براهماجوبتا

براهماجوبتا
وُلِدّ	حوالي  598 م بهلامالا، غورجاراديسا ، مملكة تشافدا (حاليًا بهينمال ، راجاستان ، الهند )
مات	حوالي  668 م (العمر حوالي 69-70) أوجين ، إمبراطورية تشالوكيا (ماديا براديش الحديثة ، الهند )
معروف بـ	قواعد الحوسبة بالصفر نظام الأرقام الحديث نظرية براهماجوبتا هوية براهماجوبتا مشكلة براهماجوبتا متطابقة براهماجوبتا-فيبوناتشي صيغة الاستيفاء لبراهماجوبتا صيغة براهماجوبتا
المسيرة العلمية
الحقول	علم الفلك والرياضيات

براهماجوبتا ( حوالي  598 - حوالي  668 م ) كان عالم رياضيات وفلك هندي . وهو مؤلف عملين مبكرين في الرياضيات وعلم الفلك : براهماسفوتاسيدانتا (BSS، " عقيدة براهما الراسخة بشكل صحيح"، بتاريخ 628 )، وهي أطروحة نظرية، وخانداخادياكا ( "اللقمة الصالحة للأكل " ، بتاريخ 665)، وهو نص أكثر عملية.

في عام 628 م، وصف براهماجوبتا الجاذبية لأول مرة على أنها قوة جاذبة، واستخدم مصطلح "gurutvākarṣaṇam (गुरुत्वाकर्षणम्)" باللغة السنسكريتية لوصفها. ^{[1] [2] [3] [4]} كما يُنسب إليه أول وصف واضح للصيغة التربيعية (حل المعادلة التربيعية) ^[5] في عمله الرئيسي، براهما-سفوتا-سيدانتا . ^[6]

وُلِد براهماجوبتا، وفقًا لتصريحه الخاص، في عام 598 م. وُلِد في بهيلامالا في غورجاراديسا ^[7] ( بهينمال الحديثة في راجاستان ، الهند) في عهد حاكم سلالة تشافدا فياجراهاموكا. كان ابن جيشنوجوبتا وكان هندوسيًا بالدين، وبشكل خاص، شيفيًا . ^[8] عاش وعمل هناك لجزء كبير من حياته. أطلق عليه بريثوداكا سفامين ، وهو أحد المعلقين اللاحقين، اسم بهيلامالاشاريا ، المعلم من بهيلامالا. ^[9]

كانت بهيلامالا عاصمة جورجاراديسا ، ثاني أكبر مملكة في غرب الهند، وتضم جنوب راجستان وشمال جوجارات في الهند الحديثة. وكانت أيضًا مركزًا لتعلم الرياضيات وعلم الفلك. أصبح عالم فلك من مدرسة براهماباكشا ، إحدى المدارس الأربع الكبرى لعلم الفلك الهندي خلال هذه الفترة. درس الخمسة سيدهانتا التقليديين في علم الفلك الهندي بالإضافة إلى أعمال علماء فلك آخرين بما في ذلك أريابهاتا الأول ولاتاديفا وبرادومنا وفارهاميهيرا وسيما وسري سينا ​​وفيجاياناندين وفيشنوشاندرا. ^[9]

في عام 628، وفي سن الثلاثين، ألف كتاب براهماسفوتاسيدانتا ("أطروحة محسنة لبراهما") والذي يُعتقد أنه نسخة منقحة من كتاب سيدهانتا المستلم من مدرسة براهماباكشا لعلم الفلك. يذكر العلماء أنه أدرج قدرًا كبيرًا من الأصالة في مراجعته، مضيفًا قدرًا كبيرًا من المواد الجديدة. يتكون الكتاب من 24 فصلاً تحتوي على 1008 أبيات في المقياس الآري . ويتعلق جزء كبير منه بعلم الفلك، ولكنه يحتوي أيضًا على فصول رئيسية في الرياضيات، بما في ذلك الجبر والهندسة وعلم المثلثات والخوارزميات، والتي يُعتقد أنها تحتوي على رؤى جديدة ترجع إلى براهماجوبتا نفسه. ^{[9] [10] [11]}

لاحقًا، انتقل براهماجوبتا إلى أوجيني ، أفانتي ، ^[12] وهو مركز رئيسي لعلم الفلك في وسط الهند. وفي سن 67، قام بتأليف عمله الشهير التالي Khanda-khādyaka ، وهو دليل عملي لعلم الفلك الهندي في فئة الكارانا المخصص للاستخدام من قبل الطلاب. ^[12]

توفي براهماجوبتا في عام 668 م، ويُفترض أنه توفي في أوجاين.

ألف براهماجوبتا الرسائل التالية:

• براهماسفوتاسيدانتا ، ^[13] ألف في عام 628 م.
• خانداخادياكا ، ^[13] ألف في عام 665 م.
• Grahaṇārkajñāna ، ^[13] (منسوبة إلى مخطوطة واحدة)

استمر تقدم براهماجوبتا في الرياضيات على يد بهسكارا الثاني ، وهو سليل مباشر في أوجاين، والذي وصف براهماجوبتا بأنه جاناكا تشاكرا تشوداماني (جوهرة دائرة علماء الرياضيات). كتب بريثوداكا سفامين تعليقات على كلا العملين، حيث قام بتحويل الأبيات الصعبة إلى لغة أبسط وإضافة الرسوم التوضيحية. كتب لالا وباتوتبالا في القرنين الثامن والتاسع تعليقات على خاندا خادياكا . ^[14] واستمرت كتابة المزيد من التعليقات حتى القرن الثاني عشر. ^[12]

بعد بضعة عقود من وفاة براهماجوبتا، خضعت السند للخلافة العربية في عام 712 م. أُرسلت بعثات إلى غورجاراديسا (" البيلمان في جرجس "، وفقًا للمؤرخين العرب). يبدو أن مملكة بهيلامالا قد أُبيدت، لكن أوجين صد الهجمات . استقبلت بلاط الخليفة المنصور (754-775) سفارة من السند، بما في ذلك عالم فلك يُدعى كاناكا، الذي أحضر نصوصًا فلكية (ربما حفظها عن ظهر قلب)، بما في ذلك نصوص براهماجوبتا. تمت ترجمة نصوص براهماجوبتا إلى العربية بواسطة محمد بن إبراهيم الفزاري ، عالم الفلك في بلاط المنصور، تحت اسمي السند والأراكاند . كانت النتيجة المباشرة انتشار نظام الأرقام العشرية المستخدم في النصوص. كتب عالم الرياضيات الخوارزمي (800-850 م) نصًا يسمى الجمع والطرح في الحساب الهندي، والذي تُرجم إلى اللاتينية في القرن الثالث عشر باسم Algorithmi de numero indorum . من خلال هذه النصوص، انتشر نظام الأعداد العشرية وخوارزميات براهماجوبتا للحساب في جميع أنحاء العالم. كتب الخوارزمي أيضًا نسخته الخاصة من السند هند ، مستمدًا من نسخة الفزاري ومدمجًا عناصر بطليموس. انتشرت المواد الفلكية الهندية على نطاق واسع لعدة قرون، حتى أنها شقت طريقها إلى النصوص اللاتينية في العصور الوسطى. ^{[15] [16] [17]}

أطلق المؤرخ العلمي جورج سارتون على براهماجوبتا لقب "أحد أعظم العلماء في عصره وأعظمهم في عصره". ^[12]

أعطى براهماجوبتا حل المعادلة الخطية العامة في الفصل الثامن عشر من براهماسفوتاسيدانتا ،

الفرق بين الروباس ، عندما يتم عكسه وقسمته على الفرق بين [معاملات] [المجهول]، هو المجهول في المعادلة. الروباس [ مطروحة على الجانب] أسفل ذلك الذي سيتم طرح المربع والمجهول منه. ^[18]

وهو حل للمعادلة bx + c = dx + e حيث يشير rupas إلى الثابتين c و e . والحل المعطى يعادل x = ⁠هـ - ج/ب - د⁠ .

كما أعطى حلين متكافئين للمعادلة التربيعية العامة

18.44. قلل بمقدار [الرقم] الأوسط الجذر التربيعي للروبا مضروبًا في أربعة أمثال المربع ومضاعفًا بمربع [الرقم] الأوسط؛ اقسم الباقي على ضعف المربع. [النتيجة هي] [الرقم] الأوسط.
18.45. أيًا كان الجذر التربيعي للروبا مضروبًا في المربع [و] مضاعفًا بمربع نصف المجهول، قلل ذلك بمقدار نصف المجهول [و] اقسم [الباقي] على مربعه. [النتيجة هي] المجهول. ^[18]

والتي هي، على التوالي، حلول للمعادلة ax ² + bx = c تعادل،

${\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

و

${\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}-{\tfrac {b}{2}}{a}}}$

لقد واصل حل أنظمة المعادلات غير المحددة المتزامنة، حيث ذكر أنه يجب عزل المتغير المطلوب أولاً، ثم يجب تقسيم المعادلة على معامل المتغير المطلوب . وعلى وجه الخصوص، أوصى باستخدام "المسحوق" لحل المعادلات ذات المجهول المتعدد.

18.51. اطرح الألوان المختلفة عن اللون الأول. [الباقي] مقسومًا على [معامل اللون] الأول هو مقياس الأول. [يتم] اعتبار [الحدود] اثنان في اثنان [عند اختزالها إلى] قواسم متشابهة، [وهكذا] بشكل متكرر. إذا كان هناك العديد من [الألوان]، فيجب استخدام آلة السحق. ^[18]

مثل جبر ديوفانتوس ، كان جبر براهماجوبتا متزامنًا. تمت الإشارة إلى الجمع بوضع الأرقام جنبًا إلى جنب، والطرح بوضع نقطة فوق المطروح، والقسمة بوضع المقسوم أسفل المقسوم، على غرار تدويننا ولكن بدون الخط. تم تمثيل الضرب والتطور والكميات غير المعروفة باختصارات المصطلحات المناسبة. ^[19] مدى التأثير اليوناني على هذا التزامن ، إن وجد، غير معروف ومن الممكن أن يكون التزامن اليوناني والهندي مشتقًا من مصدر بابلي مشترك. ^[19]

كانت العمليات الأساسية الأربع (الجمع والطرح والضرب والقسمة) معروفة لدى العديد من الثقافات قبل براهماجوبتا. ويستند هذا النظام الحالي إلى نظام الأرقام الهندوسي العربي وظهر لأول مرة في كتاب براهماسوبوتاسيدانتا . ويصف براهماجوبتا الضرب بالطريقة التالية:

يتكرر المضاعف مثل خيط الماشية، بقدر ما توجد أجزاء متكاملة في المضاعف ويتم ضربه بها مرارًا وتكرارًا ويتم إضافة المنتجات معًا. إنه ضرب. أو يتكرر المضاعف عدة مرات بقدر ما توجد أجزاء مكونة في المضاعف. ^[20]

عُرف الحساب الهندي في أوروبا في العصور الوسطى باسم modus Indorum بمعنى "طريقة الهنود". في كتاب Brāhmasphuṭasiddhānta ، تم وصف أربع طرق للضرب، بما في ذلك gomūtrikā ، والتي يُقال إنها قريبة من طرق اليوم. ^[21] في بداية الفصل الثاني عشر من كتابه Brāhmasphuṭasiddhānta ، بعنوان "الحساب"، يشرح أيضًا العمليات على الكسور. من المتوقع أن يعرف القارئ العمليات الحسابية الأساسية فيما يتعلق بأخذ الجذر التربيعي، على الرغم من أنه يشرح كيفية إيجاد المكعب والجذر التكعيبي لعدد صحيح ثم يعطي قواعد تسهل حساب التربيع والجذور التربيعية. ثم يعطي قواعد للتعامل مع خمسة أنواع من مجموعات الكسور :أ/ج+​​ب/ج;​​أ/ج×​​ب/د;​​أ/1+​​ب/د;​​أ/ج+​​ب/د×​​أ/ج= ⁠​أ ( د + ب )/قرص مضغوط؛ و​أ/ج− ⁠​ب/د×​​أ/ج= ⁠​أ ( د − ب )/قرص مضغوط. ^[22 ]

ثم يواصل براهماجوبتا إعطاء مجموع مربعات ومكعبات الأعداد الصحيحة الأولى n .

12.20. مجموع المربعات هو [المجموع] مضروبًا في ضعف [عدد] الخطوات مضافًا إليه واحد [و] مقسومًا على ثلاثة. مجموع المكعبات هو مربع [المجموع] ويمكن أيضًا حساب أكوام هذه المكعبات التي تحتوي على كرات متطابقة. ^[23]

هنا وجد براهماجوبتا النتيجة من حيث مجموع أول n عدد صحيح، وليس من حيث n كما هي الممارسة الحديثة. ^[24]

ويعطي مجموع مربعات أول n عدد طبيعي على النحو التالي :ن ( ن + 1)(2 ن + 1)/6ومجموع مكعبات أول n عدد طبيعي كما يلي (ن ( ن + 1)/2)​²
.

كتاب براهما جوبتا سيدهانتا هو أول كتاب يقدم قواعد للتلاعبات الحسابية التي تنطبق على الصفر والأعداد السالبة . ^[25] كتاب براهما جوبتا سيدهانتا هو أقدم نص معروف يعامل الصفر كرقم في حد ذاته، وليس مجرد رقم مؤقت لتمثيل رقم آخر كما فعل البابليون أو كرمز لعدم وجود كمية كما فعل بطليموس والرومان . في الفصل الثامن عشر من كتاب براهما جوبتا سيدهانتا ، يصف براهما جوبتا العمليات على الأعداد السالبة. يصف أولاً الجمع والطرح،

18.30. [مجموع] موجبين هو موجبان، وسالبين سالبين؛ ومجموع موجب وسالب هو الفرق بينهما؛ فإذا كانا متساويين يكون صفرًا. ومجموع سالب وصفر هو سالب، ومجموع موجب وصفر موجبان، ومجموع صفرين هو صفر.

[...]

18.32. السالب ناقص الصفر هو سالب، والموجب ناقص الصفر هو موجب؛ والصفر ناقص الصفر هو صفر. وعندما يكون من الواجب طرح موجب من سالب أو سالب من موجب، فيجب إضافته. ^[18]

ويستمر في وصف الضرب،

18.33. حاصل ضرب السالب والموجب هو سالب، وحاصل ضرب سالبين موجب، وحاصل ضرب موجب وموجب؛ وحاصل ضرب صفر وسالب، أو صفر وموجب، أو صفرين هو صفر. ^[18]

لكن وصفه للقسمة على الصفر يختلف عن فهمنا الحديث:

18.34. الموجب مقسومًا على موجب أو السالب مقسومًا على سالب يكون موجبًا؛ والصفر مقسومًا على صفر يكون صفرًا؛ والموجب مقسومًا على سالب يكون سالبًا؛ والسالب مقسومًا على موجب يكون سالبًا [أيضًا].
18.35. السالب أو الموجب مقسومًا على صفر يكون ذلك [الصفر] مقسومًا عليه، أو الصفر مقسومًا على سالب أو موجب [يكون ذلك السالب أو الموجب مقسومًا عليه]. ومربع السالب أو الموجب يكون موجبًا؛ ومربع الصفر يكون صفرًا. وما [المربع] هو مربعه هو [جذره] التربيعي. ^[18]

هنا يذكر براهماجوبتا أن0/0= 0 وأما بالنسبة لسؤالأ/0حيث أن a ≠ 0 لم يلتزم. ^[26] قواعده في الحساب على الأعداد السالبة والصفر قريبة جدًا من الفهم الحديث، باستثناء أن القسمة على الصفر في الرياضيات الحديثة تُترك غير محددة .

في الفصل الثاني عشر من كتابه براهماسفوتاسيدانتا ، يقدم براهماجوبتا صيغة مفيدة لتوليد ثلاثيات فيثاغورس :

12.39. ارتفاع الجبل مضروبًا في مضاعف معين يساوي المسافة إلى المدينة؛ ولا يُمحى. وعندما يُقسم على المضاعف مضافًا إليه اثنين، فإنه يساوي قفزة أحد الاثنين اللذين يقومان بنفس الرحلة. ^[27]

أو بعبارة أخرى، إذا كان d = ⁠مكس/س + 2⁠ ، فإن المسافر الذي "يقفز" عموديًا إلى أعلى مسافة d من قمة جبل ارتفاعه m ، ثم يسافر في خط مستقيم إلى مدينة على مسافة أفقية mx من قاعدة الجبل، يسافر نفس المسافة التي يسافرها الشخص الذي ينزل عموديًا إلى أسفل الجبل ثم يسافر على طول الأفقي إلى المدينة. ^[27] وبصياغة هندسية، يقول هذا أنه إذا كان للمثلث القائم الزاوية قاعدة طولها a = mx وارتفاع طوله b = m + d ، فإن طول الوتر c يعطى بواسطة c = m (1 + x ) − d . والواقع أن التلاعب الجبري الابتدائي يُظهر أن a ² + b ² = c ² كلما كان لـ d القيمة المذكورة. أيضًا، إذا كان m و x نسبيين، فإن d و a و b و c نسبيين أيضًا . ومن ثم يمكن الحصول على ثلاثية فيثاغورس من أ ، ب ، ج عن طريق ضرب كل منها بالمضاعف المشترك الأصغر لمقاماتها.

واصل براهماجوبتا تقديم علاقة تكرارية لتوليد حلول لحالات معينة من معادلات ديوفانتين من الدرجة الثانية مثل Nx ² + 1 = y ² (تسمى معادلة بيل ) باستخدام الخوارزمية الإقليدية . كانت الخوارزمية الإقليدية معروفة له باسم "الساحقة" لأنها تكسر الأرقام إلى قطع أصغر على الإطلاق. ^[28]

طبيعة المربعات:
18.64. [ضع] ضعف الجذر التربيعي لمربع معين بمضاعف وزاد أو نقص بـ [عدد] عشوائي. حاصل ضرب [الزوج] الأول، مضروبًا بالمضاعف، مع حاصل ضرب [الزوج] الأخير، هو آخر حاصل محسوب.
18.65. مجموع حاصل ضرب الصاعقة هو الأول. المجموع يساوي حاصل ضرب المجموعين. الجذران التربيعيان، مقسومًا على المجموع أو الطرح، هما المجموع rupas . ^[18]

وكان مفتاح حل مشكلته هو الهوية، ^[29]

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2 }+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}$

وهو تعميم للهوية التي اكتشفها ديوفانتوس ،

${\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2 }+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}$

باستخدام هويته وحقيقة أنه إذا كانت ( x ₁ , y ₁ ) و ( x ₂ , y ₂ ) حلولاً للمعادلات x ² − Ny ² = k ₁ و x ² − Ny ² = k ₂ ، على التوالي، فإن ( x ₁ x ₂ + Ny ₁ y ₂ , x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁ ) هو حل لـ x ² − Ny ² = k ₁ k ₂ ، كان قادرًا على إيجاد حلول متكاملة لمعادلة بيل من خلال سلسلة من المعادلات من النموذج x ² − Ny ² = k _i . لم يكن براهماجوبتا قادرًا على تطبيق حله بشكل موحد لجميع القيم الممكنة لـ N ، بل كان قادرًا فقط على إظهار أنه إذا كان لـ x ² − Ny ² = k حل صحيح لـ k = ±1 أو ±2 أو ±4، فإن x ² − Ny ² = 1 له حل. كان لابد أن ينتظر حل معادلة بيل العامة حتى ظهور بهاسكارا الثاني في حوالي عام  1150 م . ^[29]

النتيجة الأكثر شهرة لبراهماجوبتا في الهندسة هي صيغته للمربعات الدائرية . بالنظر إلى أطوال أضلاع أي رباعي دائري، أعطى براهماجوبتا صيغة تقريبية وصيغة دقيقة لمساحة الشكل،

12.21. المساحة التقريبية هي حاصل ضرب نصفي مجموع أضلاع المثلث والشكل الرباعي والأضلاع المقابلة. المساحة الدقيقة هي الجذر التربيعي لحاصل ضرب نصفي مجموع أضلاع الشكل الرباعي ناقصًا طول كل ضلع. ^[23]

لذا، بالنظر إلى أطوال p و q و r و s للرباعي الدائري، فإن المساحة التقريبية هيص + ر/2· ⁠​س + س/2بينما نترك t =​ص + س + ر + س/2⁠ ، المنطقة الدقيقة هي

√ ( t − p )( t − q )( t − r )( t − s ) .

على الرغم من أن براهماجوبتا لم يذكر صراحة أن هذه الأشكال الرباعية دائرية، فمن الواضح من قواعده أن هذه هي الحال. ^[30] صيغة هيرون هي حالة خاصة من هذه الصيغة ويمكن اشتقاقها عن طريق جعل أحد الأضلاع مساويًا للصفر.

كرّس براهماجوبتا جزءًا كبيرًا من عمله للهندسة. وتعطي إحدى النظريات طول القطعتين اللتين تقسم قاعدة المثلث إليهما حسب ارتفاعها:

12.22. تتناقص القاعدة وتزداد بمقدار الفرق بين مربعي الأضلاع مقسومة على القاعدة؛ وعند قسمتها على اثنين تكون القطعتان الحقيقيتان. والعمود [الارتفاع] هو الجذر التربيعي لمربع الضلع المتناقص بمربع قطعته. ^[23]

وبالتالي فإن أطوال القطعتين هي1/2( ب ±​​ج ² − أ ²/ب) .​

كما قدم نظرية حول المثلثات النسبية . المثلث ذو الأضلاع النسبية a و b و c والمساحة النسبية يكون على الشكل التالي:

${\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}+v\right),\ \ b={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{w}}+w\right),\ \ c={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}-v+{\frac {u^{2}}{w}}-w\right)}$

لبعض الأعداد النسبية u و v و w . ^[31]

يواصل براهماجوبتا،

12.23. الجذر التربيعي لمجموع حاصل ضرب ضلعين وضلعين متقابلين في شكل رباعي غير متساوي الأضلاع هو القطر. وينقص مربع القطر بمقدار مربع نصف مجموع القاعدة والقمة؛ والجذر التربيعي هو الارتفاعات العمودية. ^[23]

لذا، في شكل رباعي دائري "غير غير متساوي" (أي شبه منحرف متساوي الساقين )، يكون طول كل قطر هو √ pr + qs .

ويواصل تقديم صيغ لأطوال ومساحات الأشكال الهندسية، مثل نصف القطر المحيط بشبه منحرف متساوي الساقين ورباعي مختلف الأضلاع، وأطوال الأقطار في رباعي مختلف الأضلاع دائري. وهذا يقودنا إلى نظرية براهماجوبتا الشهيرة ،

12.30–31. إذا تصورنا مثلثين داخل [شكل رباعي دائري] لهما ضلعان غير متساويين، فإن القطرين هما القاعدتان. وقطعتاهما هما القطعتان العلويتان والسفليتان [المتكونتان] بشكل منفصل عند تقاطع القطرين. والقطعتان [السفليتان] للقطرين هما ضلعان في مثلث؛ وقاعدة [الشكل الرباعي هي قاعدة المثلث]. والعمود عليه هو الجزء السفلي من العمود [المركزي]؛ والجزء العلوي من العمود [المركزي] هو نصف مجموع [الأضلاع] العمودية ناقصًا [الجزء السفلي من العمود المركزي]. ^[23]

في الآية 40، يعطي قيم π ،

12.40. إن القطر ومربع نصف القطر مضروبين في 3 يشكلان محيط الدائرة العملي ومساحتها. أما القيم الصحيحة فهي الجذور التربيعية لمربعي هذين الرقمين مضروبة في عشرة. ^[23]

لذا يستخدم براهماجوبتا الرقم 3 كقيمة "عملية" لـ π ، وكقيمة "دقيقة" لـ π ، مع خطأ أقل من 1%. ${\displaystyle {\sqrt {10}}\تقريبًا 3.1622\ldots }$

في بعض الآيات قبل الآية 40، يعطي براهماجوبتا أشكالاً مختلفة ذات أضلاع عشوائية. لقد تلاعب بشكل أساسي بالمثلثات القائمة لإنتاج مثلثات متساوية الساقين، ومثلثات غير متماثلة الأضلاع، ومستطيلات، وشبه منحرف متساوي الساقين، وشبه منحرف متساوي الساقين بثلاثة أضلاع متساوية، وشكل رباعي دائري غير متماثل الأضلاع.

بعد إعطاء قيمة باي، يتعامل مع هندسة الأشكال المستوية والأجسام الصلبة، مثل إيجاد الأحجام ومساحات السطح (أو المساحات الفارغة المحفورة من الأجسام الصلبة). يجد حجم المنشورات المستطيلة والأهرامات والمخروط المخروط للهرم المربع. يجد أيضًا متوسط ​​عمق سلسلة من الحفر. بالنسبة لحجم المخروط المخروط للهرم ، يعطي القيمة "البراغماتية" مثل العمق مضروبًا في مربع متوسط ​​حواف الوجوه العلوية والسفلية، ويعطي الحجم "السطحي" مثل العمق مضروبًا في متوسط ​​مساحتهما. ^[32]

في الفصل الثاني من كتابه براهماسفوتاسيدانتا ، المعنون بخطوط الطول الكوكبية الحقيقية ، يقدم براهماجوبتا جدول الجيب:

2.2–5. الجيوب: الأسلاف، توأمان؛ الدب الأكبر، توأمان، الفيدا؛ الآلهة، النيران، ستة؛ النكهات، النرد، الآلهة؛ القمر، خمسة، السماء، القمر؛ القمر، السهام، الشموس [...] ^[33]

هنا يستخدم براهماجوبتا أسماء الأشياء لتمثيل أرقام القيمة المكانية، كما كان شائعًا مع البيانات العددية في الأطروحات السنسكريتية. يمثل السلف الأسلاف الأربعة عشر ("مانو") في علم الكونيات الهندي أو 14، "التوائم" تعني 2، "الدب الأكبر" يمثل النجوم السبعة للدب الأكبر أو 7، "الفيداس" يشير إلى الفيدا الأربعة أو 4، النرد يمثل عدد جوانب النرد التقليدي أو 6، وهكذا. يمكن ترجمة هذه المعلومات إلى قائمة الجيوب، 214، 427، 638، 846، 1051، 1251، 1446، 1635، 1817، 1991، 2156، 2312، 2459، 2594، 2719، 2832، 2933، 3021، 3096، 3159، 3207، 3242، 3263، و3270، مع نصف القطر 3270 (تمثل هذه الأرقام ) . ^[34]${\displaystyle 3270\sin {\frac {\pi n}{48}}}$${\displaystyle n=1,\dots ,24}$

في عام 665، ابتكر براهماجوبتا واستخدم حالة خاصة من صيغة استيفاء نيوتن-ستيرلنغ من الدرجة الثانية لاستيفاء قيم جديدة لدالة الجيب من قيم أخرى تم جدولتها بالفعل. ^[35] تعطي الصيغة تقديرًا لقيمة الدالة f عند قيمة a + xh لحجتها (مع h > 0 و −1 ≤ x ≤ 1 ) عندما تكون قيمتها معروفة بالفعل عند a − h و a و a + h .

صيغة التقدير هي:

${\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(ah)}{2}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(ah)}{2}}.}$

حيث Δ هو عامل الفرق الأمامي من الدرجة الأولى ، أي

${\displaystyle \Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a).}$

وصف براهماغوبتا الجاذبية لأول مرة في عام 628 باعتبارها قوة جاذبة، مستخدمًا مصطلح "guruutvākarṣaṇam (गुरुत्वाकर्षणम्)" لوصفها: ^{[1] [2] [3] [4]}

"إن الأرض من جميع جوانبها هي نفسها؛ فكل الناس على الأرض يقفون منتصبين، وكل الأشياء الثقيلة تسقط على الأرض وفقًا لقانون الطبيعة، لأن طبيعة الأرض هي جذب الأشياء والاحتفاظ بها، كما أن طبيعة الماء هي التدفق... إذا أراد شيء أن ينزل إلى عمق أعمق من الأرض، فليحاول. فالأرض هي الشيء الوحيد المنخفض ، والبذور تعود إليها دائمًا، في أي اتجاه قد ترميها بعيدًا، ولا ترتفع أبدًا عن الأرض. ^{[36] [37] [أ]}

وجه براهماجوبتا قدرًا كبيرًا من الانتقادات إلى أعمال علماء الفلك المنافسين، ويعرض كتابه براهماسفوتاسيدانتا أحد أقدم الانقسامات بين علماء الرياضيات الهنود. كان الانقسام في المقام الأول حول تطبيق الرياضيات على العالم المادي، وليس حول الرياضيات نفسها. في حالة براهماجوبتا، نشأت الخلافات إلى حد كبير من اختيار المعايير والنظريات الفلكية. ^[38] تظهر انتقادات النظريات المتنافسة في جميع الفصول الفلكية العشرة الأولى والفصل الحادي عشر مخصص بالكامل لانتقاد هذه النظريات، على الرغم من عدم ظهور أي انتقادات في الفصلين الثاني عشر والثامن عشر. ^[38]

في الفصل السابع من كتابه براهما فوتاسيدهانتا ، المعنون "الهلال القمري" ، يدحض براهما جوبتا فكرة أن القمر أبعد عن الأرض من الشمس. ^{[ يحتاج إلى توضيح ]} ويفعل ذلك من خلال شرح إضاءة القمر بواسطة الشمس. ^[39]

1. إذا كان القمر فوق الشمس، فكيف يمكن الحصول على قوة التزايد والتناقص وما إلى ذلك من خلال حساب خط طول القمر؟ سيكون النصف القريب منه دائمًا ساطعًا.

2. وكما أن نصف الإناء الذي تراه الشمس في ضوء الشمس يكون مضيئاً، ونصفه غير المرئي مظلماً، فكذلك [إضاءة] القمر [إذا كان] تحت الشمس.

3. يزداد السطوع باتجاه الشمس. ففي نهاية نصف الشهر الساطع [أي المتزايد] يكون النصف القريب مضاءً والنصف البعيد مظلماً. ومن ثم يمكن استنباط ارتفاع قرون الهلال من الحساب. [...] ^[40]

يوضح أنه بما أن القمر أقرب إلى الأرض من الشمس، فإن درجة الجزء المضاء من القمر تعتمد على المواضع النسبية للشمس والقمر، ويمكن حساب ذلك من حجم الزاوية بين الجسمين. ^[39]

وقد ناقش في أطروحته "خانداخادياكا" المزيد من الأعمال التي استكشفت خطوط طول الكواكب، والدوران اليومي، وخسوف القمر والشمس، والشروق والغروب، وهلال القمر، واقترانات الكواكب .

• متطابقة براهماجوبتا-فيبوناتشي
• صيغة براهماجوبتا
• نظرية براهماجوبتا
• مثلث براهماجوبتا
• طريقة تشاكرافالا
• قائمة علماء الرياضيات الهنود
• تاريخ العلوم والتكنولوجيا في شبه القارة الهندية

• كاي، تيانكسين (25 يوليو 2023). تاريخ موجز للرياضيات: رحلة عبر حضارات عالمنا. سبرينغر نيتشر. رقم ISBN 978-3-031-26841-0.
• أفاري، بورجور (2013)، الحضارة الإسلامية في جنوب آسيا: تاريخ القوة والحضور الإسلامي في شبه القارة الهندية ، روتليدج، ISBN 978-0-415-58061-8
• بوز، دي إم؛ سين، إس إن؛ سوبارايابا، بي في (1971)، تاريخ موجز للعلوم في الهند، نيودلهي: الأكاديمية الوطنية الهندية للعلوم، ص 95-97، محفوظ من الأصل في 8 ديسمبر 2015
• بهاتاشاريا، آر كيه (2011)، "براهماجوبتا: عالم الرياضيات الهندي القديم"، في بي إس ياداف؛ مان موهان (المحررون)، قفزات الهنود القدماء في الرياضيات، سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا، ص 185-192، رقم ISBN 978-0-8176-4695-0
• بوير، كارل ب. (1991)، تاريخ الرياضيات، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-54397-7
• كوك، روجر (1997)، تاريخ الرياضيات: دورة مختصرة، وايلي-إنترسايس، رقم ISBN 0-471-18082-3
• جوبتا، رادها تشاران (2008)، "براهماجوبتا"، في سيلين، هيلين (محرر)، موسوعة تاريخ العلوم والتكنولوجيا والطب في الثقافات غير الغربية ، سبرينغر، ص 162-163، رقم ISBN 978-1-4020-4559-2
• جوزيف، جورج ج. (2000)، شعار الطاووس، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 0-691-00659-8
• أوريلي، دي لاسي (2001) [نُشر لأول مرة عام 1948]، كيف انتقلت العلوم اليونانية إلى العرب (الطبعة الثانية)، كتب جودورد، رقم ISBN 8187570245
• بلوفكر، كيم (2007)، "الرياضيات في الهند"، في فيكتور كاتز (المحرر)، رياضيات مصر وبلاد ما بين النهرين والصين والهند والإسلام: كتاب مرجعي ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 978-0-691-11485-9
• ستيلويل، جون (2004)، الرياضيات وتاريخها (الطبعة الثانية)، Springer Science + Business Media Inc.، ISBN 0-387-95336-1
• هوكي، توماس، محرر (2007)، "براهماجوبتا"، الموسوعة السيرية لعلماء الفلك ، سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا، ص 165، رقم ISBN 978-0387304007

• سيتسورو إكياما (2003). براهماسفوتاسيدانتا (الفصل 21) من براهماجوبتا مع تعليق بريثودهاكاسفامن، تم تحريره بشكل نقدي مع ترجمة إنجليزية وملاحظات . INSA.
• ديفيد بينجري. تعداد العلوم الدقيقة باللغة السنسكريتية (CESS) . الجمعية الفلسفية الأمريكية. A4، ص 254.
• شاشي س. شارما. الرياضيات وعلماء الفلك في الهند القديمة. دار نشر بيتامبار. رقم الكتاب المعياري الدولي 9788120914216.
• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند ف. ، "براهماجوبتا"، أرشيف تاريخ الرياضيات في ماكتوتور ، جامعة سانت أندروز

• كتاب براهما-سبوتا-سيدانتا لبراهماجوبتا، حرره رام سواروب شارما، المعهد الهندي للأبحاث الفلكية والسنسكريتية، 1966. مقدمة باللغة الإنجليزية، نص باللغة السنسكريتية، تعليقات باللغة السنسكريتية والهندية (ملف PDF)
• الجبر، مع الحساب والقياس، من اللغة السنسكريتية لبراهماجوبتا وبهاسكارا في أرشيف الإنترنت ، ترجمة هنري توماس كولبروك . [1]