نظرية التطبيق المستمر

سنحتاج إلى عبارة محددة من نظرية البورتمانتو : وهي التقارب في التوزيع${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {d}}X}$يعادل

${\displaystyle \mathbb {E} f(X_{n})\to \mathbb {E} f(X)}$لكل دالة متصلة محدودة f .

لذا يكفي إثبات ذلك${\displaystyle \mathbb {E} f(g(X_{n}))\to \mathbb {E} f(g(X))}$لكل دالة f متصلة ومحدودة . ولتبسيط الأمر، نفترض أن g متصلة. لاحظ أن${\displaystyle F=f\circ g}$هي نفسها دالة متصلة محدودة. ومن ثمّ، فإنّ الادعاء يتبع من العبارة السابقة. أما الحالة العامة فهي أكثر تعقيداً من الناحية التقنية.

لنفترض قيمة اختيارية ε  >  0. ثم لأي قيمة δ  >  0، نعتبر المجموعة B _δ المعرفة على النحو التالي:

${\displaystyle B_{\delta }={\big \{}x\in S\mid x\notin D_{g}:\ \exists y\in S:\ |xy|<\delta ,\,|g(x)-g(y)|>\varepsilon {\big \}}.}$

هذه هي مجموعة نقاط الاستمرارية x للدالة g (·) التي يمكن إيجاد نقطة لها، ضمن الجوار δ لـ x ، تُسقط دالة خارج الجوار ε لـ g ( x ). وبحسب تعريف الاستمرارية، تتقلص هذه المجموعة عندما يؤول δ إلى الصفر، بحيث يكون lim _{δ  →  0} B _δ  =  ∅.

لنفترض الآن أن | g ( X )  - g ( Xn ₎ | > ε . هذا يعني أن أحد الاحتمالات التالية على الأقل صحيح: إما | X - Xn | ≥ δ ، أو X ∈ Dg _، أو X ∈ Bδ _. ويمكن كتابة ذلك بدلالة الاحتمالات على النحو التالي _:       

${\displaystyle \Pr {\big (}{\big |}g(X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}\leq \Pr {\big (}|X_{n}-X|\geq \delta {\big )}+\Pr(X\in B_{\delta })+\Pr(X\in D_{g}).}$

في الطرف الأيمن، يتقارب الحد الأول إلى الصفر عندما n  →  ∞ لأي ​​قيمة ثابتة لـ δ ، وذلك بحسب تعريف التقارب الاحتمالي للمتتالية { X _n }. ويتقارب الحد الثاني إلى الصفر عندما δ  →  0، لأن المجموعة B _δ تتقلص إلى مجموعة فارغة. أما الحد الأخير فيساوي الصفر تمامًا بحسب فرضية النظرية. لذلك، فإن النتيجة هي:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}{\big |}g(X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}=0,}$

وهذا يعني أن g ( X _n ) تتقارب إلى g ( X ) في الاحتمال.

ملاحظة: على الرغم من إمكانية العثور على الدليل أعلاه في أماكن كثيرة، إلا أنه ينطوي على بعض الأخطاء، لأنه ليس من الواضح بشكل عام أن${\displaystyle B_{\delta }}$هي مجموعة فرعية من بوريل${\displaystyle S}$يمكن إصلاح ذلك بسهولة كما يلي. بافتراض أن لدينا${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right)=1}$، أين${\displaystyle A_{k}=\left(|X_{n}-X|\leq {\frac {1}{k}}\,\Rightarrow \,|g(X_{n})-g(X)|<\varepsilon \right).}$

والآن، قم بإصلاح قيمة عشوائية${\displaystyle \eta >0}$بما أن التسلسل${\displaystyle (A_{k})_{k\geq 1}}$إذا كانت غير متناقصة، فلدينا${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right)=\lim _{k\to \infty }\mathbb {P} (A_{k})}$وبالتالي يوجد${\displaystyle k\geq 1}$بحيث${\displaystyle \mathbb {P} (A_{k})\geq 1-\eta }$وأخيرًا، يمكننا أن نكتب

${\displaystyle \mathbb {P} (|g(X_{n})-g(X)|\geq \varepsilon )\leq \eta +\mathbb {P} (|g(X_{n})-g(X)|\geq \varepsilon \,;\,A_{k})\leq \eta +\mathbb {P} \left(d(X_{n},X)>{\frac {1}{k}}\right).}$

ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }\mathbb {P} (|g(X_{n})-g(X)|\geq \varepsilon )\leq \eta +0=\eta }$مما يدل على أن${\displaystyle \mathbb {P} (|g(X_{n})-g(X)|\geq \varepsilon )\rightarrow 0}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$، منذ${\displaystyle \eta }$كان الأمر تعسفياً.

بحسب تعريف استمرارية الدالة g (·)،

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\quad \Rightarrow \quad \lim _{n\to \infty }g(X_{n}(\omega ))=g(X(\omega ))}$

عند كل نقطة X ( ω ) حيث تكون الدالة g (·) متصلة. لذلك،

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X)\right)&\geq \Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X),\ X\notin D_{g}\right)\\&\geq \Pr \left(\lim _{n\to \infty }X_{n}=X,\ X\notin D_{g}\right)=1,\end{aligned}}}$

لأن تقاطع حدثين شبه مؤكدين هو حدث شبه مؤكد.

بحسب التعريف، نستنتج أن g ( X _n ) يتقارب إلى g ( X ) بشكل شبه مؤكد.