مشتق داربو

مشتق داربو للدالة بين متعدد الشعب ومجموعة لي هو شكل من أشكال المشتق القياسي. ويمكن القول إنه تعميم أكثر طبيعية لمشتق المتغير الواحد. فهو يسمح بتعميم النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ذات المتغير الواحد إلى أبعاد أعلى، بطريقة مختلفة عن التعميم الذي تمثله نظرية ستوكس .

يترك${\displaystyle G}$كن جماعة كاذبة ، ودع${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$لتكن جبر لي الخاص بها . شكل ماورر-كارتان ،${\displaystyle \omega _{G}}$، هو السلس${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-valued${\displaystyle 1}$-نموذج على${\displaystyle G}$(انظر الشكل ذي القيم في جبر لي ) المعرف بواسطة

${\displaystyle \omega _{G}(X_{g})=(T_{g}L_{g})^{-1}X_{g}}$

للجميع${\displaystyle g\in G}$و${\displaystyle X_{g}\in T_{g}G}$. هنا${\displaystyle L_{g}}$يشير إلى الضرب من اليسار بالعنصر${\displaystyle g\in G}$و${\displaystyle T_{g}L_{g}}$وهو مشتقها في${\displaystyle g}$.

يترك${\displaystyle f:M\to G}$لتكن دالة سلسة بين مشعب سلس${\displaystyle M}$و${\displaystyle G}$ثم مشتق داربو من${\displaystyle f}$هل هو سلس${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-valued${\displaystyle 1}$-استمارة

${\displaystyle \omega _{f}:=f^{*}\omega _{G},}$

تراجع​​${\displaystyle \omega _{G}}$بواسطة${\displaystyle f}$الخريطة${\displaystyle f}$يُطلق عليه اسم التكامل أو العنصر الأولي لـ${\displaystyle \omega _{f}}$.

السبب الذي قد يدفع المرء إلى اعتبار مشتقة داربو تعميمًا أكثر طبيعية لمشتقة حساب التفاضل والتكامل ذي المتغير الواحد هو التالي. في حساب التفاضل والتكامل ذي المتغير الواحد، تكون المشتقة${\displaystyle f'}$دالة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$يُسند لكل نقطة في المجال رقمًا واحدًا. وفقًا لمفهوم المشتقات الأكثر عمومية، يُسند المشتق لكل نقطة في المجال تحويلًا خطيًا من الفضاء المماسي عند نقطة المجال إلى الفضاء المماسي عند نقطة الصورة. يُلخص هذا المشتق عنصرين من البيانات: صورة نقطة المجال والتحويل الخطي. في حساب التفاضل والتكامل ذي المتغير الواحد، نتجاهل بعض المعلومات، ونحتفظ فقط بالتحويل الخطي، في صورة عامل ضرب قياسي (أي عدد).

إحدى طرق تبرير هذا الاتفاق المتمثل في الاحتفاظ فقط بجانب الخريطة الخطية للمشتقة هي اللجوء إلى بنية زمرة لي (البسيطة للغاية) لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$في عملية الجمع، يمكن تبسيط الحزمة المماسية لأي زمرة لي عن طريق الضرب من اليسار (أو اليمين). هذا يعني أن كل فضاء مماس في${\displaystyle \mathbb {R} }$يمكن تحديدها مع الفضاء المماسي عند نقطة الهوية،${\displaystyle 0}$، وهو جبر لي لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$في هذه الحالة، يكون الضرب من اليسار واليمين مجرد إزاحة. من خلال تركيب مشتقة من نوع المتشعب مع تبسيط الفضاء المماسي، نحصل لكل نقطة في المجال على خريطة خطية من الفضاء المماسي عند نقطة المجال إلى جبر لي لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$. بالرموز، لكل${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ننظر إلى الخريطة

${\displaystyle v\in T_{x}\mathbb {R} \mapsto (T_{f(x)}L_{f(x)})^{-1}\circ (T_{x}f)v\in T_{0}\mathbb {R} .}$

بما أن الفضاءات المماسية المعنية أحادية البعد، فإن هذا التحويل الخطي هو مجرد ضرب في عدد قياسي. (يمكن أن يتغير هذا العدد القياسي اعتمادًا على الأساس الذي نستخدمه للفضاءات المتجهة، ولكن حقل متجه الوحدة الكنسي هو حقل متجه الوحدة الكنسي).${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$على${\displaystyle \mathbb {R} }$يُعطي هذا اختيارًا معياريًا للأساس، وبالتالي اختيارًا معياريًا للكمية القياسية. هذه الكمية القياسية هي ما نرمز إليه عادةً بـ${\displaystyle f'(x)}$.

إذا كان المشعب${\displaystyle M}$متصل، و${\displaystyle f,g:M\to G}$كلاهما من العناصر الأولية لـ${\displaystyle \omega _{f}}$، أي${\displaystyle \omega _{f}=\omega _{g}}$إذن يوجد ثابت ما${\displaystyle C\in G}$بحيث

${\displaystyle f(x)=C\cdot g(x)}$للجميع${\displaystyle x\in M}$.

هذا الثابت${\displaystyle C}$وهو بالطبع نظير الثابت الذي يظهر عند إجراء التكامل غير المحدد .

المعادلة الهيكلية لشكل ماورر-كارتان هي:

${\displaystyle d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]=0.}$

هذا يعني أنه بالنسبة لجميع حقول المتجهات${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$على${\displaystyle G}$وكل شيء${\displaystyle x\in G}$لدينا

${\displaystyle (d\omega )_{x}(X_{x},Y_{x})+[\omega _{x}(X_{x}),\omega _{x}(Y_{x})]=0.}$

لأي قيمة جبر لي${\displaystyle 1}$-شكل على أي مشعب أملس، جميع الحدود في هذه المعادلة منطقية، لذلك بالنسبة لأي شكل من هذا القبيل يمكننا أن نسأل ما إذا كان يحقق هذه المعادلة الهيكلية أم لا.

تتضمن النظرية الأساسية المعتادة لحساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد التعميم المحلي التالي.

إذا كان${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-valued${\displaystyle 1}$-استمارة${\displaystyle \omega }$على${\displaystyle M}$إذا حقق المعادلة الهيكلية، فإن كل نقطة${\displaystyle p\in M}$حي مفتوح${\displaystyle U}$وخريطة سلسة${\displaystyle f:U\to G}$بحيث

${\displaystyle \omega _{f}=\omega |_{U},}$

أي${\displaystyle \omega }$يحتوي على عنصر أولي مُعرَّف في جوار كل نقطة من${\displaystyle M}$.

من أجل تعميم عالمي للنظرية الأساسية، يحتاج المرء إلى دراسة مسائل معينة تتعلق بالتحول الأحادي في${\displaystyle M}$و${\displaystyle G}$.

• تعميمات المشتقة – البناء الأساسي لحساب التفاضل والتكامل 
• المشتقة اللوغاريتمية – عملية رياضية في حساب التفاضل والتكامل 
• صيغة ماورر-كارتان – مفهوم رياضي 

• آر دبليو شارب (1996). الهندسة التفاضلية: تعميم كارتان لبرنامج إرلانجن كلاين . سبرينغر-فيرلاغ، برلين. رقم ISBN 0-387-94732-9.
• شلومو ستيرنبرغ (1964). "الفصل الخامس، زمر لي. القسم 2، الأشكال الثابتة وجبر لي". محاضرات في الهندسة التفاضلية . برنتيس هول. OCLC 529176 .