1+0+00+1-1+00+0+1-1]، {\displaystyle \mathbf {N} ={\begin{bmatrix}1&-1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}1&-1&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}1&-1\\\end{bmatrix}},\ }v=[v1v2v3v4]{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\\\end{bmatrix}}}

لهذا السبب:

[دx1دتدx2دتدx3دتدx4دت]=[1-1+0+00+1-1+00+0+1-1]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}}{dt}}\\[4pt]{\dfrac {dx_{2}}{dt}}\\[4pt]{\dfrac {dx_{3}}{dt}}\\[4pt]{\dfrac {dx_{4}}{dt}}\\[4pt]\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}1&-1&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}1&-1\\\end{bmatrix}}}[v1v2v3v4]{\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\\\end{bmatrix}}}

ستكون عناصر متجه المعدل عبارة عن معادلات معدل تمثل دوالًا لنوع واحد أو أكثرxأنا{\displaystyle x_{i}}والمعلمات، ص. في المثال، قد تكون هذه قوانين بسيطة لمعدل فعل الكتلة مثلv2=ك2x1{\displaystyle v_{2}=k_{2}x_{1}}أينك2{\displaystyle k_{2}}يمثل ثابت معدل التفاعل. وتعتمد القوانين المختارة على النظام المحدد قيد الدراسة. وبافتراض حركية فعل الكتلة، يمكن كتابة المعادلة أعلاه بالشكل الكامل التالي:

[دx1دتدx2دتدx3دتدx4دت]=[1-1+0+00+1-1+00+0+1-1]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}}{dt}}\\[4pt]{\dfrac {dx_{2}}{dt}}\\[4pt]{\dfrac {dx_{3}}{dt}}\\[4pt]{\dfrac {dx_{4}}{dt}}\\[4pt]\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}1&-1&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}1&-1\\\end{bmatrix}}}[ك1Xoك2x1ك3x2ك4x3]{\displaystyle {\begin{bmatrix}k_{1}X_{o}\\k_{2}x_{1}\\k_{3}x_{2}\\k_{4}x_{3}\\\end{bmatrix}}}

تحليل

يمكن تحليل معادلة النظام من خلال النظر إلى الاستجابة الخطية للمعادلة حول حالة الاستقرار بالنسبة للمعاملص{\displaystyle {\bf {p}}}[ 7 ] في حالة الاستقرار، تُضبط معادلة النظام على الصفر وتُعطى بالصيغة التالية :

0=شمالv(x(ص)،ص){\displaystyle 0={\bf {N}}{\bf {v}}({\bf {x}}({\bf {p}}),{\bf {p}})}

اشتقاق المعادلة بالنسبة إلىص{\displaystyle {\bf {p}}}وإعادة الترتيب تعطي:

دxدص=-(شمال∂v∂x)-1شمال∂v∂ص{\displaystyle {\dfrac {d{\bf {x}}}{d{\bf {p}}}}=-\left({\bf {N}}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}\right)^{-1}{\bf {N}}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {p} }}}

يفترض هذا الاشتقاق أن مصفوفة القياس الكمي لها رتبة كاملة. إذا لم يكن الأمر كذلك، فلن يكون للمصفوفة العكسية وجود.

مثال

على سبيل المثال، لننظر في نفس المسألة من القسم السابق حول السلسلة الخطية. المصفوفة∂v∂x{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}}هي مصفوفة المرونة غير المُقاسة :

هـ=[∂v1∂x1⋯∂v1∂xم⋮⋱⋮∂vن∂x1⋯∂vن∂xم].{\displaystyle {\mathcal {E}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial x_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial x_{m}}}\end{bmatrix}}.}

في هذه المسألة المحددة، يوجد 3 أنواع (م=3{\displaystyle m=3}) و 4 خطوات تفاعل (ن=4{\displaystyle n=4}وبالتالي فإن مصفوفة المرونة هيم×ن=3 بواسطة 4{\displaystyle m\times n=3\ {\mbox{by}}\ 4}المصفوفة. مع ذلك، سيكون عدد من عناصر المصفوفة أصفارًا. على سبيل المثال∂v1/∂x3{\displaystyle \partial v_{1}/\partial x_{3}}ستكون النتيجة صفرًا لأنx3{\displaystyle x_{3}}ليس له أي تأثير علىv1{\displaystyle v_{1}}وبالتالي، ستحتوي المصفوفة على المدخلات التالية:

هـ=[∂v1∂x100∂v2∂x1∂v2∂x200∂v3∂x2∂v3∂x300∂v4∂x3].{\displaystyle {\mathcal {E}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}&0&0\\{\dfrac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}&0\\0&{\dfrac {\partial v_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial v_{3}}{\partial x_{3}}}\\0&0&{\dfrac {\partial v_{4}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}.}

تعتمد مصفوفة المعاملات على المعاملات التي يتم أخذها في الاعتبار. في تحليل التحكم الأيضي ، تُعد أنشطة الإنزيمات مجموعة شائعة من المعاملات. ولغرض التوضيح، يمكننا مساواة ثوابت المعدل بمعاملات نشاط الإنزيم. كما نفترض أن كل إنزيم،كأنا{\displaystyle k_{i}}، لا يمكنها التأثير إلا على خطوتها الخاصة ولا تؤثر على أي خطوة أخرى. المصفوفة∂v∂ص{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {p} }}}هي مصفوفة المرونة غير المُقاسة بالنسبة للمعاملات. وبما أن هناك 4 خطوات تفاعل و4 معاملات مقابلة، فإن المصفوفة ستكون مصفوفة 4×4. ولأن كل معامل يؤثر على تفاعل واحد فقط، فإن المصفوفة ستكون مصفوفة قطرية .

هـ=[∂v1∂ك10000∂v2∂ك20000∂v3∂ك3000∂v4∂ك4].{\displaystyle {\mathcal {E}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial k_{1}}}&0&0&0\\0&{\dfrac {\partial v_{2}}{\partial k_{2}}}&0&0\\0&0&{\dfrac {\partial v_{3}}{\partial k_{3}}}&0\\0&0&&{\dfrac {\partial v_{4}}{\partial k_{4}}}\\\end{bmatrix}}.}

بما أن هناك 3 أنواع و 4 تفاعلات، فإن المصفوفة الناتجةدxدص{\displaystyle {\frac {d{\bf {x}}}{d{\bf {p}}}}}ستكون مصفوفة 3 × 4

د=هـ11هـ22(هـ33-هـ34)+هـ11هـ23هـ34-هـ21هـ23هـ34{\displaystyle D={\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{2}({\mathcal {E}}_{3}^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})+{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}-{\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}}

{\displaystyle {\vphantom {}}}

دxدص=1د[هـك11(هـ22(هـ33-هـ34)+هـ23هـ34)-هـ23هـ34هـك22هـ21هـك11(هـ33-هـ34)هـ11هـك22(هـ33-هـ34)هـ21هـ23هـك11هـ11هـ23هـك22{\displaystyle {\frac {d{\bf {x}}}{d{\bf {p}}}}={\frac {1}{D}}\left[{\begin{array}{ll}{\mathcal {E}}_{k_{1}}^{1}({\mathcal {E}}_{2}^{2}({\mathcal {E}}_{3}^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})+{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4})&-{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}{\mathcal {E}}_{k_{2}}^{2}\\{\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{k_{1}}^{1}({\mathcal {E}}_{3}^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})&{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{k_{2}}^{2}({\mathcal {E}}_{3}^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})\\{\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{k_{1}}^{1}&{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{k_{2}}^{2}\\\end{array}}\right.}

هـ22هـ34هـك33هـ22هـ33هـك44هـ34هـك33(هـ11-هـ21)هـ33هـك44(هـ21-هـ11)هـ11هـ22هـك33-هـك44(هـ11(هـ22-هـ23)+هـ21هـ23)]{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \quad \left.{\begin{array}{ll}{\mathcal {E}}_{2}^{2}{\mathcal {E}}_{3}^{4}{\mathcal {E}}_{k_{3}}^{3}&{\mathcal {E}}_{2}^{2}{\mathcal {E}}_{3}^{3}{\mathcal {E}}_{k_{4}}^{4}\\{\mathcal {E}}_{3}^{4}{\mathcal {E}}_{k_{3}}^{3}({\mathcal {E}}_{1}^{1}-{\mathcal {E}}_{2}^{1})&{\mathcal {E}}_{3}^{3}{\mathcal {E}}_{k_{4}}^{4}({\mathcal {E}}_{2}^{1}-{\mathcal {E}}_{1}^{1})\\{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{2}{\mathcal {E}}_{k_{3}}^{3}&-{\mathcal {E}}_{k_{4}}^{4}({\mathcal {E}}_{1}^{1}({\mathcal {E}}_{2}^{2}-{\mathcal {E}}_{2}^{3})+{\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3})\\\end{array}}\right]}

يصف كل تعبير في المصفوفة كيفية تأثير مُعامل مُحدد على تركيز الحالة المستقرة لنوع مُحدد. لاحظ أن هذا هو المشتق غير المُقاس. غالبًا ما يتم قياس المشتق وفقًا للمُعامل والتركيز للتخلص من الوحدات وتحويل القياس إلى تغيير نسبي.

الافتراضات

تعتمد معادلة الأنظمة البيوكيميائية على افتراضين رئيسيين:

  1. توجد الأنواع في مفاعل جيد التحريك، لذلك لا توجد تدرجات مكانية. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]
  2. تكون تركيزات الأنواع عالية بما يكفي بحيث تكون التأثيرات العشوائية ضئيلة [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 ريدر، كريستين (نوفمبر 1988). "نظرية التحكم الأيضي: منهج بنيوي". مجلة البيولوجيا النظرية . 135 (2): 175-201 . Bibcode : 1988JThBi.135..175R . doi : 10.1016/S0022-5193(88)80073-0 . PMID 3267767 . 
  2. 1 2 هوفمير، جان-هندريك س. (2001). "تحليل التحكم الأيضي، باختصار". في وقائع المؤتمر الدولي الثاني حول بيولوجيا الأنظمة : 291-300 . CiteSeerX 10.1.1.324.922 . 
  3. ↑ ستوكي، يورغ و. (1979). "تحليل استقرار الأنظمة البيوكيميائية - دليل عملي". التقدم في الفيزياء الحيوية والبيولوجيا الجزيئية . 33 (2): 99-187 . doi : 10.1016/0079-6107(79)90027-0 . PMID 674688 . 
  4. ↑ فيلد، م.؛ أسبجورنسن، أ.أ.؛ أستروم، ك.ج. (سبتمبر 1974). "ثوابت التفاعل وأهميتها في تحليل المتجهات الذاتية، وإمكانية رصد الحالة، وإمكانية التحكم في مفاعل الخزان المحرك المستمر" . مجلة علوم الهندسة الكيميائية . 29 (9): 1917-1926 . Bibcode : 1974ChEnS..29.1917F . doi : 10.1016/0009-2509(74)85009-8 .
  5. ↑ بارك، ديفيد جيه إم (1 سبتمبر 1975). "SMISS، عكس المصفوفة القياسية لشبكات الأيض في الحالة المستقرة". برامج الحاسوب في الطب الحيوي . 5 (1): 46-60 . doi : 10.1016/0010-468X(75)90026-4 . PMID 1164840 . 
  6. ↑ كورنيش-باودن، أثيل؛ هوفمير، جان-هندريك س. (مايو 2002). "دور التحليل القياسي في دراسات الأيض: مثال". مجلة البيولوجيا النظرية . 216 (2): 179-191 . Bibcode : 2002JThBi.216..179C . doi : 10.1006/jtbi.2002.2547 . PMID 12079370 . 
  7. ^ هاينريش، رينهارت. شوستر، ستيفان (1996). تنظيم الأنظمة الخلوية . نيويورك، نيويورك: سبرينغر. رقم ISBN 0412032619.
  8. ↑ كوان، آن إي.؛ مورارو، أيون آي.؛ شاف، جيمس سي.؛ سليبتشينكو، بوريس إم.؛ لوي، ليزلي إم. (2012). "النمذجة المكانية لشبكات إشارات الخلايا". الأساليب الحسابية في بيولوجيا الخلية . المجلد 110. الصفحات 195-221 . doi : 10.1016/B978-0-12-388403-9.00008-4 . ISBN   9780123884039. PMC 3519356 . PMID 22482950 .  
  9. ↑ فيل، ديفيد أ. (مايو 1980). "تحليلات نظرية لوظيفة فوسفودايسترازات النيوكليوتيدات الحلقية ذات ثابت مايكلِس-مينتين العالي والمنخفض في تنظيم تركيز أحادي فوسفات الأدينوزين الحلقي 3'،5' في الخلايا الحيوانية". مجلة البيولوجيا النظرية . 84 (2): 361-385 . Bibcode : 1980JThBi..84..361F . doi : 10.1016/S0022-5193(80)80011-7 . PMID 6251314 . 
  10. ↑ خولودينكو، بوريس ن . (مارس 2006). "ديناميكيات إشارات الخلية في الزمان والمكان" . مجلة نيتشر ريفيوز لعلم الأحياء الخلوي الجزيئي . 7 (3): 165-176 . doi : 10.1038/nrm1838 . PMC 1679905. PMID 16482094 .  
  11. ↑ جيليسبي، دانيال ت. (ديسمبر 1977). "محاكاة عشوائية دقيقة للتفاعلات الكيميائية المقترنة". مجلة الكيمياء الفيزيائية . 81 (25): 2340-2361 . doi : 10.1021/j100540a008 . S2CID 2606191 . 
  12. ↑ جيليسبي، دانيال ت. (1 مايو 2007). "المحاكاة العشوائية للحركية الكيميائية". المراجعة السنوية للكيمياء الفيزيائية . 58 (1): 35-55 . Bibcode : 2007ARPC...58...35G . doi : 10.1146/annurev.physchem.58.032806.104637 . PMID 17037977 . 
  13. ↑ أندروز، ستيفن س؛ براي، دينيس (سبتمبر 2004). "محاكاة عشوائية للتفاعلات الكيميائية بدقة مكانية وتفاصيل جزيئية مفردة". علم الأحياء الفيزيائي . 1 (3): 137-151 . Bibcode : 2004PhBio...1..137A . doi : 10.1088/1478-3967/1/3/001 . PMID 16204833. S2CID 16394428 .