تخمين بروكارد

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 36 صور
الموسوعة الحرة
مشكلة لم تُحل في الرياضيات
هل يوجد على الأقل 4 أعداد أولية بين عددين أوليين مربعين متتاليين؟
المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

مقدمة

في نظرية الأعداد ، تنص حدسية بروكارد على وجود أربعة أعداد أولية على الأقل بين ( pn ) ² و( pn + 1 ) ² ، حيث pn هو العدد الأولي النوني ، وذلك لكل n ≥ 2. [ 1 ] سُميت هذه الحدسية نسبةً إلى هنري بروكارد . ويُعتقد على نطاق واسع بصحتها. [ 2 ] مع ذلك، لم يتم إثباتها حتى عام 2025. أما حدسية ليجندر ، التي تنص على وجود عدد أولي بين مربعات الأعداد الصحيحة المتتالية، فتستلزم مباشرةً وجود عددين أوليين على الأقل بين مربعات الأعداد الأولية عندما يكون pn ≥ 3، لأن pn + 1 − pn ≥ 2. [ 3 ]

بيان رياضي

يتركصن{\displaystyle p_{n}}كنن{\displaystyle n}العدد الأولي رقم n، ولتكنπ(x){\displaystyle \pi (x)}ليكن عدد الأعداد الأولية≤x{\displaystyle \leq x}. رسميًا، تنص فرضية بروكارد على ما يلي:

π((صن+1)2)-π((صن)2)≥4ل ن≥2\displaystyle \pi \big (}(p_{n+1})^{2}{\big )}-\pi \big (}(p_{n})^{2}{\big )}\geq 4\quad \text{لـ }}n\geq 2}

هذا يعادل القول بأن هناك أربعة أعداد أولية على الأقل بين مربعات الأعداد الأولية المتتالية باستثناء2{\displaystyle 2}و3{\displaystyle 3}.

العلاقة بالمسائل المفتوحة الأخرى في الرياضيات

تخمين ليجاندر

تزعم فرضية ليجاندر أن هناك عددًا أوليًا بين(ن)2{\displaystyle (n)^{2}}و(ن+1)2{\displaystyle (n+1)^{2}}لجميع الأعداد الطبيعيةن{\displaystyle n}. إنها مشكلة غير محلولة في الرياضيات حتى عام 2025. إذا كانت حدسية ليجندر صحيحة، فإنها تستلزم على الفور نسخة ضعيفة من حدسية بروكارد: [ 4 ]

π((صن+1)2)-π((صن)2)≥2ل ن≥3{\displaystyle \pi {\big (}(p_{n+1})^{2}{\big )}-\pi {\big (}(p_{n})^{2}{\big )}\geq 2\quad {\text{لـ }}n\geq 3}

تخمين كرامر

تزعم فرضية كرامر أنصن+1-صن=يا((سجل⁡صن)2){\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O((\log p_{n})^{2})}وهذا يحدد الحد الأقصى للمسافة التي يمكن أن تفصل بين الأعداد الأولية. وتستلزم حدسية كرامر حدسية بروكارد للأعداد الكبيرة بما فيه الكفاية.ن{\displaystyle n}[ 3 ]​

تخمين أوبيرمان

تزعم حدسية أوبيرمان وجود عدد أولي في الفترة(ن،ن(ن+1)){\displaystyle (n,n(n+1))}وفي الفترة الفاصلة(ن(ن+1)،(ن+1)2){\displaystyle (n(n+1),(n+1)^{2})}هذه المشكلة التي لم يتم حلها تستلزم بشكل مباشر حدسية بروكارد.

أمثلة

نصن{\displaystyle p_{n}}صن2{\displaystyle p_{n}^{2}}الأعداد الأوليةΔ{\displaystyle \Delta }
1245، 72
23911، 13، 17، 19، 235
352529، 31، 37، 41، 43، 476
474953، 59، 61، 67، 71، ...15
511121127، 131، 137، 139، 149، ...9
Δ{\displaystyle \Delta }يرمز إلىπ(صن+12)-π(صن2){\displaystyle \pi (p_{n+1}^{2})-\pi (p_{n}^{2})}.
صورة متحركة لمعادلة حدسية بروكارد، توضح العتبة.
المعادلةπ((صن+1)2)-π((صن)2){\displaystyle \pi {\big (}(p_{n+1})^{2}{\big )}-\pi {\big (}(p_{n})^{2}{\big )}}تم رسمها بيانيًا حتىن=30{\displaystyle n=30}الخط المنقط هو الحد الذي تدعي فرضية بروكارد أنه ينطبق على جميعن≥2{\displaystyle n\geq 2}.

من السهل التحقق من صحة الفرضية بالنسبة للقيم الصغيرةن{\displaystyle n}:

π(52)-π(32)=9-4≥4،π(72)-π(52)=15-9≥4{\displaystyle \pi {\big (}5^{2}{\big )}-\pi {\big (}3^{2}{\big )}=9-4\geq 4,\quad \pi {\big (}7^{2}{\big )}-\pi {\big (}5^{2}{\big )}=15-9\geq 4}

عدد الأعداد الأولية بين مربعات الأعداد الأولية هو 2، 5، 6، 15، 9، 22، 11، 27، ... OEIS : A050216  . انظر الجدول (على اليمين) للاطلاع على قائمة الأعداد الأولية مرتبة حسب الفرق. شاهد الرسوم المتحركة (على اليمين) للاطلاع على أول 30 فرقًا.

الأبحاث والنتائج الحالية

نتائج غير مشروطة

مسلمة برتراند

تنص نتيجة بديهية من مسلمة برتراند ، وهي نظرية مثبتة، على أنه نظرًا لوجود عدد أولي في الفترة(ن،2ن){\displaystyle (n,2n)}، وطول الفترة الزمنية((صن)2،(صن+1)2){\displaystyle ((p_{n})^{2},(p_{n+1})^{2})}أكبر بكثير من(صن،2صن){\displaystyle (p_{n},2p_{n})}تشير فرضية برتراند إلى وجود العديد من الأعداد الأولية في الفترة((صن)2،(صن+1)2){\displaystyle ((p_{n})^{2},(p_{n+1})^{2})}، وإن لم يكن قفزة حادة.

متجه إلى بيكر-هارمان-بينتز

باستخدام الحد الذي أثبته بيكر وآخرون ، [ 5 ] أن صن+1-صن<صن0.525{\displaystyle p_{n+1}-p_{n}<p_{n}^{0.525}}يمكن للمرء أن يثبت أنه يوجد عدد لا نهائي منصن{\displaystyle p_{n}}بحيث يوجد عدد أولي واحد على الأقل في الفترة((صن)2،(صن+1)2){\displaystyle ((p_{n})^{2},(p_{n+1})^{2})}، وهي نتيجة أضعف بكثير من تخمين بروكارد.

النتائج المشروطة

حدسية ليجندر - نسخة ضعيفة من حدسية بروكارد

كما هو موضح أعلاه ، فإن تخمين ليجندر يستلزم نسخة ضعيفة من تخمين بروكارد ولكنه تخمين أضعف بشكل صارم.

حدسية أوبيرمان - برهان كامل على حدسية بروكارد

كما هو موضح أعلاه ، فإن حدسية أوبيرمان تستلزم بشكل مباشر حدسية بروكارد بالنسبة للأعداد الكبيرة بما فيه الكفاية.ن{\displaystyle n}، وهو ما يشكل برهاناً على حدسية بروكارد.

حدسية كرامر - برهان كامل على حدسية بروكارد

كما هو موضح أعلاه ، فإن حدسية كرامر تستلزم حدسية بروكارد بشكل مباشر.

فرضية ريمان - برهان كامل على حدسية بروكارد

تفترض فرضية ريمان الحدصن+1-صن=يا(صنسجل⁡(صن)){\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O{\big (}{\sqrt {p_{n}}}\log(p_{n}){\big )}}وهذا يستلزم صحة حدسية بروكارد بالنسبة لقيم كبيرة بما فيه الكفايةن{\displaystyle n}[ 6 ] على غرار تخمين كرامر.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "تخمين بروكارد" . عالم الرياضيات .
  2. ↑ جاي، ريتشارد ك. (2004). مسائل غير محلولة في نظرية الأعداد . كتب مسائل في الرياضيات ( الطبعة الثالثة). نيويورك: سبرينغر. ISBN  978-0-387-20860-2.
  3. 1 2 ريبنبوم، باولو (2004). الكتاب الصغير عن الأعداد الأولية الكبيرة ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. ISBN  978-0-387-20169-6.
  4. ↑ هاردي، جودفري هـ .؛ رايت، إدوارد م .؛ سيلفرمان، جوزيف هـ. (2008). هيث-براون، د. ر. (محرر). مقدمة في نظرية الأعداد . رياضيات أكسفورد ( الطبعة السادسة). أكسفورد، نيويورك، أوكلاند: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN  978-0-19-921986-5.
  5. ↑ بيكر، آر سي؛ هارمان، جي؛ بينتز، جيه (2001). "الفرق بين الأعداد الأولية المتتالية، الجزء الثاني" . وقائع الجمعية الرياضية بلندن . 83 (3): 532-562 . doi : 10.1112/plms/83.3.532 . ISSN 1460-244X . 
  6. ↑ مونتغمري، هيو ل.؛ فوغان، روبرت س. (2006). نظرية الأعداد الضربية 1: النظرية الكلاسيكية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/cbo9780511618314 . ISBN 978-0-521-84903-6.