نظام قائم على التعقيد

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 84 صور
الموسوعة الحرة

في علم الحساب ، النظام ذو الأساس المركب هو نظام عددي موضعي أساسه عدد تخيلي ( اقترحه دونالد كنوث في عام 1955 [ 1 ] [ 2 ] ) أو عدد مركب (اقترحه إس. خميلنيك في عام 1964 [ 3 ] ووالتر إف. بيني في عام 1965 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] ).

على العموم

يتركد{\displaystyle D}أن يكون مجالًا متكاملًا⊂ج{\displaystyle \subset \mathbb {C} }، و|⋅|{\displaystyle |\cdot |}القيمة المطلقة (الأرخميدية) عليها.

رقمX∈د{\displaystyle X\in D}في نظام الأعداد الموضعية يتم تمثيلها كتوسيع

X=±∑νxνρν،{\displaystyle X=\pm \sum _{\nu }^{}x_{\nu }\rho ^{\nu },}

أين

ρ∈د{\displaystyle \rho \in D}الجذر (أو القاعدة ) مع|ρ|>1{\displaystyle |\rho |>1}،
ν∈Z{\displaystyle \nu \in \mathbb {Z} }هو الأس (الموقع أو المكان)،
xν{\displaystyle x_{\nu }}هي أرقام من مجموعة الأرقام المحدودةZ⊂د{\displaystyle Z\subset D}، عادة مع|xν|<|ρ|.{\displaystyle |x_{\nu }|<|\rho |.}

العددية​R:=|Z|{\displaystyle R:=|Z|}يُطلق عليه مستوى التحلل .

نظام الأرقام الموضعية أو نظام الترميز هو زوج

⟨ρ،Z⟩{\displaystyle \left\langle \rho ,Z\right\rangle }

مع الجذرρ{\displaystyle \rho }ومجموعة من الأرقامZ{\displaystyle Z}ونكتب مجموعة الأرقام القياسية باستخدامR{\displaystyle R}الأرقام كـ

ZR:={0،1،2،...،R-1}.{\displaystyle Z_{R}:=\{0,1,2,\dotsc ,{R-1}\}.}

يُفضّل استخدام أنظمة ترميز تتضمن الميزات التالية:

  • كل رقم فيد{\displaystyle D}على سبيل المثال،  الأعداد الصحيحةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }، الأعداد الصحيحة الغاوسيةZ[أنا]{\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]}أو الأعداد الصحيحةZ[-1+أنا72]{\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}]}، يمكن تمثيلها بشكل فريد كرمز محدود ، ربما بإشارة ± .
  • كل عدد في مجال الكسورك:=اقتباس⁡(د){\displaystyle K:=\operatorname {Quot} (D)}والتي ربما تكون قد اكتملت وفقًا للمقياس المحدد بواسطة|⋅|{\displaystyle |\cdot |}الاستسلامك:=R{\displaystyle K:=\mathbb {R} }أوك:=ج{\displaystyle K:=\mathbb {C} }، ويمكن تمثيلها كمتسلسلة لانهائيةX{\displaystyle X}والتي تتقارب تحت|⋅|{\displaystyle |\cdot |}لν→-∞{\displaystyle \nu \to -\infty }، ومقياس مجموعة الأعداد التي لها أكثر من تمثيل واحد هو 0. ويتطلب هذا الأخير أن تكون المجموعةZ{\displaystyle Z}كن بسيطًا، أيR=|ρ|{\displaystyle R=|\rho |}للأعداد الحقيقية وR=|ρ|2{\displaystyle R=|\rho |^{2}}بالنسبة للأعداد المركبة.

بالأعداد الحقيقية

في هذا الترميز، يُشار إلى نظام الترميز العشري القياسي لدينا بـ

⟨10،Z10⟩،{\displaystyle \left\langle 10,Z_{10}\right\rangle ,}

النظام الثنائي القياسي هو

⟨2،Z2⟩،{\displaystyle \left\langle 2,Z_{2}\right\rangle ,}

النظام الثنائي السالب هو

⟨-2،Z2⟩،{\displaystyle \left\langle -2,Z_{2}\right\rangle ,}

والنظام الثلاثي المتوازن [ 2 ] هو

⟨3،{-1،0،1}⟩.{\displaystyle \left\langle 3,\{-1,0,1\}\right\rangle .}

تتمتع جميع أنظمة الترميز هذه بالميزات المذكورة لـZ{\displaystyle \mathbb {Z} }وR{\displaystyle \mathbb {R} }أما الأخيران فلا يتطلبان لافتة.

في الأعداد المركبة

تشمل أنظمة الأعداد الموضعية المعروفة للأعداد المركبة ما يلي (أنا{\displaystyle \mathrm {i} }(كونها الوحدة التخيلية ):

  • ⟨R،ZR⟩{\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}},Z_{R}\right\rangle }مثال⟨±أنا2،Z2⟩{\displaystyle \left\langle \pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }[ 1 ] و
⟨±2أنا،Z4⟩{\displaystyle \left\langle \pm 2\mathrm {i} ,Z_{4}\right\rangle }، [ 2 ] الأساس التخيلي الرباعي ، الذي اقترحه دونالد كنوث في عام 1955.
  • ⟨2هـ±π2أنا=±أنا2،Z2⟩{\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {\pi }{2}}\mathrm {i} }=\pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }و
⟨2هـ±3π4أنا=-1±أنا،Z2⟩{\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {3\pi }{4}}\mathrm {i} }=-1\pm \mathrm {i} ,Z_{2}\right\rangle }[ 3 ] [ 5 ] (انظر أيضًا القسمBase −1 ±iأدناه).
  • ⟨Rهـأناφ،ZR⟩{\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}}e^{\mathrm {i} \varphi },Z_{R}\right\rangle }، أينφ=±أركوس⁡(-β/(2R)){\displaystyle \varphi =\pm \arccos {(-\beta /(2{\sqrt {R}}))}}،β<مين(R،2R){\displaystyle \beta <\min(R,2{\sqrt {R}})}وβ{\displaystyle \beta _{}^{}}هو عدد صحيح موجب يمكن أن يأخذ قيمًا متعددة عند قيمة معينةR{\displaystyle R}[ 7 ] لـ​β=1{\displaystyle \beta =1}وR=2{\displaystyle R=2}هذا هو النظام
⟨-1+أنا72،Z2⟩.{\displaystyle \left\langle {\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}},Z_{2}\right\rangle .}
  • ⟨2هـπ3أنا،أ4:={0،1،هـ2π3أنا،هـ-2π3أنا}⟩{\displaystyle \left\langle 2e^{{\tfrac {\pi }{3}}\mathrm {i} },A_{4}:=\left\{0,1,e^{{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} },e^{-{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }\right\}\right\rangle }[ 8 ]​
  • ⟨-R،أR2⟩{\displaystyle \left\langle -R,A_{R}^{2}\right\rangle }، حيث المجموعةأR2{\displaystyle A_{R}^{2}}يتكون من أعداد مركبةرν=αν1+αν2أنا{\displaystyle r_{\nu}=\alpha _{\nu }^{1}+\alpha _{\nu }^{2}\mathrm {i} }والأرقامαν∈ZR{\displaystyle \alpha _{\nu }^{}\in Z_{R}}مثال
⟨-2،{0،1،أنا،1+أنا}⟩.{\displaystyle \left\langle -2,\{0,1,\mathrm {i} ,1+\mathrm {i} \}\right\rangle .}[ 8 ]
  • ⟨ρ=ρ2،Z2⟩{\displaystyle \left\langle \rho =\rho _{2},Z_{2}\right\rangle }، أينρ2={(-2)ν2لو ν حتى،(-2)ν-12أنالو ν غريب.{\displaystyle \rho _{2}={\begin{cases}(-2)^{\tfrac {\nu }{2}}&{\text{if }}\nu {\text{ even,}}\\(-2)^{\tfrac {\nu -1}{2}}\mathrm {i} &{\text{if }}\nu {\text{ odd.}}\end{cases}}} [ 9 ]

الأنظمة الثنائية

أنظمة الترميز الثنائي للأعداد المركبة، أي الأنظمة التي تحتوي على الأرقامZ2={0،1}{\displaystyle Z_{2}=\{0,1\}}[ 9 ] وهي ذات أهمية عملية. فيما يلي بعض أنظمة الترميز⟨ρ،Z2⟩{\displaystyle \langle \rho ,Z_{2}\rangle }(جميعها حالات خاصة من الأنظمة المذكورة أعلاه) ورموز الأعداد العشرية -1، 2، -2، i . كما تم إدراج النظام الثنائي القياسي (الذي يتطلب إشارة، السطر الأول) ونظام "الثنائي السالب" (السطر الثاني) للمقارنة. ولا يوجد لهما تمثيل حقيقي للعدد i .

بعض القواعد وبعض التمثيلات [ 10 ]
الجذر–1 ←2 ←–2 ←أنا ←التوائم والثلاثة توائم
2-110-10أنا1 ←0.1 = 1.0​
–21111010أنا١/٣ ←​​​​0.01 = 1.10​
أنا2{\displaystyle \mathrm {i} {\sqrt {2}}}1011010010010.101010100... [ 11 ]13+13أنا2{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\mathrm {i} {\sqrt {2}}}←0.0011 = 11.1100​
-1+أنا72{\displaystyle {\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}}111101011011.110001100... [ 11 ]3+أنا74{\displaystyle {\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{4}}}←1. 011 = 11. 101 = 11100. 110
ρ2{\displaystyle \rho _{2}}1011010010010١/٣ + ١/٣ i ←​​​​​​​​0.0011 = 11.1100​
-1+ i1110111001110011١/٥ + ٣/٥ i ←​​​​​​​​0.010 = 11.001 = 1110.100​
2 i103210210.2١/٥ + ٢/٥ i ←​​​​​​​​0.0033 = 1.3003 = 10.0330 = 11.3300​

كما هو الحال في جميع أنظمة الأعداد الموضعية ذات القيمة المطلقة الأرخميدية ، توجد بعض الأعداد التي لها تمثيلات متعددة . تظهر أمثلة على هذه الأعداد في العمود الأيمن من الجدول. جميعها عبارة عن كسور دورية مع تمييز الجزء الدوري بخط أفقي فوقه.

إذا كانت مجموعة الأرقام صغيرة، فإن مجموعة هذه الأرقام لها مقياس يساوي 0. وهذا هو الحال مع جميع أنظمة الترميز المذكورة.

يُدرج نظام الربع التخيلي شبه الثنائي في السطر الأخير لأغراض المقارنة. في هذا النظام، يتداخل الجزء الحقيقي مع الجزء التخيلي.

الأساس −1 ± i

الأعداد المركبة التي يكون الجزء الصحيح منها أصفارًا في النظام ذي الأساس i – 1

ومن الأمور ذات الأهمية الخاصة نظام الأساس الرباعي التخيلي (الأساس 2 i ) ونظام الأساس −1 ± i الذي تمت مناقشته أدناه، وكلاهما يمكن استخدامه لتمثيل الأعداد الصحيحة الغاوسية بشكل محدود بدون إشارة.

تم اقتراح الأساس −1 ± i ، باستخدام الأرقام 0 و 1 ، من قبل S. Khmelnik في عام 1964 [ 3 ] و Walter F. Penney في عام 1965. [ 4 ] [ 6 ]

الصلة بالتنين التوأم

منطقة التقريب لعدد صحيح - أي مجموعةS{\displaystyle S}مجموعة الأعداد المركبة (غير الصحيحة) التي تشترك في الجزء الصحيح من تمثيلها في هذا النظام - لها شكل كسري في المستوى المركب: التنين المزدوج (انظر الشكل). هذه المجموعةS{\displaystyle S}هي، بحكم تعريفها، جميع النقاط التي يمكن كتابتها على النحو التالي∑ك≥1xك(أنا-1)-ك{\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}}معxك∈Z2{\displaystyle x_{k}\in Z_{2}}.S{\displaystyle S}يمكن تقسيمها إلى 16 قطعة متطابقة مع14S{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}S}لاحظ أنه إذاS{\displaystyle S}عند تدويرها عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 135 درجة، نحصل على مجموعتين متجاورتين متطابقتين.12S{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S}، لأن(أنا-1)S=S∪(S+1){\displaystyle (\mathrm {i} -1)S=S\cup (S+1)}المستطيلR⊂S{\displaystyle R\subset S}يتقاطع المركز مع محاور الإحداثيات عكس اتجاه عقارب الساعة عند النقاط التالية:215←0.00001100¯{\displaystyle {\tfrac {2}{15}}\gets 0.{\overline {00001100}}}،115أنا←0.00000011¯{\displaystyle {\tfrac {1}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00000011}}}، و-815←0.11000000¯{\displaystyle -{\tfrac {8}{15}}\gets 0.{\overline {11000000}}}، و-415أنا←0.٠٠١١٠٠٠٠¯{\displaystyle -{\tfrac {4}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00110000}}}. هكذا،S{\displaystyle S}يحتوي على جميع الأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة ≤ 1/15 . [ 12 ]

ونتيجة لذلك، يتم إدخال المستطيل المركب

[-815،215]×[-415،115]أنا{\displaystyle [-{\tfrac {8}{15}},{\tfrac {2}{15}}]\times [-{\tfrac {4}{15}},{\tfrac {1}{15}}]\mathrm {i} }

في الفترة[0،1){\displaystyle [0,1)}الأعداد الحقيقية عن طريق التعيين

∑ك≥1xك(أنا-1)-ك↦∑ك≥1xكب-ك{\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\mapsto \sum _{k\geq 1}x_{k}b^{-k}}

معب>2{\displaystyle b>2}[ 13 ]​

علاوة على ذلك، هناك نوعان من الخرائط

Z2شمال→S(xك)ك∈شمال↦∑ك≥1xك(أنا-1)-ك{\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &S\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\end{array}}}

و

Z2شمال→[0،1)(xك)ك∈شمال↦∑ك≥1xك2-ك{\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &[0,1)\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}2^{-k}\end{array}}}

كلاهما شامل ، مما يؤدي إلى رسم خرائط شامل (وبالتالي يملأ الفراغ)

[0،1)→S{\displaystyle [0,1)\qquad \to \qquad S}

إلا أن هذا المنحنى ليس متصلاً ، وبالتالي فهو ليس منحنى يملأ الفراغ . لكن منحنى ديفيس-كنوث التنيني ، وهو منحنى قريب جداً منه، متصل ويملأ الفراغ.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 كنوت، دي إي (1960). "نظام الأعداد التخيلية" . اتصالات رابطة آلات الحوسبة . 3 (4): 245-247 . doi : 10.1145/367177.367233 . S2CID 16513137 . 
  2. 1 2 3 كنوت، دونالد (1998). "أنظمة الأعداد الموضعية". فن برمجة الحاسوب . المجلد 2 ( الطبعة الثالثة). بوسطن: أديسون-ويسلي. ص 205. ISBN    0-201-89684-2. OCLC 48246681 . 
  3. 1 2 3 خميلنيك، إس آي (1964). "حاسوب رقمي متخصص للعمليات مع الأعداد المركبة". مسائل الإلكترونيات اللاسلكية (باللغة الروسية) . 12 (2).
  4. 1 2 W. Penney, A "binary" system for complex numbers, JACM 12 (1965) 247-248.
  5. 1 2 جميل، ت. (2002). "نظام الأعداد الثنائية المركبة". IEEE Potentials . 20 (5): 39– 41. Bibcode : 2002IPot...20e..39J . doi : 10.1109/45.983342 .
  6. 1 2 دودا، جاريك (2008-02-24). "أنظمة الأعداد ذات الأساس المركب". arXiv : 0712.1309 [ math.DS ].
  7. ↑ خميلنيك، إس آي (1966). "الترميز الموضعي للأعداد المركبة". مسائل الإلكترونيات الراديوية (باللغة الروسية) . 12 (9).
  8. 1 2 خميلنيك، إس. آي. (2004). ترميز الأعداد المركبة والمتجهات (باللغة الروسية) (ملف PDF) . إسرائيل: الرياضيات في الحاسوب. ISBN 978-0-557-74692-7.
  9. 1 2 خميلنيك، إس آي (2001). طريقة ونظام لمعالجة الأعداد المركبة . براءة اختراع أمريكية، US2003154226 (A1).
  10. ↑ ويليام ج. جيلبرت، "الحساب في الأنظمة المركبة"، مجلة الرياضيات، المجلد 57، العدد 2، مارس 1984
  11. 1 2 متتالية لانهائية غير متكررة
  12. ↑ كنوت 1998 ص 206
  13. ↑ القاعدةب=2{\displaystyle b=2}لا يمكن تناولها لأن كليهما،2-1=0.1سلة المهملات=0.5ديسمبر{\displaystyle \textstyle 2^{-1}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}}و∑ك≥22-ك=0.01¯سلة المهملات=0.1سلة المهملات=0.5ديسمبر{\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 2}2^{-k}=0.0{\overline {1}}_{\text{bin}}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}}. لكن،(أنا-1)-1=-0.1سلة المهملات-0.1سلة المهملاتأنا=-0.5ديسمبر-0.5ديسمبرأنا{\displaystyle \textstyle (\mathrm {i} -1)^{-1}=-0.1_{\text{bin}}-0.1_{\text{bin}}\mathrm {i} =-0.5_{\text{dec}}-0.5_{\text{dec}}\mathrm {i} } لا يساوي ∑ك≥2(أنا-1)-ك=0.1ديسمبر+0.3ديسمبرأنا{\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 2}(\mathrm {i} -1)^{-k}=0.1_{\text{dec}}+0.3_{\text{dec}}\mathrm {i} }.