العددية

العددية خاصية جوهرية للمجموعات تُحدد حجمها، أي عدد العناصر الفردية التي تحتويها. ^{[ 1 ]} إلا أنها تختلف جوهريًا عن مفهومي العدد أو العد، إذ يُمكن مقارنة عددية مجموعتين دون الرجوع إلى عدد عناصرهما، أو حتى تعريف العدد نفسه. على سبيل المثال، في الصورة أعلاه ، تُقارن مجموعة من التفاح بمجموعة من البرتقال بحيث يُستخدم كل نوع من الفاكهة مرة واحدة فقط، مما يُظهر أن هاتين المجموعتين لهما نفس العددية، حتى لو لم يُعرف عدد كل نوع. ^{[ 2 ]} وبالتالي، تُقاس العددية بوضع المجموعات في ما يُسمى بالتناظر الأحادي : يُمكن تخصيص "زوج" لكل عنصر في إحدى المجموعتين في الأخرى، ولا يبقى أي عنصر من أيٍّ من المجموعتين دون زوج. إذا كان ذلك ممكنًا، يُقال إن للمجموعتين نفس العددية ، وإذا لم يكن كذلك، يُقال إن إحدى المجموعتين أكبر أو أصغر من الأخرى. ^{[ 3 ]}

	غير شامل	شامل
لا حقنة	الوظيفة العامة	شامل فقط
حقنة	حقن فقط	تقابل

تُطوَّر المفاهيم الأساسية للعددية من خلال المجموعات والدوال ، وهي مفاهيم أكثر تجريدًا من نظيراتها خارج الرياضيات. وبشكل غير رسمي، يمكن فهم المجموعة على أنها أي مجموعة من العناصر، وعادةً ما تُمثَّل بأقواس معقوفة . على سبيل المثال ،${\displaystyle S=\{1,2,3\}}$يحدد مجموعة تسمى${\displaystyle S}$، والذي يحتوي على الأرقام 1 و2 و3. الرمز${\displaystyle \in }$يمثل ⁠ عضوية المجموعة، على سبيل المثال ⁠${\displaystyle 1\in S}$يقول : "1 هو عضو في المجموعة "${\displaystyle S}$" وهو أمر صحيح بحسب تعريف${\displaystyle S}$أعلاه . هنا${\displaystyle S}$المجموعة محدودة ، لكن هذا ليس شرطًا بشكل عام. الشرط الوحيد للمجموعة هو أن تكون مُعرَّفة جيدًا. أي، بالنسبة لأي عنصر ،${\displaystyle x}$، يمكن للمرء أن يحدد ما إذا كان${\displaystyle x}$ينتمي إلى تلك المجموعة${\displaystyle (x\in S)}$أو​​${\displaystyle x}$لا ينتمي إلى تلك المجموعة${\displaystyle (x\notin S)}$. من الأمثلة على المجموعات غير المنتهية مجموعة جميع الأعداد الطبيعية .${\displaystyle \{1,2,3,\cdots \}}$. ^{[ 4 ] [ أ ]}​

الدالة ، أو التناظر، تربط كل عنصر من مجموعة ما بعنصر فريد من مجموعة أخرى، وغالبًا ما تُمثَّل بمخطط سهمي. على سبيل المثال، يُظهر الجدول المجاور عدة دوال تربط مجموعات الأعداد الطبيعية بمجموعات من الأحرف. إذا لم تربط الدالة عنصرين بنفس المكان، تُسمى دالة أحادية . إذا غطت الدالة كل عنصر في مجموعة المخرجات، تُسمى دالة شاملة . إذا كانت الدالة أحادية وشاملة في آنٍ واحد، تُسمى دالة تقابلية أو تناظرًا أحاديًا. لا تقتصر الدوال على تلك التي يمكن رسم مخطط سهمي لها، طالما أن الدالة مُعرَّفة جيدًا. أي، لكل مُدخل مُحتمل، تكون المخرجات مُعرَّفة. على سبيل المثال، يمكن تعريف دالة ⁠${\displaystyle f}$على الأعداد الطبيعية عن طريق الضرب في اثنين :${\displaystyle f(1)=2,\;}$⁠ ⁠${\displaystyle f(2)=4,\;}$⁠ ⁠${\displaystyle f(3)=6,\dots \,}$⁠ ⁠${\displaystyle f(n)=2n\dots }$[ ^{6 ]​}

مصطلح "العددية" مشتق من الكلمة اللاتينية " cardo " (بمعنى "يفصل")، والتي كانت تشير إلى شيء مركزي أو محوري، حرفيًا ومجازيًا. انتقل هذا المصطلح إلى اللاتينية في العصور الوسطى ، ثم إلى الإنجليزية، حيث أصبح يُستخدم لوصف الأشياء التي تُعتبر، بمعنى ما، أساسية، مثل الخطايا الكبرى ، والاتجاهات الأصلية ، والأعداد الأصلية (في علم اللغة) . ^{[ 7 ] [ 8 ]} يشير هذا الأخير إلى الأعداد المستخدمة في العد (مثل: واحد ، اثنان ، ثلاثة )، ^{[ 9 ]} على عكس الأعداد الترتيبية التي تُعبّر عن الترتيب (مثل: الأول، الثاني، الثالث )، ^{[ 10 ]} والأعداد الاسمية المستخدمة للتصنيف دون معنى (مثل: أرقام القمصان والأرقام التسلسلية ). ^{[ 11 ]}

في الرياضيات، طُرح مفهوم العددية لأول مرة على يد عالم الرياضيات الألماني جورج كانتور في أواخر القرن التاسع عشر، مستخدمًا مصطلح Mächtigkeit ، الذي يُمكن ترجمته إلى "المقدار" أو "القوة"، مع أن كانتور نسب المصطلح إلى عملٍ لجاكوب شتاينر في الهندسة الإسقاطية . ^{[ 12 ]} حوالي عام 1930، تم اعتماد مصطلحي العددية والعدد الأصلي من المعنى النحوي، واستُخدم هذان المصطلحان في الترجمات اللاحقة. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ ب ]}

تتمثل العلاقة البديهية بين مجموعتين لهما "نفس الحجم" في إمكانية إقران عناصرهما إقرانًا فرديًا. أي، إذا أمكن تخصيص "زوج" لكل عنصر في إحدى المجموعتين في الأخرى، دون بقاء أي عنصر من أيٍّ منهما دون إقران، فإن عدد العناصر في كلتا المجموعتين سيكون متساويًا. يُعرّف الإقران الفردي بين مجموعتين دالة تقابل بينهما، وذلك بربط كل عنصر بنظيره. وبالمثل، يُعرّف التقابل بين مجموعتين إقرانًا لعناصرهما، وذلك بربط كل عنصر بالعنصر المقابل له. لذا، فإن مفهومي "الإقران" و"التقابل" متكافئان، على الأقل بديهيًا. ^{[ 17 ]} ومن ثم، يُقدّم التعريف التالي:

يُقال إن مجموعتين لهما نفس العدد من العناصر أو متساويتان في العدد إذا كان من الممكن إقران عناصرهما بشكل فردي. أي إذا وُجدت دالة بينهما تقابلية. وغالبًا ما يُكتب هذا على النحو التالي :${\displaystyle A\sim B}$أو​​${\displaystyle A\approx B}$[ ^{20 ]} أويمكن القول إن هذه المجموعات متكافئة ، أو متشابهة ، أو ^{متساوية} القوة ، أو متساوية التأثير . ^{[ 26 ]} على سبيل المثال ، المجموعة${\displaystyle E=\{0,2,4,6,{\text{...}}\}}$مجموعة الأعداد الزوجية لها نفس عدد العناصر الموجودة في المجموعة${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,{\text{...}}\}}$من الأعداد الطبيعية ، لأنالدالة${\displaystyle f(n)=2n}$⁠ دالة تقابل من ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$إلى​​${\displaystyle E}$[ ²⁷ ]^​​

لم تعد خاصية "الكل أكبر من الجزء" للمجموعات المنتهية صحيحةً للمجموعات غير المنتهية، كما أن وجود تطبيقات شاملة أو تطبيقات أحادية لا تُجدي نفعًا لا يُثبت عدم وجود تطبيق تقابلي. على سبيل المثال، الدالة ⁠${\displaystyle g}$من​​${\displaystyle \mathbb {N} }$إلى​​${\displaystyle E}$، الذي يُعرَّف بالضرب في 4 ،${\displaystyle g(n)=4n}$الدالة ⁠ هي دالة أحادية، ولكنها ليست شاملة (لأن العدد 2، على سبيل المثال، لا يُقابلها). علاوة على ذلك، فإن الدالة ⁠${\displaystyle h}$من​​${\displaystyle \mathbb {N} }$إلى​​${\displaystyle E}$، والتي تُعرَّف بتقريب الناتج إلى أقرب عدد زوجي ،${\displaystyle h(n)=2\operatorname {floor} (n/2)}$( انظر دالة الجزء الصحيح )، هي دالة شاملة، ولكنها ليست دالة أحادية (لأن 0 و1 على سبيل المثال كلاهما يُقابل 0). ولا${\displaystyle g}$ولا​​${\displaystyle h}$يمكن أن يتحدى${\displaystyle E\sim \mathbb {N} }$، والذي تم إثباته من خلال وجود${\displaystyle f}$[ ²⁸ ]^​​

التكافؤ

تتمثل إحدى النتائج الأساسية في تطوير نظرية العددية في أن التكافؤ العددي يشكل علاقة تكافؤ - أي علاقة تحقق نفس الخصائص الأساسية الثلاث للمساواة: الانعكاسية ، والتناظر ، والتعدي . ^{[ 29 ] [ ج ]}

خاصية الانعكاسية، وهي الخاصية التي تجعل لكل مجموعة نفس عدد عناصرها .${\displaystyle (A\sim A)}$، وينتج ذلك من دالة التطابق : لأي مجموعة${\displaystyle A}$، الدالة التي تربط كل عنصر بنفسه هي دالة تقابل من${\displaystyle A}$إلى​​${\displaystyle A}$التناظر ، الخاصية التي إذا${\displaystyle A}$له نفس عدد العناصر مثل${\displaystyle B}$⁠ ⁠${\displaystyle (A\sim B)}$ثم​​${\displaystyle B}$له نفس عدد العناصر مثل${\displaystyle A}$⁠ ⁠${\displaystyle (B\sim A)}$، صحيح لأن أي تقابل${\displaystyle f:A\to B}$لها دالة عكسية​${\displaystyle f^{-1}:B\to A}$وهي أيضًا تقابلية. التعدي، الخاصية التي إذا${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$لها نفس العددية${\displaystyle (A\sim B)}$و​​${\displaystyle B}$و​​${\displaystyle C}$لها نفس العددية${\displaystyle (B\sim C)}$ثم افعل ذلك أيضاً${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle C}$⁠ ⁠${\displaystyle (A\sim C)}$ينتج ذلك من تركيب الدوال : بالنظر إلى الدوال التقابلية${\displaystyle f:A\to B}$و​​${\displaystyle g:B\to C}$، تركيبها​${\displaystyle g\circ f}$⁠ دالة تقابل من ⁠${\displaystyle A}$إلى​​${\displaystyle C}$( انظر الصورة). ^{[ 29 ]}

بما أن التكافؤ العددي يحقق الخصائص الثلاث جميعها، فهو علاقة تكافؤ. وهذا يعني أنه يُصنّف المجموعات إلى فئات تكافؤ - أي مجموعات من المجموعات المتساوية في العدد - حيث تُحدد كل فئة حجمًا مُحتملًا لمجموعة ما. وهذا يُحفز مفهوم الأعداد الأصلية ، وهي تمثيلات تُشير إلى "حجم" كل فئة، كما هو مُفصّل في القسم التالي . ^{[ 31 ]}

مجموعة​${\displaystyle A}$ليس أكبر من مجموعة${\displaystyle B}$إذا كان من الممكن تحويله إلى${\displaystyle B}$بدون تداخل. أي أن عدد عناصر${\displaystyle A}$⁠ أقل من أو يساوي عدد عناصر ⁠${\displaystyle B}$إذا كانت هناك دالة أحادية من${\displaystyle A}$إلى​​${\displaystyle B}$أو بصورة مكافئة، ^{[ د ]} إذا كان هناك تطبيق شامل من${\displaystyle B}$إلى​​${\displaystyle A}$( أو​${\displaystyle A}$( فارغ ) . هذا مكتوب${\displaystyle A\preceq B}$أو​​${\displaystyle A\lesssim B}$[ ^{35 ]} وتُقرأ على ^النحو التالي :${\displaystyle A}$⁠ ليس أكبر من ⁠${\displaystyle B}$" أو "${\displaystyle A}$يهيمن عليه ​​${\displaystyle B}$. " ^{[ 36 ]} إذا​${\displaystyle A\preceq B}$لكن لا يوجد حقن من${\displaystyle B}$إلى​​${\displaystyle A}$ثم​​${\displaystyle A}$يقال إنهاأصغر بكثير من${\displaystyle B}$، مكتوبة بدون خط سفلي كـ${\displaystyle A\prec B}$[ ^{37 ] على} سبيل المثال، إذا${\displaystyle A}$يتكون من أربعة عناصر و${\displaystyle B}$إذا كان عدد العناصر خمسة، فإن ما يلي صحيح${\displaystyle A\preceq A}$،​​${\displaystyle A\preceq B}$و​​${\displaystyle A\prec B}$⁠ .

تتمثل الخصائص الأساسية للمتباينة في خاصية الانعكاسية ( لأي${\displaystyle a}$،​​${\displaystyle a\leq a}$) ، التعدي ( إذا${\displaystyle a\leq b}$و​​${\displaystyle b\leq c}$ثم​​${\displaystyle a\leq c}$) والتناظر العكسي (إذا ⁠${\displaystyle a\leq b}$و​​${\displaystyle b\leq a}$ثم​​${\displaystyle a=b}$) . عدم المساواة الأساسية${\displaystyle (\preceq )}$كما هو مُعرَّف أعلاه، فإنّ الدالة انعكاسية لأنّ دالة التطابق أحادية، وهي متعدية بتركيب الدوال. ^{[ 38 ]} التناظر العكسي - أي أنّه إذا أُعطيت دوال أحادية في كلا الاتجاهين، فإنه يُمكن إيجاد تقابل - ليس بديهيًا، وهو مضمون ما يُسمى بنظرية شرودر-بيرنشتاين . ^{[ 39 ]} يُمكن تلخيص أحد هذه البراهين على النحو التالي، بمساعدة الرسم التوضيحي المجاور:

تم إعطاء الحقن في كلا الاتجاهين ( ⁠${\displaystyle f:A\to B}$و​​${\displaystyle g:B\to A}$) ، خذ مجموعة${\displaystyle A}$ثم قم بتلوين كل نقطة باللون الأزرق. ثم التقط صورة للمجموعة .${\displaystyle B}$على​​${\displaystyle A}$بعد الحقن - أي مجموعة النقاط التي يسقط عليها الحقن - قم بتلوينها باللون الأحمر. ثم خذ صورة لـ${\displaystyle A}$على هذه الصورة من${\displaystyle B}$ثمّ نلوّن تلك النقاط باللون الأزرق مجدداً. من خلال التبديل المتكرر لصور هذه المجموعات، نحصل على "تلوين" للمجموعة الأصلية (انظر الرسم التوضيحي). بالنسبة لكل نقطة، إما أن يتوقف عند خطوة محددة - وبالتالي يتم تلوينها نهائياً باللون الأزرق أو الأحمر - أو يستمر التبديل إلى أجل غير مسمى. من بين النقاط في${\displaystyle A}$التي تم تلوينها باللون الأزرق بشكل قاطع، قم بربطها بالصورة المتكررة التالية (أي عن طريق تطبيق${\displaystyle f}$ثم​​${\displaystyle g}$) ، مع بقاء جميع النقاط الأخرى في مكانها. هذا يُحوّل المجموعة .${\displaystyle A}$إلى صورة طبق الأصل من${\displaystyle B}$. بأخذ هذا التحويل، متبوعًا بعكس ⁠${\displaystyle g}$، يعطي تقابلًا من${\displaystyle A}$إلى​​${\displaystyle B}$( منذ )${\displaystyle g}$( وهي دالة أحادية وشاملة على صورتها، ومعكوسها دالة تقابلية). ^{[ 32 ]}

ومن خصائص متباينة الأعداد الأصلية الأخرى خاصية الشمولية ، التي تنص على أن أي مجموعتين قابلتان للمقارنة. أي، لأي${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle b}$، إما​${\displaystyle a\leq b}$أو​​${\displaystyle b\leq a}$يتطلب البرهان الكامل مفاهيم سيتم تقديمها لاحقًا، ولكن يمكن تلخيص الحجة بإيجاز كما يلي: كلمجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا متماثلة مع عدد ترتيبي فريد، يُسمى نوع ترتيب المجموعة. وبحسب نظرية الترتيب الجيد ، يمكن ترتيب كل مجموعة ترتيبًا جيدًا. ومن ثم، بمقارنة أنواع ترتيبها، يمكن إثبات أن${\displaystyle A\preceq B}$أو​​${\displaystyle B\preceq A}$. هذه الحقيقة تعادل بديهية الاختيار . ^{[ 40 ]}

تُسمى المجموعة قابلة للعد إذا كانت منتهية أو إذا كان لها تقابل مع مجموعة الأعداد الطبيعية .${\displaystyle (\mathbb {N} )}$وفي هذه الحالة ، يُطلق عليها اسم مجموعة لا نهائية قابلة للعد . ويُستخدممصطلح "قابلة للعد" أحيانًا للإشارة إلى المجموعات اللا نهائية القابلة للعد. ^{[ 41 ]} على سبيل المثال، مجموعة جميع الأعداد الطبيعية الزوجية قابلة للعد، وبالتالي لها نفس عدد عناصر مجموعة الأعداد الطبيعية بأكملها، على الرغم من أنها مجموعة جزئية فعلية . وبالمثل، فإن مجموعة الأعداد المربعة قابلة للعد، وهو ما اعتُبر متناقضًا لمئات السنين قبل ظهور نظرية المجموعات الحديثة (انظر §  نظرية المجموعات ما قبل كانتورية ). ومع ذلك، فقد اعتُبرت العديد من الأمثلة الأخرى تاريخيًا مفاجئة أو غير بديهية في البداية منذ ظهور نظرية المجموعات. ^{[ 42 ]}

صورتان لتوضيح وظيفة من ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$إلى​​${\displaystyle \mathbb {Q} }$على اليسار ، نسخة للأعداد النسبية الموجبة. على اليمين، شكل حلزوني لجميع أزواج الأعداد الصحيحة .${\displaystyle (p,q)}$لكل كسر​${\displaystyle p/q}$⁠ .

الأعداد النسبية​${\displaystyle (\mathbb {Q} )}$هي تلك التي يمكن التعبير عنها كحاصل قسمة أو كسر${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$يمكن إثبات أن الأعداد النسبيةقابلة للعد من خلال اعتبار مجموعة الكسور مجموعة جميع الأزواج المرتبة من الأعداد الصحيحة، والتي يمكن تصورها كمجموعة جميع النقاط الصحيحة على شبكة. بعد ذلك، يمكن وصف دالة بديهية برسم خط بنمط متكرر، أو حلزوني، يمر في النهاية بكل نقطة في الشبكة. على سبيل المثال، المرور بكل قطر على الشبكة للكسور الموجبة، أو المرور عبر حلزون شبكي لجميع أزواج الأعداد الصحيحة. ^{[ 43 ]} تغطي هذه الدوال الأعداد النسبية، لأن الكسور، على سبيل المثال ،${\displaystyle \textstyle {\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{8}},\,\dots }$يتم ربط كل شيء بـ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$، حيث أن طريقة الشبكة تتعامل مع كل هذه كأزواج مرتبة منفصلة. لذا تُظهر هذه الدالة ⁠${\displaystyle \vert \mathbb {Q} \vert \leq \vert \mathbb {N} \vert }$ليس​​${\displaystyle \vert \mathbb {Q} \vert =\vert \mathbb {N} \vert }$. يمكن تصحيح ذلك عن طريق "تجاوز" هذه الأرقام في الشبكة، باستخدام نظرية شرودر-بيرنشتاين، أو عن طريق تصميم دالة تقوم بذلك بشكل طبيعي، على سبيل المثال باستخدام شجرة كالكين-ويلف . ^{[ 44 ]}

يُطلق على العدد اسم جبري إذا كان حلاً لمعادلة متعددة الحدود ذات معاملات صحيحة . على سبيل المثال، الجذر التربيعي لـ 2${\displaystyle {\sqrt {2}}}$⁠ هو حل لـ ⁠${\displaystyle x^{2}-2=0}$، والعدد النسبي${\displaystyle p/q}$⁠ هو الحل لـ ⁠${\displaystyle qx-p=0}$على النقيض، يُطلق على العدد الذي لا يمكن أن يكون جذرًا لأي كثيرة حدود اسم العدد المتسامي . ومن الأمثلة على ذلك عدد أويلر ( e ) وباي ( π ) . عمومًا، يُعتبر إثبات أن عددًا ما متسامٍ أمرًا بالغ الصعوبة، ولا يُعرف سوى عدد قليل من فئات الأعداد المتسامية. مع ذلك، يمكن إثبات أن مجموعة الأعداد الجبرية قابلة للعد بترتيب كثيرات الحدود ترتيبًا معجميًا (انظر، على سبيل المثال، مقالة كانتور الأولى في نظرية المجموعات، قسم  البراهين ). بما أن مجموعة الأعداد الجبرية قابلة للعد بينما الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد (كما هو موضح في القسم الفرعي التالي )، فلا بد أن تُشكّل الأعداد المتسامية الغالبية العظمى من الأعداد الحقيقية، على الرغم من صعوبة تحديدها بشكل فردي. أي أن جميع الأعداد الحقيقية تقريبًا متسامية. ^{[ 45 ]}

فندق هيلبرت

مفارقة هيلبرت للفندق الكبير هي تجربة فكرية شائعة ابتكرها عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت لتوضيح خاصية غير بديهية للمجموعات اللانهائية القابلة للعد، والتي تسمح لها بأن يكون لها نفس عدد عناصر مجموعة جزئية فعلية منها. يبدأ السيناريو بتخيل فندق به عدد لا نهائي من الغرف، غرفة واحدة لكل عدد طبيعي، وجميعها مشغولة. ولكن بعد ذلك يدخل نزيل جديد ويطلب غرفة. يستجيب الفندق بنقل شاغل الغرفة 1 إلى الغرفة 2، وشاغل الغرفة 2 إلى الغرفة 3، والغرفة 3 إلى الغرفة 4، وبشكل عام، الغرفة رقم n إلى الغرفة رقم n+1. وهكذا، يبقى لكل نزيل غرفة، لكن الغرفة 1 تصبح متاحة للنزيل الجديد. ^{[ 46 ]}

ثم، يستمر السيناريو بتخيل حافلة لا نهائية الطول من النزلاء الجدد الباحثين عن غرفة. يستوعب الفندق النزلاء بنقل الشخص الموجود في الغرفة 1 إلى الغرفة 2، والغرفة 2 إلى الغرفة 4، وبشكل عام، الغرفة رقم n إلى الغرفة 2n. وهكذا، تكون جميع الغرف ذات الأرقام الزوجية مشغولة، بينما تكون جميع الغرف ذات الأرقام الفردية شاغرة، مما يفسح المجال لحافلة لا نهائية من النزلاء الجدد. يستمر السيناريو بافتراض وصول عدد لا نهائي من هذه الحافلات اللانهائية إلى الفندق، مع إظهار أن الفندق لا يزال قادرًا على استيعابهم. أخيرًا، تصل حافلة لا نهائية تحتوي على مقعد لكل عدد حقيقي ، ويصبح الفندق غير قادر على استيعاب المزيد. ^{[ 46 ]}

تُسمى المجموعة غير قابلة للعد إذا لم تكن قابلة للعد؛ أي أنها لانهائية وأكبر تمامًا من مجموعة الأعداد الطبيعية. والمثال الأول المعتاد على ذلك هو مجموعة الأعداد الحقيقية .${\displaystyle (\mathbb {R} )}$ويمكن فهمها على أنها مجموعة جميع الأعداد على خط الأعداد . إحدى طرق إثبات أن الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد تُسمى حجة كانتور القطرية ، والتي تُنسب إلى كانتور لإثباته عام 1891، ^{[ 47 ] على} الرغم من أن طريقته تختلف عن العرض الأكثر شيوعًا. [ ^{48 ]}

يبدأ الأمر بافتراض، على سبيل التناقض ، وجود علاقة تناظرية بين الأعداد الطبيعية ومجموعة الأعداد الحقيقية بين 0 و1 (الفترة ⁠${\displaystyle [0,1]}$ثم ، خذ التمثيل العشري لكل عدد حقيقي، على سبيل المثال ،${\displaystyle 0.5772...}$مع صفر بادئ متبوعًا بأي سلسلة من الأرقام. العدد 1 مُدرج في هذه المجموعة لأن 1 = 0.999... عند النظر إلى هذه الأعداد الحقيقية في قائمة، من الممكن دائمًا إنشاء عدد جديد بحيث يكون رقمه الأول مختلفًا عن رقم العدد الأول في القائمة، ورقمُه الثاني مختلفًا عن رقم العدد الثاني في القائمة، وهكذا. يجب أن يكون للعدد الجديد أيضًا تمثيل عشري فريد، أي لا يمكن أن ينتهي بتكرار التسعات أو الأصفار. على سبيل المثال، إذا لم يكن الرقم 2، اجعل رقم العدد الجديد 2، وإذا كان 2، اجعله 3. ^{[ 49 ]} عندئذٍ، سيختلف هذا العدد الجديد عن كل عدد في القائمة برقم واحد على الأقل، وبالتالي يجب ألا يكون موجودًا في القائمة. هذا يُظهر أنه لا يمكن وضع الأعداد الحقيقية في تناظر واحد لواحد مع الأعداد الطبيعية، وبالتالي يجب أن تكون أكبر منها بالضرورة. ^{[ 50 ]}

مثال كلاسيكي آخر لمجموعة غير قابلة للعد، تم تحديده باستخدام منطق مشابه، هو مجموعة القوى للأعداد الطبيعية، والتي يُرمز لها بـ ⁠${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$هذه هي مجموعة جميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle \mathbb {N} }$، بما في ذلك المجموعة الفارغة و${\displaystyle \mathbb {N} }$في حد ذاتها. هذه الطريقة أقرب بكثير إلى حجة كانتور القطرية الأصلية. مرة أخرى، افترض بالتناقض وجود تطابق تام .${\displaystyle f}$بين​​${\displaystyle \mathbb {N} }$و​​${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$بحيث تكون كل مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {N} }$يتم تعيين قيمة لـ ⁠ إلى عدد طبيعي ما. ثم يتم وضع هذه المجموعات الجزئية في قائمة، بالترتيب المحدد بواسطة ⁠${\displaystyle f}$( انظر الصورة). الآن، يمكن تعريف مجموعة جزئية${\displaystyle T}$من​​${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠ الذي ليس موجودًا في القائمة عن طريق أخذ نفي "القطر" لهذه القائمة على النحو التالي: ^{[ 51 ]}

إذا​${\displaystyle 1\in f(1)}$ثم​​${\displaystyle 1\notin T}$أي ، إذا كان الرقم 1 موجودًا في المجموعة الجزئية الأولى من القائمة، فإن الرقم 1 ليس موجودًا في المجموعة الجزئية .${\displaystyle T}$علاوة على ذلك ، إذا${\displaystyle 2\notin f(2)}$ثم​​${\displaystyle 2\in T}$أي إذا لم يكن الرقم 2 موجودًا في المجموعة الفرعية الثانية من القائمة، فإن الرقم 2 موجود في المجموعة الفرعية .${\displaystyle T}$ثم بشكل عام، لكل عدد طبيعي${\displaystyle n}$،​​${\displaystyle n\in T}$إذا وفقط إذا${\displaystyle n\notin f(n)}$، بمعنى​${\displaystyle n}$يتم وضعها في المجموعة الفرعية${\displaystyle T}$فقط إذا لم تحتوي المجموعة الفرعية رقم n في القائمة على الرقم${\displaystyle n}$ثم ، لكل عدد طبيعي${\displaystyle n}$،​​${\displaystyle T\neq f(n)}$، بمعنى ،${\displaystyle T}$ليست المجموعة الفرعية رقم n في القائمة، لأي عدد${\displaystyle n}$وبالتالي لا يمكن أن يظهر في أي مكان في القائمة المحددة بواسطة${\displaystyle f}$منذ​​${\displaystyle f}$تم اختيار ⁠ بشكل عشوائي، وهذا يدل على أن كل دالة من ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$إلى​​${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$يجب أن يكون العنصر مفقودًا على الأقل، وبالتالي لا يمكن أن يوجد مثل هذا التناظر، ولذا${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$يجب ألا يكون قابلاً للعد. ^{[ 51 ]}

هاتان المجموعتان، ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$و​​${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$يمكن إثبات أن لها نفس العدد الأصلي (على سبيل المثال، عن طريق تعيين كل مجموعة فرعية لتوسيع عشري) يسمى عدد المتصل . ^{[ 52 ]}

تعمم نظرية كانتور النظرية الثانية المذكورة أعلاه، موضحةً أن كل مجموعة أصغر تمامًا من مجموعة قواها. باختصار، يمكن تلخيص البرهان كما يلي: بالنظر إلى مجموعة ⁠${\displaystyle A}$، افترض بالتناقض وجود تقابل${\displaystyle f}$من​​${\displaystyle A}$إلى​​${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ثم ، المجموعة الفرعية${\displaystyle T\subseteq A}$يتم الحصول عليها بأخذ نفي "القطر"، بشكل رسمي ،${\displaystyle T=\{a\in A:a\notin f(a)\}}$لا يمكن أن يكون هذا العنصر موجودًا في القائمة. لذلك، تفتقر كل دالة إلى عنصر واحد على الأقل، وبالتالي ...${\displaystyle \vert A\vert <\vert {\mathcal {P}}(A)\vert }$علاوة على ذلك ، بما أن${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$بما أن هي مجموعة بحد ذاتها، يمكن تكرار الحجة لإثبات ذلك .${\displaystyle \vert A\vert <\vert {\mathcal {P}}(A)\vert <\vert {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A))\vert }$. أخذ​${\displaystyle A=\mathbb {N} }$وهذا يدل على أن${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))}$أكبر من​${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$، والتي سبق إثبات أنها غير قابلة للعد. وتكرار هذه الحجة يُظهر أن هناك عددًا لا نهائيًا من "أحجام" اللانهاية. ^{[ 53 ]}

انطلاقاً من مفهوم أساسي للأعداد الطبيعية ، يُقال إن المجموعة لها عدد أصلي .${\displaystyle n}$إذا كان من الممكن وضعها في تطابق واحد لواحد مع المجموعة${\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$، على غرار عدّ عناصرها. ^{[ 66 ]} على سبيل المثال ، المجموعة${\displaystyle S=\{A,B,C,D\}}$له توافق طبيعي مع المجموعة${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$وبالتالي يُقال إن عدد عناصره 4. ومن المصطلحات الأخرى "عدد عناصره 4" أو "عدده الأصلي 4". في السياقات الرسمية، يمكن فهم الأعداد الطبيعية على أنها بناءٌ لأشياء تُحقق بديهيات بيانو - وهي قائمة من الخصائص، بحيث يكون أي نظام يُحقق هذه الخصائص، بمعنى ما ، مُشابهًا للأعداد الطبيعية. ^{[ 67 ]}

إن إثبات وجود مثل هذا التناظر ليس بالأمر الهين دائمًا. علم التوافيق هو فرع من الرياضيات يهتم أساسًا بالعد ، كوسيلة وغاية في آنٍ واحد للوصول إلى نتائج، وبخصائص معينة للبنى المنتهية. ^{[ 68 ]} يرتبط مفهوم عدد عناصر المجموعات المنتهية ارتباطًا وثيقًا بالعديد من مبادئ التوافيق الأساسية ، ويوفر أساسًا نظريًا للمجموعات لاستعادتها. يمكن إثبات ذلك بالاستقراء على الأحجام الممكنة للمجموعات، حيث يتناظر عدد عناصر المجموعة المنتهية تناظرًا فريدًا مع الأعداد الطبيعية (انظر: المجموعة المنتهية، قسم:  تفرد عدد العناصر ). ^{[ 69 ]} يرتبط هذا بالعديد من المفاهيم الأخرى، محققًا مبدأ هيوم وأساس البراهين التقابلية ، وهو مكافئ لصياغة معينة لمبدأ خانة الحمام ، الذي ينص على أنه لا يمكن وضع مجموعة منتهية في تناظر واحد لواحد مع مجموعة جزئية فعلية منها. ^{[ 70 ]}

ينص مبدأ الجمع على أنه بالنظر إلى مجموعات منفصلة ⁠${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$،​​${\displaystyle \vert A\cup B\vert =\vert A\vert +\vert B\vert }$وهذا يعني بديهيًا أن مجموع الأجزاء يساوي الكل. ^{[ 71 ]} وينص مبدأ الضرب على أنه إذا أُعطيت مجموعتان ...${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$،​​${\displaystyle \vert A\times B\vert =\vert A\vert \cdot \vert B\vert }$، مما يعني بشكل بديهي أن هناك${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\vert }$^{[ 72 ]} يمكن إثبات كلتا الطريقتين باستخدام برهان تقابلي ، بالإضافة إلى الاستقراء. ^{[ 73 ]} أما النتيجة الأكثر عمومية فهي مبدأ الإدراج والاستبعاد ، الذي يحدد كيفية حساب عدد العناصر في المجموعات المتداخلة. ^{[ 74 ]}

بطبيعة الحال، تُعرَّف المجموعة بأنها منتهية إذا كانت فارغة أو يمكن وضعها في تطابق مع المجموعة ⁠${\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$، لعدد طبيعي ما${\displaystyle n}$[ ^{66 ]} مع ذلك ،توجد تعريفات أخرى لمصطلح "المنتهي" لا تعتمد على تعريف "العدد". على سبيل المثال، تُسمى المجموعة ^{منتهية وفقًا لمفهوم} ديديكيند إذا لم يكن بالإمكان وضعها في تناظر أحادي مع مجموعة جزئية فعلية منها، على الرغم من أن هذا التعريف يتطلب أن تكون بديهية الاختيار مكافئة للتعريف الأصلي. ^{[ 75 ]}

أعداد الألف هي سلسلة من الأعداد الأصلية التي تمثل أحجام المجموعات اللانهائية ، ويرمز لها بالألف .${\displaystyle \aleph }$، الحرف الأول من الأبجدية العبرية . ^{[ 76 ]} أول رقم ألف هو${\displaystyle \aleph _{0}}$، والتي تُسمى "ألف-صفر" أو "ألف - صفر" أو "ألف-لا شيء"، والتي تُمثل عدد عناصر مجموعة جميع الأعداد الطبيعية :${\displaystyle \aleph _{0}=\vert \mathbb {N} \vert =\vert \{0,1,2,3,\cdots \}\vert }$ثم ،​${\displaystyle \aleph _{1}}$يمثل العدد التالي الأكبر ، ثم${\displaystyle \aleph _{2}}$وهكذا . ^{[ 77 ]} الطريقة الأكثر شيوعًا لإضفاء الطابع الرسمي على هذا في نظرية المجموعات هي من خلال الأعداد الترتيبية لفون نيومان ، والمعروفة باسم تعيين الأعداد الأصلية لفون نيومان . ^{[ 78 ]}

تعمم الأعداد الترتيبية مفهوم الترتيب ليشمل المجموعات غير المحدودة. على سبيل المثال، يأتي العدد 2 بعد العدد 1، ويرمز له بـ ⁠${\displaystyle 1<2}$ويأتي الرقم 3 بعد كليهما، ويرمز له بـ${\displaystyle 1<2<3}$ثم يُعرّف رقم جديد ،${\displaystyle \omega }$، والذي يأتي بعد كل عدد طبيعي، ويرمز له بـ${\displaystyle 1<2<3<\cdots <\omega }$علاوة على ذلك${\displaystyle \omega <\omega +1<\dots <\omega +\omega =\omega \cdot 2}$وهكذا . ^{[ 79 ]} وبشكل أكثر رسمية، يمكن تعريف هذه الأعداد الترتيبية على النحو التالي:

⁠${\displaystyle 0:=\{\}}$، المجموعة الفارغة ،​${\displaystyle 1:=\{0\}}$،​​${\displaystyle 2:=\{0,1\}}$،​​${\displaystyle 3:=\{0,1,2\}}$وهكذا دواليك. عندها يمكن تعريف${\displaystyle m<n{\text{, if }}\,m\in n}$على سبيل المثال ،${\displaystyle 2\in \{0,1,2\}=3}$لذلك​​${\displaystyle 2<3}$. تعريف​${\displaystyle \omega$ :=\{0,1,2,3,\cdots \}} ⁠ يعطي ⁠${\displaystyle \omega }$الخاصية المرغوبة المتمثلة في كونه أصغر عدد ترتيبي أكبر من جميع الأعداد الترتيبية المنتهية. علاوة على ذلك ،${\displaystyle \omega +1:=\{0,1,\cdots ,\omega \}}$وهكذا . ^{[ 80 ]}

منذ​${\displaystyle \omega \sim \mathbb {N} }$من خلال التوافق الطبيعي، يمكن تعريف${\displaystyle \aleph _{0}}$باعتبارها مجموعة جميع الأعداد الترتيبية المنتهية. أي ،${\displaystyle \aleph _{0}:=\omega }$ثم ،​${\displaystyle \aleph _{1}}$هي مجموعة جميع الأعداد الترتيبية القابلة للعد (جميع الأعداد الترتيبية )${\displaystyle \alpha }$مع عددية​${\displaystyle \vert \alpha \vert \leq \aleph _{0}}$) ، وهو أول عدد ترتيبي غير قابل للعد . بما أن المجموعة لا يمكن أن تحتوي على نفسها ،${\displaystyle \aleph _{1}}$يجب أن يكون له عدد أكبر بشكل صارم :${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}}$[ ^{81 ]} علاوة ^على ذلك ،${\displaystyle \aleph _{2}}$⁠ هي مجموعة جميع الأعداد الترتيبية التي يقل عدد عناصرها عن أو يساوي ⁠${\displaystyle \aleph _{1}}$وبشكل عام الكاردينال الخلف${\displaystyle \kappa ^{+}}$⁠ هي مجموعة جميع الأعداد الترتيبية التي لا يتجاوز عددها ⁠${\displaystyle \kappa }$. بعبارة أخرى، بالنسبة للأعداد الكاردينالية اللانهائية ،${\displaystyle \kappa ^{+}}$يمثل عدد الترتيبات الممكنة للآبار على${\displaystyle \kappa }$حتى تماثل الترتيب . ^{[ 82 ]} يُعرف إثبات وجود مثل هذه المجموعة دائمًا باسم نظرية هارتوغز، حيث أن أصغر عدد ترتيبي لا يقل عن أو يساوي مجموعة${\displaystyle \kappa }$يُطلق عليه اسم عدد هارتوغز${\displaystyle \kappa }$[ ^{83 ]} ثم ،^​​${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$للحصول على ترتيب حدي${\displaystyle \lambda }$هو اتحادجميع الألفات الصغرى ^. [ ^{84 ]}

تكمن أهمية الأعداد الترتيبية هنا في تعميم مفهوم العد ليشمل المجموعات غير المنتهية. عند العد، يُرتب المرء ضمنيًا مجموعة العناصر التي لديه، ولكن بغض النظر عن الترتيب المُختار، فإن النتيجة النهائية للعد تبقى ثابتة، مما يُظهر العلاقة بين الأعداد الأصلية والترتيبية. ^{[ 85 ]} علاوة على ذلك، وبحسب نظرية الترتيب الجيد ، لا يمكن أن توجد أي مجموعة ذات عدد عناصر يقع بين ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$و​​${\displaystyle \aleph _{1}}$وكل مجموعة غير منتهية لها عدد أصلي يتوافق بشكل فريد مع أحد عناصر الألف .${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$، لبعض الترتيب${\displaystyle \alpha }$[ 86 ^] وهذا يسمح باستخدام تعريف بنائي لدالة العدد، من خلال إسناد كل مجموعة إلى ألفها المتساوي في ^{العدد . [ 87 ]}

يمكن إجراء العمليات الحسابية الأساسية على الأعداد الأصلية بطريقة طبيعية للغاية، وذلك بتوسيع النظريات الخاصة بمبادئ التوافيق المنتهية المذكورة أعلاه. المبدأ البديهي هو أنه إذا${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$إذا كانت المجموعات منفصلة ، ​​فإن جمع هذه المجموعات هو ببساطة جمع اتحادها ، ويكتب على النحو التالي :${\displaystyle \vert A\cup B\vert =\vert A\vert +\vert B\vert }$[ ⁸⁸ ]وبالتالي إذا^​​${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$بما أن الأعداد الأصلية لا نهائية، فإن الجمع الأصلي يُعرَّف على أنه${\displaystyle \vert A\vert +\vert B\vert$ :=\vert A\sqcup B\vert } ⁠ حيث ⁠${\displaystyle \sqcup }$يرمز إلى الاتحاد المنفصل . وبالمثل، فإن ضرب مجموعتين هو بديهيًا عدد طرق إقران عناصرهما (كما في مبدأ الضرب )، ولذلك يُعرَّف الضرب الأصلي على أنه${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\vert$ :=| A× B| } ⁠ ، حيث ⁠${\displaystyle \times }$يرمز إلى الضرب الديكارتي . ^{[ 89 ]} يمكن إثبات أن هذه التعريفات تحقق الخصائص الأساسية للحساب القياسي: ^{[ 90 ]}

• الترابطية :​${\displaystyle \vert A\vert +\vert B\sqcup C\vert =\vert A\sqcup B\vert +\vert C\vert }$و​​${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\times C\vert =\vert A\times B\vert \cdot \vert C\vert }$⁠
• التبادلية :​${\displaystyle \vert A\vert +\vert B\vert =\vert B\vert +\vert A\vert }$و​​${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\vert =\vert B\vert \cdot \vert A\vert }$⁠
• قابلية التوزيع :${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\sqcup C\vert =\vert A\times B\vert +\vert A\times C\vert }$⁠

على الرغم من أن العديد من خصائص الحساب المنتهي تنطبق على الحساب غير المنتهي، كما هو موضح أعلاه وفي الجدول أدناه، إلا أن المتباينات الصارمة (مثل نظرية كونيغ ) نادرة. على سبيل المثال، في الحساب المنتهي، لأي عدد غير صفري${\displaystyle n}$،​​${\displaystyle n+n>n}$ومع ذلك، بما أن كلتا مجموعتي الأعداد الزوجية${\displaystyle (E)}$ومجموعة من الأعداد الفردية${\displaystyle (F)}$⁠ لها عددية ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$، وهذا يُظهر${\displaystyle \vert E\sqcup F\vert =\vert \mathbb {N} \vert }$وهكذا​​${\displaystyle \aleph _{0}+\aleph _{0}=\aleph _{0}}$في الواقع ، بالنسبة لأي عدد أصلي لانهائي ،${\displaystyle \kappa +\kappa =\kappa \cdot \kappa =\kappa }$وبهذا الشكل، يُعتبر الجمع والضرب اللانهائيان للأعداد الأصلية سلوكًا جيدًا بشكل ملحوظ (على الأقل في ظل بديهية الاختيار ). ^{[ 91 ]}

الأسس الأساسية${\displaystyle \vert A\vert ^{\vert B\vert }}$يتم تعريفها من خلال عملية الأسية ، وهي مجموعة جميع الدوال .${\displaystyle f:B\mapsto A}$أي ،​${\displaystyle \vert A\vert ^{\vert B\vert }:=\vert A^{B}\vert }$وهذا يُوسّع بشكل طبيعي دور "الضرب المتكرر" ليشمل المجموعات غير المنتهية. ^{[ 92 ]} بالنسبة للمجموعات المنتهية، يمكن إثبات أن هذا يتطابق مع عملية رفع الأعداد الطبيعية القياسية ، ولكنه يتضمن كنتيجة حتمية أن صفرًا مرفوعًا للأس صفر يساوي واحدًا .${\displaystyle (0^{0}=1)}$بما أن هناك دالة واحدة فقط من المجموعة الفارغة إلى نفسها: وهي الدالة الفارغة . ^{[ 93 ]} يمكن استخدام حجة توافقية لإثبات ذلك .${\displaystyle 2^{\vert A\vert }=\vert {\mathcal {P}}(A)\vert }$، من خلال النظر في دالة المؤشر لكل مجموعة جزئية. بشكل عام، لا يكون الرفع الأسي للأعداد الأصلية بنفس جودة الجمع والضرب. على سبيل المثال، على الرغم من أنه يمكن إثبات أن التعبير ⁠${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$^{[ 94 ]} ⁠ يتوافق بالفعل مع بعض الألف، ولكن من غير الممكن إثبات أي ألف يتوافق معه من خلال نظريات المجموعات القياسية.

النتائج الأساسية

الأس	عدم المساواة والرتابة	عناصر الهوية	قوانين الامتصاص (لعدد لانهائي من A وB)
⁠${\displaystyle {\big (}\vert A\vert ^{\vert B\vert }{\big )}^{\vert C\vert }=\vert A\vert ^{\vert B\times C\vert }}$[ هـ ] [ 95 ]​	⁠${\displaystyle \vert A\vert \leq \vert B\vert }$⁠ يعني ⁠${\displaystyle \vert A\vert +\vert C\vert \leq \vert B\vert +\vert C\vert }$[ 96 ]​	⁠${\displaystyle \vert A\vert +{\mathbf {0}}=\vert A\vert }$[ 97 ]​	⁠${\displaystyle \vert A\vert +\vert B\vert =\operatorname {max} (\vert A\vert ,\vert B\vert )}$[ 98 ]​
⁠${\displaystyle \vert A\vert ^{\vert B\vert +\vert C\vert }=\vert A\vert ^{\vert B\vert }\cdot \vert A\vert ^{\vert C\vert }}$[ 99 ]​	⁠${\displaystyle \vert A\vert \leq \vert B\vert }$⁠ يعني ⁠${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert C\vert \leq \vert B\vert \cdot \vert C\vert }$[ 100 ]​	⁠${\displaystyle \vert A\vert \cdot {\mathbf {1}}=\vert A\vert }$[ 101 ]​	⁠${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\vert =\operatorname {max} (\vert A\vert ,\vert B\vert )}$[ 98 ]​
⁠${\displaystyle \vert A\times B\vert ^{\vert C\vert }=\vert A\vert ^{\vert C\vert }\cdot \vert B\vert ^{\vert C\vert }}$[ 99 ]​	⁠${\displaystyle \vert A\vert \leq \vert B\vert }$⁠ يعني ⁠${\displaystyle \vert A\vert ^{\vert C\vert }\leq \vert B\vert ^{\vert C\vert }}$[ 102 ]​	⁠${\displaystyle \vert A\vert ^{\mathbf {1}}=\vert A\vert }$[ 103 ]​	⁠${\displaystyle {\mathbf {0}}\cdot \vert A\vert ={\mathbf {0}}}$( المبيد ) [ 104 ]​
⁠${\displaystyle \vert A\vert ^{\mathbf {0}}={\mathbf {1}}}$[ 105 ]​	⁠${\displaystyle \vert A\vert \leq \vert B\vert }$و​​${\displaystyle {\mathbf {0}}<\vert C\vert }$⁠ يعني ⁠${\displaystyle \vert C\vert ^{\vert A\vert }\leq \vert C\vert ^{\vert B\vert }}$[ 102 ]​		⁠${\displaystyle {\mathbf {1}}^{\vert A\vert }={\mathbf {1}}}$[ 106 ]​

تشير مجموعة جميع الأعداد الأصلية إلى مجموعة افتراضية تحتوي على جميع الأعداد الأصلية. لا يمكن أن توجد مثل هذه المجموعة، وهو ما يُعتبر مفارقة، ويرتبط بمفارقة بورالي-فورتي . باستخدام تعريف الأعداد الأصلية كممثلين لقيمها الأصلية، يبدأ الأمر بافتراض وجود مجموعة ما .${\displaystyle S:=\{X\,\vert X{\text{ is a cardinal number}}\}}$ثم ، إذا كان هناك عدد أصلي كبير${\displaystyle \kappa \in S}$ثم مجموعة الطاقة${\displaystyle 2^{\kappa }}$هو أكبر بكثير، وبالتالي ليس في${\displaystyle S}$. وعلى العكس من ذلك، إذا لم يكن هناك عنصر أكبر، فإن الاتحاد ⁠${\displaystyle \bigcup S}$يحتوي على عناصر جميع عناصر${\displaystyle S}$وبالتالي فهو أكبر من أو يساوي كل عنصر. بما أنه لا يوجد عنصر أكبر في${\displaystyle S}$، لأي عنصر${\displaystyle x\in S}$، هناك عنصر آخر${\displaystyle y\in S}$بحيث​​${\displaystyle \vert x\vert <\vert y\vert }$و​​${\displaystyle \vert y\vert \leq {\Bigl \vert }\bigcup S{\Bigr \vert }}$وبالتالي ، لأي${\displaystyle x\in S}$،​​${\displaystyle \vert x\vert <{\Bigl \vert }\bigcup S{\Bigr \vert }}$وهكذا​​${\displaystyle {\Bigl \vert }\bigcup S{\Bigr \vert }\notin S}$وبالتالي ، فإن مجموعة جميع الأعداد الأصلية كبيرة جدًا بحيث لا يمكن تشكيل مجموعة، وهي فئة حقيقية . ^{[ 108 ]} وقد أطلق جورج كانتور على مجموعة جميع الأعداد الأصلية الرمز ת ( تاف ، الحرف الأخير من الأبجدية العبرية )، واعتبرها "تعددًا غير متسق". ^{[ 107 ]}

مبدأ الاختيار (AC) مبدأ أساسي في أسس الرياضيات، وقد شهد جدلاً واسعاً عبر تاريخه. ينص هذا المبدأ، ببساطة، على أنه لأي مجموعة من المجموعات غير الفارغة، يُمكن إنشاء مجموعة جديدة باختيار عنصر واحد من كل مجموعة، حتى لو كانت المجموعة لانهائية. انصبّ الجدل حول مبدأ الاختيار في معظمه على طبيعة كيفية اختيار هذه العناصر. فبينما تُعرّف معظم البديهيات ماهية المجموعات أو تسمح بإنشاء مجموعات صريحة، لا يُحدد مبدأ الاختيار المجموعة التي تم إنشاؤها، بل يُشير فقط إلى وجود دالة اختيار، تاركاً المجموعة المُنشأة ضمنية. لا يُعدّ هذا المبدأ مثيراً للجدل بين علماء الرياضيات المعاصرين. ومع ذلك، ونظراً للجدل التاريخي الفريد الذي أثير حوله، فإنه غالباً ما يُعامل معاملة خاصة لا تُمنح للبديهيات الأخرى، حتى أن البراهين الأساسية التي تستخدمه يجب أن تُشير إليه. ^{[ 122 ]}

ترتبط بديهية الاختيار ارتباطًا وثيقًا بطبيعة العددية. تفرض هذه البديهية بنية صارمة على ماهية العددية ومعنى المقارنة بالمجموعات. بافتراض خطأ بديهية الاختيار، فإن العددية لها بنية أكثر تعقيدًا وتقاوم الترتيب الخطي الذي توفره. على سبيل المثال، لا تتعامل متباينة العددية مع الإدماج والشمول بشكل متكافئ. تحديدًا، توجد مجموعات بحيث يوجد شمول من ⁠${\displaystyle A}$إلى​​${\displaystyle B}$، ولكن لم يتم الحقن من${\displaystyle B}$إلى​​${\displaystyle A}$وبالتالي ، فإن مفهوم الحقن أقوى بكثير، لأنه عند إعطاء حقن، يمكن دائمًا إيجاد تطبيق شامل في الاتجاه المعاكس. وبالمثل، على الرغم من أن متباينة الأعداد الأصلية تحافظ على ترتيب جزئي، إلا أنه توجد مجموعات غير قابلة للمقارنة في ظل متباينة الأعداد الأصلية، أي أن قانون التثليث لا ينطبق، وتوجد مجموعات لا يوجد أي منها${\displaystyle A<B}$،​​${\displaystyle A\sim B}$،​​${\displaystyle A>B}$⁠ hold. كلاهما (التقسيم الثلاثي وأن الإسقاط يستلزم الحقن) مكافئ لـ AC. ^{[ 123 ]}

لأن التثليث غير صحيح، ولأن متتالية الألف لها ترتيب طبيعي جيد، توجد مجموعات لا يتوافق عددها مع أي ألف. وعلى هذا النحو، فإن دالة العدد${\displaystyle A\mapsto \vert A\vert }$يصبح تعريفها أكثر صعوبة إلى حد ما. في الواقع، دالة العددية التي تربط كل مجموعة بـ "ممثل" فريد لتلك العددية - أي التي تحقق مبدأ هيوم ، والتكرار (${\displaystyle \vert \vert S\vert \vert =\vert S\vert }$أو​​${\displaystyle \vert S\vert \sim S}$) —مستحيل بدون AC. ^{[ 124 ]} تعالج نظريات المجموعات التي لا تعتمد على AC هذه المشكلة من خلال تبني ما يُسمى بتعريف فريجه - راسل - سكوت ، الذي قدمه دانا سكوت ، والذي يُذكّر بأعداد فريجه - راسل الأصلية. بموجب هذا التعريف، يُعتبر "مجموعة جميع المجموعات" مكافئة في العدد مع ⁠${\displaystyle A}$، لكنها تطبق حيلة سكوت لتنظيم هذه الفئات. تحديدًا، تُختزل هذه الفئة إلى مجموعات ذات رتبة دنيا فقط ؛ أي المجموعات التي تظهر أولًا في التسلسل الهرمي لفون نيومان . ولأن التسلسل الهرمي لفون نيومان مُرتب جيدًا، توجد رتبة دنيا، ولأن هذه المجموعات تشترك جميعها في تلك الرتبة، فإن مجموعتها محدودة في التسلسل الهرمي، وبالتالي تُشكل مجموعة وليست فئة محددة. ^{[ 125 ]}

الحساب الأصلي أكثر تعقيدًا بكثير، ويفقد العديد من أبسط متطابقاته. المتطابقة${\displaystyle \vert A\vert +\vert B\vert =\operatorname {max} (\vert A\vert ,\vert B\vert )}$يتطلب ذلك مفهومًا محددًا جيدًا لـ "الحد الأقصى"، مما يستلزم أن تكون جميع المجموعات قابلة للمقارنة، وبالتالي فهو غير صحيح. وبالمثل، فإن الافتراض القائل بأن${\displaystyle A\times A\sim B\times B\implies A\sim B}$(الدالة التي تربع الأعداد الأصلية دالة أحادية)، وحتى القول بأن حاصل الضرب العشوائي للأعداد الأصلية غير الصفرية يكون دائمًا غير صفري - والذي أطلق عليه برتراند راسل اسم بديهية الضرب - كلاهما مكافئ لـ AC. ^{[ 126 ]} علاوة على ذلك، على الرغم من أن فرضية الاستمرارية المعممة (GCH، التي ⁠${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$لكل​​${\displaystyle \alpha }$إذا كان ( ) مستقلاً عن ZFC، فيمكن إثبات أن ZF+GCH كافٍ لاستنتاج AC، وبالتالي، إذا كان AC خاطئًا، فإنه يترتب على ذلك أن GCH غير صحيح. ^{[ 127 ]}