قاعدة السلسلة (الاحتمالات)

في نظرية الاحتمالات ، تصف قاعدة السلسلة ^{[ 1 ]} (وتُسمى أيضًا قاعدة الضرب العامة ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} ) كيفية حساب احتمال تقاطع أحداث، ليست بالضرورة مستقلة ، أو التوزيع المشترك لمتغيرات عشوائية ، باستخدام الاحتمالات الشرطية . تسمح هذه القاعدة بالتعبير عن الاحتمال المشترك بدلالة الاحتمالات الشرطية فقط. ^{[ 4 ]} تُستخدم هذه القاعدة بشكل خاص في سياق العمليات العشوائية المنفصلة وفي تطبيقات، مثل دراسة الشبكات البايزية ، التي تصف توزيع الاحتمالات بدلالة الاحتمالات الشرطية.

قاعدة السلسلة للأحداث

حدثان

لحدثين $A$ و $B$ تنص قاعدة السلسلة على أن

\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)

،

أين $\mathbb {P} (B\mid A)$ يرمز إلى الاحتمال الشرطي لـ $B$ منح $A$ .

مثال

تحتوي جرة (أ) على كرة سوداء واحدة وكرتين بيضاوين، وتحتوي جرة أخرى (ب) على كرة سوداء واحدة وثلاث كرات بيضاء. لنفترض أننا اخترنا جرة عشوائيًا ثم سحبنا كرة منها. ليكن الحدث $A$ باختيار الجرة الأولى، أي $\mathbb {P} (A)=\mathbb {P} ({\overline {A}})=1/2$ ، أين ${\overline {A}}$ هو الحدث المكمل لـ $A$ . ليكن الحدث $B$ لنفترض أن لدينا فرصة لاختيار كرة بيضاء. فرصة اختيار كرة بيضاء، علماً بأننا اخترنا الجرة الأولى، هي $\mathbb {P} (B|A)=2/3.$ التقاطع $A\cap B$ ثم يصف عملية اختيار الجرة الأولى وكرة بيضاء منها. ويمكن حساب الاحتمالية باستخدام قاعدة السلسلة كما يلي:

\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}.

بالتأكيد العديد من الأحداث

للمناسبات $A_{1},\ldots ,A_{n}$ تنص قاعدة السلسلة على أن احتمال تقاطعها لا يساوي صفرًا.

{\begin{aligned}\mathbb {P} \left(A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}\right)&=\mathbb {P} \left(A_{n}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-1}\right)\mathbb {P} \left(A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-1}\right)\\&=\mathbb {P} \left(A_{n}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-1}\right)\mathbb {P} \left(A_{n-1}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-2}\right)\mathbb {P} \left(A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-2}\right)\\&=\mathbb {P} \left(A_{n}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-1}\right)\mathbb {P} \left(A_{n-1}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-2}\right)\cdot \ldots \cdot \mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\cdot \ldots \cdot \mathbb {P} (A_{n}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{n-1})\\&=\prod _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{k-1})\\&=\prod _{k=1}^{n}\mathbb {P} \left(A_{k}\,{\Bigg |}\,\bigcap _{j=1}^{k-1}A_{j}\right).\end{aligned}}

المثال 1

ل $n=4$ أي أربعة أحداث، تنص قاعدة السلسلة على

{\begin{aligned}\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{1}).\end{aligned}}

المثال 2

نسحب عشوائياً 4 بطاقات (واحدة تلو الأخرى) دون إرجاع من مجموعة أوراق لعب تحتوي على 52 بطاقة. ما احتمال أن تكون البطاقات المسحوبة 4 آس؟

أولاً، نحدد ${\textstyle A_{n}:=\left\{{\text{draw an ace in the }}n^{\text{th}}{\text{ try}}\right\}}$ من الواضح أننا نحصل على الاحتمالات التالية

\mathbb {P} (A_{1})={\frac {4}{52}},\qquad \mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})={\frac {3}{51}},\qquad \mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})={\frac {2}{50}},\qquad \mathbb {P} (A_{4}\mid A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})={\frac {1}{49}}

.

بتطبيق قاعدة السلسلة،

\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})={\frac {4}{52}}\cdot {\frac {3}{51}}\cdot {\frac {2}{50}}\cdot {\frac {1}{49}}={\frac {24}{6497400}}

.

بيان النظرية وبرهانها

يترك $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ ليكن فضاء احتمالي. تذكر أن الاحتمال الشرطي لـ $A\in {\mathcal {A}}$ منح $B\in {\mathcal {A}}$ يُعرَّف بأنه

{\begin{aligned}\mathbb {P} (A\mid B):={\begin{cases}{\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}},&\mathbb {P} (B)>0,\\0&\mathbb {P} (B)=0.\end{cases}}\end{aligned}}

ثم لدينا النظرية التالية.

قاعدة السلسلة — ليكن $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ ليكن فضاء احتمالي. $A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ . ثم

{\begin{aligned}\mathbb {P} \left(A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}\right)&=\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\cdot \ldots \cdot \mathbb {P} (A_{n}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{n-1})\\&=\mathbb {P} (A_{1})\prod _{j=2}^{n}\mathbb {P} (A_{j}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{j-1}).\end{aligned}}

دليل

تتبع الصيغة مباشرةً عن طريق الاستدعاء الذاتي

{\begin{aligned}(1)&&&\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})\\(2)&&&\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\\&&&&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}),\end{aligned}}

حيث استخدمنا تعريف الاحتمال الشرطي في الخطوة الأولى.

قاعدة السلسلة للمتغيرات العشوائية المنفصلة

متغيران عشوائيان

بالنسبة لمتغيرين عشوائيين منفصلين $X,Y$ ، نستخدم الأحداث $A:=\{X=x\}$ و $B:=\{Y=y\}$ في التعريف أعلاه، أوجد التوزيع المشترك كما يلي

\mathbb {P} (X=x,Y=y)=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y)\mathbb {P} (Y=y),

أو

\mathbb {P} _{(X,Y)}(x,y)=\mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)\mathbb {P} _{Y}(y),

أين $\mathbb {P} _{X}(x):=\mathbb {P} (X=x)$ هو التوزيع الاحتمالي لـ $X$ و $\mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)$ التوزيع الاحتمالي الشرطي لـ $X$ منح $Y$ .

عدد محدود من المتغيرات العشوائية

يترك $X_{1},\ldots ,X_{n}$ لتكن متغيرات عشوائية و $x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ بحسب تعريف الاحتمال الشرطي،

\mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)=\mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)\mathbb {P} \left(X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)

وباستخدام قاعدة السلسلة، حيث نحدد $A_{k}:=\{X_{k}=x_{k}\}$ يمكننا إيجاد التوزيع المشترك على النحو التالي:

{\begin{aligned}\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1},\ldots X_{n}=x_{n}\right)&=\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1}\mid X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\mathbb {P} \left(X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\\&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})\cdot \ldots \\&\qquad \cdot \mathbb {P} (X_{n}=x_{n}\mid X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n-1}=x_{n-1})\\\end{aligned}}

مثال

ل $n=3$ أي بالنظر إلى ثلاثة متغيرات عشوائية. عندئذٍ، تصبح قاعدة السلسلة كما يلي:

{\begin{aligned}\mathbb {P} _{(X_{1},X_{2},X_{3})}(x_{1},x_{2},x_{3})&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},X_{3}=x_{3})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} _{X_{3}\mid X_{2},X_{1}}(x_{3}\mid x_{2},x_{1})\mathbb {P} _{X_{2}\mid X_{1}}(x_{2}\mid x_{1})\mathbb {P} _{X_{1}}(x_{1}).\end{aligned}}

فهرس

رينيه ل. شيلينغ (2021)، القياس والتكامل والاحتمالات والعمليات - من المحتمل (ilistical)ly الحد الأدنى النظري (1 ed.)، Technische Universität Dresden، ألمانيا، ISBN 979-8-5991-0488-9{{citation}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
ويليام فيلر (1968)، مقدمة في نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها ، المجلد الأول (الطبعة الثالثة )، نيويورك / لندن / سيدني: وايلي، رقم ISBN 978-0-471-25708-0
راسل، ستيوارت جيه .؛ نورفيج، بيتر (2003)، الذكاء الاصطناعي: منهج حديث ( الطبعة الثانية)، أبر سادل ريفر، نيو جيرسي: برنتيس هول، ISBN 0-13-790395-2، ص 496.

مراجع

^ شيلينغ ، رينيه إل. (2021). القياس والتكامل والاحتمالات والعمليات - من المحتمل (غير الإستقرائي) الحد الأدنى النظري . الجامعة التقنية في دريسدن، ألمانيا. ص. 136 وما يليها. رقم ISBN 979-8-5991-0488-9.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
↑ شوم، ديفيد أ. (1994). الأسس الاستدلالية للاستدلال الاحتمالي . مطبعة جامعة نورث وسترن. ص 49. ISBN 978-0-8101-1821-8.
↑ كلوغ، هنري إي. (2013). الإحصاء: أساسيات البحث ( الطبعة الثالثة). دار النشر لعلم النفس. ص 149. ISBN 978-1-134-92862-0.
↑ فيرتو، بات. "10-606: الأسس الرياضية للتعلم الآلي" (PDF) .

[1] شيلينغ ، رينيه إل. (2021). القياس والتكامل والاحتمالات والعمليات - من المحتمل (غير الإستقرائي) الحد الأدنى النظري . الجامعة التقنية في دريسدن، ألمانيا. ص. 136 وما يليها. رقم ISBN 979-8-5991-0488-9.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )

[2] شوم، ديفيد أ. (1994). الأسس الاستدلالية للاستدلال الاحتمالي . مطبعة جامعة نورث وسترن. ص 49. ISBN 978-0-8101-1821-8.

[3] كلوغ، هنري إي. (2013). الإحصاء: أساسيات البحث ( الطبعة الثالثة). دار النشر لعلم النفس. ص 149. ISBN 978-1-134-92862-0.

[4] فيرتو، بات. "10-606: الأسس الرياضية للتعلم الآلي" (PDF) .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	17 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗