علم التماثل

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية التماثل والطوبولوجيا الجبرية ، يُعدّ التماثل طريقةً لربط ثوابت جبرية بفضاء طوبولوجي أو أي كائن رياضي آخر، بحيث تُشفّر خصائصه بطريقة قابلة للحساب في أغلب الأحيان. يرتبط التماثل غالبًا بمسائل ما إذا كانت خاصية محلية للفضاء تتأثر عند الانتقال إلى خاصية شاملة. على سبيل المثال، شريط موبيوس ليس فضاء حاصل ضرب قطعة مستقيمة بدائرة (أي أسطوانة)، ولكنه محليًا على أي جزء من الدائرة يُشبه مستطيلًا عاديًا (ناتج ضرب قطعتين مستقيمتين) دون الالتواء الشامل. يكمن عائق جعل بنية الضرب شاملة في التماثل الأول للدائرة الأساسية، والذي يُصنّف الطريقتين غير المتكافئتين لالتواء خط حول دائرة (عدد زوجي من الالتواءات أو عدد فردي). حقيقة وجود طريقتين غير متكافئتين فقط لالتواء خط حول دائرة مُشفّرة في مجموعة التماثل ذات الصلة.${\displaystyle H^{1}(S^{1},\{+1,-1\})}$والتي يمكن حسابها على أنها متماثلة مع المجموعة${\displaystyle \{+1,-1\}}$أين${\displaystyle +1}$يتوافق مع عدد زوجي من اللفات، و${\displaystyle -1}$إلى عدد فردي.

في صياغتها المجردة العامة، تُعرَّف الكوهومولوجيا بأنها سلسلة من الزمر الأبيلية، تُعرَّف غالبًا من مُركَّب الكوشين . ويمكن النظر إلى الكوهومولوجيا على أنها طريقة لتخصيص ثوابت جبرية أغنى للفضاء مقارنةً بالهومولوجيا . وتنشأ بعض صيغ الكوهومولوجيا من خلال ازدواجية بناء الهومولوجيا.

منذ بدايتها في علم الطوبولوجيا ، أصبحت هذه الفكرة منهجًا سائدًا في رياضيات النصف الثاني من القرن العشرين. انطلاقًا من الفكرة الأولية لعلم التماثل كطريقة لبناء الثوابت الجبرية للفضاءات الطوبولوجية، اتسع نطاق تطبيقات نظريات التماثل والتماثل المضاد ليشمل الهندسة والجبر . غالبًا ما تُخفي هذه المصطلحات حقيقة أن التماثل المضاد، وهو نظرية متغايرة ، أكثر طبيعية من التماثل في العديد من التطبيقات. على المستوى الأساسي، يرتبط هذا بالدوال وعمليات السحب العكسي في الحالات الهندسية: أي الفضاءات المعطاة${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$وبعض الوظائف${\displaystyle F}$على${\displaystyle Y}$، لأي عملية رسم خرائط${\displaystyle f:X\to Y}$، تركيبة مع${\displaystyle F}$يؤدي إلى وظيفة${\displaystyle F\circ f}$على${\displaystyle X}$تتميز أهم نظريات التماثل المشترك بوجود حاصل ضرب، يُعرف بحاصل الضرب الكأسي ، مما يمنحها بنية حلقية . وبسبب هذه الخاصية، يُعد التماثل المشترك عادةً ثابتًا أقوى من التماثل.

علم التماثل هو مجموعة من البنى المترابطة التي تظهر في عدة مجالات من الرياضيات. النمط الشائع هو وجود كائنات تُسمى السلاسل المشتركة ، ومؤثر حدودي مشترك يقيس عدم قدرة السلسلة المشتركة على تلبية شرط التوافق، وفئات التماثل التي يتم الحصول عليها من خلال تحديد السلاسل المشتركة التي تختلف بمساهمة تافهة أو دقيقة.

يُعدّ التماثل الشاذ ثابتًا قويًا في علم الطوبولوجيا، حيث يربط حلقة تبديلية متدرجة بأي فضاء طوبولوجي. كل خريطة متصلة${\displaystyle f:X\to Y}$يحدد تشاكلًا من حلقة التماثل لـ${\displaystyle Y}$إلى ذلك من${\displaystyle X}$وهذا يفرض قيودًا صارمة على الخرائط الممكنة من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$. على عكس الثوابت الأكثر دقة مثل مجموعات التماثل ، فإن حلقة التماثل تميل إلى أن تكون قابلة للحساب عمليًا للفضاءات ذات الأهمية.

للفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$، يبدأ تعريف علم التماثل الفردي بالمركب السلسلي الفردي : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots }$$ بحسب التعريف، فإن التماثل المفرد لـ${\displaystyle X}$هو علم التماثل لهذا المركب السلسلي (نواة تشاكل واحد بتردد صورة التشاكل السابق). بتفصيل أكثر،${\displaystyle C_{i}}$هي المجموعة الأبيلية الحرة على مجموعة التطبيقات المتصلة من المعيار${\displaystyle i}$-simplex إلى${\displaystyle X}$(يسمى "مفرد"${\displaystyle i}$-البسيطات في${\displaystyle X}$")، و${\displaystyle \partial _{i}}$هو${\displaystyle i}$التماثل الحدودي من الرتبة n. المجموعات${\displaystyle C_{i}}$صفر لـ${\displaystyle i}$سلبي.

الآن قم بإصلاح مجموعة أبيلية${\displaystyle A}$واستبدل كل مجموعة${\displaystyle C_{i}}$من خلال مجموعتها المزدوجة${\displaystyle C_{i}^{*}=\mathrm {Hom} (C_{i},A)}$(عند أخذ المعاملات في حقل، تكون المجموعة الثنائية هي الفضاء المتجهي الثنائي لـ${\displaystyle C_{i}}$)، و${\displaystyle \partial _{i}}$بتماثلها الثنائي$${\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$$

يؤدي هذا إلى "عكس جميع الأسهم" للمركب الأصلي، تاركًا مركبًا متسلسلًا.$${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$$

بالنسبة لعدد صحيح${\displaystyle i}$، ال${\displaystyle i}$مجموعة التماثل ^th من${\displaystyle X}$بمعاملات في${\displaystyle A}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})}$ويرمز إليه بـ${\displaystyle H^{i}(X,A)}$المجموعة${\displaystyle H^{i}(X,A)}$يساوي صفرًا لـ${\displaystyle i}$سلبي. عناصر${\displaystyle C_{i}^{*}}$تُسمى مفردة${\displaystyle i}$-سلاسل مشتركة بمعاملات في${\displaystyle A}$(بمعنى آخر،${\displaystyle i}$-cochain on${\displaystyle X}$يمكن تحديدها بدالة من مجموعة الدوال المفردة${\displaystyle i}$-البسيطات في${\displaystyle X}$ل${\displaystyle A}$عناصر${\displaystyle \ker(d)}$و${\displaystyle {\textrm {im}}(d)}$تُسمى هذه العناصر بالدورات المشتركة والحدود المشتركة على التوالي، بينما تُسمى عناصر${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})=H^{i}(X,A)}$وتسمى فئات التماثل المشترك (لأنها فئات تكافؤ للدورات المشتركة ).

فيما يلي، مجموعة المعاملات${\displaystyle A}$أحيانًا لا يُكتب. من الشائع أن يأخذ${\displaystyle A}$أن تكون حلقة تبديلية${\displaystyle R}$ثم تكون مجموعات التماثل هي${\displaystyle R}$- الوحدات . الخيار القياسي هو الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} }$من الأعداد الصحيحة .

بعض الخصائص الشكلية لعلم التماثل المشترك ليست سوى اختلافات طفيفة عن خصائص علم التماثل:

• خريطة متصلة${\displaystyle f:X\to Y}$يحدد تشاكل الدفع الأمامي${\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$حول التماثل والتماثل العكسي${\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}$حول علم التماثل. هذا يجعل علم التماثل دالة متغايرة من الفضاءات الطوبولوجية إلى الزمر الأبيلية (أو${\displaystyle R}$(وحدات).
• خريطتان متماثلتان من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$يؤدي إلى نفس التشاكل على علم التماثل (تمامًا كما هو الحال على علم التماثل).
• تُعدّ متتالية ماير -فيتوريس أداة حسابية مهمة في علم التماثل المشترك، كما هو الحال في علم التماثل. تجدر الإشارة إلى أن تماثل الحدود يزيد (بدلاً من أن ينقص) درجة التماثل المشترك في علم التماثل المشترك. أي، إذا كان الفضاء${\displaystyle X}$هو اتحاد المجموعات الفرعية المفتوحة${\displaystyle U}$و${\displaystyle V}$ثم هناك تسلسل دقيق طويل :$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }$$
• توجد مجموعات تماثل نسبي${\displaystyle H^{i}(X,Y;A)}$لأي فضاء جزئي${\displaystyle Y}$مساحة${\displaystyle X}$وهي مرتبطة بمجموعات التماثل المعتادة من خلال تسلسل دقيق طويل:$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots }$$
• تصف نظرية المعامل العام علم التماثل المشترك بدلالة علم التماثل، باستخدام مجموعات Ext . أي أن هناك متتالية تامة قصيرة$${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$$ومن العبارات ذات الصلة ما يلي بالنسبة للحقل${\displaystyle F}$،${\displaystyle H^{i}(X,F)}$هو بالضبط الفضاء الثنائي للفضاء المتجهي${\displaystyle H_{i}(X,F)}$.
• لو${\displaystyle X}$إذا كانت متعددة الشعب الطوبولوجية أو مجمع CW ، فإن مجموعات التماثل${\displaystyle H^{i}(X,A)}$صفر لـ${\displaystyle i}$أكبر من بُعد${\displaystyle X}$[ ^{4 ]} إذا^​${\displaystyle X}$هو فضاء متراص (ربما ذو حدود)، أو مركب CW ذو عدد محدود من الخلايا في كل بُعد، و${\displaystyle R}$إذا كانت حلقة نوثرية تبديلية ، فإن${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle H^{i}(X,R)}$يتم توليدها بشكل نهائي لكل${\displaystyle i}$[ ^{5 ]​}

من ناحية أخرى، يمتلك علم التماثل المشترك بنية أساسية لا يمتلكها علم التماثل: لأي فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$وحلقة تبديلية${\displaystyle R}$، هناك دالة ثنائية الخطية تسمى ناتج الكأس : $${\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}$$ مُعرَّف بصيغة صريحة على السلاسل المشتركة المفردة. ناتج فئات التماثل.${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$تُكتب على النحو التالي:${\displaystyle u\cup v}$أو ببساطة كـ${\displaystyle uv}$هذا المنتج يجعل المجموع المباشر$${\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}$$ إلى حلقة متدرجة ، تسمى حلقة التماثل لـ${\displaystyle X}$وهي متدرجة تبادلية بالمعنى التالي: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}$$

لأي خريطة متصلة${\displaystyle f\colon X\to Y,}$التراجع${\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$هو تشاكل متدرج${\displaystyle R}$- الجبر . ويترتب على ذلك أنه إذا كان الفضاءان متكافئين من حيث التماثل ، فإن حلقات التماثل الخاصة بهما تكون متماثلة.

فيما يلي بعض التفسيرات الهندسية لمنتج الكأس. فيما يلي، يُفترض أن المتشعبات بلا حدود، ما لم يُذكر خلاف ذلك. المتشعب المغلق هو متشعب متراص (بلا حدود)، بينما المتشعب الفرعي المغلق N من متشعب M هو متشعب فرعي يُمثل مجموعة فرعية مغلقة من M ، وليس بالضرورة متراصًا (مع أن N يكون متراصًا تلقائيًا إذا كان M كذلك).

• ليكن X متعدد شعب مغلق وموجه ذو بُعد n . عندئذٍ، تُعطي ثنائية بوانكاريه تماثلًا H i X ≅ H n - i X. ونتيجةً لذلك، يُحدد متعدد شعب فرعي مغلق وموجه S ذو بُعد مشترك i في X فئة تماثل في H i X ، تُسمى [ S ]. في هذا السياق، يصف حاصل الضرب الكأسي تقاطع متعددات الشعب الفرعية. أي، إذا كان S و T متعددي شعب فرعيين ذوي بُعد مشترك i و j يتقاطعان عرضيًا ، فإن$${\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),}$$حيث يمثل التقاطع S ∩ T فضاءً فرعياً ذا بُعد مشترك i + j ، مع توجيه مُحدد بتوجيهات S و T و X. في حالة الفضاءات الملساء ، إذا لم يتقاطع S و T بشكل عرضي، فلا يزال من الممكن استخدام هذه الصيغة لحساب حاصل الضرب الكأسي [ S ][ T ]، عن طريق تغيير S أو T لجعل التقاطع عرضياً.
  بشكلٍ أعم، ودون افتراض أن X له اتجاه، فإن أي فضاء فرعي مغلق من X ذي اتجاه على حزمته العمودية يُحدد فئة تماثل على X. وإذا كان X فضاءً غير متراص، فإن أي فضاء فرعي مغلق (ليس بالضرورة متراصًا) يُحدد فئة تماثل على X. في كلتا الحالتين، يمكن وصف حاصل الضرب الكأسي مرة أخرى بدلالة تقاطعات الفضاءات الفرعية.
  تجدر الإشارة إلى أن ثوم قد أنشأ فئة تماثلية تكاملية من الدرجة 7 على مشعب أملس رباعي عشري الأبعاد، وهي ليست فئة أي مشعب فرعي أملس. [ 7 ] من جهة أخرى، بيّن أن لكل فئة تماثلية تكاملية ذات درجة موجبة على مشعب أملس مضاعفًا موجبًا يمثل فئة مشعب فرعي أملس. [ 8 ] كذلك، يمكن تمثيل كل فئة تماثلية تكاملية على مشعب بواسطة "مشعب زائف"، أي مركب تبسيطي يمثل مشعبًا خارج مجموعة فرعية مغلقة ذات بُعد مشترك لا يقل عن 2.
• بالنسبة لمتشعب أملس X ، تنص نظرية دي رام على أن التماثل المفرد لـ X ذي المعاملات الحقيقية متماثل مع تماثل دي رام لـ X ، المعرف باستخدام الصيغ التفاضلية . يتوافق حاصل الضرب الكأسي مع حاصل ضرب الصيغ التفاضلية. يتميز هذا التفسير بأن حاصل الضرب على الصيغ التفاضلية يكون تبادليًا متدرجًا، بينما يكون حاصل الضرب على السلاسل المشتركة المفردة تبادليًا متدرجًا فقط حتى تماثل السلسلة . في الواقع، من المستحيل تعديل تعريف السلاسل المشتركة المفردة ذات المعاملات في الأعداد الصحيحة.${\displaystyle \mathbb {Z} }$أو في${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$بالنسبة لعدد أولي p، يجب أن يكون حاصل الضرب تبديليًا متدرجًا بشكل واضح. يؤدي فشل التبديل المتدرج على مستوى السلسلة المشتركة إلى عمليات ستينرود على علم التماثل modulo p .

بصورة غير رسمية للغاية، بالنسبة لأي فضاء طوبولوجي X ، فإن عناصر${\displaystyle H^{i}(X)}$يمكن اعتبارها ممثلةً بفضاءات جزئية من X ذات بُعد مشترك- i، والتي يمكنها التحرك بحرية على X. على سبيل المثال، إحدى طرق تعريف عنصر من${\displaystyle H^{i}(X)}$يتمثل الهدف في إعطاء دالة متصلة f من X إلى متعدد الشعب M ومتعدد شعب فرعي مغلق N من M ذي بُعد مشترك i مع توجيه على الحزمة العمودية. بشكل غير رسمي، يمكن التفكير في الفئة الناتجة${\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}$كما لو كان مستلقيًا على الفضاء الفرعي${\displaystyle f^{-1}(N)}$من X ؛ وهذا مبرر لأن الفئة${\displaystyle f^{*}([N])}$يقيد إلى الصفر في علم التماثل للمجموعة الفرعية المفتوحة${\displaystyle X-f^{-1}(N).}$فئة التماثل المشترك${\displaystyle f^{*}([N])}$يمكن أن تتحرك بحرية على X بمعنى أنه يمكن استبدال N بأي تشوه مستمر لـ N داخل M.

فيما يلي، يتم أخذ علم التماثل بمعاملات في الأعداد الصحيحة Z ، ما لم يُذكر خلاف ذلك.

• حلقة التماثل لنقطة ما هي الحلقة Z في الدرجة 0. وبسبب ثبات التماثل، فإن هذه هي أيضًا حلقة التماثل لأي فضاء قابل للانكماش ، مثل الفضاء الإقليدي R ⁿ .

• 

  بالنسبة لعدد صحيح موجب n ، فإن حلقة التماثل للكرة${\displaystyle S^{n}}$هي Z [ x ]/( x² ⁾ ( حلقة القسمة لحلقة متعددة الحدود بواسطة المثالي المعطى )، حيث x من الدرجة n . من حيث ازدواجية بوانكاريه كما سبق، x هي فئة نقطة على الكرة.
• حلقة التماثل للطوروس${\displaystyle (S^{1})^{n}}$هي الجبر الخارجي على Z على n مولدات من الدرجة 1. ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، لنفترض أن P تمثل نقطة في الدائرة${\displaystyle S^{1}}$و Q هي النقطة ( P , P ) في الطارة ثنائية الأبعاد${\displaystyle (S^{1})^{2}}$^{إذن ، فإن} علم التماثل لـ ( S1 ) ² له أساس كوحدة Z حرة على الشكل التالي: العنصر 1 في الدرجة 0، x := [ P × S1 ] و y := [ S1 × P ] في الدرجة 1 ^، و xy = [ Q ] في الدرجة 2. (ضمنياً، تم تثبيت اتجاهات الطارة والدائرتين هنا). لاحظ أن yx = −xy = −[ Q ]، بسبب التبادلية المتدرجة.  
• بشكلٍ أعم، ليكن R حلقة تبديلية، وليكن X و Y أي فضاءين طوبولوجيين بحيث يكون H ^* ( X , R ) وحدة نمطية حرة مولدة نهائيًا على R في كل درجة. (لا حاجة لأي افتراضات على Y ). عندئذٍ، تُعطي صيغة كونيث أن حلقة التماثل للفضاء الناتج X × Y هي حاصل ضرب موتر لجبر R : ^{[ 10 ]}$${\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}$$
• حلقة التماثل للفضاء الإسقاطي الحقيقي RP ⁿ بمعاملات Z /2 هي Z /2[ x ]/( x ^{n +1} )، حيث x من الدرجة 1. ^{[ 11 ]} هنا x هي فئة المستوى الفائق RP ^{n −1} في RP ⁿ ؛ وهذا منطقي على الرغم من أن RP ^j غير قابل للتوجيه لـ j زوجي وموجب، لأن ازدواجية بوانكاريه بمعاملات Z /2 تعمل مع المشعبات العشوائية.
  مع المعاملات الصحيحة، يصبح الحل أكثر تعقيدًا بعض الشيء. يحتوي التماثل Z لـ RP ^{2 a} على عنصر y من الدرجة 2 بحيث يكون التماثل الكامل هو المجموع المباشر لنسخة من Z ممتدة بواسطة العنصر 1 من الدرجة 0 بالإضافة إلى نسخ من Z /2 ممتدة بواسطة العناصر y ⁱ حيث i = 1، ...، a . التماثل Z لـ RP ^{2 a + 1} هو نفسه بالإضافة إلى نسخة إضافية من Z من الدرجة 2 a + 1. ^{[ 12 ]}
• حلقة التماثل للفضاء الإسقاطي المركب CP ⁿ هي Z [ x ]/( x ^{n +1} )، حيث x من الدرجة 2. ^{[ 11 ]} هنا ، x هي فئة المستوى الفائق CP ^{n −1} في CP ⁿ . وبشكل أعم، x ^j هي فئة الفضاء الجزئي الخطي CP ^{n − j} في CP ⁿ .
• حلقة التماثل للسطح المغلق الموجه X من الجنس g ≥ 0 لها أساس كوحدة Z حرة على الشكل التالي: العنصر 1 من الدرجة 0، A1 _، ...، Ag و _B1 ، ...، Bg من _{الدرجة 1} ، والفئة _P لنقطة من الدرجة 2. يُعطى حاصل الضرب كما يلي: _AiAj = BiBj ₌ 0 لجميع _i و j ، و AiBj ₌ 0 إذا _{كان i} ≠ j ، و _AiBi = P لجميع i . [ ^{13 ]} وبسبب خاصية التبادل المتدرج _، ينتج أن BiAi ⁼ _−P .
• في أي فضاء طوبولوجي، تعني خاصية التبادل المتدرج لحلقة التماثل أن 2 × ² = 0 لجميع فئات التماثل x ذات الدرجة الفردية . ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لحلقة R تحتوي على 1/2، فإن جميع العناصر ذات الدرجة الفردية في H ^* ( X , R ) مربعها يساوي صفرًا. من ناحية أخرى، لا يشترط أن يكون مربع العناصر ذات الدرجة الفردية صفرًا إذا ^كانت R تساوي Z / 2 أو Z ، كما هو موضح في مثال RP² ( بمعاملات Z /2) أو RP⁴ × RP² ⁽ بمعاملات Z ⁾ .

يمكن اعتبار ناتج الكأس على علم التماثل ناتجًا عن الخريطة القطرية${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$،${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$أي بالنسبة لأي مساحات${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$مع فئات التماثل${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$و${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$يوجد فئة تماثلية للمنتج الخارجي (أو المنتج التقاطعي ).${\displaystyle u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,R)}$. منتج الكوب من الفئات${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$و${\displaystyle v\in H^{j}(X,R)}$يمكن تعريفها على أنها سحب المنتج الخارجي بواسطة القطر: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).}$$

بدلاً من ذلك، يمكن تعريف المنتج الخارجي بدلالة منتج الكوب. بالنسبة للمساحات${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$، يكتب${\displaystyle f:X\times Y\to X}$و${\displaystyle g:X\times Y\to Y}$بالنسبة للإسقاطين. ثم حاصل الضرب الخارجي للفئات${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$و${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$يكون: $${\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).}$$

تفسير آخر لازدواجية بوانكاريه هو أن حلقة التماثل لمتشعب مغلق موجه تكون مزدوجة ذاتيًا بمعنى قوي. أي، ليكن${\displaystyle X}$ليكن متعدد شعب مغلق متصل موجه ذو بُعد${\displaystyle n}$ودع${\displaystyle F}$كن حقلاً. ثم${\displaystyle H^{n}(X,F)}$متماثل مع${\displaystyle F}$والمنتج

${\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}$

يمثل هذا مزيجًا مثاليًا لكل عدد صحيح${\displaystyle i}$^{[ 15 ]} على وجه الخصوص ، الفضاءات المتجهة${\displaystyle H^{i}(X,F)}$و${\displaystyle H^{n-i}(X,F)}$لها نفس البعد (المحدود). وبالمثل، فإن حاصل الضرب على علم التماثل التكاملي modulo torsion بقيم في${\displaystyle H^{n}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$يُعدّ مزيجًا مثاليًا مع${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

تحدد حزمة متجهات حقيقية موجهة E من الرتبة r فوق فضاء طوبولوجي X فئة تماثل على X ، وهي فئة أويلر χ( E ) ∈ H ^r ( X , Z ). وبصورة غير رسمية، فإن فئة أويلر هي فئة مجموعة الأصفار لمقطع عام من E. ويمكن توضيح هذا التفسير بشكل أكبر عندما تكون E حزمة متجهات ملساء فوق مشعب أملس X ، حيث يتلاشى حينها مقطع أملس عام من X على مشعب فرعي ذي بُعد مشترك r من X.

هناك عدة أنواع أخرى من الفئات المميزة لحزم المتجهات التي تأخذ قيمًا في علم التماثل، بما في ذلك فئات تشيرن ، وفئات ستيفل-ويتني ، وفئات بونترياجين .

لكل مجموعة أبيلية A وعدد طبيعي j ، يوجد فضاء${\displaystyle K(A,j)}$الفضاء الذي تكون زمرة التماثل j فيه متماثلة مع A ، وباقي زمر التماثل فيه تساوي صفرًا. يُسمى هذا الفضاء فضاء إيلنبرغ-ماكلين . يتميز هذا الفضاء بخاصية فريدة، وهي أنه فضاء تصنيفي لعلم التماثل: يوجد عنصر طبيعي u من${\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}$وكل فئة تماثل من الدرجة j على كل فضاء X هي سحب عكسي لـ u بواسطة تطبيق متصل ما${\displaystyle X\to K(A,j)}$بتعبير أدق، يؤدي سحب الفئة u إلى تقابل

${\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}$

لكل فضاء X من نوع التماثل لمركب CW. ^{[ 16 ]} هنا${\displaystyle [X,Y]}$يشير إلى مجموعة فئات التماثل للتطبيقات المستمرة من X إلى Y.

على سبيل المثال، المساحة${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$(المعرّف حتى التكافؤ التماثلي) يمكن اعتباره الدائرة${\displaystyle S^{1}}$إذن، يوضح الوصف أعلاه أن كل عنصر من${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$يتم سحبها للخلف من الفئة u لنقطة على${\displaystyle S^{1}}$بواسطة بعض الخرائط${\displaystyle X\to S^{1}}$.

يوجد وصف مشابه للتجانس الأول بمعاملات في أي زمرة أبيلية A ، على سبيل المثال لمركب CW X. وهو،${\displaystyle H^{1}(X,A)}$ توجد علاقة تناظرية أحادية مع مجموعة فئات التشاكل لفضاءات غالوا التي تغطي X مع المجموعة A ، والتي تسمى أيضًا حزم A الرئيسية فوق X. بالنسبة لـ X المتصلة، يترتب على ذلك أن${\displaystyle H^{1}(X,A)}$متماثل مع${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}$، أين${\displaystyle \pi _{1}(X)}$هي المجموعة الأساسية لـ X. على سبيل المثال،${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$يصنف فضاءات التغطية المزدوجة لـ X ، مع العنصر${\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$يتوافق مع التغطية المزدوجة التافهة، وهو الاتحاد المنفصل لنسختين من X.

لأي فضاء طوبولوجي X ، فإن حاصل الضرب العلوي هو تطبيق ثنائي الخطية

${\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}$

لأي عددين صحيحين i و j وأي حلقة تبديلية R. الخريطة الناتجة

${\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}$

يجعل التماثل الفردي لـ X وحدة نمطية فوق حلقة التماثل الفردي لـ X.

بالنسبة لـ i = j ، فإن حاصل الضرب العلوي يعطي التشاكل الطبيعي

${\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}$

وهو تماثل لـ R حقل.

على سبيل المثال، ليكن X متعدد شعب موجه، ليس بالضرورة متراصًا. عندئذٍ، يُحدد متعدد شعب فرعي مغلق موجه ذو بُعد مشترك i ، Y ، من X (ليس بالضرورة متراصًا) عنصرًا من H ^_i ( X , R )، ويُحدد متعدد شعب فرعي متراص موجه ذو بُعد j، Z ، من X عنصرًا من H _{_j} ( X , R ). يمكن حساب حاصل الضرب [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H _{_{j - i}} ( X , R ) عن طريق إحداث اضطراب في Y و Z لجعلهما يتقاطعان عرضيًا، ثم تحديد فئة تقاطعهما، وهو متعدد شعب فرعي متراص موجه ذو بُعد j - i .

للمتشعب المغلق الموجه X ذي البعد n فئة أساسية [ X ] في H _n ( X , R ). تماثل ازدواجية بوانكاريه $${\displaystyle H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)}$$يتم تعريفها من خلال حاصل الضرب العلوي مع الفئة الأساسية لـ X.

على الرغم من أن علم التماثل المشترك يُعدّ أساسيًا في الطوبولوجيا الجبرية الحديثة، إلا أن أهميته لم تتبلور إلا بعد نحو أربعين عامًا من تطوير علم التماثل. وقد احتوى مفهوم بنية الخلية المزدوجة ، الذي استخدمه هنري بوانكاريه في برهانه لنظرية بوانكاريه في الازدواجية، على بداية فكرة علم التماثل المشترك، ولكن لم يتضح ذلك إلا لاحقًا.

كانت هناك عدة مقدمات لعلم التماثل. ^{[ 17 ]} في منتصف عشرينيات القرن العشرين، أسس جيه دبليو ألكسندر وسولومون ليفشيتز نظرية تقاطع الدورات على المشعبات. على مشعب مغلق موجه ذي n بُعد M، فإن دورة من الرتبة i ودورة من الرتبة j بتقاطع غير فارغ، إذا كانتا في الوضع العام ، فإن تقاطعهما سيكون دورة من الرتبة ( i  + j − n ). يؤدي هذا إلى مضاعفة فئات التماثل.   

${\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}$

والذي يمكن (بالنظر إلى الماضي) تحديده مع ناتج الكأس على علم التماثل لـ M.

بحلول عام 1930، كان ألكسندر قد حدد مفهومًا أوليًا للسلسلة المشتركة، من خلال التفكير في السلسلة المشتركة من الرتبة i على فضاء X كدالة على جوارات صغيرة للقطر في X ^{i +1} .

في عام 1931، ربط جورج دي رام بين علم التماثل والأشكال التفاضلية، مُثبتًا بذلك نظرية دي رام . ويمكن صياغة هذه النتيجة بشكل أبسط باستخدام علم التماثل المشترك.

في عامي 1932-1933، ظهر مفهوم التماثل بشكل أساسي في أعمال هاينز هوبف ^{[ 18 ]} وإيغبرت فان كامبن ^{[ 19 ]} حول العوائق. ابتكر هوبف عائقًا أمام التماثل (وتصنيف التماثل) للتطبيقات المتصلة من متعدد السطوح ذي البعد k إلى الكرة ذات البعد k . ظهر التماثل ضمنيًا في عمله، بينما قدم هاسلر ويتني في عام 1937 ^{[ 20 ]} الصيغة الأكثر طبيعية التي تتضمن التماثل بشكل صريح . ابتكر فان كامبن عائقًا أمام (ومعيارًا، عندما يكون k>2 ) إمكانية تضمين متعدد السطوح ذي البعد k في الفضاء الإقليدي ذي البعد 2k . ظهر التماثل صراحةً في عمله، ولكن فقط لحالة خاصة (من فضاء تكوين معين، وهو حاصل الضرب المحذوف ).

في عام 1934، أثبت ليف بونترياغين نظرية بونترياغين للازدواجية ؛ وهي نتيجة تتعلق بالمجموعات الطوبولوجية . وقد وفرت هذه النظرية (في حالات خاصة) تفسيراً لازدواجية بوانكاريه وازدواجية ألكسندر من حيث خصائص المجموعة .

في مؤتمر عقد في موسكو عام 1935 ، قدم كل من أندريه كولموغوروف وألكسندر علم التماثل وحاولا بناء بنية ناتج التماثل.

في عام 1936، بنى نورمان ستينرود علم تشابه Čech عن طريق ازدواجية تماثل Čech.

في الفترة من عام 1936 إلى عام 1938، طور هاسلر ويتني وإدوارد تشيك ضرب الكأس (محولين علم التماثل إلى حلقة متدرجة) وضرب الغطاء ، وأدركا أن ازدواجية بوانكاريه يمكن التعبير عنها بدلالة ضرب الغطاء. ومع ذلك، ظلت نظريتهما مقتصرة على مجمعات الخلايا المحدودة.

في عام 1944، تغلب صموئيل إيلنبرغ على القيود التقنية، وقدم التعريف الحديث للتجانس المفرد والتجانس المشترك.

في عام 1945، وضع إيلنبرغ وستينرود البديهيات التي تُعرّف نظرية التماثل أو نظرية التماثل المشترك، والتي سيتم تناولها لاحقًا. وفي كتابهما الصادر عام 1952 بعنوان "أسس الطوبولوجيا الجبرية "، أثبتا أن نظريات التماثل والتماثل المشترك الموجودة آنذاك تُحقق بالفعل بديهياتهما.

في عام 1946، قام جان ليري بتعريف علم التماثل الحزمي.

في عام 1948، قام إدوين سبانير ، بالاعتماد على عمل ألكسندر وكولموغوروف، بتطوير علم التماثل ألكسندر-سبانير .

علم التماثل الحزمي هو تعميم غني لعلم التماثل الشاذ، يسمح بمعاملات أكثر عمومية من مجرد زمرة أبيلية. لكل حزمة من الزمر الأبيلية E على فضاء طوبولوجي X ، توجد زمر تماثل Hi ( X , E ⁾ للأعداد الصحيحة i . على وجه الخصوص، في حالة الحزمة الثابتة على X المرتبطة بزمرة أبيلية A ، تتطابق الزمر الناتجة Hi ( X , A ) مع علم التماثل ^الشاذ عندما يكون X متعدد الشعب أو مركب CW (ولكن ليس بالنسبة للفضاءات X العشوائية ). منذ خمسينيات القرن العشرين، أصبح علم التماثل الحزمي جزءًا أساسيًا من الهندسة الجبرية والتحليل العقدي ، ويعود ذلك جزئيًا إلى أهمية حزمة الدوال المنتظمة أو حزمة الدوال التحليلية .

عرّف غروتينديك علم تماثل الحزم ووصفه ببراعة بلغة الجبر التماثلي . يكمن جوهر هذا المفهوم في تثبيت الفضاء X واعتبار علم تماثل الحزم بمثابة دالة من الفئة الأبيلية للحزم على X إلى الزمر الأبيلية. نبدأ بالدالة التي تأخذ حزمة E على X إلى زمرتها الأبيلية للمقاطع العامة على X ، أي E ( X ). هذه الدالة تامة من اليسار ، ولكن ليس بالضرورة تامة من اليمين. عرّف غروتينديك زمر تماثل الحزم بأنها الدوال المشتقة من اليمين للدالة التامة من اليسار E ↦ E ( X ). ^{[ 3 ]}

يُشير هذا التعريف إلى تعميماتٍ مُتعددة. على سبيل المثال، يُمكن تعريف علم التماثل للفضاء الطوبولوجي X بمعاملاتٍ في أي مُركب من الحزم، والذي كان يُسمى سابقًا علم التماثل الفائق (ولكنه يُسمى الآن عادةً "علم التماثل"). من هذا المنظور، يُصبح علم تماثل الحزم سلسلةً من الدوال من الفئة المُشتقة للحزم على X إلى الزمر الأبيلية.

بمعناها الواسع، يُستخدم مصطلح "التماثل المشترك" غالبًا للإشارة إلى الدوال المشتقة اليمنى لدالة تامة يسارية على فئة أبيلية، بينما يُستخدم مصطلح "التماثل" للإشارة إلى الدوال المشتقة اليسرى لدالة تامة يمينية. على سبيل المثال، بالنسبة للحلقة R ، تُشكل مجموعات Tor ، Tor _i ^R ( M , N ) "نظرية تماثل" في كل متغير، وهي الدوال المشتقة اليسرى لحاصل الضرب الموتري M ⊗ _R N لوحدات R. وبالمثل، يمكن اعتبار مجموعات Ext، Ext ⁱ _R ( M , N ) "نظرية تماثل مشترك" في كل متغير، وهي الدوال المشتقة اليمنى للدالة Hom، Hom _R ( M , N ).

يمكن تحديد علم التماثل للحزم بنوع من زمرة Ext. أي، بالنسبة لحزمة E على فضاء طوبولوجي X ، فإن H ⁱ ( X , E ) متماثل مع Ext ⁱ ( Z _X , E )، حيث Z _X تشير إلى الحزمة الثابتة المرتبطة بالأعداد الصحيحة Z ، و Ext مأخوذة في الفئة الأبيلية للحزم على X.

توجد العديد من الآلات المصممة لحساب التماثل المشترك للأصناف الجبرية . وأبسط مثال على ذلك هو تحديد التماثل المشترك للأصناف الإسقاطية الملساء على حقل ذي خاصية${\displaystyle 0}$تساعد أدوات من نظرية هودج ، تُسمى هياكل هودج ، في حساب تماثل هذه الأنواع من الأصناف (مع إضافة معلومات أكثر دقة). في أبسط الحالات، يكون تماثل سطح فائق أملس في${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$يمكن تحديدها من درجة متعددة الحدود وحدها.

عند النظر في التنوعات على حقل منتهٍ ، أو حقل ذي خصائص${\displaystyle p}$تتطلب التعريفات الكلاسيكية لعلم التماثل/علم التماثل المشترك أدوات أكثر قوة، إذ أنها لا تُجدي نفعًا. ويعود ذلك إلى أن التنوعات على الحقول المنتهية لا تُمثل إلا مجموعة منتهية من النقاط. وقد ابتكر غروتينديك فكرة طوبولوجيا غروتينديك ، واستخدم علم التماثل المشترك للحزم على طوبولوجيا إيتال لتعريف نظرية التماثل المشترك للتنوعات على حقل منتهٍ. باستخدام طوبولوجيا إيتال لتنوع على حقل ذي خاصية${\displaystyle p}$يمكن للمرء أن يبني${\displaystyle \ell }$علم التماثل -adic لـ${\displaystyle \ell \neq p}$يُعرف هذا باسم الحد الإسقاطي

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }.}$

إذا كان لدينا مخطط من نوع محدود

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)}$

ثم هناك تساوي في الأبعاد بالنسبة لعلم التماثل بيتي لـ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$و${\displaystyle \ell }$التماثل -adic لـ${\displaystyle X(\mathbb {F} _{q})}$عندما يكون التنوع سلسًا على كلا الحقلين. بالإضافة إلى نظريات التماثل هذه، توجد نظريات تماثل أخرى تُسمى نظريات تماثل ويل، والتي تتصرف بشكل مشابه للتماثل المفرد. وهناك نظرية دوافع مفترضة تُشكل أساس جميع نظريات تماثل ويل.

تُعد متسلسلة التضخيم أداة حسابية مفيدة أخرى. بالنظر إلى بُعد مشترك...${\displaystyle \geq 2}$مخطط فرعي${\displaystyle Z\subset X}$يوجد مربع ديكارتي

${\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}}$

ومن هذا توجد متتالية طويلة دقيقة مرتبطة بها

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots }$

إذا كان الصنف الفرعي${\displaystyle Z}$إذا كانت ناعمة، فإن جميع التشكلات الرابطة تكون تافهة، وبالتالي

${\displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)}$

توجد طرقٌ عديدة لتعريف علم التماثل للفضاءات الطوبولوجية (مثل علم التماثل المفرد، وعلم تماثل تشيك ، وعلم تماثل ألكسندر-سبانير، وعلم تماثل الحزم ). (يُقتصر هنا على علم تماثل الحزم مع المعاملات في حزمة ثابتة). تُعطي هذه النظريات إجاباتٍ مختلفة لبعض الفضاءات، ولكن هناك فئة واسعة من الفضاءات تتفق عليها جميعها. يُمكن فهم ذلك بسهولةٍ من خلال البديهيات: توجد قائمةٌ من الخصائص تُعرف باسم بديهيات إيلنبرغ-ستينرود ، وأيُّ بنيتين تشتركان في هذه الخصائص ستتفقان على الأقل على جميع مُركَّبات CW. ^{[ 21 ]} توجد صيغٌ لهذه البديهيات لنظرية التماثل، وكذلك لنظرية التماثل. يُمكن اعتبار بعض النظريات أدواتٍ لحساب علم التماثل المفرد لفضاءات طوبولوجية خاصة، مثل علم التماثل التبسيطي للمُركَّبات التبسيطية ، وعلم التماثل الخلوي لمُركَّبات CW، وعلم تماثل دي رام للمُتشعبات الملساء.

إحدى بديهيات إيلنبرغ-ستينرود لنظرية التماثل هي بديهية البُعد : إذا كانت P نقطةً منفردة، فإن Hᵢ ( P ) = 0 لجميع i ≠ 0. في حوالي عام 1960، لاحظ جورج دبليو وايتهيد أن حذف بديهية البُعد بالكامل يُفيد، مما يُعطي مفهوم نظرية التماثل المُعمَّمة أو نظرية التماثل المُعمَّمة، المُعرَّفة أدناه. توجد نظريات تماثل مُعمَّمة ^، مثل نظرية K أو التماثل المُعقَّد، تُقدِّم معلوماتٍ قيّمة حول الفضاء الطوبولوجي، لا يُمكن الوصول إليها مُباشرةً من التماثل المُفرد. (في هذا السياق، يُطلق على التماثل المُفرد غالبًا اسم "التماثل العادي").

بحسب التعريف، فإن نظرية التماثل المعممة هي سلسلة من الدوال hᵢ ₍ حيث i عدد صحيح ) من فئة أزواج CW ( X , A ) (حيث X مركب CW و A مركب فرعي) إلى فئة الزمر الأبيلية، بالإضافة إلى _{تحويل طبيعي} ∂ᵢ : hᵢ ( X , A ) _→ hᵢ⁻¹ ( A ) يُسمى تماثل الحدود ₍ حيث _hᵢ⁻¹ ( A ) اختصار لـ hᵢ⁻¹ ( A , _{∅ ) )} . والمسلمات هي: 

1. التماثل : إذا${\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}$متماثل مع${\displaystyle g:(X,A)\to (Y,B)}$إذاً، فإن التشاكلات المستحثة على التماثل تكون متطابقة.
2. الدقة : كل زوج ( X ، A ) يُنتج تسلسلًا دقيقًا طويلًا في علم التماثل، عبر التضمينات f : A → X و g : ( X ، ∅) → ( X ، A ) :$${\displaystyle \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .}$$
3. الاستئصال : إذا كان X هو اتحاد المجمعين الفرعيين A و B ، فإن التضمين f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) يُحدث تماثلًا$${\displaystyle h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)}$$لكل i .
4. خاصية الجمع : إذا كان ( _X ، A ) هو الاتحاد المنفصل لمجموعة من الأزواج ( Xα _، Aα ₎ ، فإن عمليات التضمين ( Xα ، Aα ) → ( X ، _A ) تُنتج تماثلًا من المجموع المباشر :$${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)}$$لكل i .

تُستنتج بديهيات نظرية التماثل المعممة بعكس اتجاه الأسهم، بشكل تقريبي. بتفصيل أكثر، تُعرَّف نظرية التماثل المعممة بأنها سلسلة من الدوال المتغيرة عكسيًا hᵢ ⁽ حيث i عدد صحيح) ^من فئة أزواج CW إلى فئة الزمر الأبيلية، بالإضافة إلى تحويل طبيعي d : hᵢ ( A ) ^→ hᵢ₊₁ ( X , A ) يُسمى تماثل الحدود (حيث يُكتب hᵢ ⁽ A ) بدلًا من hᵢ ( ^A , ^∅ )). البديهيات هي:

1. التماثل : تؤدي الخرائط المتماثلة إلى نفس التماثل على علم التماثل المشترك.
2. الدقة : كل زوج ( X ، A ) يُنتج متتالية دقيقة طويلة في علم التماثل، عبر التضمينات f : A → X و g : ( X ، ∅) → ( X ، A ):$${\displaystyle \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}$$
3. الاستئصال : إذا كان X هو اتحاد المجمعين الفرعيين A و B ، فإن التضمين f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) يُحدث تماثلًا$${\displaystyle h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)}$$لكل i .
4. خاصية الجمع : إذا كان ( _X ، A ) هو الاتحاد المنفصل لمجموعة من الأزواج ( Xα ، Aα ₎ ، فإن عمليات التضمين ( Xα _{، Aα} ) → ( X ، A ) تؤدي إلى تماثل مع مجموعة الضرب :$${\displaystyle h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })}$$لكل i .

يُحدد الطيف كلاً من نظرية التماثل المعممة ونظرية التماثل المشترك المعممة. وتنص نتيجة أساسية لبراون ووايتهيد وآدامز على أن كل نظرية تماثل معممة تنبثق من طيف، وكذلك كل نظرية تماثل مشترك معممة تنبثق من طيف. ^{[ 22 ]} وهذا يُعمم إمكانية تمثيل التماثل المشترك العادي بواسطة فضاءات إيلنبرغ-ماكلين.

تكمن إحدى النقاط الدقيقة في أن الدالة من فئة التماثل المستقر (فئة تماثل الأطياف) إلى نظريات التماثل المعممة على أزواج CW ليست تكافؤًا، على الرغم من أنها تُعطي تقابلًا على فئات التشاكل؛ إذ توجد دوال غير صفرية في فئة التماثل المستقر (تُسمى الدوال الوهمية ) تُنتج الدالة الصفرية بين نظريات التماثل على أزواج CW. وبالمثل، فإن الدالة من فئة التماثل المستقر إلى نظريات التماثل المعممة على أزواج CW ليست تكافؤًا. ^{[ 23 ]} إن فئة التماثل المستقر، وليس هذه الفئات الأخرى، هي التي تتمتع بخصائص جيدة مثل كونها مثلثية .

إذا فضلنا تعريف نظريات التماثل أو التماثل المشترك على جميع الفضاءات الطوبولوجية بدلاً من مجمعات CW، فإن أحد الأساليب الشائعة هو تضمين البديهية القائلة بأن كل تكافؤ تماثلي ضعيف يُنشئ تماثلاً على التماثل أو التماثل المشترك. (ينطبق هذا على التماثل المفرد أو التماثل المشترك المفرد، ولكنه لا ينطبق على تماثل الحزم، على سبيل المثال). وبما أن كل فضاء يقبل تكافؤًا تماثليًا ضعيفًا من مجمع CW، فإن هذه البديهية تُختزل نظريات التماثل أو التماثل المشترك على جميع الفضاءات إلى النظرية المقابلة على مجمعات CW. ^{[ 24 ]}

بعض الأمثلة على نظريات التماثل المعممة هي:

• مجموعات الكوهوموتوبي المستقرة${\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).}$تُستخدم نظرية التماثل المقابلة بشكل متكرر: مجموعات التماثل المستقرة${\displaystyle \pi _{*}^{S}(X).}$
• أنواع مختلفة من مجموعات التماثل ، تعتمد على دراسة الفضاء من خلال النظر في جميع الخرائط منه إلى المتشعبات: التماثل غير الموجه${\displaystyle MO^{*}(X)}$التضامن الموجه${\displaystyle MSO^{*}(X),}$التماثل المعقد${\displaystyle MU^{*}(X),}$وهكذا دواليك. لقد ثبت أن التماثل المركب قوي بشكل خاص في نظرية التماثل. وهو يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمجموعات الشكلية ، من خلال نظرية دانيال كويلين .
• أنواع مختلفة من نظرية K الطوبولوجية ، تعتمد على دراسة الفضاء من خلال النظر في جميع حزم المتجهات فوقه:${\displaystyle KO^{*}(X)}$(نظرية K الدورية الحقيقية)،${\displaystyle ko^{*}(X)}$(نظرية الاتصال الحقيقي K)،${\displaystyle K^{*}(X)}$(نظرية K الدورية المعقدة)،${\displaystyle ku^{*}(X)}$(نظرية الاتصال المعقدة K)، وهكذا.
• علم التماثل براون-بيترسون ، ونظرية مورافا K ، ونظرية مورافا E، ونظريات أخرى مبنية على التماثل المعقد.
• أنواع مختلفة من علم التماثل الإهليلجي .

تحمل العديد من هذه النظريات معلومات أغنى من علم التماثل العادي، ولكن يصعب حسابها.

يُقال إن نظرية التماثل E ضربية إذا${\displaystyle E^{*}(X)}$يمتلك بنية حلقة متدرجة لكل فضاء X. في لغة الأطياف، هناك العديد من المفاهيم الأكثر دقة لطيف الحلقة ، مثل طيف الحلقة E _∞ ، حيث يكون الناتج تبادليًا وتجميعيًا بمعنى قوي.

تشمل نظريات علم التماثل بمعناها الأوسع (ثوابت البنى الجبرية أو الهندسية الأخرى، بدلاً من الفضاءات الطوبولوجية):

• نظرية التماثل الموجه نحو العقد

• ديودونيه، جان (1989)، تاريخ الطوبولوجيا الجبرية والتفاضلية ، بيركهاوزر ، ISBN 0-8176-3388-X، MR 0995842 
• دولد، ألبريشت (1972)، محاضرات حول الطوبولوجيا الجبرية ، سبرينغر فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-58660-9، MR 0415602 
• إيلنبرغ، صموئيل ؛ ستينرود، نورمان (1952)، أسس الطوبولوجيا الجبرية ، مطبعة جامعة برينستون ، رقم ISBN 9780691627236، MR 0050886 {{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  52، نيويورك، هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 0-387-90244-9، MR 0463157 
• هاتشر، ألين (2001)، الطوبولوجيا الجبرية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 0-521-79540-0، MR 1867354 
• "علم التماثل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994].
• هوبف، هاينز (1933)، “Die Klassen der Abbildungen der n- Dimensionen Polyeder auf die n- Dimensionale Sphäre” ، Commentarii Mathematici Helvetici ، 5 : 80–94 ، دوى : 10.1007 / 978-3-662-25046-4_6
• ماي، ج. بيتر (1999)، دورة موجزة في الطوبولوجيا الجبرية (ملف PDF) ، مطبعة جامعة شيكاغو ، رقم ISBN 0-226-51182-0MR 1702278​ 
• سويتزر، روبرت (1975)، الطوبولوجيا الجبرية - التماثل والتماثل ، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 3-540-42750-3، MR 0385836 
• توم، رينيه (1954)، “Quelques propriétés globales des variétés différentiables” ، Commentarii Mathematici Helvetici ، 28 : 17–86 ، doi : 10.1007/BF02566923 ، MR 0061823 ، S2CID 120243638  
• فان كامبن، إيجبرت (1932)، “Komplexe in euklidischen Räumen” ، Abh. الرياضيات. سيمين. جامعة. هامبج. ، 9 : 72-78 ، دوى : 10.1007 / BF02940628
• ويتني، هاسلر (1937)، "خرائط المركب ذي البعد n إلى الكرة ذات البعد n" ( ملف PDF) ، مجلة ديوك الرياضية ، 3 : 51-55