معادلة تفاضلية جزئية

العمل في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$المشتقات الجزئية للدالة${\displaystyle u}$يمكن الإشارة إليه بواسطة $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}}$$ أو مع رمز سفلي $${\displaystyle u_{x_{i}}.}$$

بالنسبة للمشتقات المتعددة، يمكن استخدام ترميز متعدد المؤشرات . وبالتالي إذا${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$، طول${\displaystyle \alpha }$يُرمز إليه بـ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ويُرمز إلى الجزء المتكرر بـ $${\displaystyle D^{\alpha }u={\frac {\partial ^{k}u}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$$

في التعريف المذكور أعلاه ^{[ 5 ]} للمعادلة التفاضلية الجزئية، فإن قوى${\displaystyle D}$هي الموترات التي تكون مكوناتها مشتقات جزئية لـ${\displaystyle u}$؛ على سبيل المثال${\displaystyle D^{k}u}$هو موتر يحتوي على${\displaystyle n^{k}}$المكونات التي تشكل ترتيب المجموعة${\displaystyle \{D^{\alpha }u\mid |\alpha |=k\}}$بعد مراعاة خاصية التبادلية للمشتقات الجزئية.

يرمز الحرف اليوناني Δ إلى مؤثر لابلاس ؛ إذا كانت u دالة لـ n متغيرًا، فإن $${\displaystyle \Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.}$$ في الأدبيات الفيزيائية، يُرمز غالبًا إلى مؤثر لابلاس بالرمز ∇² ^؛ وفي الأدبيات الرياضية، قد يُرمز أيضًا إلى مصفوفة هيسيان للمؤثر u ^بالرمز ∇²u ، والتي يُرمز إليها هنا بـ${\displaystyle D^{2}u}$.

تُسمى المعادلة التفاضلية الجزئية خطية إذا كانت خطية في المجهول ومشتقاته. على سبيل المثال، بالنسبة للدالة u بدلالة x و y ، تكون المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية من الرتبة الثانية على الصورة التالية: $${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)}$$ حيث أن _aᵢ و f دالتان للمتغيرين المستقلين x و y فقط. (غالبًا ما تُساوى المشتقات الجزئية المختلطة uₓy و uᵧyx ، ولكن هذا ليس ضروريًا لمناقشة الخطية). إذا كانت aᵢ _ثوابت (مستقلة عن x و y ) _، فإن المعادلة التفاضلية الجزئية تُسمى خطية ذات معاملات ثابتة . إذا كانت f تساوي صفرًا في كل مكان _، فإن المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية تكون متجانسة ، وإلا فهي غير متجانسة . (هذا يختلف عن التجانس التقاربي ، الذي يدرس تأثيرات التذبذبات عالية التردد في المعاملات على حلول المعادلات التفاضلية الجزئية).

أقرب المعادلات التفاضلية الجزئية إلى المعادلات الخطية هي المعادلات التفاضلية الجزئية شبه الخطية ، حيث تظهر المشتقات ذات الرتبة الأعلى فقط كحدود خطية، بمعاملات هي دوال للمتغيرات المستقلة. أما المشتقات ذات الرتب الأدنى والدالة المجهولة فقد تظهر بشكل عشوائي. على سبيل المثال، معادلة تفاضلية جزئية شبه خطية عامة من الرتبة الثانية في متغيرين هي $${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

في المعادلات التفاضلية الجزئية شبه الخطية ، تظهر المشتقات من أعلى رتبة أيضًا كحدود خطية فقط، ولكن بمعاملات قد تكون دوالًا للمتغير المجهول والمشتقات من الرتب الأدنى: $${\displaystyle a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$ العديد من المعادلات التفاضلية الجزئية الأساسية في الفيزياء هي شبه خطية، مثل معادلات أينشتاين للنسبية العامة ومعادلات نافيير-ستوكس التي تصف حركة السوائل.

تُسمى المعادلة التفاضلية الجزئية التي لا تمتلك أي خصائص خطية معادلة غير خطية تمامًا ، وتمتلك خصائص غير خطية في واحد أو أكثر من المشتقات ذات الرتبة الأعلى. ومن الأمثلة على ذلك معادلة مونج-أمبير ، التي تظهر في الهندسة التفاضلية . ^{[ 6 ]}

يُقدّم التصنيف الإهليلجي/القطع المكافئ/القطع الزائد دليلاً لاختيار الشروط الابتدائية والحدودية المناسبة ، ولضمان سلاسة الحلول. بافتراض أن u _xy = u _yx ، فإن المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية العامة من الدرجة الثانية في متغيرين مستقلين تأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(lower order terms)}}=0,}$$ حيث قد تعتمد المعاملات A و B و C ... على x و y . إذا كان A² + B² ⁺ C² > 0 على منطقة من المستوى xy ^{، فإن} المعادلة التفاضلية الجزئية تكون من الرتبة الثانية في تلك المنطقة. هذا الشكل مماثل لمعادلة القطع المخروطي. $${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}$$

وبشكل أكثر دقة، فإن استبدال ∂ _x بـ X ، وكذلك بالنسبة للمتغيرات الأخرى (يتم ذلك رسميًا عن طريق تحويل فورييه )، يحول معادلة تفاضلية جزئية ذات معامل ثابت إلى متعددة حدود من نفس الدرجة، مع كون الحدود ذات الدرجة الأعلى ( متعددة حدود متجانسة ، هنا شكل تربيعي ) هي الأكثر أهمية للتصنيف.

كما يُصنَّف القطع المخروطية والصيغ التربيعية إلى قطع مكافئ، وقطع زائد، وقطع ناقص بناءً على المميز B² - 4AC ، يمكن تطبيق الأمر نفسه على ^معادلة تفاضلية جزئية من الرتبة الثانية عند نقطة معينة. مع ذلك، يُعطى المميز في المعادلة التفاضلية الجزئية بالصيغة B² ^- AC نظرًا لاصطلاح أن ^يكون الحد xy هو 2B وليس B ؛ رسميًا، المميز (للصيغة التربيعية المرتبطة) هو ( 2B ) ^² - 4AC = 4( B² - AC ) ، مع حذف العامل 4 للتبسيط.

1. B² ⁻ AC < 0 ( معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية ) :حلول المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية سلسة بقدر ما تسمح به المعاملات، ضمن المنطقة التي تُعرَّف فيها المعادلة وحلولها. على سبيل المثال، تكون حلول معادلة لابلاس تحليلية ضمن المجال الذي تُعرَّف فيه، ولكن قد تأخذ الحلول قيمًا حدية غير سلسة. يمكن تقريب حركة المائع بسرعات دون سرعة الصوت باستخدام المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية، وتكون معادلة أويلر-تريكومي إهليلجية حيث x < 0. بتغيير المتغيرات، يمكن دائمًا التعبير عن المعادلة بالشكل التالي:$${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+\cdots =0,}$$حيث يمثل x و y متغيرات متغيرة. وهذا يبرر معادلة لابلاس كمثال على هذا النوع. ^{[ 7 ]}
2. B² - AC = 0 ( معادلة تفاضلية جزئية مكافئة ): يمكن تحويلالمعادلات المكافئة عند كل نقطة إلى صيغة مشابهة لمعادلة الحرارة بتغيير المتغيرات المستقلة. تصبح الحلول أكثر سلاسة مع ازدياد قيمة متغير الزمن المُحوَّل. تتخذ معادلة أويلر-تريكومي شكلًا مكافئًا على الخط حيث ^x = 0. بتغيير المتغيرات، يمكن دائمًا التعبير عن المعادلة بالشكل التالي:$${\displaystyle u_{xx}+\cdots =0,}$$حيث تمثل x المتغيرات المتغيرة. وهذا يبرر معادلة الحرارة ، التي تأخذ الشكل التالي:${\textstyle u_{t}-u_{xx}+\cdots =0}$^{[ 7 ]} كمثال على هذا النوع.
3. B² − AC > 0 ( معادلة تفاضلية جزئية زائدية ): تحتفظ المعادلات الزائدية بأي انقطاعات ^في الدوال أو المشتقات في البيانات الأولية. ومن الأمثلة على ذلك معادلة الموجة . يمكن تقريب حركة المائع بسرعات تفوق سرعة الصوت باستخدام المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية، وتكون معادلة أويلر-تريكومي زائدية عندما x > 0. بتغيير المتغيرات، يمكن دائمًا التعبير عن المعادلة بالشكل التالي:$${\displaystyle u_{xx}-u_{yy}+\cdots =0,}$$حيث يمثل x و y متغيرات متغيرة. وهذا يبرر اعتبار معادلة الموجة مثالاً على هذا النوع. ^{[ 7 ]}

إذا كان هناك n متغيرًا مستقلًا x1 _، x2 _، ...، xn _، فإن المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية العامة من الرتبة الثانية تأخذ الشكل التالي :$${\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad +{\text{lower-order terms}}=0.}$$

يعتمد التصنيف على توقيع القيم الذاتية لمصفوفة المعاملات a _{i , j} .

1. القطع الناقص: القيم الذاتية إما موجبة بالكامل أو سالبة بالكامل.
2. القطع المكافئ: القيم الذاتية إما موجبة جميعها أو سالبة جميعها، باستثناء قيمة واحدة تساوي صفرًا.
3. القطع الزائد: توجد قيمة ذاتية سالبة واحدة فقط وجميع القيم الأخرى موجبة، أو توجد قيمة ذاتية موجبة واحدة فقط وجميع القيم الأخرى سالبة.
4. القطع الزائد الفائق: يوجد أكثر من قيمة ذاتية موجبة واحدة وأكثر من قيمة ذاتية سالبة واحدة، ولا توجد قيم ذاتية صفرية. ^{[ 8 ]}

لقد تمت دراسة نظرية المعادلات الإهليلجية والقطع المكافئ والقطع الزائد لقرون، وتركز بشكل كبير على الأمثلة القياسية لمعادلة لابلاس ومعادلة الحرارة ومعادلة الموجة أو تستند إليها .

مع ذلك، يعتمد التصنيف فقط على خطية الحدود من الرتبة الثانية، وبالتالي فهو ينطبق على المعادلات التفاضلية الجزئية شبه الخطية وشبه الخطية أيضًا. تمتد الأنواع الأساسية أيضًا إلى المعادلات الهجينة مثل معادلة أويلر-تريكومي ، التي تتراوح من القطع الناقص إلى القطع الزائد في مناطق مختلفة من المجال، بالإضافة إلى المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتب العليا، ولكن هذه المعرفة أكثر تخصصًا.

يمكن توسيع تصنيف المعادلات التفاضلية الجزئية ليشمل أنظمة المعادلات من الرتبة الأولى، حيث يكون المجهول u متجهًا ذا m عنصرًا، وتكون مصفوفات المعاملات Aν مصفوفات من الرتبة m × m حيث ν = 1, 2, …, n . تأخذ المعادلة التفاضلية الجزئية الشكل التالي _:$${\displaystyle Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,}$$حيث قد تعتمد مصفوفات المعاملات A و _ν والمتجه B على x و u . إذا تم إعطاء سطح فائق S في الشكل الضمني $${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$$ إذا كان لـ φ تدرج غير صفري، فإن S يكون سطحًا مميزًا للمؤثر L عند نقطة معينة إذا كان الشكل المميز يتلاشى :$${\displaystyle Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.}$$

التفسير الهندسي لهذه الحالة هو كالتالي: إذا كانت بيانات u محددة على السطح S ، فمن الممكن تحديد المشتقة العمودية لـ u على S من المعادلة التفاضلية. إذا حددت البيانات على S والمعادلة التفاضلية المشتقة العمودية لـ u على S ، فإن S يكون سطحًا غير مميز. أما إذا لم تحدد البيانات على S والمعادلة التفاضلية المشتقة العمودية لـ u على S ، فإن السطح يكون مميزًا ، وتقيد المعادلة التفاضلية البيانات على S : أي أن المعادلة التفاضلية داخلية بالنسبة لـ S.

1. يكون النظام من الدرجة الأولى Lu = 0 إهليلجيًا إذا لم يكن هناك سطح مميز لـ L : تحدد قيم u على S والمعادلة التفاضلية دائمًا المشتقة العمودية لـ u على S.
2. يكون النظام من الدرجة الأولى زائديًا عند نقطة ما إذا وُجد سطح فضائي S عمودي عليه ξ عند تلك النقطة. هذا يعني أنه، لأي متجه غير تافه η عمودي على ξ ، ومُضاعِف قياسي λ ، فإن المعادلة Q ( λξ + η ) = 0 لها m جذرًا حقيقيًا λ₁ _, λ₂ _, …, λₘ _. يكون النظام زائديًا تمامًا إذا كانت هذه الجذور متميزة دائمًا. التفسير الهندسي لهذا الشرط هو كما يلي: يُحدد الشكل المميز Q ( ζ ) = 0 مخروطًا (المخروط العمودي) بإحداثيات متجانسة ζ. في الحالة الزائدية، يحتوي هذا المخروط على nm من الصفائح، ويمر المحور ζ = λξ داخل هذه الصفائح: فهو لا يتقاطع مع أي منها. ولكن عند إزاحته من نقطة الأصل بمقدار η، يتقاطع هذا المحور مع كل صفيحة. في حالة القطع الناقص، لا يحتوي المخروط العادي على صفائح حقيقية.

يمكن اختزال المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية إلى أنظمة من المعادلات التفاضلية العادية باستخدام تقنية فصل المتغيرات المهمة. تعتمد هذه التقنية على خاصية حلول المعادلات التفاضلية: إذا أمكن إيجاد أي حل يحقق المعادلة ويلبي الشروط الحدية، فهو الحل (ينطبق هذا أيضًا على المعادلات التفاضلية العادية). نفترض مبدئيًا أن اعتماد الحل على معاملي المكان والزمان يمكن كتابته كحاصل ضرب حدود يعتمد كل منها على معامل واحد، ثم نتحقق مما إذا كان هذا الحل كافيًا لحل المسألة. ^{[ 9 ]}

في طريقة فصل المتغيرات، يتم اختزال المعادلة التفاضلية الجزئية إلى معادلة تفاضلية جزئية في عدد أقل من المتغيرات، وهي معادلة تفاضلية عادية إذا كانت في متغير واحد - وهذه بدورها أسهل في الحل.

هذا ممكن بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية البسيطة، والتي تُسمى المعادلات التفاضلية الجزئية القابلة للفصل ، ويكون مجالها عادةً مستطيلاً (ناتج ضرب فترات). تتوافق المعادلات التفاضلية الجزئية القابلة للفصل مع المصفوفات القطرية - باعتبار "قيمة x الثابتة " إحداثية، يمكن فهم كل إحداثية على حدة.

وهذا يعمم على طريقة الخصائص ، ويستخدم أيضًا في التحويلات التكاملية .

يُطلق على السطح المميز في الفضاء ذي البعد n = 2 اسم المنحنى المميز . ^{[ 10 ]} في حالات خاصة، يمكن إيجاد منحنيات مميزة تُختزل عليها المعادلة التفاضلية الجزئية من الرتبة الأولى إلى معادلة تفاضلية عادية - تغيير الإحداثيات في المجال لتقويم هذه المنحنيات يسمح بفصل المتغيرات، ويُطلق على هذه الطريقة اسم طريقة الخصائص .

وبشكل أكثر عمومية، بتطبيق هذه الطريقة على المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الأولى في أبعاد أعلى، يمكن للمرء أن يجد أسطحًا مميزة.

قد يؤدي التحويل التكاملي إلى تحويل المعادلة التفاضلية الجزئية إلى معادلة أبسط، وبالتحديد إلى معادلة تفاضلية جزئية قابلة للفصل. وهذا يتوافق مع عملية قطريّة المؤثر.

ومن الأمثلة المهمة على ذلك تحليل فورييه ، الذي يقوم بتحويل معادلة الحرارة إلى شكل قطري باستخدام الأساس الذاتي للموجات الجيبية.

إذا كان المجال محدودًا أو دوريًا، فإن مجموعًا لانهائيًا من الحلول، مثل متسلسلة فورييه، يكون مناسبًا، ولكن تكامل الحلول، مثل تكامل فورييه، يكون مطلوبًا عمومًا للمجالات اللانهائية. يُعد حل مصدر نقطي لمعادلة الحرارة المذكورة أعلاه مثالًا على استخدام تكامل فورييه.

في كثير من الأحيان، يمكن اختزال المعادلة التفاضلية الجزئية إلى شكل أبسط ذي حل معروف عن طريق تغيير مناسب للمتغيرات . على سبيل المثال، معادلة بلاك-شولز$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$$ يمكن اختزالها إلى معادلة الحرارة$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$ عن طريق تغيير المتغيرات ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}V(S,t)&=v(x,\tau ),\\x&=\ln \left(S\right),\\\tau &={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\\v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\end{aligned}}}$$

يمكن في كثير من الأحيان حل المعادلات غير المتجانسة (بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية ذات المعاملات الثابتة، يمكن حلها دائمًا) عن طريق إيجاد الحل الأساسي (حل مصدر نقطي).${\displaystyle P(D)u=\delta }$ثم يتم إجراء عملية الالتفاف مع الشروط الحدية للحصول على الحل.

وهذا يشبه في معالجة الإشارات فهم المرشح من خلال استجابته النبضية .

ينطبق مبدأ التراكب على أي نظام خطي، بما في ذلك أنظمة المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية. ومن الأمثلة الشائعة على هذا المفهوم تفاعل موجتين متوافقتين في الطور، مما يؤدي إلى دمجهما لتكوين سعة أكبر، على سبيل المثال _sin x + sin x = 2 sin x . ويمكن ملاحظة المبدأ نفسه في المعادلات التفاضلية الجزئية _، حيث قد تكون الحلول حقيقية أو مركبة وقابلة للجمع. إذا كان _u₁ و u₂ حلين لمعادلة تفاضلية جزئية خطية في فضاء دالة R ، فإن _u = c₁u₁ + c₂u₂ ، حيث _c₁ و _c₂ ثابتان، _يمثلان أيضًا حلاً لتلك المعادلة التفاضلية الجزئية في فضاء الدالة نفسه _.

لا توجد طرق تحليلية قابلة للتطبيق بشكل عام لحل المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية. ومع ذلك، فإن نتائج الوجود والوحدانية (مثل نظرية كوشي-كواليفسكي ) غالباً ما تكون ممكنة، وكذلك براهين الخصائص النوعية والكمية المهمة للحلول (ويُعد الحصول على هذه النتائج جزءاً رئيسياً من التحليل ).

مع ذلك، يمكن استخدام بعض التقنيات لأنواع عديدة من المعادلات. يُعد مبدأ h الطريقة الأقوى لحل المعادلات غير المحددة . أما نظرية ريكييه-جانيت فهي طريقة فعالة للحصول على معلومات حول العديد من الأنظمة التحليلية ذات التحديد الزائد .

يمكن استخدام طريقة الخصائص في بعض الحالات الخاصة جدًا لحل المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية. ^{[ 12 ]}

في بعض الحالات، يمكن حل المعادلات التفاضلية الجزئية باستخدام تحليل الاضطراب، حيث يُعتبر الحل تصحيحًا لمعادلة ذات حل معروف. وتشمل البدائل تقنيات التحليل العددي، بدءًا من مخططات الفروق المحدودة البسيطة وصولًا إلى طرق الشبكة المتعددة والعناصر المحدودة الأكثر تطورًا . ويتم حل العديد من المسائل المهمة في العلوم والهندسة بهذه الطريقة باستخدام الحواسيب ، وأحيانًا الحواسيب العملاقة فائقة الأداء .

منذ عام 1870، أرست أعمال سوفوس لي أسسًا أكثر متانة لنظرية المعادلات التفاضلية. فقد بيّن أن نظريات التكامل التي وضعها علماء الرياضيات القدامى يمكن ربطها، من خلال إدخال ما يُعرف الآن بمجموعات لي ، بمصدر مشترك؛ وأن المعادلات التفاضلية العادية التي تقبل نفس التحويلات المتناهية الصغر تُطرح صعوبات تكامل مماثلة. كما ركّز على موضوع تحويلات التماس .

يعتمد منهج عام لحل المعادلات التفاضلية الجزئية على خاصية التناظر في المعادلات التفاضلية، والتحويلات المتناهية الصغر المستمرة للحلول ( نظرية لي ). وتُستخدم نظرية الزمر المستمرة ، وجبر لي، والهندسة التفاضلية لفهم بنية المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية وغير الخطية، وذلك لتوليد معادلات قابلة للتكامل، وإيجاد أزواج لاكس ، ومؤثرات التكرار، وتحويل باكلوند، وأخيرًا إيجاد حلول تحليلية دقيقة للمعادلة التفاضلية الجزئية.

لقد تم الاعتراف بأساليب التناظر لدراسة المعادلات التفاضلية التي تنشأ في الرياضيات والفيزياء والهندسة والعديد من التخصصات الأخرى.

تُعدّ طريقة تفكيك أدوميان [ ^{13 ] ،} وطريقة ليابونوف للمعاملات الصغيرة الاصطناعية، وطريقة اضطراب التماثل الخاصة به ، حالات خاصة من طريقة تحليل التماثل الأكثر عمومية ^{[ 14 ]} . وهي طرق لتوسيع المتسلسلات، وباستثناء طريقة ليابونوف، فهي مستقلة عن المعاملات الفيزيائية الصغيرة مقارنةً بنظرية الاضطراب المعروفة ، مما يمنح هذه الطرق مرونة أكبر وعمومية أوسع في الحلول.

تُعدّ طريقة العناصر المحدودة (FEM) (ويُعرف تطبيقها العملي غالبًا باسم تحليل العناصر المحدودة (FEA)) تقنيةً عدديةً لتقريب حلول المعادلات التفاضلية الجزئية (PDE) وكذلك المعادلات التكاملية باستخدام مجموعة محدودة من الدوال. ^{[ 15 ] [ 16 ]} يعتمد أسلوب الحل إما على حذف المعادلة التفاضلية تمامًا (في مسائل الحالة المستقرة)، أو على تحويل المعادلة التفاضلية الجزئية إلى نظام تقريبي من المعادلات التفاضلية العادية، والتي تُكامل عدديًا باستخدام تقنيات قياسية مثل طريقة أويلر، وطريقة رونج-كوتا، وغيرها.

طرق الفروق المحدودة هي طرق عددية لتقريب حلول المعادلات التفاضلية باستخدام معادلات الفروق المحدودة لتقريب المشتقات.

على غرار طريقة الفروق المحدودة أو طريقة العناصر المحدودة، تُحسب القيم عند نقاط منفصلة على شكل هندسي مُجزأ. ويُشير مصطلح "الحجم المحدود" إلى الحجم الصغير المُحيط بكل نقطة عقدة على الشبكة. في طريقة الحجم المحدود، تُحوّل التكاملات السطحية في معادلة تفاضلية جزئية تحتوي على حد تباعد إلى تكاملات حجمية، باستخدام نظرية التباعد . ثم تُقيّم هذه الحدود كتدفقات على أسطح كل حجم محدود. ولأن التدفق الداخل إلى حجم معين يُطابق التدفق الخارج من الحجم المجاور، فإن هذه الطرق تحافظ على الكتلة بحكم تصميمها.

يشير مصطلح "حسن التحديد" إلى مجموعة معلومات تخطيطية مشتركة حول معادلة تفاضلية جزئية. ولكي نقول إن معادلة تفاضلية جزئية حسنة التحديد، يجب أن يتوفر ما يلي:

• نظرية الوجود والوحدانية، التي تنص على أنه من خلال تحديد بعض الدوال المختارة بحرية، يمكن للمرء أن يختار حلاً محدداً واحداً للمعادلة التفاضلية الجزئية.
• من خلال تغيير الخيارات الحرة باستمرار ، يتم تغيير الحل المقابل باستمرار.

هذا الأمر، بحكم ضرورة تطبيقه على عدة معادلات تفاضلية جزئية مختلفة، غامضٌ إلى حدٍ ما. ويُعدّ شرط "الاستمرارية" تحديدًا مُبهمًا، إذ توجد عادةً وسائل عديدة غير متكافئة يمكن من خلالها تعريفه بدقة. ومع ذلك، من غير المألوف دراسة معادلة تفاضلية جزئية دون تحديد طريقة صياغتها بشكل صحيح.

يشير الانتظام إلى قابلية التكامل والتفاضل للحلول الضعيفة، والتي يمكن تمثيلها غالبًا بواسطة فضاءات سوبوليف .

تنشأ هذه المشكلة بسبب صعوبة البحث عن حلول كلاسيكية. غالباً ما يميل الباحثون إلى إيجاد حلول ضعيفة في البداية، ثم يتحققون مما إذا كانت سلسة بما يكفي لتُعتبر حلاً كلاسيكياً.

تُستخدم نتائج التحليل الوظيفي بشكل متكرر في هذا المجال من الدراسة.