تقليل التباين

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية طرق مونت كارلو ، يُعدّ تقليل التباين إجراءً يُستخدم لزيادة دقة التقديرات المُتحصَّل عليها لمحاكاة مُحدَّدة أو جهد حسابي مُعيَّن. ^{[ 1 ]} يرتبط كل متغير عشوائي ناتج من المحاكاة بتباين يُحدِّد دقة نتائج المحاكاة. ولجعل المحاكاة فعّالة إحصائيًا، أي للحصول على دقة أكبر وفترات ثقة أصغر للمتغير العشوائي الناتج محل الاهتمام، يُمكن استخدام تقنيات تقليل التباين. ومن أهم طرق تقليل التباين ما يلي:

• الأرقام العشوائية الشائعة
• المتغيرات المتضادة
• المتغيرات الضابطة
• أخذ العينات المهمة
• أخذ العينات الطبقية
• مطابقة اللحظة
• مونت كارلو المشروط
• والمتغيرات شبه العشوائية (في طريقة شبه مونت كارلو )

يمكن استخدام محاكاة المجموعات الفرعية وأخذ عينات الخطوط في عمليات المحاكاة باستخدام نماذج الصندوق الأسود . وتندرج تحت هذه العناوين مجموعة متنوعة من التقنيات المتخصصة؛ فعلى سبيل المثال، تستخدم محاكاة نقل الجسيمات على نطاق واسع تقنيات "نوافذ الوزن" و"التقسيم/الروليت الروسية"، وهي شكل من أشكال أخذ العينات المهمة.

لنفترض أن المرء يريد حساب${\displaystyle z:=E(Z)}$مع المتغير العشوائي${\displaystyle Z}$معرفة على فضاء الاحتمالات${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$تقوم طريقة مونت كارلو بذلك عن طريق أخذ عينات من نسخ مستقلة ومتطابقة التوزيع.${\displaystyle Z_{1},...,Z_{R}}$ل ${\displaystyle Z}$ثم تقدير${\displaystyle z}$عن طريق مقدر متوسط ​​العينة

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$

في ظل ظروف معتدلة أخرى مثل${\displaystyle var(Z)<\infty }$، ستنطبق نظرية النهاية المركزية بحيث أنه بالنسبة للقيم الكبيرة${\displaystyle n\rightarrow \infty }$، توزيع${\displaystyle {\overline {z}}}$يتقارب مع التوزيع الطبيعي بمتوسط${\displaystyle z}$والخطأ المعياري${\displaystyle \sigma /{\sqrt {n}}}$لأن الانحراف المعياري يتقارب فقط نحو${\displaystyle 0}$بالمعدل${\displaystyle {\sqrt {n}}}$مما يعني ضرورة زيادة عدد عمليات المحاكاة (${\displaystyle n}$) بمعامل${\displaystyle 4}$لتقليل الانحراف المعياري إلى النصف${\displaystyle {\overline {z}}}$تُعدّ أساليب تقليل التباين مفيدة في كثير من الأحيان للحصول على تقديرات أكثر دقة لـ${\displaystyle z}$دون الحاجة إلى عدد كبير جدًا من عمليات المحاكاة.

تُعدّ تقنية تقليل التباين باستخدام الأرقام العشوائية الشائعة (CRN) تقنيةً شائعةً وفعّالةً لتقليل التباين، وتُطبّق عند مقارنة تكوينين بديلين أو أكثر (لنظامٍ ما) بدلاً من دراسة تكوينٍ واحدٍ فقط. ويُطلق على هذه التقنية أيضاً اسم أخذ العينات المترابطة ، أو التدفقات المتطابقة ، أو الأزواج المتطابقة .

يتطلب نموذج CRN مزامنة تدفقات الأرقام العشوائية، مما يضمن أنه بالإضافة إلى استخدام نفس الأرقام العشوائية لمحاكاة جميع التكوينات، فإن الرقم العشوائي المحدد المستخدم لغرض معين في تكوين ما يُستخدم لنفس الغرض تمامًا في جميع التكوينات الأخرى. على سبيل المثال، في نظرية الطوابير، إذا كنا نقارن بين تكوينين مختلفين للصرافين في بنك، فإننا نريد أن يتم توليد وقت وصول العميل رقم N (العشوائي) باستخدام نفس السحب من تدفق الأرقام العشوائية لكلا التكوينين.

يفترض${\displaystyle X_{1j}}$و${\displaystyle X_{2j}}$هي الملاحظات من التكوينين الأول والثاني في عملية التكرار المستقلة رقم j .

نريد أن نقدّر

${\displaystyle \xi =E(X_{1j})-E(X_{2j})=\mu _{1}-\mu _{2}.\,}$

إذا قمنا بإجراء n تكرار لكل تكوين، و...

${\displaystyle Z_{j}=X_{1j}-X_{2j}\quad {\mbox{for }}j=1,2,\ldots ,n,}$

ثم${\displaystyle E(Z_{j})=\xi }$و${\displaystyle Z(n)={\frac {\sum _{j=1,\ldots ,n}Z_{j}}{n}}}$هو مُقدِّر غير متحيز لـ${\displaystyle \xi }$.

ومنذ ذلك الحين${\displaystyle Z_{j}}$المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع هي:

${\displaystyle \operatorname {Var} [Z(n)]={\frac {\operatorname {Var} (Z_{j})}{n}}={\frac {\operatorname {Var} [X_{1j}]+\operatorname {Var} [X_{2j}]-2\operatorname {Cov} [X_{1j},X_{2j}]}{n}}.}$

_في حالة أخذ العينات المستقلة، أي عدم استخدام أرقام عشوائية مشتركة، فإن Cov( _{X1j , X2j} ) = 0. ولكن إذا نجحنا في إحداث عنصر ارتباط إيجابي بين X1 و X2 بحيث يكون Cov ( X1j , _X2j ) _> 0 _{، فيمكن ملاحظة} من المعادلة أعلاه _أن التباين قد انخفض .

يمكن ملاحظة أنه إذا أدى نموذج CRN إلى ارتباط سلبي، أي Cov( _{X1j ,} X2j ) < _{0 ،} فقد تأتي هذه التقنية بنتائج عكسية، حيث يزداد التباين بدلاً من أن ينخفض ​​(كما هو مُخطط له). ^{[ 2 ]}

• التباين المُفسَّر
• التنظيم (الرياضيات)

• هامرسلي، جيه إم؛ هاندسكومب، دي سي (1964). طرق مونت كارلو . لندن: ميثوين. ISBN 0-416-52340-4.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• كان، هـ.؛ مارشال، أ. و. (1953). "طرق تقليل حجم العينة في حسابات مونت كارلو". مجلة جمعية بحوث العمليات الأمريكية . 1 (5): 263-271 . doi : 10.1287/opre.1.5.263 .
• MCNP — كود مونت كارلو العام لنقل الجسيمات N، الإصدار 5 من تقرير لوس ألاموس LA-UR-03-1987