المتغيرات الضابطة

تُعدّ طريقة المتغيرات الضابطة إحدى تقنيات تقليل التباين المستخدمة في طرق مونت كارلو . وتستغل هذه الطريقة المعلومات المتعلقة بأخطاء تقديرات الكميات المعروفة لتقليل خطأ تقدير كمية مجهولة. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

لنفترض أن المعلمة المجهولة محل الاهتمام هي${\displaystyle \mu }$ولنفترض أن لدينا إحصائية${\displaystyle m}$بحيث تكون القيمة المتوقعة لـ m هي μ :${\displaystyle \mathbb {E} \left[m\right]=\mu }$أي أن m هو مقدر غير متحيز لـ μ . لنفترض أننا نحسب إحصائية أخرى${\displaystyle t}$بحيث${\displaystyle \mathbb {E} \left[t\right]=\tau }$قيمة معلومة. إذن

${\displaystyle m^{\star }=m+c\left(t-\tau \right)\,}$

وهو أيضًا مقدر غير متحيز لـ${\displaystyle \mu }$لأي اختيار للمعامل${\displaystyle c}$تباين المُقدِّر الناتج${\displaystyle m^{\star }}$يكون

${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)={\textrm {Var}}\left(m\right)+c^{2}\,{\textrm {Var}}\left(t\right)+2c\,{\textrm {Cov}}\left(m,t\right).}$

عن طريق تفاضل التعبير أعلاه بالنسبة إلى${\displaystyle c}$، يمكن إثبات أن اختيار المعامل الأمثل

${\displaystyle c^{\star }=-{\frac {{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}}}$

يقلل من تباين${\displaystyle m^{\star }}$(لاحظ أن هذا المعامل هو نفسه المعامل الذي تم الحصول عليه من الانحدار الخطي ). مع هذا الاختيار،

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)&={\textrm {Var}}\left(m\right)-{\frac {\left[{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)\right]^{2}}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}}\\&=\left(1-\rho _{m,t}^{2}\right){\textrm {Var}}\left(m\right)\end{aligned}}}$

أين

${\displaystyle \rho _{m,t}={\textrm {Corr}}\left(m,t\right)\,}$

معامل الارتباط لـ${\displaystyle m}$و${\displaystyle t}$كلما زادت قيمة${\displaystyle \vert \rho _{m,t}\vert }$كلما زاد انخفاض التباين الذي تم تحقيقه.

في حالة أن${\displaystyle {\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}$،${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(t\right)}$، و/أو${\displaystyle \rho _{m,t}\;}$إذا كانت هذه القيم غير معروفة، فيمكن تقديرها عبر عمليات التكرار في محاكاة مونت كارلو. وهذا يعادل حل نظام معين من المربعات الصغرى ؛ ولذلك تُعرف هذه التقنية أيضًا باسم أخذ العينات بالانحدار .

عندما يكون التوقع للمتغير الضابط،${\displaystyle \mathbb {E} \left[t\right]=\tau }$على الرغم من عدم معرفة ذلك تحليليًا، فإنه لا يزال من الممكن زيادة الدقة في التقدير.${\displaystyle \mu }$(في حدود ميزانية محاكاة ثابتة معينة)، بشرط استيفاء الشرطين التاليين: 1) تقييم${\displaystyle t}$أرخص بكثير من الحوسبة${\displaystyle m}$2) مقدار معامل الارتباط${\displaystyle |\rho _{m,t}|}$يقترب من الوحدة. ^{[ 3 ]}

نود أن نقدر

${\displaystyle I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x}$

باستخدام تكامل مونت كارلو . هذا التكامل هو القيمة المتوقعة لـ ${\displaystyle f(U)}$، أين

${\displaystyle f(U)={\frac {1}{1+U}}}$

وتتبع U توزيعًا منتظمًا  [0،  1]. باستخدام عينة بحجم n، نرمز إلى النقاط في العينة بـ${\displaystyle u_{1},\cdots ,u_{n}}$ثم يُعطى التقدير بواسطة

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i}).}$

والآن نقدم لكم${\displaystyle g(U)=1+U}$كمتغير تحكم ذي قيمة متوقعة معروفة${\displaystyle \mathbb {E} \left[g\left(U\right)\right]=\int _{0}^{1}(1+x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {3}{2}}}$ثم دمج الاثنين في تقدير جديد

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i})+c\left({\frac {1}{n}}\sum _{i}g(u_{i})-3/2\right).}$

استخدام${\displaystyle n=1500}$عمليات التحقق ومعامل أمثل مُقدَّر${\displaystyle c^{\star }\approx 0.4773}$نحصل على النتائج التالية

انخفض التباين بشكل ملحوظ بعد استخدام تقنية المتغيرات الضابطة. (النتيجة الدقيقة هي ${\displaystyle I=\ln 2\approx 0.69314718}$.)

• المتغيرات المضادة
• أخذ العينات المهمة

• روس، شيلدون م. (2002) المحاكاة، الطبعة الثالثة، رقم ISBN 978-0-12-598053-1
• أفريل م. لو و و. ديفيد كيلتون (2000)، نمذجة المحاكاة والتحليل ، الطبعة الثالثة. ISBN 0-07-116537-1
• إس بي ماين (2007) تقنيات التحكم للشبكات المعقدة ، مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-88441-9مسودة قابلة للتنزيل ( القسم 11.4: متغيرات التحكم والوظائف الظلية)