معضلة بوريل

في الرياضيات ، تعتبر ليمّة بوريل ، التي سميت على اسم إميل بوريل ، نتيجة مهمة تستخدم في نظرية التوسعات التقاربية والمعادلات التفاضلية الجزئية .

لنفترض أن U هي مجموعة مفتوحة في الفضاء الإقليدي R ⁿ ، ولنفترض أن f ₀ ، f ₁ ، ... هي سلسلة من الدوال الملساء على U.

إذا كانت I أي فترة مفتوحة في R تحتوي على 0 (ربما I = R )، فإنه توجد دالة ملساء F ( t , x ) معرفة على I × U ، بحيث

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{k}F}{\partial t^{k}}}\right|_{(0,x)}=f_{k}(x),}$

لـ k ≥ 0 و x في U.

يمكن العثور على براهين لـ Borel's lemma في العديد من الكتب المدرسية حول التحليل، بما في ذلك Golubitsky & Guillemin (1974) و Hörmander (1990) ، والتي تم أخذ البرهان أدناه منها.

لاحظ أنه يكفي إثبات النتيجة لفترة صغيرة I = (−ε , ε ) ، لأنه إذا كانت ψ ( t ) دالة نتوء ناعمة ذات دعم مضغوط في (−ε , ε ) يساوي 1 بالقرب من 0، فإن ψ ( t ) ⋅ F ( t , x ) تعطي حلاً على R × U. وبالمثل ^، باستخدام تجزئة ناعمة للوحدة على Rⁿ تابعة لتغطية بكرات مفتوحة مراكزها δ ⋅ Zⁿ ^، يمكن افتراض أن جميع الدوال _fᵐ لها دعم مضغوط في كرة مغلقة ثابتة C. لكل m ، ليكن

${\displaystyle F_{m}(t,x)={t^{m} \over m!}\cdot \psi \left({t \over \varepsilon _{m}}\right)\cdot f_{m}(x),}$

حيث يتم اختيار ε _{m صغيرًا بما يكفي بحيث}

${\displaystyle \|\partial ^{\alpha }F_{m}\|_{\infty }\leq 2^{-m}}$

لـ | α | < m . تشير هذه التقديرات إلى أن كل مجموع

${\displaystyle \sum _{m\geq 0}\partial ^{\alpha }F_{m}}$

متقاربة بانتظام، وبالتالي فإن

${\displaystyle F=\sum _{m\geq 0}F_{m}}$

هي دالة سلسة مع

${\displaystyle \partial ^{\alpha }F=\sum _{m\geq 0}\partial ^{\alpha }F_{m}.}$

عن طريق البناء

${\displaystyle \partial _{t}^{m}F(t,x)|_{t=0}=f_{m}(x).}$

ملاحظة: يمكن تطبيق نفس البناء تمامًا، بدون الفضاء المساعد U ، لإنتاج دالة سلسة على الفترة I التي تشكل مشتقاتها عند 0 متتالية عشوائية.

• دالة سلسة غير تحليلية §  تطبيق على متسلسلة تايلور

• Erdélyi، A. (1956)، التوسعات المقاربة ، منشورات دوفر، الصفحات من 22 إلى 25 ، ISBN  0486603180{{citation}}: CS1 maint: ignored ISBN errors ( link )
• جولوبيتسكي، م .؛ غيليمين، ف. (1974)، التطبيقات المستقرة وحالاتها الشاذة ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  14، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-90072-1
• هورماندر، لارس (1990)، تحليل المؤثرات التفاضلية الجزئية الخطية، الجزء الأول: نظرية التوزيع وتحليل فورييه (الطبعة الثانية  )، سبرينغر-فيرلاغ، ص  16، ISBN 3-540-52343-X

تتضمن هذه المقالة مواد من مبرهنة بوريل على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .