صيغة براهمغوبتا للاستيفاء

صيغة براهمغوبتا للاستيفاء هي صيغة استيفاء متعددة الحدود من الدرجة الثانية، طوّرها عالم الرياضيات والفلك الهندي براهمغوبتا (598-668 م ) في أوائل القرن السابع الميلادي . ويمكن إيجاد البيت الشعري السنسكريتي الذي يصف هذه الصيغة في الجزء التكميلي من كتاب "خانداكادياكا"، وهو أحد مؤلفات براهمغوبتا التي أُنجزت عام 665 م. ^{[ 1 ]} ويظهر البيت الشعري نفسه في كتاب براهمغوبتا السابق " ديانا-غراها-أدهيكارا "، الذي كُتب على الأرجح "في بداية الربع الثاني من القرن السابع الميلادي، إن لم يكن قبل ذلك". ^{[ 1 ]} وكان براهمغوبتا من أوائل من وصفوا واستخدموا صيغة استيفاء تعتمد على الفروق من الدرجة الثانية . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

صيغة براهمغوبتا للاستيفاء تعادل صيغة نيوتن-ستيرلينغ الحديثة من الدرجة الثانية للاستيفاء .

استخدم علماء الرياضيات قبل براهماغوبتا صيغة استيفاء خطي بسيطة . صيغة الاستيفاء الخطي لحساب f ( a ) هي

${\displaystyle f(a)=f_{r}+tD_{r}}$أين${\displaystyle t={\frac {a-x_{r}}{h}}}$.

لحساب f ( a ) ، يستبدل براهمغوبتا D _r بتعبير آخر يعطي قيمًا أكثر دقة ويعادل استخدام صيغة استيفاء من الدرجة الثانية.

في مصطلحات براهمغوبتا، يُعرف الفرق D _{_r} باسم "غاتا خاندة" ، أي الفرق الماضي أو الفرق الذي تم تجاوزه، بينما يُعرف الفرق D _{_{r +1}} باسم "بهوجي خاندة" ، أي الفرق الذي لم يأتِ بعد . أما "فيكالا" فهي مقدار الوقت بالدقائق الذي تم قطعه خلال الفترة الزمنية عند النقطة التي نريد إجراء الاستيفاء عندها. في الترميز الحالي، تُرمز لها بـ a − x _r . يُطلق على التعبير الجديد الذي يحل محل f _{_{r +1}} − f_{_r} اسم "سفوتا بهوجي خاندة" . يرد وصف "سفوتا بهوجي خاندة" في البيتين السنسكريتيين التاليين ( Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8 ): ^{[ 1 ]}

تمت ترجمة هذا باستخدام تعليق بهاتولبالا (القرن العاشر الميلادي) على النحو التالي: ^{[ 1 ] [ 4 ]}

اضرب قيمة فيكالا في نصف الفرق بين جاتاخاندا وبوجياخاندا ، ثم اقسم الناتج على 900. أضف الناتج إلى نصف مجموع جاتاخاندا وبوجياخاندا إذا كان نصف مجموعهما أقل من بوجياخاندا ، واطرحه إذا كان أكبر. (الناتج في كل حالة هو سفوتا-بوجياخاندا، وهو الفرق الجدولي الصحيح).

وُضِعَت هذه الصيغة في الأصل لحساب قيم دالة الجيب التي كانت الفترة المشتركة لها في الجدول الأساسي 900 دقيقة أو 15 درجة. لذا فإن الإشارة إلى 900 هي في الواقع إشارة إلى الفترة المشتركة h .

يمكن صياغة طريقة براهمغوبتا لحساب شوتابوجياخاندا بالترميز الحديث على النحو التالي:

$${\displaystyle {\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}.}$$

ينتج عن عامل التصحيح هذا القيمة التقريبية التالية لدالة اختيارية f ( a ) :

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(a)&=f_{r}+t\times \left({\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}\right)\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t^{2}{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}\end{aligned}}}$$

هذه صيغة ستيرلينغ للاستيفاء مُقتطعة عند الفروق من الرتبة الثانية. ^{[ 5 ] [ 6 ]} لا يُعرف كيف توصل براهمغوبتا إلى صيغة الاستيفاء الخاصة به. ^{[ 1 ]} وقد قدم براهمغوبتا صيغة منفصلة للحالة التي لا تكون فيها قيم المتغير المستقل متساوية التباعد.

• هوية براهمغوبتا
• مصفوفة براهماجوبتا
• هوية براهمغوبتا-فيوناشي