عزم المساحة الثاني

وبشكل عام، يتم تعريف عزم المساحة الناتج على النحو التالي ^{[ 3 ]}$${\displaystyle I_{xy}=\iint _{R}yx\,dx\,dy}$$

لنفترض مستطيلاً له قاعدة${\displaystyle b}$والارتفاع${\displaystyle h}$والتي يقع مركزها عند نقطة الأصل.${\displaystyle I_{x}}$يمثل عزم المساحة الثاني بالنسبة للمحور السيني؛${\displaystyle I_{y}}$يمثل عزم المساحة الثاني بالنسبة للمحور الصادي؛${\displaystyle J_{z}}$يمثل عزم القصور الذاتي القطبي بالنسبة للمحور z.

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{x}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,dx={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint _{R}x^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,dx={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}}$$

باستخدام نظرية المحور العمودي، نحصل على قيمة${\displaystyle J_{z}}$.

$${\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}$$

لنفترض حلقة مركزها نقطة الأصل، ونصف قطرها الخارجي هو${\displaystyle r_{2}}$ونصف القطر الداخلي هو${\displaystyle r_{1}}$بسبب تناظر الحلقة، يقع مركزها أيضًا عند نقطة الأصل. يمكننا تحديد عزم القصور الذاتي القطبي.${\displaystyle J_{z}}$حول${\displaystyle z}$المحور بطريقة الأشكال المركبة. عزم القصور الذاتي القطبي هذا يعادل عزم القصور الذاتي القطبي لدائرة نصف قطرها${\displaystyle r_{2}}$ناقص عزم القصور الذاتي القطبي لدائرة نصف قطرها${\displaystyle r_{1}}$كلاهما متمركزان عند نقطة الأصل. أولاً، دعونا نستنتج عزم القصور الذاتي القطبي لدائرة نصف قطرها${\displaystyle r}$بالنسبة إلى نقطة الأصل. في هذه الحالة، يكون من الأسهل حساب ذلك مباشرة${\displaystyle J_{z}}$كما هو الحال لدينا بالفعل${\displaystyle r^{2}}$، والتي تحتوي على كل من${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$المكون. بدلاً من الحصول على عزم المساحة الثاني من الإحداثيات الديكارتية كما فعلنا في القسم السابق، سنقوم بحساب${\displaystyle I_{x}}$و${\displaystyle J_{z}}$باستخدام الإحداثيات القطبية مباشرة .

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{x,{\text{circle}}}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\iint _{R}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)\\&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\sin ^{2}{\theta }\,dr\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}\sin ^{2}{\theta }}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{4}}r^{4}\\J_{z,{\text{circle}}}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}}$$

الآن، عزم القصور الذاتي القطبي حول${\displaystyle z}$محور الحلقة هو ببساطة، كما ذكر أعلاه، الفرق بين العزوم الثانية لمساحة دائرة نصف قطرها${\displaystyle r_{2}}$ودائرة نصف قطرها${\displaystyle r_{1}}$.

$${\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}$$

أو بدلاً من ذلك، يمكننا تغيير الحدود على${\displaystyle dr}$يتم تضمينها في المرة الأولى لتعكس حقيقة وجود ثقب. ويتم ذلك على النحو التالي.

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {r_{2}^{4}}{4}}-{\frac {r_{1}^{4}}{4}}\right]\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$$

يمكن حساب العزم الثاني للمساحة حول نقطة الأصل لأي مضلع بسيط على المستوى XY بشكل عام عن طريق جمع مساهمات كل قطعة من المضلع بعد تقسيم المساحة إلى مجموعة من المثلثات. ترتبط هذه الصيغة بصيغة رباط الحذاء ، ويمكن اعتبارها حالة خاصة من نظرية غرين .

يُفترض أن المضلع له${\displaystyle n}$رؤوس المضلع، مرقمة عكس اتجاه عقارب الساعة. إذا كانت رؤوس المضلع مرقمة باتجاه عقارب الساعة، فستكون القيم المُعادة سالبة، لكن القيم المطلقة ستكون صحيحة.

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle x_{i},y_{i}}$هي إحداثيات${\displaystyle i}$رأس المضلع رقم -th، لـ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$. أيضًا،${\displaystyle x_{n+1},y_{n+1}}$يُفترض أن تكون مساوية لإحداثيات الرأس الأول، أي${\displaystyle x_{n+1}=x_{1}}$و${\displaystyle y_{n+1}=y_{1}}$[ ^{6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]​}