دالة عد الأعداد الأولية

في الرياضيات ، دالة عد الأعداد الأولية هي الدالة التي تحسب عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي عددًا حقيقيًا x . ^{[ 1 ] [ 2 ]} ويرمز لها بـ π ( x ) (لا علاقة لها بالعدد π ) .

يُلاحظ أحيانًا شكلٌ متناظرٌ يُسمى _π₀ ( x ) ، وهو يساوي π ( x ) - ½ إذا كان x عددًا أوليًا تمامًا، ويساوي π ( x ) فيما عدا ذلك. أي أنه عدد الأعداد الأولية الأصغر من x ، زائد نصفها إذا كان x عددًا أوليًا.

يُعدّ معدل نمو دالة عدّ الأعداد الأولية ذا أهمية بالغة في نظرية الأعداد . ^{[ 3 ] [ 4 ]} وقد افترض غاوس وليجندر في نهاية القرن الثامن عشر أنه يبلغ تقريبًا $${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}}$$ حيث log هو اللوغاريتم الطبيعي ، بالمعنى الذي $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}$$ هذه العبارة هي نظرية الأعداد الأولية . والعبارة المكافئة لها هي $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\operatorname {li} (x)}}=1}$$ حيث li هي دالة التكامل اللوغاريتمي . تم إثبات نظرية الأعداد الأولية لأول مرة عام 1896 على يد جاك هادامار وشارل دي لا فالي بوسان بشكل مستقل، باستخدام خصائص دالة زيتا لريمان التي قدمها ريمان عام 1859. وتم التوصل إلى براهين لنظرية الأعداد الأولية دون استخدام دالة زيتا أو التحليل المركب حوالي عام 1948 على يد أتلي سيلبرغ وبول إردوش (بشكل مستقل في الغالب). ^{[ 5 ]}

الشكل الدقيق

لـ x > 1 _، ليكن π₀ ( x ) = π ( x ) - 1/2 عندما يكون x عددًا أوليًا، و ^π₀ ( x ) = π ( x ) فيما عدا ذلك. وقد أثبت برنارد ريمان ، في كتابه " حول عدد الأعداد الأولية الأقل من مقدار معين _" ، أن π₀ ( x ) يساوي ^{[ 9} _] .

$${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }),}$$ أين $${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right),}$$μ ( n ) هي دالة موبيوس ، وli( x ) هي دالة التكامل اللوغاريتمي ، و ρ تشير إلى كل صفر من أصفار دالة زيتا لريمان، و li( x ^{ρ / n} ) لا تُحسب باستخدام قطع الفرع ، بل تُعتبر Ei( ^{ρ /} n log x ) حيث Ei( x) هو التكامل الأسي . إذا جُمعت الأصفار التافهة، واقتصر الجمع على الأصفار غير التافهة ρ لدالة زيتا لريمان، ^فيمكن تقريب π₀ ( x ) بالمعادلة ^[ ₁₀ ^] .$${\displaystyle \pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-{\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log x}}.}$$

تشير فرضية ريمان إلى أن كل صفر غير تافه من هذا القبيل يقع على طول Re( s ) = 1 / 2 .

يوضح الجدول مقارنة الدوال الثلاث π ( x ) و x / log x و li( x) عند قوى العدد 10. انظر أيضًا ^{[ 3 ] و [ 11 ]} و ^{[ 12 ]} .

x	π ( x )	π ( x ) − ⁠ x / log x ⁠	li( x ) − π ( x )	x / π ( x )​​	x / log x %  خطأ​
10	4	0	2	2500	-8.57%
10 2	25	3	5	4000	+13.14%
10 3	168	23	10	5.952	+13.83%
10 4	1229	143	17	8.137	+11.66%
10 5	9592	906	38	10.425	+9.45%
10 6	78,498	6116	130	12.739	+7.79%
10 7	664,579	44158	339	15.047	+6.64%
10 8	5,761,455	332,774	754	17.357	+5.78%
10 9	50,847,534	2,592,592	1701	19.667	+5.10%
10 10	455,052,511	20,758,029	3104	21.975	+4.56%
10 11	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	+4.13%
10 12	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	+3.77%
10 13	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	+3.47%
10 14	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	+3.21%
10 15	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	+2.99%
10 16	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	+2.79%
10 17	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	+2.63%
10 18	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	+2.48%
10 19	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	+2.34%
10 20	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	45.028	+2.22%
10 21	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	+2.11%
10 22	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	+2.02%
10 23	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	+1.93%
10 24	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	+1.84%
10 25	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	+1.77%
10 26	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	+1.70%
10 27	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	+1.64%
10 28	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	+1.58%
10 29	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	+1.52%

في الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة ، يكون عمود π ( x ) هو التسلسل OEIS : A006880  ، و π ( x ) − ⁠ x / log x ⁠ هو التسلسل OEIS : A057835 ، و li( x ) − π ( x ) هو التسلسل OEIS : A057752 .  

تم حساب قيمة π ( ^10²⁴ ) في الأصل بواسطة ج. بوث، وج. فرانك ، وأ. جوست، وت. كلاينجونج بافتراض فرضية ريمان . ^{[ 13 ]} ثم تم التحقق منها لاحقًا بشكل قاطع في حساب أجراه د. ج. بلات. ^{[ 14 ]} أما قيمة π ( ^10²⁵ ) فقد تم حسابها بواسطة نفس المؤلفين الأربعة. ^{[ 15 ]} بينما تم حساب قيمة π ( ^10²⁶ ) بواسطة د. ب. ستابل. ^{[ 16 ]} وقد تم التحقق من جميع القيم السابقة في هذا الجدول كجزء من ذلك العمل.

تم الإعلان عن القيم 10 ²⁷ و 10 ²⁸ و 10 ²⁹ بواسطة ديفيد باو وكيم واليش في عام 2015، ^{[ 17 ]} 2020، ^{[ 18 ]} و 2022، ^{[ 19 ]} على التوالي.

تتمثل إحدى الطرق البسيطة لإيجاد π ( x ) ، إذا لم يكن x كبيرًا جدًا ، في استخدام غربال إراتوستينس لإنتاج الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي x ثم حسابها.

ثمة طريقة أكثر تفصيلاً لإيجاد π ( x ) تعود إلى ليجاندر (باستخدام مبدأ الإدراج والاستبعاد ): إذا كانت x ، إذا _كانت p₁ ، p₂ _، ...، pₙ أعدادًا أولية مختلفة، فإن عدد الأعداد الصحيحة الأصغر من أو تساوي x والتي لا تقبل القسمة على أي _من pᵢ _هو

$\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots }$

(حيث يرمز ⌊ x ⌋ إلى دالة الجزء الصحيح ). وبالتالي، فإن هذا العدد يساوي

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1}$

عندما تكون الأعداد p ₁ ، p ₂ ،…, p _n هي الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي الجذر التربيعي لـ x .

تُستخدم أيضًا وظائف أخرى لحساب الأعداد الأولية لأنها أكثر ملاءمة للعمل معها.

تأتي صيغ دوال عدّ الأعداد الأولية في نوعين: الصيغ الحسابية والصيغ التحليلية. وكانت الصيغ التحليلية لعدّ الأعداد الأولية أول ما استُخدم لإثبات نظرية الأعداد الأولية . وهي مشتقة من أعمال ريمان وفون مانغولد ، وتُعرف عمومًا بالصيغ الصريحة . ^{[ 23 ]}

لدينا التعبير التالي لدالة تشيبيشيف الثانية ψ :

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),}$

أين

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

هنا، تمثل ρ أصفار دالة زيتا لريمان في الشريط الحرج، حيث يقع الجزء الحقيقي من ρ بين الصفر والواحد. الصيغة صالحة لقيم x الأكبر من واحد، وهي المنطقة محل الاهتمام. مجموع الجذور متقارب شرطيًا ، ويجب حسابه بترتيب تصاعدي للقيمة المطلقة للجزء التخيلي. لاحظ أن المجموع نفسه للجذور التافهة يعطي المطروح الأخير في الصيغة.

أما بالنسبة لـ Π ₀ ( x ) فلدينا صيغة أكثر تعقيدًا

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} \left(x^{\rho }\right)-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.}$

مرة أخرى، الصيغة صالحة لـ x > 1 ، بينما ρ هي الأصفار غير التافهة لدالة زيتا مرتبة حسب قيمتها المطلقة. الحد الأول li( x ) هو دالة التكامل اللوغاريتمي المعتادة ؛ أما التعبير li( x ^ρ ) في الحد الثاني فيُعتبر Ei( ρ log x ) ، حيث Ei هو الامتداد التحليلي لدالة التكامل الأسي من الأعداد الحقيقية السالبة إلى المستوى المركب مع فرع مقطوع على طول الأعداد الحقيقية الموجبة. التكامل النهائي يساوي المتسلسلة على الأصفار التافهة.

${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {\left(u=t^{-2m}\right)}{=}}-\sum _{m}\operatorname {li} \left(x^{-2m}\right)}$

وبالتالي، فإن صيغة انعكاس موبيوس تعطينا ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-\sum _{m}\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)}$

صحيح لـ x > 1 ، حيث

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right)=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(\log x\right)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}$

هي دالة ريمان R ^{[ 24 ]} و μ ( n ) هي دالة موبيوس . تُعرف المتسلسلة الأخيرة لها باسم متسلسلة غرام . ^{[ 25 ] [ 26 ]} ولأن log x < x لجميع قيم x > 0 ، فإن هذه المتسلسلة تتقارب لجميع قيم x الموجبة بالمقارنة مع المتسلسلة الخاصة بـ e^ ^x . يجب حساب لوغاريتم مجموع المساهمة الصفرية غير التافهة في متسلسلة غرام على أنه ρ log x وليس log x ^ρ .

أثبت فولكمار بورنمان، ^{[ 27 ]} بافتراض الفرضية القائلة بأن جميع أصفار دالة زيتا لريمان بسيطة، ^{[ ملاحظة 1 ]} أن

${\displaystyle \operatorname {R} \left(e^{-2\pi t}\right)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta (2k+1)}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho }{\frac {t^{-\rho }}{\rho \cos {\frac {\pi \rho }{2}}\zeta '(\rho )}}}$

حيث ρ يمر عبر الأصفار غير التافهة لدالة زيتا لريمان و t > 0 .

يصف مجموع أصفار زيتا غير التافهة في صيغة π₀ ( x ) تقلبات π₀ ₍ x ) _، بينما تعطي الحدود المتبقية الجزء "الأملس" من دالة عد الأعداد الأولية، [ ^{28 ] لذا} يمكن استخدام

${\displaystyle \operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)}$

باعتبارها مُقدِّرًا جيدًا لـ π ( x ) عندما x > 1. في الواقع، بما أن الحد الثاني يقترب من الصفر عندما x → ∞ ، بينما سعة الجزء "المشوَّش" تُقارب √x / logx ، فإن تقدير π ( x ) بواسطة R( x ) وحده يُعدّ جيدًا بنفس القدر، ويمكن تمثيل تقلبات توزيع الأعداد الأولية بوضوح باستخدام الدالة .

${\displaystyle {\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.}$

أثبت رامانوجان ^{[ 29 ]} أن المتباينة

${\displaystyle \pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\right)}$

ينطبق هذا على جميع القيم الكبيرة بما فيه الكفاية لـ x .

فيما يلي بعض المتباينات المفيدة لـ π ( x ) .

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}\quad {\text{for }}x\geq 17.}$

تتحقق المتباينة اليسرى عندما x ≥ 17، وتتحقق المتباينة اليمنى عندما x > 1. الثابت 1.25506 هو 30 log 113 / 113 لخمسة منازل عشرية، حيث أن π ( x ) log x / x لها قيمتها القصوى عند x = π ₃₀ = 113. ^{[ 30 ]}

أثبت بيير دوسارت في عام 2010: ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}\quad {\text{for }}x\geq 5393{\text{ and }}x\geq 60184,{\text{ respectively.}}}$

وفي الآونة الأخيرة، أثبت دوسارت ^{[ 32 ]} (النظرية 5.1) أن

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}\right)\leq \pi (x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\right),}$

بالنسبة لـ x ≥ 88789 و x > 1 ، على التوالي.

وبالاتجاه المعاكس، يكون التقريب للعدد الأولي النوني ، p _n ، هو

${\displaystyle p_{n}=n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}+O\left({\frac {(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right)\right).}$

فيما يلي بعض المتباينات للعدد الأولي النوني . الحد الأدنى يعود إلى دوسارت (1999) ^{[ 33 ]} والحد الأعلى إلى روسر (1941). ^{[ 34 ]}

${\displaystyle n(\log n+\log \log n-1)<p_{n}<n(\log n+\log \log n)\quad {\text{for }}n\geq 6.}$

تتحقق المتباينة اليسرى عندما يكون n ≥ 2 ، وتتحقق المتباينة اليمنى عندما يكون n ≥ 6. ويُلاحظ أحيانًا شكلٌ بديلٌ يُستبدل بـ${\displaystyle \log n+\log \log n=\log(n\log n).}$ أما الحد الأدنى الأبسط فهو ^{[ 35 ]}

${\displaystyle n\log n<p_{n},}$

وهذا ينطبق على جميع قيم n ≥ 1 ، ولكن الحد الأدنى أعلاه يكون أكثر دقة بالنسبة لـ n > e ^e ≈ 15.154 .

في عام 2010، أثبت دوسارت ^{[ 31 ]} (الفرضيتان 6.7 و6.6) أن

${\displaystyle n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2.1}{\log n}}\right)\leq p_{n}\leq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}\right),}$

بالنسبة لـ n ≥ 3 و n ≥ 688383 على التوالي.

في عام 2024، قام أكسلر ^{[ 36 ]} بتضييق هذا (المعادلتان 1.12 و1.13) باستخدام حدود من الشكل

${\displaystyle f(n,g(w))=n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}-{\frac {g(\log \log n)}{2\log ^{2}n}}\right)}$

إثبات أن

${\displaystyle f(n,w^{2}-6w+11.321)\leq p_{n}\leq f(n,w^{2}-6w)}$

بالنسبة لـ n ≥ 2 و n ≥ 3468 على التوالي . يمكن تبسيط الحد الأدنى إلى f ( n , w² ⁾ دون التأثير على صحته. ويمكن تضييق الحد الأعلى إلى f ( n , w² ^- 6w + 10.667) إذا كان n ≥ 46254381 .

توجد حدود إضافية متفاوتة التعقيد. ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}

تفترض فرضية ريمان حدًا أكثر دقة للخطأ في تقدير π ( x ) ، وبالتالي توزيعًا أكثر انتظامًا للأعداد الأولية.

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).}$

على وجه التحديد، ^{[ 40 ]}

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\quad {\text{for all }}x\geq 2657.}$

أثبت دوديك (2015) أن فرضية ريمان تستلزم أنه لكل x ≥ 2 يوجد عدد أولي p يحقق

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.}$

• مسلمة برتراند
• تخمين أوبيرمان
• رامانوجان برايم

• كريس كالدويل، الصفحة الرئيسية رقم N في الصفحات الرئيسية .
• توماس أوليفيرا إي سيلفا، جداول دوال عد الأعداد الأولية .
• دوديك، أدريان و. (2015)، "حول فرضية ريمان والفرق بين الأعداد الأولية"، المجلة الدولية لنظرية الأعداد ، 11 (3): 771-778 ، arXiv : 1402.6417 ، Bibcode : 2014arXiv1402.6417D ، doi : 10.1142/S1793042115500426 ، ISSN 1793-0421 ، S2CID 119321107