نظرية المتغيرات الثنائية

في الرياضيات، تم تقديم نظرية ثنائية المتغيرات بواسطة فولتون وماكفيرسون ( فولتون وماكفيرسون 1981 ) ، من أجل وضع بنية حلقية على مجموعة تشاو لمجموعة متنوعة مفردة ، وتسمى الحلقة الناتجة حلقة تشاو التشغيلية .

على المستوى التقني، تُعدّ النظرية ثنائية المتغيرات مزيجًا من نظرية التماثل ونظرية التماثل المضاد . عمومًا، نظرية التماثل هي دالة متغيرة من فئة الفضاءات إلى فئة الزمر الأبيلية ، بينما نظرية التماثل المضاد هي دالة متغيرة عكسيًا من فئة الفضاءات (الجميلة) إلى فئة الحلقات. أما النظرية ثنائية المتغيرات فهي دالة متغيرة ومتغيرة عكسيًا في آنٍ واحد؛ ومن هنا جاءت تسميتها "ثنائية المتغيرات".

بخلاف نظرية التماثل أو نظرية التماثل المشترك، يتم تعريف فئة ثنائية المتغيرات لخريطة وليس لفضاء.

يترك${\displaystyle f:X\to Y}$لنفترض أنها خريطة. بالنسبة لمثل هذه الخريطة، يمكننا اعتبار المربع الليفي

${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &Y\end{matrix}}}$

(على سبيل المثال، تكبير الصورة). وبشكل بديهي، يمكن اعتبار النظر في جميع مربعات الألياف كما هو موضح أعلاه بمثابة تقريب للخريطة.${\displaystyle f}$.

الآن، فئة ثنائية العقلانية من${\displaystyle f}$هي عائلة من التشاكلات الجماعية المفهرسة بواسطة مربعات الألياف:

${\displaystyle A_{k}Y'\to A_{kp}X'}$

استيفاء شروط التوافق المحددة.

كان السؤال الأساسي هو ما إذا كانت هناك خريطة دورة :

${\displaystyle A^{*}(X)\to \operatorname {H} ^{*}(X,\mathbb {Z} ).}$

إذا كانت X دالة سلسة، فإن مثل هذه الدالة موجودة لأن${\displaystyle A^{*}(X)}$هي حلقة تشاو المعتادة لـ X. وقد بيّن توتارو ( 2014 ) أنه من الناحية المنطقية ، لا يوجد مثل هذا التطبيق بخصائص جيدة حتى لو كان X صنفًا خطيًا ، أي صنفًا يقبل تجزئة الخلية. ويشير أيضًا إلى أن حلقة التماثل التحفيزي لفوفودسكي "ربما تكون أكثر فائدة" من حلقة تشاو التشغيلية لمخطط مفرد (الفقرة 8 من المرجع نفسه).

• نظرية التماثل الثنائي المتغير في مختبر nLab