عنصر عشوائي

المتغير العشوائي هو أبسط أنواع العناصر العشوائية. وهو عبارة عن خريطة ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$هي دالة قابلة للقياس من مجموعة النتائج المحتملة$أوميغا$ل${\displaystyle \mathbb {R} }$.

كدالة ذات قيم حقيقية،${\displaystyle X}$غالباً ما يصف كمية عددية لحدث معين. على سبيل المثال، عدد مرات ظهور الصورة بعد عدد معين من رميات العملة؛ أو أطوال أشخاص مختلفين.

عندما تكون الصورة (أو النطاق)${\displaystyle X}$إذا كانت المصفوفة العشوائية محدودة أو غير محدودة قابلة للعد ، فإنها تُسمى متغيرًا عشوائيًا منفصلاً ^{[ 3 ]،} ويمكن وصف توزيعها بدالة كتلة احتمالية تُسند احتمالًا لكل قيمة في صورة المصفوفة.${\displaystyle X}$إذا كانت الصورة لانهائية غير قابلة للعد،${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم متغير عشوائي متصل. في الحالة الخاصة التي يكون فيها متصلاً تمامًا ، يمكن وصف توزيعه بدالة كثافة احتمالية ، والتي تُحدد احتمالات للفترات؛ على وجه الخصوص، يجب أن يكون لكل نقطة فردية احتمال صفر بالنسبة لمتغير عشوائي متصل تمامًا. ليست كل المتغيرات العشوائية المتصلة متصلة تمامًا، ^{[ 4 ]} على سبيل المثال توزيع الخليط . لا يمكن وصف هذه المتغيرات العشوائية بدالة كثافة احتمالية أو دالة كتلة احتمالية.

المتجه العشوائي هو متجه عمودي${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}}$(أو منقوله ، وهو متجه صفّي ) الذي تكون مكوناته متغيرات عشوائية ذات قيم عددية على نفس فضاء الاحتمالية${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$، أين$أوميغا$هي فضاء العينة ،${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هي جبر سيجما (مجموعة جميع الأحداث)، و${\displaystyle P}$هو مقياس الاحتمالية (دالة تُرجع احتمالية كل حدث ).

تُستخدم المتجهات العشوائية غالبًا كأداة أساسية لتنفيذ أنواع مختلفة من المتغيرات العشوائية المجمعة ، مثل المصفوفة العشوائية ، والشجرة العشوائية ، والمتتالية العشوائية ، والعملية العشوائية ، وما إلى ذلك.

المصفوفة العشوائية هي عنصر عشوائي ذو قيم مصفوفية . يمكن تمثيل العديد من الخصائص المهمة للأنظمة الفيزيائية رياضياً على شكل مسائل مصفوفية. على سبيل المثال، يمكن حساب الموصلية الحرارية لشبكة من المصفوفة الديناميكية لتفاعلات الجسيمات داخل الشبكة.

الدالة العشوائية هي نوع من العناصر العشوائية، حيث يتم اختيار نتيجة واحدة من عائلة دوال معينة، تتألف من فئة من جميع الدوال التي تربط المجال بالمجال المقابل . على سبيل المثال، قد تقتصر هذه الفئة على جميع الدوال المتصلة أو على جميع الدوال المتدرجة . لا تكون القيم التي تحددها دالة عشوائية عند نقاط مختلفة من نفس التحقق مستقلة إحصائيًا بشكل عام ، ولكن، اعتمادًا على النموذج، يمكن اعتبار القيم التي تحددها عند نفس النقطة أو نقاط مختلفة من تحققات مختلفة مستقلة.

العملية العشوائية هي مجموعة من المتغيرات العشوائية ، تمثل تطور نظام من القيم العشوائية عبر الزمن. وهي النظير الاحتمالي للعملية الحتمية (أو النظام الحتمي ). فبدلاً من وصف عملية لا يمكن أن تتطور إلا في اتجاه واحد (كما هو الحال، على سبيل المثال، في حلول المعادلات التفاضلية العادية )، فإن العملية العشوائية أو الاحتمالية تتضمن قدراً من عدم اليقين: فحتى لو كانت الحالة الابتدائية (أو نقطة البداية) معروفة، فهناك عدة اتجاهات (غالباً عدد لا نهائي) يمكن أن تتطور فيها العملية.

في الحالة البسيطة للوقت المنفصل ، على عكس الوقت المستمر ، تتضمن العملية العشوائية سلسلة من المتغيرات العشوائية والسلاسل الزمنية المرتبطة بهذه المتغيرات العشوائية (على سبيل المثال، انظر سلسلة ماركوف ، والمعروفة أيضًا باسم سلسلة ماركوف ذات الوقت المنفصل).

بالنظر إلى فضاء احتمالي${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$إذا كان لدينا فضاء قابل للقياس X، فإن الحقل العشوائي ذو القيم X هو مجموعة من المتغيرات العشوائية ذات القيم X المفهرسة بعناصر في فضاء طوبولوجي T. أي أن الحقل العشوائي F هو مجموعة

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

حيث كل${\displaystyle F_{t}}$هو متغير عشوائي ذو قيمة X.

توجد أنواع عديدة من الحقول العشوائية، من بينها حقل ماركوف العشوائي (MRF)، وحقل جيبس ​​العشوائي (GRF)، والحقل العشوائي الشرطي (CRF)، والحقل العشوائي الغاوسي . ويُظهر حقل ماركوف العشوائي خاصية ماركوف.

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i}),\,}$

أين${\displaystyle \partial _{i}}$هي مجموعة جيران المتغير العشوائي Xᵢ _. بعبارة أخرى، يعتمد احتمال أن يأخذ متغير عشوائي قيمة معينة على المتغيرات العشوائية الأخرى فقط من خلال جيرانه المباشرين. يُعطى احتمال متغير عشوائي في حقل ماركوف العشوائي (MRF) بالصيغة التالية:

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(\omega )}{\sum _{\omega '}P(\omega ')}},}$

حيث أن Ω' هي نفس قيمة Ω، باستثناء المتغير العشوائي X _i . من الصعب الحساب باستخدام هذه المعادلة، دون اللجوء إلى العلاقة بين دوال ماركوف العشوائية ودوال كروموسومية اقترحها جوليان بيساج في عام 1974.

المقياس العشوائي هو عنصر عشوائي ذو قيمة قياس . ^{[ 5 ] [ 6 ]} ليكن X فضاءً متريًا كاملًا قابلًا للفصل و${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$الجبر سيجما لمجموعات بوريل الخاصة بها. يكون مقياس بوريل μ على X محدودًا ومنتهيًا إذا كان μ(A) < ∞ لكل مجموعة بوريل محدودة A. ليكن${\displaystyle M_{X}}$ليكن فضاء جميع القياسات المحدودة والمنتهية على${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$ليكن (Ω, ℱ, P ) فضاء احتمالي ، عندئذٍ، يُحوّل مقياس عشوائي من هذا الفضاء الاحتمالي إلى الفضاء القابل للقياس (${\displaystyle M_{X}}$،${\displaystyle {\mathfrak {B}}(M_{X})}$) . ^{[ 7 ]} يمكن عموماً تحليل المقياس على النحو التالي:

${\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}$

هنا${\displaystyle \mu _{d}}$هو مقياس منتشر بدون ذرات، بينما${\displaystyle \mu _{a}}$هو مقياس ذري بحت.

المجموعة العشوائية هي عنصر عشوائي ذو قيمة مجموعة.

أحد الأمثلة المحددة هو مجموعة مضغوطة عشوائية . لنفترض${\displaystyle (M,d)}$ليكن فضاءً متريًا كاملًا قابلًا للفصل .${\displaystyle {\mathcal {K}}}$يرمز إلى مجموعة جميع المجموعات الجزئية المدمجة من${\displaystyle M}$مقياس هاوسدورف${\displaystyle h}$على${\displaystyle {\mathcal {K}}}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.}$

${\displaystyle ({\mathcal {K}},h)}$وهي أيضًا فضاء متري قابل للفصل تمامًا. وتولد المجموعات الفرعية المفتوحة المقابلة جبرًا من نوع سيجما على${\displaystyle {\mathcal {K}}}$جبر بوريل سيجما${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$ل${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.

المجموعة المدمجة العشوائية هي دالة قابلة للقياس${\displaystyle K}$من فضاء احتمالي${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$داخل${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))}$.

بعبارة أخرى، المجموعة المدمجة العشوائية هي دالة قابلة للقياس${\displaystyle K\colon \Omega \to 2^{M}}$بحيث${\displaystyle K(\omega )}$من شبه المؤكد أنها مضغوطة و

${\displaystyle \omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)}$

هي دالة قابلة للقياس لكل${\displaystyle x\in M}$.

وتشمل هذه النقاط العشوائية، والأشكال العشوائية، ^{[ 8 ]} والأشكال العشوائية. ^{[ 8 ]}