طريقة كاستيليانو

طريقة كاستيليانو ، نسبةً إلى كارلو ألبرتو كاستيليانو ، هي طريقة لتحديد إزاحات نظام مرن خطي تعتمد على المشتقات الجزئية للطاقة . يمكن فهم المفهوم الأساسي بسهولة بتذكر أن التغير في الطاقة يساوي القوة المؤثرة مضروبة في الإزاحة الناتجة. وبالتالي، فإن القوة المؤثرة تساوي التغير في الطاقة مقسومًا على الإزاحة الناتجة. وبالمثل، فإن الإزاحة الناتجة تساوي التغير في الطاقة مقسومًا على القوة المؤثرة. تُستخدم المشتقات الجزئية لربط القوى المؤثرة والإزاحات الناتجة بالتغير في الطاقة.

لشعاع ناتئ رفيع ومستقيم مع حمل${\displaystyle P}$في النهاية، الإزاحة${\displaystyle \delta }$ويمكن إيجاد النتيجة النهائية من خلال نظرية كاستيليانو الثانية:

$${\displaystyle \delta ={\frac {\partial U}{\partial P}}}$$$$\displaystyle \delta = \frac {\partial }{\partial P} \int _{0}^{L}{\frac {M^{2}(x)}{2EI}} dx = \frac {\partial }{\partial P} \int _{0}^{L}{\frac {(Px)^{2}}{2EI}} dx}$$ أين${\displaystyle E}$معامل يونغ ،${\displaystyle I}$يمثل عزم المساحة الثاني للمقطع العرضي، و${\displaystyle M(x)=Px}$ هو تعبير عن العزم الداخلي عند نقطة على مسافة${\displaystyle x}$من النهاية. قيمة التكامل هي: $$\begin{aligned}\delta &=\frac {\partial }{\partial P}\int _{0}^{L}{\frac {P^{2}x^{2}}{2EI}}dx}=\frac {\partial }{\partial P}}{\frac {P^{2}L^{3}}{6EI}}\\&=\frac {PL^{3}}{3EI}}.\end{aligned}}}$$

والنتيجة هي الصيغة القياسية المعطاة للعوارض الكابولية تحت تأثير الأحمال الطرفية.

تنطبق نظريات كاستيليانو إذا كانت طاقة الانفعال محدودة. وهذا صحيح إذا${\displaystyle mi>n/2}$[ ^{2 ]} هو^​${\displaystyle m=1,2}$رتبة الطاقة (= أعلى مشتق في الطاقة)،${\displaystyle i=0,1,2,3}$، هو دليل دالة ديراك دلتا (قوة واحدة، ${\displaystyle i=0}$) و${\displaystyle n=1,2,3}$يمثل بُعد الفضاء. بالنسبة للمعادلات من الدرجة الثانية،${\displaystyle m=1}$، ينتميان إلى دلتا ديراك،${\displaystyle i=0}$القوة و${\displaystyle i=1}$، الانخلاع ومعادلات الرتبة الرابعة،${\displaystyle m=2}$أربع دوال دلتا ديراك،${\displaystyle i=0}$قوة،${\displaystyle i=1}$لحظة،${\displaystyle i=2}$يلوي،${\displaystyle i=3}$خلع.

مثال: إذا كان طبقًا،${\displaystyle m=1,n=2}$، محملة بقوة واحدة،${\displaystyle i=0}$، المتباينة غير صحيحة.${\displaystyle 1-0\ngtr 2/2}$، وليس في${\displaystyle 3-D}$،${\displaystyle m=1,n=3,1-0\ngtr 3/2}$ولا ينطبق ذلك على الغشاء (لابلاس).${\displaystyle m=1,n=2,i=0}$أو لوحة رايسنر-ميندلين،${\displaystyle m=1,n=2,i=0}$بشكل عام، لا تنطبق نظريات كاستيليانو على${\displaystyle 2-D}$و${\displaystyle 3-D}$المشاكل. الاستثناء هو لوحة كيرشوف،${\displaystyle m=2,n=2,i=0}$، منذ${\displaystyle 2-0>2/2}$لكن لحظة من فضلك،${\displaystyle i=1}$، مما يتسبب في فيضان طاقة صفيحة كيرشوف،${\displaystyle 2-1\ngtr 2/2}$. في${\displaystyle 1-D}$مشاكل طاقة الانفعال محدودة إذا${\displaystyle mi>1/2}$.

تخضع نظرية مينابريا لنفس القيد. فهي تتطلب ذلك.${\displaystyle mi>n/}$الخيار 2 صحيح.${\displaystyle i}$ترتيب رد فعل الدعم، قوة واحدة${\displaystyle i=0}$، لحظة${\displaystyle i=1}$باستثناء طبق كيرشوف و${\displaystyle i=0}$(قوة واحدة كرد فعل داعم)، لا يكون هذا صحيحًا بشكل عام في${\displaystyle 2-D}$و${\displaystyle 3-D}$لأن وجود دعامات نقطية يؤدي إلى طاقة كبيرة للغاية.

• كارلو ألبرتو كاستيليانو
• طريقة كاستيليانو: بعض الأمثلة (باللغة الألمانية)