Carmichael's theorem

In number theory, Carmichael's theorem, named after the American mathematician R. D. Carmichael, states that, for any nondegenerate Lucas sequence of the first kind U_n(P, Q) with relatively prime parameters P, Q and positive discriminant, an element U_n with n ≠ 1, 2, 6 has at least one prime divisor that does not divide any earlier one except the 12th Fibonacci number F(12) = U₁₂(1, −1) = 144 and its equivalent U₁₂(−1, −1) = −144.

In particular, for n greater than 12, the nth Fibonacci number F(n) has at least one prime divisor that does not divide any earlier Fibonacci number.

Carmichael (1913, Theorem 21) proved this theorem. Recently, Yabuta (2001)^[1] gave a simple proof. Bilu, Hanrot, Voutier and Mignotte (2001)^[2] extended it to the case of negative discriminants (where it is true for all n > 30).

Given two relatively prime integers P and Q, such that ${\displaystyle D=P^{2}-4Q>0}$ and PQ ≠ 0, let U_n(P, Q) be the Lucas sequence of the first kind defined by

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\qquad {\mbox{ لـ }}n>1.\end{aligned}}}$

ثم، بالنسبة لـ n  ≠  1،  2،  6، فإن U _n ( P , Q ) لها على الأقل قاسم أولي واحد لا يقسم أي U _m ( P , Q ) حيث m < n ، باستثناء U ₁₂ (±1, −1) = ±F(12) = ±144. يُطلق على هذا العدد الأولي p اسم العامل المميز أو القاسم الأولي لـ U _n ( P , Q ). في الواقع، أظهر كارمايكل نظرية أقوى قليلاً: بالنسبة لـ n ≠ 1، 2، 6، فإن U _n ( P , Q ) له قاسم أولي بدائي واحد على الأقل لا يقسم D ^{[ 3 ]} باستثناء U ₃ (±1، −2) = 3، U ₅ (±1، −1) = F(5) = 5، أو U ₁₂ (1، −1) = − U ₁₂ (−1، −1) = F(12) = 144.                               

في نظرية كارمايكل، يجب أن تكون D أكبر من 0؛ وبالتالي فإن الحالات U ₁₃ (1،  2)، U ₁₈ (1،  2) و U ₃₀ (1،  2)، إلخ، لا يتم تضمينها، لأنه في هذه الحالة D  =  −7  <  0.

الاستثناءات الوحيدة في حالة فيبوناتشي للأعداد من n حتى 12 هي:

F(1)  =  1 و F(2)  =  1، وهما ليس لهما قواسم أولية.

F(6)  =  8، وقاسمه الأولي الوحيد هو 2 (وهو F(3))

F(12)  =  144، وقواسمه الأولية الوحيدة هي 2 (وهو F(3)) و 3 (وهو F(4))

أصغر قاسم أولي بدائي للدالة F( n ) هو

1، 1، 2، 3، 5، 1، 13، 7، 17، 11، 89، 1، 233، 29، 61، 47، 1597، 19، 37، 41، 421، 199، 28657، 23، 3001، 521، 53، 281، 514229، 31، 557، 2207، 19801، 3571، 141961، 107، 73، 9349، 135721، 2161، 2789، 211، 433494437، 43، 109441، ... (التسلسل A001578 في OEIS )

تنص نظرية كارمايكل على أن كل عدد من أعداد فيبوناتشي، باستثناء الاستثناءات المذكورة أعلاه، له قاسم أولي بدائي واحد على الأقل.

إذا كان n  >  1، فإن العدد n من أعداد بيل له على الأقل قاسم أولي واحد لا يقسم أي عدد سابق من أعداد بيل. أصغر القواسم الأولية للعدد n من أعداد بيل هي

1، 2، 5، 3، 29، 7، 13، 17، 197، 41، 5741، 11، 33461، 239، 269، 577، 137، 199، 37، 19، 45697، 23، 229، 1153، 1549، 79، 53، 113، 44560482149، 31، 61، 665857، 52734529، 103، 1800193921، 73، 593، 9369319، 389، 241، ... (التسلسل A246556 في OEIS )

• نظرية زيغموندي

• كارمايكل، آر دي (1913)، "حول العوامل العددية للأشكال الحسابية α ⁿ ±β ⁿ "، حوليات الرياضيات ، 15 (1/4): 30-70 ، doi : 10.2307/1967797 ، JSTOR 1967797 .