الفضاء الإقليدي

قدّم الإغريق القدماء الفضاء الإقليدي كمفهوم مجرد للفضاء المادي. تمثلت ابتكاراتهم العظيمة، التي ظهرت في كتاب " الأصول " لإقليدس ، في بناء وإثبات جميع فروع الهندسة انطلاقًا من عدد قليل من الخصائص الأساسية، المستمدة من العالم المادي، والتي لا يمكن إثباتها رياضيًا لعدم توفر أدوات أكثر بدائية. تُعرف هذه الخصائص بالمسلمات ، أو البديهيات في اللغة الحديثة. ولا يزال هذا التعريف للفضاء الإقليدي مستخدمًا حتى اليوم تحت مسمى الهندسة التركيبية .

في عام 1637، قدّم رينيه ديكارت الإحداثيات الديكارتية ، وبيّن أنها تُتيح اختزال المسائل الهندسية إلى عمليات حسابية جبرية باستخدام الأعداد. شكّل هذا الاختزال للهندسة إلى الجبر تحولاً جذرياً في وجهة النظر، إذ كانت الأعداد الحقيقية تُعرَّف حتى ذلك الحين بدلالة الأطوال والمسافات.

لم تُطبَّق الهندسة الإقليدية في الفضاءات ذات الأبعاد التي تزيد عن ثلاثة حتى القرن التاسع عشر. وقد عمّم لودفيج شلافلي الهندسة الإقليدية لتشمل الفضاءات ذات الأبعاد n ، باستخدام كلٍّ من الطرق التركيبية والجبرية، واكتشف جميع المجسمات المنتظمة (النظائر ذات الأبعاد الأعلى للمجسمات الأفلاطونية ) الموجودة في الفضاءات الإقليدية من أي بُعد. ^{[ 4 ]}

على الرغم من الانتشار الواسع لمنهج ديكارت، الذي عُرف بالهندسة التحليلية ، ظل تعريف الفضاء الإقليدي دون تغيير حتى نهاية القرن التاسع عشر. وقد أتاح ظهور الفضاءات المتجهة المجردة استخدامها في تعريف الفضاءات الإقليدية بتعريف جبري بحت. وقد ثبت أن هذا التعريف الجديد مكافئ للتعريف الكلاسيكي من حيث البديهيات الهندسية. وهذا التعريف الجبري هو الأكثر استخدامًا حاليًا لتعريف الفضاءات الإقليدية.

إحدى طرق تصور المستوى الإقليدي هي اعتباره مجموعة من النقاط التي تحقق علاقات معينة، يمكن التعبير عنها بدلالة المسافة والزوايا. على سبيل المثال، هناك عمليتان أساسيتان (تُعرفان بالحركات ) على المستوى. الأولى هي الإزاحة ، وتعني تغيير موضع المستوى بحيث تتحرك كل نقطة في نفس الاتجاه وبنفس المسافة. أما الثانية فهي الدوران حول نقطة ثابتة في المستوى، حيث تدور جميع النقاط في المستوى حول تلك النقطة الثابتة بنفس الزاوية. من المبادئ الأساسية للهندسة الإقليدية أن شكلين ( يُعتبران عادةً مجموعتين جزئيتين ) من المستوى يُعتبران متكافئين ( متطابقين ) إذا أمكن تحويل أحدهما إلى الآخر بتسلسل معين من الإزاحات والدورانات والانعكاسات (انظر أدناه ).

لتحقيق الدقة الرياضية في كل هذا، يجب أن تُعرّف النظرية بوضوح ما هو الفضاء الإقليدي، والمفاهيم المرتبطة به كالمسافة والزاوية والانتقال والدوران. حتى عند استخدامه في النظريات الفيزيائية ، يظل الفضاء الإقليدي مفهومًا مجردًا منفصلًا عن المواقع الفيزيائية الفعلية، وأطر الإسناد المحددة ، وأدوات القياس، وما إلى ذلك. كما أن التعريف الرياضي البحت للفضاء الإقليدي يتجاهل مسائل وحدات الطول والأبعاد الفيزيائية الأخرى : فالمسافة في الفضاء "الرياضي" هي عدد ، وليست شيئًا يُعبّر عنه بالبوصات أو الأمتار.

الطريقة القياسية لتعريف الفضاء الإقليدي رياضيًا، كما هو موضح في بقية هذه المقالة، هي اعتباره مجموعة من النقاط التي يؤثر عليها فضاء متجهي حقيقي - فضاء الإزاحات المزود بضرب داخلي . ^{[ 1 ]} يجعل تأثير الإزاحات الفضاء فضاءً أفينيًا ، مما يسمح بتعريف الخطوط والمستويات والفضاءات الجزئية والبعد والتوازي . كما يسمح الضرب الداخلي بتعريف المسافة والزوايا.

المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إنّ فضاءً إقليديًا ذا بُعد n يتكون من n مجموعة من الأعداد الحقيقية مزودة بالضرب النقطي . وعلى العكس من ذلك، فإنّ اختيار نقطة تُسمى الأصل وقاعدة متعامدة لفضاء الإزاحات يُكافئ تعريف تماثل بين فضاء إقليدي ذي بُعد n و${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يُنظر إليه على أنه فضاء إقليدي.

ويترتب على ذلك أن كل ما يمكن قوله عن الفضاء الإقليدي يمكن قوله أيضاً عن${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$لذلك، يدعو العديد من المؤلفين، وخاصة في المستوى الابتدائي،${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$الفضاء الإقليدي القياسي ذو البعد n ، ^{[ 5 ]} أو ببساطة الفضاء الإقليدي ذو البعد n .

أحد أسباب تقديم تعريف مجرد للفضاءات الإقليدية، والعمل معها${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$بدلاً من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يرجع ذلك إلى أنه من الأفضل غالبًا العمل بطريقة لا تعتمد على الإحداثيات ولا على نقطة أصل محددة (أي دون اختيار أساس أو نقطة أصل مفضلة). كما أن العالم المادي لا يحتوي على نقطة أصل قياسية ولا على أي أساس قياسي.

أالفضاء المتجهي الإقليدي هو فضاء حاصل ضرب داخليمحدود الأبعادعلىالأعداد الحقيقية. ^{[ 6 ]}

الفضاء الإقليدي هو فضاء تآلفي على الأعداد الحقيقية بحيث يكون الفضاء المتجهي المرتبط به فضاءً متجهيًا إقليديًا. تُسمى الفضاءات الإقليدية أحيانًا بالفضاءات التآلفية الإقليدية لتمييزها عن الفضاءات المتجهة الإقليدية. ^{[ 6 ]}

إذا كانت E فضاءً إقليديًا، فإن الفضاء المتجهي المرتبط بها (الفضاء المتجهي الإقليدي) يُشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}.}$بُعد الفضاء الإقليدي هو بُعد الفضاء المتجهي المرتبط به.

تُسمى عناصر المجموعة E بالنقاط ، ويُرمز إليها عادةً بأحرف كبيرة.${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$تُسمى هذه المتجهات بالمتجهات الإقليدية أو المتجهات الحرة . وتُسمى أيضاً بالإزاحات ، مع أن الإزاحة ، بالمعنى الدقيق، هي التحويل الهندسي الناتج عن تأثير متجه إقليدي على الفضاء الإقليدي.

يؤدي تأثير الإزاحة v على النقطة P إلى إنشاء نقطة يُرمز لها بـ P + v . ويحقق هذا التأثير ما يلي:

$${\displaystyle P+(v+w)=(P+v)+w.}$$

ملاحظة: علامة الجمع الثانية في الطرف الأيسر هي جمع متجهات؛ كل علامة جمع أخرى تدل على تأثير متجه على نقطة. هذا الترميز واضح لا لبس فيه، إذ يكفي، للتمييز بين معنيي علامة الجمع ، النظر إلى طبيعة وسيطها الأيسر.

حقيقة أن الفعل حر ومتعدٍ تعني أنه لكل زوج من النقاط ( P ، Q ) ، يوجد متجه إزاحة واحد فقط v بحيث يكون P + v = Q. يُرمز إلى هذا المتجه v بـ Q − P أو${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}{\vphantom {\frac {)}{}}}.}$

كما سبق شرحه، فإن بعض الخصائص الأساسية للفضاءات الإقليدية ناتجة عن بنية الفضاء الأفيني. وقد وُصفت هذه الخصائص في قسم "  بنية الفضاء الأفيني وأقسامه الفرعية". أما الخصائص الناتجة عن الضرب الداخلي، فقد شُرحت في قسم "  بنية الفضاء المتري وأقسامه الفرعية".

ليكن E فضاءً إقليدياً و${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$فضاء المتجهات المرتبط به.

الفضاء الجزئي المسطح أو الإقليدي أو الأفيني من المجموعة E هو مجموعة جزئية F من E بحيث

$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}={\Bigl \{}{\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} P\in F,Q\in F{\Bigr \}}{\vphantom {\frac {()}{}}}}$$

بما أن الفضاء المتجهي المرتبط بـ F هو فضاء جزئي خطي (فضاء جزئي متجهي) من${\displaystyle {\overrightarrow {E}}.}$الفضاء الجزئي الإقليدي F هو فضاء إقليدي يحتوي على${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$باعتباره الفضاء المتجهي المرتبط به. هذا الفضاء الفرعي الخطي${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ويسمى أيضاً اتجاه F.​

إذا كانت P نقطة من F فإن

$${\displaystyle F={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {F}}{\Bigr \}}.}$$

وعلى العكس من ذلك، إذا كانت P نقطة من E و${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$هو فضاء جزئي خطي من${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$ثم

$${\displaystyle P+{\overrightarrow {V}}={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {V}}{\Bigr \}}}$$

هو فضاء جزئي إقليدي ذو اتجاه${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$. (الفضاء المتجهي المرتبط بهذا الفضاء الفرعي هو${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$.)

فضاء متجهي إقليدي${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$(أي الفضاء الإقليدي الذي يساوي${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$يحتوي الفضاء الجزئي على نوعين: الفضاءات الجزئية الإقليدية والفضاءات الجزئية الخطية. الفضاءات الجزئية الخطية هي فضاءات جزئية إقليدية، ويكون الفضاء الجزئي الإقليدي فضاءً جزئياً خطياً إذا وفقط إذا احتوى على المتجه الصفري.

في الفضاء الإقليدي، الخط هو فضاء جزئي إقليدي ذو بُعد واحد. وبما أن الفضاء المتجهي ذو البُعد الواحد يُولّد بواسطة أي متجه غير صفري، فإن الخط هو مجموعة من الشكل التالي:

$${\displaystyle {\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

حيث P و Q نقطتان متميزتان في الفضاء الإقليدي كجزء من الخط.

يترتب على ذلك وجود خط مستقيم واحد فقط يمر بنقطتين مختلفتين. وهذا يعني أن خطين مستقيمين مختلفين يتقاطعان في نقطة واحدة على الأكثر.

التمثيل الأكثر تناظرًا للخط المار بالنقطتين P و Q هو

$${\displaystyle {\Bigl \{}O+(1-\lambda ){\overrightarrow {OP}}+\lambda {\overrightarrow {OQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

حيث O هي نقطة عشوائية (ليس بالضرورة على الخط).

في الفضاء المتجهي الإقليدي، يُختار المتجه الصفري عادةً لـ O ؛ وهذا يسمح بتبسيط الصيغة السابقة إلى

$${\displaystyle {\bigl \{}(1-\lambda )P+\lambda Q\mathrel {\big |} \lambda \in \mathbb {R} {\bigr \}}.}$$

يسمح اصطلاح قياسي باستخدام هذه الصيغة في كل فضاء إقليدي، انظر الفضاء الأفيني §  التركيبات الأفينية ومركز الثقل .

القطعة المستقيمة ، أو ببساطة القطعة المستقيمة ، التي تصل بين النقطتين P و Q هي مجموعة جزئية من النقاط التي تحقق الشرط 0 ≤ 𝜆 ≤ 1 في الصيغ السابقة. ويُرمز لها بـ PQ أو QP ؛ أي

$${\displaystyle PQ=QP={\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} 0\leq \lambda \leq 1{\Bigr \}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

يُقال إن فضاءين جزئيين S و T لهما نفس البُعد في فضاء إقليدي متوازيان إذا كان لهما نفس الاتجاه (أي نفس الفضاء المتجهي المرتبط بهما). ^{[ أ ]} وبصورة مكافئة، يكونان متوازيين إذا وُجد متجه إزاحة v يُحول أحدهما إلى الآخر.

$${\displaystyle T=S+v.}$$

بفرض وجود نقطة P وفضاء جزئي S ، يوجد فضاء جزئي واحد فقط يحتوي على P ويكون موازياً لـ S ، وهو${\displaystyle P+{\overrightarrow {S}}.}$في حالة كون S خطًا (فضاء جزئي ذو بُعد واحد)، فإن هذه الخاصية هي بديهية بلايفير .

ويترتب على ذلك أنه في المستوى الإقليدي، إما أن يلتقي خطان في نقطة واحدة أو يكونان متوازيين.

تم توسيع مفهوم الفضاءات الفرعية المتوازية ليشمل الفضاءات الفرعية ذات الأبعاد المختلفة: يكون الفضاءان الفرعيان متوازيين إذا كان اتجاه أحدهما موجودًا في اتجاه الآخر.

المسافة (أو بالأحرى المسافة الإقليدية ) بين نقطتين في الفضاء الإقليدي هي معيار متجه الإزاحة الذي ينقل إحدى النقطتين إلى الأخرى؛ أي

$${\displaystyle d(P,Q)={\Bigl \|}{\overrightarrow {PQ}}{\Bigr \|}.{\vphantom {\frac {()}{}}}}$$

طول القطعة المستقيمة PQ هو المسافة d ( P , Q ) بين طرفيها P و Q. ويُشار إليها غالبًا بـ${\displaystyle |PQ|}$.

المسافة هي مقياس ، لأنها موجبة التحديد، ومتناظرة، وتحقق متباينة المثلث.

$${\displaystyle d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q).}$$

علاوة على ذلك، تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كانت النقطة R تنتمي إلى القطعة المستقيمة PQ . تعني هذه المتباينة أن طول أي ضلع من أضلاع المثلث أصغر من مجموع أطوال الأضلاع الأخرى. وهذا هو أصل مصطلح متباينة المثلث .

باستخدام المسافة الإقليدية، فإن كل فضاء إقليدي هو فضاء متري كامل .

متجهان غير صفريين u و v من${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$تكون الفضاءات المتجهة المرتبطة بالفضاء الإقليدي E متعامدة أو متعامدة إذا كان حاصل ضربها الداخلي يساوي صفرًا:

$${\displaystyle u\cdot v=0}$$

فضاءان خطيان فرعيان من${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$تكون الفضاءات الخطية متعامدة إذا كان كل متجه غير صفري في الفضاء الأول عموديًا على كل متجه غير صفري في الفضاء الثاني. وهذا يعني أن تقاطع الفضاءات الخطية يختزل إلى المتجه الصفري.

يكون الخطان، وبشكل أعم الفضاءان الإقليديان الجزئيان (يمكن اعتبار الخط فضاءً إقليدياً جزئياً واحداً)، متعامدين إذا كانت اتجاهاتهما (الفضاءات المتجهة المرتبطة بالفضاءات الإقليدية الجزئية) متعامدة. ويُقال عن الخطين المتعامدين المتقاطعين أنهما متعامدان .

يكون القطعان المستقيمان AB و AC اللذان يشتركان في نقطة نهاية واحدة A متعامدين أو يشكلان زاوية قائمة إذا كانت المتجهات${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {)}{}}}}$و${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}{\vphantom {\frac {)}{}}}}$متعامدة.

إذا شكلت القطعتان AB و AC زاوية قائمة، فإن المرء يكون

$${\displaystyle |BC|^{2}=|AB|^{2}+|AC|^{2}.}$$

هذه هي نظرية فيثاغورس . إثباتها سهل في هذا السياق، إذ أنه بالتعبير عنها بدلالة الضرب الداخلي، نحصل، باستخدام خاصية الخطية الثنائية وتناظر الضرب الداخلي:

$$[2μ] = (\overrightarrow {BC})\cdot (\overrightarrow {BC}}{\vphantom {\frac {()}{}}}\\[2μ] = (\overrightarrow {BA}}+(\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\cdot (\overrightarrow {BA}}+(\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\\[4μ] = (\overrightarrow {BA}}\cdot (\overrightarrow {BA}}+(\overrightarrow {AC}}\cdot (\overrightarrow {AC}}-2(\overrightarrow {AB}}\cdot (\overrightarrow {AC}}\\[6μ] = (\overrightarrow {AB}}\cdot (\overrightarrow {AB}}+(\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&=|AB|^{2}+|AC|^{2}.\end{aligned}}}$$

هنا،${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0{\vphantom {\frac {(}{}}}}$يُستخدم هذا لأن هذين المتجهين متعامدان.

الزاوية (غير الموجهة) θ بين متجهين غير صفريين x و y في${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$يكون

$${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {x\cdot y}{|x|\,|y|}}\right)}$$

حيث يمثل arccos القيمة الرئيسية لدالة arccosine . وبحسب متباينة كوشي-شفارتز ، فإن وسيط دالة arccosine يقع في الفترة [ −1, 1 ] . لذا، فإن θ عدد حقيقي، و 0 ≤ θ ≤ π (أو 0 ≤ θ ≤ 180 إذا قُيست الزوايا بالدرجات).

الزوايا ليست مفيدة في الخط الإقليدي، لأنها لا يمكن أن تكون إلا 0 أو π .

في المستوى الإقليدي الموجه ، يمكن تعريف الزاوية الموجهة بين متجهين. الزاوية الموجهة بين متجهين x و y هي معكوس الزاوية الموجهة بين متجهين y و x . في هذه الحالة، يمكن أن تأخذ الزاوية بين المتجهين أي قيمة بتردد مضاعف صحيح للعدد 2π . على وجه الخصوص، الزاوية المنعكسة π < θ < 2π تساوي الزاوية السالبة −π < θ − 2π < 0 .

لا تتغير زاوية متجهين إذا ضُربا بأعداد موجبة. بتعبير أدق، إذا كان x و y متجهين، و λ و μ عددين حقيقيين، فإن

$${\displaystyle \operatorname {angle} (\lambda x,\mu y)={\begin{cases}\operatorname {angle} (x,y)\qquad \qquad {\text{إذا كان }}\lambda {\text{ و }}\mu {\text{لهما نفس الإشارة}}\\\pi -\operatorname {angle} (x,y)\qquad {\text{فيما عدا ذلك}}.\end{cases}}}$$

إذا كانت A و B و C ثلاث نقاط في الفضاء الإقليدي، فإن زاوية القطعتين AB و AC هي زاوية المتجهين${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {()}{}}}}$و${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$بما أن ضرب المتجهات بأعداد موجبة لا يغير الزاوية، يمكن تعريف زاوية نصفي مستقيمين لهما نقطة بداية A على النحو التالي: هي زاوية القطعتين المستقيمتين AB و AC ، حيث B و C نقطتان اختياريتان، إحداهما على كل نصف مستقيم. مع أن هذا التعريف أقل شيوعًا، يمكن تعريف زاوية القطع المستقيمة أو أنصاف المستقيمات التي لا تشترك في نقطة بداية بشكل مشابه.

تُعرَّف زاوية خطين كما يلي: إذا كانت θ هي زاوية قطعتين مستقيمتين، إحداهما على كل خط، فإن زاوية أي قطعتين مستقيمتين أخريين، إحداهما على كل خط، إما θ أو π − θ . تقع إحدى هاتين الزاويتين في الفترة [ 0, π /2 ] ، والأخرى في الفترة [ π /2, π ] . الزاوية غير الموجهة للخطين هي تلك التي تقع في الفترة [ 0, π /2 ] . أما في المستوى الإقليدي الموجه، فتقع الزاوية الموجهة للخطين في الفترة [ −π /2, π /2 ] .

لكل فضاء متجهي إقليدي أساس متعامد (في الواقع، عدد لا نهائي منه في الأبعاد الأعلى من واحد، واثنان في البعد الواحد)، أي أساس${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$من متجهات الوحدة (${\displaystyle \|e_{i}\|=1}$) التي تكون متعامدة ثنائياً (${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=0}$(لـ i ≠ j ). وبشكل أدق، بالنظر إلى أي أساس${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{n}),}$تحسب عملية غرام -شميدت أساسًا متعامدًا بحيث يكون، لكل i ، الامتدادات الخطية لـ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{i})}$و${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{i})}$متساويان. ^{[ 7 ]}

بالنظر إلى الفضاء الإقليدي E ، فإن الإطار الديكارتي هو مجموعة من البيانات تتكون من أساس متعامد.${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$ونقطة على المحور E ، تسمى نقطة الأصل ويرمز لها غالبًا بالرمز O. إطار إحداثيات ديكارتية${\displaystyle (O,e_{1},\dots ,e_{n})}$يسمح بتحديد الإحداثيات الديكارتية لكل من E و${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$بالطريقة التالية.

الإحداثيات الديكارتية للمتجه v من${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$هي معاملات v على الأساس المتعامد${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}.}$على سبيل المثال، الإحداثيات الديكارتية لمتجه${\displaystyle v}$على أساس متعامد${\displaystyle (e_{1},e_{2},e_{3})}$(التي قد تسمى باسم${\displaystyle (x,y,z)}$(كعرف) في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد هو${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$لو${\displaystyle v=\alpha _{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2}+\alpha _{3}e_{3}}$بما أن الأساس متعامد معياري، فإن المعامل رقم i${\displaystyle \alpha _{i}}$يساوي حاصل الضرب النقطي${\displaystyle v\cdot e_{i}.}$

الإحداثيات الديكارتية لنقطة P من E هي الإحداثيات الديكارتية للمتجه${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$

بما أن الفضاء الإقليدي هو فضاء أفيني ، يمكن اعتبار إطار أفيني عليه، وهو نفسه الإطار الإقليدي، باستثناء أن الأساس ليس بالضرورة متعامدًا. وهذا يُعرّف الإحداثيات الأفينية ، والتي تُسمى أحيانًا بالإحداثيات المائلة للتأكيد على أن متجهات الأساس ليست متعامدة مثنى مثنى.

الأساس الأفيني للفضاء الإقليدي ذي البعد n هو مجموعة من n + 1 نقطة لا تقع ضمن مستوى فائق. ويحدد الأساس الأفيني إحداثيات مركزية لكل نقطة.

يمكن تعريف العديد من أنظمة الإحداثيات الأخرى على فضاء إقليدي E ذي بُعد n ، بالطريقة التالية. ليكن f تماثلًا شكليًا (أو، في أغلب الأحيان، تماثلًا تباينيًا ) من مجموعة جزئية مفتوحة كثيفة من E إلى مجموعة جزئية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$إحداثيات النقطة x من E هي مركبات f ( x ) . يتم تعريف نظام الإحداثيات القطبية (البعد 2) وأنظمة الإحداثيات الكروية والأسطوانية ( البعد 3 ) بهذه الطريقة.

بالنسبة للنقاط الواقعة خارج نطاق الدالة f ، قد تُعرَّف الإحداثيات أحيانًا على أنها نهاية إحداثيات النقاط المجاورة، ولكن هذه الإحداثيات قد لا تكون محددة بشكل فريد، وقد لا تكون متصلة في جوار النقطة. على سبيل المثال، في نظام الإحداثيات الكروية، لا يُعرَّف خط الطول عند القطب، وعلى خط الزوال المعاكس ، يمر خط الطول بشكل غير متصل من -180° إلى +180°.

هذه الطريقة في تعريف الإحداثيات تمتد بسهولة إلى الهياكل الرياضية الأخرى، وعلى وجه الخصوص إلى المتشعبات .

إذا كان E فضاءً إقليديًا، فإن الفضاء المتجهي المرتبط به${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$يمكن اعتبارها فضاءً إقليديًا. كل نقطة O ∈ E تحدد تماثلًا للفضاءات الإقليدية

$${\displaystyle P\mapsto {\overrightarrow {OP}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

والتي تُسقط O على المتجه الصفري ولها نفس التحويل الخطي المرتبط بها. التحويل العكسي هو التحويل

$${\displaystyle v\mapsto O+v.}$$

إطار إقليدي${\displaystyle (O,e_{1},\dots ,e_{n})}$يسمح بتحديد الخريطة

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&\to \mathbb {R} ^{n}\\P&\mapsto {\Bigl (}e_{1}\cdot {\overrightarrow {OP}},\dots ,e_{n}\cdot {\overrightarrow {OP}}{\Bigr )},{\vphantom {\frac {(}{}}}\end{aligned}}}$$

وهو تماثل قياس للفضاءات الإقليدية. أما التماثل العكسي فهو

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {R} ^{n}&\to E\\(x_{1}\dots ,x_{n})&\mapsto \left(O+x_{1}e_{1}+\dots +x_{n}e_{n}\right).\end{aligned}}}$$

هذا يعني أنه، حتى التشاكل، يوجد فضاء إقليدي واحد فقط ذو بُعد معين.

وهذا يبرر حديث العديد من المؤلفين عن${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$باعتبارها الفضاء الإقليدي ذي البعد n .

يُطلق على التحويل المتساوي القياس من فضاء إقليدي إلى نفسه اسم التحويل الإقليدي المتساوي القياس ، أو التحويل الإقليدي ، أو التحويل الصلب . تُشكّل التحويلات الصلبة للفضاء الإقليدي زمرة (تحت التركيب )، تُسمى الزمرة الإقليدية ، ويُرمز لها غالبًا بالرمز E( n ) .

أبسط التحويلات الإقليدية هي عمليات الإزاحة.

$${\displaystyle P\to P+v.}$$

إنها متناظرة تناظراً تقابلياً مع المتجهات. وهذا أحد أسباب تسمية فضاء الإزاحات بالفضاء المتجهي المرتبط بالفضاء الإقليدي. وتشكل الإزاحات زمرة جزئية طبيعية من الزمرة الإقليدية.

يُعرّف التناظر الإقليدي f للفضاء الإقليدي E تناظرًا خطيًا${\displaystyle {\overrightarrow {f}}}$للفضاء المتجهي المرتبط (بمعنى التماثل الخطي ، أي التماثل الذي هو أيضًا تطبيق خطي ) بالطريقة التالية: نرمز بـ Q − P إلى المتجه${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}},{\vphantom {\frac {()}{}}}}$إذا كانت O نقطة عشوائية من E ، فإن المرء لديه

$${\displaystyle {\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr )}=f(P)-f(O).{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

من السهل إثبات أن هذه دالة خطية لا تعتمد على اختيار O.

الخريطة${\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}}$هو تشاكل زمر من الزمرة الإقليدية إلى زمرة التماثلات الخطية، والتي تُسمى الزمرة المتعامدة . نواة هذا التشاكل هي زمرة الإزاحة، مما يدل على أنها زمرة جزئية طبيعية من الزمرة الإقليدية.

تشكل التماثلات التي تثبت نقطة معينة P زمرة التثبيت الجزئية للزمرة الإقليدية بالنسبة إلى P. وتقييد تماثل الزمر المذكور أعلاه على هذه الزمرة المثبتة هو تماثل. لذا، فإن التماثلات التي تثبت نقطة معينة تشكل زمرة متماثلة مع الزمرة المتعامدة.

لتكن P نقطة، و f تحويلًا متساوي القياس، و t الإزاحة التي تحول P إلى f ( P ) .${\displaystyle g=t^{-1}\circ f}$يُصلح P. لذا${\displaystyle f=t\circ g,}$والمجموعة الإقليدية هي حاصل الضرب شبه المباشر لمجموعة الإزاحة والمجموعة المتعامدة.

الزمرة المتعامدة الخاصة هي الزمرة الجزئية الطبيعية للزمرة المتعامدة التي تحافظ على خاصية اليدوية . وهي زمرة جزئية ذات دليل اثنين من الزمرة المتعامدة. صورتها العكسية بواسطة تشاكل الزمر${\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}}$هي مجموعة فرعية طبيعية من المجموعة الإقليدية ذات الدليل الثاني، والتي تسمى المجموعة الإقليدية الخاصة أو مجموعة الإزاحة . وتسمى عناصرها بالحركات الصلبة أو الإزاحات .

تشمل الحركات الصلبة الحركة المطابقة ، والحركات الانتقالية، والحركات الدورانية (الحركات الصلبة التي تثبت نقطة واحدة على الأقل)، وكذلك الحركات اللولبية .

من الأمثلة النموذجية للتحويلات الصلبة التي لا تُعدّ حركات صلبة، الانعكاسات ، وهي تحويلات صلبة تُثبّت مستوىً فائقًا وليست تحويلات محايدة. وهي أيضًا التحويلات التي تتضمن تغيير إشارة أحد الإحداثيات في إطار إقليدي.

بما أن المجموعة الإقليدية الخاصة هي مجموعة جزئية من المجموعة الإقليدية ذات الدليل 2، فإنه عند وجود انعكاس r ، يكون كل تحويل صلب ليس حركة صلبة هو حاصل ضرب r في حركة صلبة. ويُعد الانعكاس الانزلاقي مثالاً على تحويل صلب ليس حركة صلبة ولا انعكاساً.

جميع المجموعات التي تم تناولها في هذا القسم هي مجموعات لي ومجموعات جبرية .

الفضاء الإقليدي هو فضاء أفيني مزود بمقياس . وللفضاءات الأفينية استخدامات عديدة أخرى في الرياضيات. وبشكل خاص، بما أنها معرفة على أي حقل ، فإنها تتيح ممارسة الهندسة في سياقات أخرى.

عند دراسة المسائل غير الخطية، من المفيد عمومًا اعتبار الفضاءات الأفينية على الأعداد المركبة امتدادًا للفضاءات الإقليدية. فعلى سبيل المثال، يتقاطع كل من الدائرة والخط دائمًا في نقطتين (قد لا تكونان مختلفتين) في الفضاء الأفيني المركب. ولذلك، يُبنى معظم علم الهندسة الجبرية على الفضاءات الأفينية المركبة والفضاءات الأفينية على الحقول المغلقة جبريًا . وتُسمى الأشكال التي تُدرس في الهندسة الجبرية في هذه الفضاءات الأفينية بالمتنوعات الجبرية الأفينية .

تُوفّر الفضاءات الأفينية فوق الأعداد النسبية ، وبشكل أعم فوق حقول الأعداد الجبرية، صلةً بين الهندسة (الجبرية) ونظرية الأعداد . فعلى سبيل المثال، يمكن صياغة نظرية فيرما الأخيرة على النحو التالي: "لا توجد نقطة في المستوى الأفيني فوق الأعداد النسبية لمنحنى فيرما من الدرجة الأعلى من اثنين".

حظيت الهندسة في الفضاءات الأفينية فوق الحقول المنتهية باهتمام واسع في الدراسات. فعلى سبيل المثال، تُستخدم المنحنيات الإهليلجية فوق الحقول المنتهية على نطاق واسع في علم التشفير .

في الأصل، تم تقديم الفضاءات الإسقاطية بإضافة " نقاط في اللانهاية " إلى الفضاءات الإقليدية، وبشكل أعم إلى الفضاءات الأفينية، وذلك لجعل مقولة " خطان مستويان يلتقيان في نقطة واحدة فقط" صحيحة. تشترك الفضاءات الإسقاطية مع الفضاءات الإقليدية والأفينية في خاصية التماثل ، أي أنه لا توجد خاصية في الفضاء تسمح بالتمييز بين نقطتين أو خطين. لذلك، يُستخدم عادةً تعريف أكثر تماثلاً، وهو تعريف الفضاء الإسقاطي بأنه مجموعة الخطوط المتجهة في فضاء متجهي ذي بُعد أكبر بواحد.

أما بالنسبة للفضاءات الأفينية، فإن الفضاءات الإسقاطية تُعرَّف على أي حقل ، وهي فضاءات أساسية للهندسة الجبرية .

يشير مصطلح الهندسة غير الإقليدية عادةً إلى الفضاءات الهندسية التي لا ينطبق عليها مسلمة التوازي . وتشمل هذه الهندسة الإهليلجية ، حيث يكون مجموع زوايا المثلث أكبر من 180 درجة، والهندسة الزائدية ، حيث يكون هذا المجموع أقل من 180 درجة. وقد كان ظهورها في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، وإثبات اتساق نظريتها ( إذا لم تكن الهندسة الإقليدية متناقضة معها)، من المفارقات التي كانت وراء الأزمة التأسيسية في الرياضيات في مطلع القرن العشرين، والتي حفزت بدورها تنظيم النظريات البديهية في الرياضيات.

الفضاء المتشعب هو فضاء يشبه في جوار كل نقطة فيه فضاءً إقليديًا. وبعبارة أخرى، هو فضاء طوبولوجي ، بحيث يكون لكل نقطة فيه جوار متماثل طوبولوجيًا مع مجموعة مفتوحة جزئية من فضاء إقليدي. ويمكن تصنيف الفضاءات المتشعبة ، بحسب درجة هذا "التشابه"، إلى فضاءات طوبولوجية ، وفضاءات قابلة للتفاضل ، وفضاءات ملساء ، وفضاءات تحليلية . إلا أن أيًا من هذه الأنواع من "التشابه" لا يراعي المسافات والزوايا، حتى تقريبًا.

يمكن تعريف المسافات والزوايا على مشعب أملس بتوفير مقياس إقليدي متغير بسلاسة على الفضاءات المماسية عند نقاط المشعب (وهذه الفضاءات المماسية هي بالتالي فضاءات متجهة إقليدية). ينتج عن ذلك مشعب ريماني . عمومًا، لا توجد خطوط مستقيمة في المشعب الريماني، ولكن دورها يتمثل في الخطوط الجيوديسية ، وهي "أقصر المسارات" بين نقطتين. يسمح هذا بتعريف المسافات، التي تُقاس على طول الخطوط الجيوديسية، والزوايا بين الخطوط الجيوديسية، وهي زاوية مماساتها في الفضاء المماسي عند تقاطعها. لذا، تتصرف المشعبات الريمانية محليًا كفضاء إقليدي منحني.

الفضاءات الإقليدية هي في جوهرها فضاءات ريمانية. ومن الأمثلة التي توضح ذلك سطح الكرة . في هذه الحالة، تمثل الخطوط الجيوديسية أقواسًا من الدائرة العظمى ، والتي تُسمى خطوطًا مستقيمة في سياق الملاحة . وبشكل أعم، يمكن تمثيل فضاءات الهندسات غير الإقليدية كفضاءات ريمانية.

الضرب الداخلي لفضاء متجهي حقيقي هو شكل ثنائي خطي موجب التحديد ، وبالتالي يتميز بشكل تربيعي موجب التحديد . الفضاء شبه الإقليدي هو فضاء أفيني مرتبط به فضاء متجهي حقيقي مزود بشكل تربيعي غير منحل (قد يكون غير محدد ).

يُعد فضاء مينكوفسكي مثالًا أساسيًا على هذا النوع من الفضاءات ، وهو فضاء الزمكان في نظرية النسبية الخاصة لأينشتاين . وهو فضاء رباعي الأبعاد، حيث يُعرَّف المقياس فيه بالصيغة التربيعية.

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},}$$

حيث أن الإحداثي الأخير ( t ) زمني، والإحداثيات الثلاثة الأخرى ( x ، y ، z ) مكانية.

لأخذ الجاذبية في الحسبان، تستخدم النسبية العامة فضاءً شبه ريماني يحتوي على فضاءات مينكوفسكي كفضاءات مماسية . انحناء هذا الفضاء عند نقطة ما هو دالة لقيمة مجال الجاذبية عند تلك النقطة.