شروط السببية

شروط السببية هي تصنيفات للمتشعبات اللورنتزية وفقًا لأنواع البنى السببية التي تقبلها. في دراسة الزمكان ، يوجد تسلسل هرمي لشروط السببية التي تُعدّ مهمة في إثبات النظريات الرياضية المتعلقة بالبنية العامة لهذه المتشعبات. جُمعت هذه الشروط خلال أواخر سبعينيات القرن العشرين. ^{[ 1 ]}

كلما ضعفت شروط السببية في الزمكان، كلما ازداد عدم فيزيائية هذا الزمكان. على سبيل المثال، تُثير الزمكانات ذات المنحنيات الزمنية المغلقة صعوبات تفسيرية بالغة. انظر مفارقة الجد .

من المعقول الاعتقاد بأن أي زمكان فيزيائي سيحقق أقوى شرط للسببية: القطع الزائد الكلي . بالنسبة لمثل هذه الزمكانات، يمكن صياغة المعادلات في النسبية العامة كمسألة قيمة ابتدائية على سطح كوشي .

توجد سلسلة هرمية من شروط السببية، كل شرط منها أقوى من سابقه. ويُطلق على هذا أحيانًا اسم " سلم السببية" . وهذه الشروط، مرتبة من الأضعف إلى الأقوى، هي:

• ليس شريراً تماماً
• مرتب زمنيًا
• السببية
• تمييز
• علاقة سببية قوية
• علاقة سببية مستقرة
• مستمر سببيًا
• بسيط سببي
• زائدية عالمية

فيما يلي تعريفات شروط السببية هذه لمتشعب لورنتزي${\displaystyle (M,g)}$. عندما يتم إعطاء اثنين أو أكثر، فإنها تكون متكافئة.

الترميز :

• ${\displaystyle p\ll q}$يشير إلى العلاقة الزمنية .
• ${\displaystyle p\prec q}$يشير إلى العلاقة السببية .

(انظر البنية السببية للاطلاع على تعريفات${\displaystyle \,I^{+}(x)}$،${\displaystyle \,I^{-}(x)}$و ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$،${\displaystyle \,J^{-}(x)}$.)

• بالنسبة لبعض النقاط${\displaystyle p\in M}$لدينا${\displaystyle p\not \ll p}$.

• لا توجد منحنيات زمنية مغلقة (شبيهة بالزمن).
• العلاقة الزمنية غير انعكاسية :${\displaystyle p\not \ll p}$للجميع${\displaystyle p\in M}$.

• لا توجد منحنيات سببية مغلقة (غير مكانية).
• إذا كان كلاهما${\displaystyle p\prec q}$و${\displaystyle q\prec p}$ثم${\displaystyle p=q}$

• لكل حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle p\in M}$يوجد حي${\displaystyle V\subset U,p\in V}$والتي لا يمر بها أي منحنى زمني أكثر من مرة.
• لكل حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle p\in M}$يوجد حي${\displaystyle V\subset U,p\in V}$أي محدب سببيًا في${\displaystyle M}$(وبالتالي في${\displaystyle U}$أي لكل${\displaystyle q,q'}$في${\displaystyle V}$أي منحنى سببي في${\displaystyle M}$من${\displaystyle q}$ل${\displaystyle q'}$يجب أن يكون محصوراً بالكامل في${\displaystyle U}$.
• تُحقق طوبولوجيا ألكسندروف (التي يتم توليدها من خلال الأحداث المستقبلية والماضية لجميع النقاط) أيًا من الشروط المكافئة التالية:
  • (أ) طوبولوجيا ألكسندروف تساوي طوبولوجيا المتشعب.
  • (ب) طوبولوجيا ألكسندروف هي هاوسدورف.

لكل شرط من شروط السببية الأضعف المحددة أعلاه، توجد بعض المتشعبات التي تحقق الشرط والتي يمكن جعلها تنتهكه عن طريق اضطرابات صغيرة تعسفية في المقياس. الزمكان${\displaystyle (M,g)}$يُطلق عليه اسم السببية المستقرة إذا استوفى أيًا من الشروط المكافئة التالية:

1. السببية هي (${\displaystyle C^{0}}$) مستقر: يوجد مقياس لورنتزي سببي${\displaystyle g'}$على${\displaystyle M}$مع كون المخاريط أعرض بكثير من المخاريط الأصلية لـ${\displaystyle g}$(أي جميع المتجهات السببية لـ${\displaystyle g}$هي متجهات زمنية لـ${\displaystyle g'}$).
2. تقبل هذه النظرية دالة زمنية: توجد دالة متصلة${\displaystyle t}$والتي تتزايد بشكل صارم على المنحنيات السببية (الزمنية أو الضوئية).
3. تقبل دالة زمنية: توجد دالة سلسة${\displaystyle \tau }$الذي تدرجه${\displaystyle \nabla \tau }$هو زمني وموجه نحو الماضي (على وجه الخصوص،${\displaystyle \tau }$(وهي دالة زمنية).

أثبت هوكينغ (1969) ^{[ 2 ]} أن الشرط 1 يستلزم الشرط 2، وأثبت برنال وسانشيز (2005) ^{[ 3 ]} أن الشرط 2 يستلزم الشرط 3، بينما ليس من الصعب التحقق من أن الشرط 3 يستلزم الشرط 1. انظر سانشيز ^{[ 4 ]} للاطلاع على شرح مفصل، بالإضافة إلى علاقته بمسائل التنعيم الشائعة.

يُطلق على الزمكان اسم الزمكان المتصل سببيًا عندما يستوفي الشرطين التاليين: (أ) أن يكون مميزًا، و(ب) أن يكون مستقبله الزمني${\displaystyle I^{+}(p)}$والماضي${\displaystyle I^{-}(p)}$يتغير باستمرار مع النقطة${\displaystyle p}$.

توجد عدة طرق للتعبير رسميًا عن معنى هذا الاستمرار. إحداها تبدأ بالنظر إلى${\displaystyle I^{+}}$و${\displaystyle I^{-}}$كدوال متعددة القيم من متعدد الشعب${\displaystyle M}$في المجموعة${\displaystyle \mathbb {P} (M)}$من أجزاء من${\displaystyle M}$(أي، نقاط${\displaystyle \mathbb {P} (M)}$هي مجموعات فرعية من${\displaystyle M}$لاحظ أن${\displaystyle M}$تتمتع بطوبولوجيا، وطوبولوجيا على${\displaystyle \mathbb {P} (M)}$يمكن تعريفها على النحو التالي. لأي مجموعة مضغوطة${\displaystyle K\subset M}$، المجموعات الفرعية من${\displaystyle M}$لا يتقاطعان${\displaystyle K}$تشكل مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {P} (M)}$وبالتالي، فإن هذه المجموعات المفتوحة، التي تُعرَّف بأنها مفتوحة، تُشكِّل أساسًا للطوبولوجيا المطلوبة. ومن ثم، فإن الشرط (ب) يعني أن التطبيقات${\displaystyle I^{\pm }:M\rightarrow \mathbb {P} (M)}$تكون متصلة كخرائط على الفضاءات الطوبولوجية. ^{[ 5 ]}

يُطلق على الزمكان اسم الزمكان البسيط سببيًا عندما يحقق الشرطين التاليين: (أ) أنه سببي و (ب)${\displaystyle J^{+}(p)}$و${\displaystyle J^{-}(p)}$مغلقة لكل نقطة.

كان هوكينغ وإيليس (1973)، وبيم وإيرليخ وإيزلي (1996) ^{[ 6 ]} وغيرهم يشترطون تقليديًا شرط السببية القوية . ومع ذلك، وبناءً على نتيجة توصل إليها برنال وسانشيز (2007) ^{[ 7 ]} ، يُستخدم الآن شرط السببية الأبسط في التعريف.

• ${\displaystyle \,M}$هو سببي وكل مجموعة${\displaystyle J^{+}(x)\cap J^{-}(y)}$(للحصول على نقاط)${\displaystyle x,y\in M}$) مضغوط .

أظهر روبرت جيروش ^{[ 8 ]} أن الزمكان يكون زائديًا عالميًا إذا وفقط إذا وُجد سطح كوشي لـ${\displaystyle M}$وهذا يعني أن:

• ${\displaystyle M}$مكافئ طوبولوجيًا لـ${\displaystyle \mathbb {R} \times \!\,S}$لبعض الأسطح الكوشي${\displaystyle S.}$(هنا${\displaystyle \mathbb {R} }$(يشير إلى خط الأعداد الحقيقية ).

علاوة على ذلك، فإنه يسمح أيضًا بالتقسيم المتعامد العالمي الذي حصل عليه برنال وسانشيز (2005)، مما يدل على أنه يمكن التمييز بين المكان والزمان بشكل عالمي (بطريقة غير فريدة للغاية).

تجدر الإشارة إلى أن جميع مستويات السلم تبقى محفوظة عند تضييق المخاريط (أي عندما يكون المقياس الأصلي${\displaystyle g}$يتم استبدالها بمقياس${\displaystyle g'}$التي تُدرج متجهاتها السببية ضمن المتجهات السببية لـ${\displaystyle g}$), باستثناء الاستمرارية السببية والبساطة السببية، كما أوضح غارسيا بارادو وسانشيز بمثال مضاد صريح. ^{[ 9 ]}

• إس دبليو هوكينج ، جي إف آر إليس (1973). البنية واسعة النطاق للزمكان . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-20016-4.
• إس. دبليو. هوكينج ، دبليو. إسرائيل (1979). النسبية العامة: دراسة بمناسبة مرور مئة عام على ميلاد أينشتاين . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-22285-0.
• مينغوزي، إي.؛ سانشيز، م. (2006). "التسلسل الهرمي السببي للزمكان". arXiv : gr-qc/0609119v1 .