مجموعة الكذب

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( يونيو 2023 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

مجموعات الكذب وجبر الكذب
المجموعات الكلاسيكية الخطية العامة GL( n ) خطية خاصة SL( n ) متعامد O( n ) متعامد خاص SO( n ) وحدة U( n ) وحدة خاصة SU( n ) سمبلكتيك سب( ن )
مجموعات الكذب البسيطة كلاسيكي أ ن ب ن ج ن د ن استثنائي ج 2 ف 4 هـ 6 هـ 7 هـ 8
مجموعات الكذب الأخرى دائرة لورنتز بوانكاريه مجموعة مطابقة التماثل التفاضلي حلقة إقليدي
جبر الكذب مجموعة لي - جبر لي خريطة أسيّة التمثيل المساعد شكل القتل فِهرِس جبر الكذب البسيط الجبر الحلقي جبر الكذب الأفيني
جبر لاي شبه البسيط مخططات دينكين جبر كارتان الفرعي نظام الجذر مجموعة ويل الشكل الحقيقي التعقيد جبر الكذب المنقسم جبر الكذب المدمج
نظرية التمثيل تمثيل المجموعة الكاذبة تمثيل الجبر الكاذب Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

Algebraic structure → Group theory Group theory
Basic notions Subgroup Normal subgroup Group action Quotient group (Semi-)direct product Direct sum Free product Wreath product Group homomorphisms kernel image simple finite infinite continuous multiplicative additive cyclic abelian dihedral nilpotent solvable Glossary of group theory List of group theory topics
Finite groups Cyclic group Zn Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

في الرياضيات ، مجموعة لي (تنطق / ليː / لي ) هي مجموعة تكون أيضًا متعدد شعب قابل للاشتقاق ، بحيث يكون ضرب المجموعة وأخذ المعكوس قابلين للاشتقاق .

المتنوع هو مساحة تشبه محليًا الفضاء الإقليدي ، في حين تحدد المجموعات المفهوم المجرد للعملية الثنائية جنبًا إلى جنب مع الخصائص الإضافية التي يجب أن تكون عليها ليتم التفكير فيها على أنها "تحويل" بالمعنى المجرد، على سبيل المثال الضرب وأخذ المعكوسات (القسمة ) ، أو على نحو مكافئ، مفهوم الجمع وأخذ المعكوسات (الطرح). من خلال الجمع بين هاتين الفكرتين، نحصل على مجموعة متصلة حيث يكون ضرب النقاط ومعكوساتها متصلًا. إذا كان ضرب المعكوسات وأخذها سلسًا (قابل للاشتقاق) أيضًا، نحصل على مجموعة لي.

توفر مجموعات لي نموذجًا طبيعيًا لمفهوم التناظر المستمر ، ومن الأمثلة الشهيرة على ذلك مجموعة الدائرة . يُعد تدوير الدائرة مثالاً على التناظر المستمر. لأي دوران للدائرة، يوجد نفس التناظر، ^[1] وتسلسل مثل هذه الدورات يجعلها في مجموعة الدائرة، وهو مثال نموذجي لمجموعة لي. تُستخدم مجموعات لي على نطاق واسع في العديد من أجزاء الرياضيات والفيزياء الحديثة .

تم العثور على مجموعات لي لأول مرة من خلال دراسة مجموعات المصفوفات الفرعية الموجودة في أو ، مجموعات المصفوفات القابلة للعكس على أو . تسمى الآن المجموعات الكلاسيكية ، حيث تم توسيع المفهوم إلى ما هو أبعد من هذه الأصول. سميت مجموعات لي على اسم عالم الرياضيات النرويجي سوفوس لي (1842-1899) ، الذي وضع أسس نظرية مجموعات التحويل المستمر . كان الدافع الأصلي للي لتقديم مجموعات لي هو نمذجة التناظرات المستمرة للمعادلات التفاضلية ، بنفس الطريقة التي تُستخدم بها المجموعات المحدودة في نظرية جالوا لنمذجة التناظرات المنفصلة للمعادلات الجبرية . ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

اعتبر سوفوس لي أن شتاء 1873-1874 هو تاريخ ميلاد نظريته في المجموعات المتصلة. ^[2] ومع ذلك، يقترح توماس هوكينز أن "نشاط لي البحثي الهائل خلال الفترة الممتدة لأربع سنوات من خريف عام 1869 إلى خريف عام 1873" هو الذي أدى إلى إنشاء النظرية. ^[2] تم تطوير بعض أفكار لي المبكرة بالتعاون الوثيق مع فيليكس كلاين . التقى لي مع كلاين كل يوم من أكتوبر 1869 إلى 1872: في برلين من نهاية أكتوبر 1869 إلى نهاية فبراير 1870، وفي باريس وغوتنغن وإرلانجن في العامين التاليين. ^[3] ذكر لي أن جميع النتائج الرئيسية تم الحصول عليها بحلول عام 1884. ولكن خلال سبعينيات القرن التاسع عشر، نُشرت جميع أوراقه (باستثناء الملاحظة الأولى) في المجلات النرويجية، مما أعاق الاعتراف بالعمل في بقية أنحاء أوروبا. ^[4] في عام 1884، جاء عالم رياضيات ألماني شاب، فريدريك إنجل ، للعمل مع لي على أطروحة منهجية لكشف نظريته عن المجموعات المتصلة. ومن هذا الجهد نتج عن كتاب Theorie der Transformationsgruppen المكون من ثلاثة مجلدات ، والذي نُشر في أعوام 1888 و1890 و1893. ظهر مصطلح groupes de Lie لأول مرة باللغة الفرنسية في عام 1893 في أطروحة تلميذ لي آرثر تريس. ^[5]

لم تكن أفكار لي معزولة عن بقية الرياضيات. في الواقع، كان اهتمامه بهندسة المعادلات التفاضلية مدفوعًا أولاً بعمل كارل جوستاف جاكوبي ، حول نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الأولى ومعادلات الميكانيكا الكلاسيكية . نُشر الكثير من أعمال جاكوبي بعد وفاته في ستينيات القرن التاسع عشر، مما أثار اهتمامًا هائلاً في فرنسا وألمانيا. ^{[6] كانت} فكرة لي الثابتة هي تطوير نظرية لتناظرات المعادلات التفاضلية التي من شأنها أن تحقق لهم ما فعله إيفاريست جالوا للمعادلات الجبرية: أي تصنيفها من حيث نظرية المجموعة. أظهر لي وعلماء رياضيات آخرون أن المعادلات الأكثر أهمية للوظائف الخاصة ومتعددات الحدود المتعامدة تميل إلى الظهور من التناظرات النظرية للمجموعة. في أعمال لي المبكرة، كانت الفكرة هي بناء نظرية للمجموعات المستمرة ، لاستكمال نظرية المجموعات المنفصلة التي تطورت في نظرية الأشكال المعيارية ، على يد فيليكس كلاين وهنري بوانكاريه . كان التطبيق الأولي الذي كان في ذهن لي هو نظرية المعادلات التفاضلية . على نموذج نظرية جالوا والمعادلات متعددة الحدود ، كان المفهوم الدافع هو نظرية قادرة على توحيد مجال المعادلات التفاضلية العادية بالكامل من خلال دراسة التناظر . ومع ذلك، لم يتحقق الأمل في أن توحد نظرية لي مجال المعادلات التفاضلية العادية بالكامل. لا تزال طرق التناظر للمعادلات التفاضلية العادية قيد الدراسة، لكنها لا تهيمن على الموضوع. هناك نظرية جالوا التفاضلية ، ولكن تم تطويرها من قبل آخرين، مثل بيكارد وفيسيوت، وهي توفر نظرية للتربيعات ، والتكاملات غير المحددة المطلوبة للتعبير عن الحلول.

كان الدافع الإضافي للنظر في المجموعات المتصلة نابعًا من أفكار برنهارد ريمان ، حول أسس الهندسة، وتطورها الإضافي على يد كلاين. وبالتالي، جمع لي بين ثلاثة موضوعات رئيسية في الرياضيات في القرن التاسع عشر في إنشاء نظريته الجديدة:

• فكرة التناظر، كما تجسدت في جالوا من خلال المفهوم الجبري للمجموعة ؛
• النظرية الهندسية والحلول الصريحة للمعادلات التفاضلية في الميكانيكا، التي وضعها بواسون وجاكوبي؛
• الفهم الجديد للهندسة الذي ظهر في أعمال بلوكر ، وموبيوس ، وجراسمان ، وغيرهم، وبلغ ذروته في رؤية ريمان الثورية للموضوع.

على الرغم من الاعتراف بحق بصوفيوس لي اليوم باعتباره مبتكر نظرية المجموعات المستمرة، إلا أن فيلهلم كيلينج حقق خطوة كبيرة في تطوير نظرية البنية الخاصة به، والتي كان لها تأثير عميق على التطور اللاحق للرياضيات، حيث نشر في عام 1888 أول ورقة في سلسلة بعنوان Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen ( تكوين مجموعات التحويلات المحدودة المستمرة ). ^[7] أدى عمل كيلينج، الذي صقله وعممه لاحقًا إيلي كارتان ، إلى تصنيف جبر لي شبه البسيط ، ونظرية كارتان للمساحات المتماثلة ، ووصف هيرمان ويل لتمثيلات مجموعات لي المدمجة وشبه البسيطة باستخدام أعلى الأوزان .

في عام 1900، تحدى ديفيد هيلبرت أصحاب نظرية لي بمشكلته الخامسة التي قدمها في المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات في باريس.

لقد نجح ويل في تحقيق الفترة المبكرة من تطوير نظرية مجموعات لي، فلم يقم فقط بتصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال لمجموعات لي شبه البسيطة وربط نظرية المجموعات بميكانيكا الكم، بل وضع نظرية لي نفسها على أساس أكثر ثباتًا من خلال توضيح التمييز بين مجموعات لي اللانهائية في الصغر (أي جبر لي) ومجموعات لي الحقيقية، وبدأ تحقيقات في طوبولوجيا مجموعات لي. ^[8] تمت إعادة صياغة نظرية مجموعات لي بشكل منهجي باللغة الرياضية الحديثة في دراسة أحادية من تأليف كلود شيفالي .

مجموعات لي هي متشعبات قابلة للتفاضل السلس وبالتالي يمكن دراستها باستخدام حساب التفاضل ، على النقيض من حالة المجموعات الطوبولوجية الأكثر عمومية . إحدى الأفكار الرئيسية في نظرية مجموعات لي هي استبدال الكائن العالمي ، المجموعة، بنسختها المحلية أو الخطية، والتي أطلق عليها لي نفسه "المجموعة اللانهائية في الصغر" والتي أصبحت تُعرف منذ ذلك الحين باسم جبر لي .

تلعب مجموعات لي دورًا هائلاً في الهندسة الحديثة ، على عدة مستويات مختلفة. زعم فيليكس كلاين في برنامج إرلانجن أنه يمكن للمرء أن يأخذ في الاعتبار "الهندسات" المختلفة من خلال تحديد مجموعة تحويل مناسبة تترك خصائص هندسية معينة ثابتة . وبالتالي فإن الهندسة الإقليدية تتوافق مع اختيار المجموعة E (3) للتحويلات المحافظة على المسافة للفضاء الإقليدي ، وتتوافق الهندسة المطابقة مع تكبير المجموعة إلى المجموعة المطابقة ، بينما في الهندسة الإسقاطية يهتم المرء بالخصائص الثابتة تحت المجموعة الإسقاطية . أدت هذه الفكرة لاحقًا إلى مفهوم بنية G ، حيث G هي مجموعة لي من التناظرات "المحلية" لمتعدد الشعب. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

تلعب مجموعات لي (وجبر لي المرتبط بها) دورًا رئيسيًا في الفيزياء الحديثة، حيث تلعب مجموعة لي عادةً دور تناسق النظام الفيزيائي. هنا، تكون تمثيلات مجموعة لي (أو جبر لي الخاص بها ) مهمة بشكل خاص. تُستخدم نظرية التمثيل على نطاق واسع في فيزياء الجسيمات . تشمل المجموعات التي تكون تمثيلاتها ذات أهمية خاصة مجموعة الدوران SO(3) (أو غلافها المزدوج SU(2) ) والمجموعة الوحدوية الخاصة SU(3) ومجموعة بوانكاريه .

على المستوى "العالمي"، كلما عملت مجموعة لي على جسم هندسي، مثل متعدد الشعب الريماني أو متعدد الشعب السمبليكتيكي ، فإن هذا الفعل يوفر مقياسًا للصلابة ويؤدي إلى بنية جبرية غنية. إن وجود تناظرات مستمرة يتم التعبير عنها من خلال فعل مجموعة لي على متعدد الشعب يفرض قيودًا قوية على هندسته ويسهل التحليل على متعدد الشعب. تعتبر الأفعال الخطية لمجموعات لي مهمة بشكل خاص، ويتم دراستها في نظرية التمثيل .

في الأربعينيات والخمسينيات من القرن العشرين، أدرك إليس كولشين وأرماند بوريل وكلود شيفالي أن العديد من النتائج الأساسية المتعلقة بمجموعات لي يمكن تطويرها جبريًا بالكامل، مما أدى إلى ظهور نظرية المجموعات الجبرية المحددة على حقل تعسفي . فتحت هذه البصيرة إمكانيات جديدة في الجبر الخالص، من خلال توفير بناء موحد لمعظم المجموعات البسيطة المحدودة ، وكذلك في الهندسة الجبرية . تتعامل نظرية الأشكال التلقائية ، وهي فرع مهم من نظرية الأعداد الحديثة ، على نطاق واسع مع نظائر مجموعات لي على حلقات أديل ؛ تلعب مجموعات لي p -adic دورًا مهمًا، من خلال اتصالاتها بتمثيلات جالوا في نظرية الأعداد.

مجموعة لي الحقيقية هي مجموعة تكون أيضًا متعدد شعب حقيقي سلس ذي أبعاد محدودة ، حيث تكون عمليات المجموعة للضرب والعكس عبارة عن خرائط سلسة . نعومة ضرب المجموعة

${\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}$

يعني أن μ عبارة عن تعيين سلس لمتعدد الشعب الناتج G × G في G. يمكن دمج المتطلبين في المتطلب الفردي الذي ينص على أن التعيين

${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}$

كن عبارة عن تعيين سلس لمتعدد المنتجات في G.

• تشكل المصفوفات القابلة للعكس الحقيقية 2×2 مجموعة تحت الضرب، تسمى المجموعة الخطية العامة من الدرجة 2 ويشار إليها بـ أو بواسطة :${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$

هذه مجموعة لاي حقيقية غير مضغوطة رباعية الأبعاد ؛ وهي مجموعة فرعية مفتوحة من . هذه المجموعة غير متصلة ؛ فهي تحتوي على مكونين متصلين يتوافقان مع القيم الموجبة والسلبية للمحدد .${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• تشكل مصفوفات الدوران مجموعة فرعية من ، يشار إليها بـ . إنها مجموعة لي في حد ذاتها: على وجه التحديد، مجموعة لي مدمجة متصلة أحادية البعد والتي تختلف عن الدائرة . باستخدام زاوية الدوران كمعامل، يمكن تحديد معلمة هذه المجموعة على النحو التالي:${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \right\}.}$

إن جمع الزوايا يتوافق مع ضرب عناصر ، وأخذ الزاوية المقابلة يتوافق مع الانعكاس. وبالتالي فإن كل من الضرب والانعكاس عبارة عن خرائط قابلة للاشتقاق.${\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )}$

• المجموعة الأفينية ذات البعد الواحد هي مجموعة لي لمصفوفة ثنائية الأبعاد، تتكون من مصفوفات مثلثية علوية حقيقية، حيث يكون المدخل القطري الأول موجبًا والمدخل القطري الثاني يساوي 1. وبالتالي، تتكون المجموعة من مصفوفات من الشكل${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$

نقدم الآن مثالاً لمجموعة بها عدد لا يحصى من العناصر التي لا تعتبر مجموعة لي تحت طوبولوجيا معينة. المجموعة المعطاة بواسطة

${\displaystyle H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

مع عدد غير نسبي ثابت ، هي مجموعة فرعية من الطارة التي ليست مجموعة لي عندما تعطى طوبولوجيا الفضاء الجزئي . ^[9] إذا أخذنا أي جوار صغير لنقطة في ، على سبيل المثال، فإن جزء في غير متصل. تلتف المجموعة بشكل متكرر حول الطارة دون أن تصل أبدًا إلى نقطة سابقة من اللولب وبالتالي تشكل مجموعة فرعية كثيفة من . ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$

ومع ذلك، يمكن إعطاء المجموعة طوبولوجيا مختلفة، حيث يتم تعريف المسافة بين نقطتين على أنها طول أقصر مسار في المجموعة المنضمة إلى . في هذه الطوبولوجيا، يتم تحديدها بشكل متماثل مع الخط الحقيقي من خلال تحديد كل عنصر بالرقم الموجود في تعريف . مع هذه الطوبولوجيا، هي مجرد مجموعة من الأعداد الحقيقية تحت الجمع وبالتالي فهي مجموعة لي. ${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

المجموعة هي مثال على "مجموعة فرعية من مجموعة لي" غير مغلقة. راجع المناقشة أدناه حول مجموعات لي الفرعية في القسم الخاص بالمفاهيم الأساسية. ${\displaystyle H}$

دعونا نشير إلى مجموعة المصفوفات القابلة للعكس ذات الإدخالات في . أي مجموعة فرعية مغلقة من هي مجموعة لي؛ ^[10] تسمى مجموعات لي من هذا النوع مجموعات لي المصفوفة. نظرًا لأن معظم الأمثلة المثيرة للاهتمام لمجموعات لي يمكن إدراكها كمجموعات لي المصفوفة، فإن بعض الكتب المدرسية تقيد الانتباه إلى هذه الفئة، بما في ذلك كتب هول، ^[11] وروسمان، ^[12] وستيلويل. ^[13] يؤدي تقييد الانتباه إلى مجموعات لي المصفوفة إلى تبسيط تعريف جبر لي والخريطة الأسية. فيما يلي أمثلة قياسية لمجموعات لي المصفوفة. ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$

• المجموعات الخطية الخاصة على و ، و ، تتكون من مصفوفات ذات محدد واحد وإدخالات في أو${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• المجموعات الوحدوية والمجموعات الوحدوية الخاصة، و ، تتكون من مصفوفات معقدة تلبي (وأيضًا في حالة )${\displaystyle U(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SU(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$${\displaystyle \det(U)=1}$${\displaystyle SU(n)}$
• المجموعات المتعامدة والمجموعات المتعامدة الخاصة، و ، تتكون من مصفوفات حقيقية تلبي (وأيضًا في حالة )${\displaystyle O(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$${\displaystyle \det(R)=1}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {R} )}$

كل الأمثلة السابقة تندرج تحت عنوان المجموعات الكلاسيكية .

يتم تعريف مجموعة لي المعقدة بنفس الطريقة باستخدام متعددات الشعب المعقدة بدلاً من متعددات الشعب الحقيقية (مثال: )، والخرائط المجسمة. وبالمثل، باستخدام إكمال مقياسي بديل لـ ، يمكن للمرء تعريف مجموعة لي p -adic على الأرقام p -adic ، وهي مجموعة طوبولوجية هي أيضًا متعدد شعب p -adic تحليلي، بحيث تكون عمليات المجموعة تحليلية. على وجه الخصوص، كل نقطة لها جوار p -adic.${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

تساءلت مشكلة هيلبرت الخامسة عما إذا كان استبدال المتشعبات القابلة للاشتقاق بمتشعبات طوبولوجية أو تحليلية يمكن أن ينتج أمثلة جديدة. اتضح أن إجابة هذا السؤال سلبية: في عام 1952، أظهر جليسون ومونتجومري وزيبين أنه إذا كان G متشعبًا طوبولوجيًا بعمليات مجموعة مستمرة، فهناك بنية تحليلية واحدة بالضبط على G تحوله إلى مجموعة لي (انظر أيضًا تخمين هيلبرت-سميث ). إذا سُمح للمتشعب الأساسي بأن يكون لانهائي الأبعاد (على سبيل المثال، متشعب هيلبرت )، فإننا نصل إلى مفهوم مجموعة لي لانهائي الأبعاد. من الممكن تعريف نظائر للعديد من مجموعات لي على حقول محدودة ، وهذه تعطي معظم أمثلة المجموعات البسيطة المحدودة .

توفر لغة نظرية الفئات تعريفًا موجزًا ​​لمجموعات لي: مجموعة لي هي كائن مجموعة في فئة المتشعبات الملساء. وهذا مهم، لأنه يسمح بتعميم مفهوم مجموعة لي على مجموعات لي الفائقة . تؤدي وجهة النظر التصنيفية هذه أيضًا إلى تعميم مختلف لمجموعات لي، وهي مجموعات لي ، وهي كائنات مجموعات في فئة المتشعبات الملساء مع متطلب آخر.

يمكن تعريف مجموعة لي بأنها مجموعة طوبولوجية ( هاوسدورف ) تبدو، بالقرب من عنصر الهوية، وكأنها مجموعة تحويل، بدون إشارة إلى متشعبات قابلة للتفاضل. ^[14] أولاً، نُعرّف مجموعة لي الخطية الغامرة بأنها مجموعة فرعية G للمجموعة الخطية العامة بحيث ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

1. بالنسبة لبعض الجوار V لعنصر الهوية e في G ، فإن الطوبولوجيا على V هي طوبولوجيا الفضاء الفرعي و V مغلقة في .${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$
2. يحتوي G على عدد لا يحصى من المكونات المتصلة.

(على سبيل المثال، مجموعة فرعية مغلقة من ؛ أي مجموعة لي المصفوفة تلبي الشروط المذكورة أعلاه.) ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

ثم يتم تعريف مجموعة لي كمجموعة طوبولوجية (1) متماثلة محليًا بالقرب من الهويات لمجموعة لي خطية غامرة و (2) تحتوي على عدد لا يحصى من المكونات المتصلة. إن إظهار التعريف الطوبولوجي على أنه مكافئ للتعريف المعتاد هو أمر فني (ويجب على القراء المبتدئين تخطي ما يلي) ولكن يتم ذلك تقريبًا على النحو التالي:

1. بالنظر إلى مجموعة لي G بالمعنى المتعدد المعتاد، فإن تطابق مجموعة لي-جبر لي (أو نسخة من نظرية لي الثالثة ) ينشئ مجموعة فرعية لي مغمورة بحيث تشترك في نفس جبر لي؛ وبالتالي، فهي متماثلة محليًا. وبالتالي، فإن G تلبي التعريف الطوبولوجي أعلاه.${\displaystyle G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle G,G'}$
2. وعلى العكس من ذلك، دع G تكون مجموعة طوبولوجية هي مجموعة لي بالمعنى الطوبولوجي أعلاه واختر مجموعة لي خطية مغمورة متماثلة محليًا مع G. إذن، وفقًا لنسخة من نظرية المجموعة الفرعية المغلقة ، تكون متعدد شعب تحليلي حقيقي ومن ثم، من خلال التماثل المحلي، تكتسب G بنية متعدد شعب بالقرب من عنصر الهوية. ثم يُظهر المرء أن قانون المجموعة على G يمكن إعطاؤه بواسطة متسلسلة قوى رسمية ؛ ^[أ] لذا فإن عمليات المجموعة هي تحليلية حقيقية و G نفسها هي متعدد شعب تحليلي حقيقي.${\displaystyle G'}$${\displaystyle G'}$

يشير التعريف الطوبولوجي إلى العبارة التالية: إذا كانت مجموعتا لي متماثلتين كمجموعتين طوبولوجيتين، فإنهما متماثلتان كمجموعتي لي. في الواقع، ينص هذا التعريف على المبدأ العام القائل بأن طوبولوجيا مجموعة لي إلى حد كبير جنبًا إلى جنب مع قانون المجموعة يحددان هندسة المجموعة.

توجد مجموعات الكذب بكثرة في الرياضيات والفيزياء. مجموعات المصفوفات أو المجموعات الجبرية هي (تقريبًا) مجموعات من المصفوفات (على سبيل المثال، المجموعات المتعامدة والمجموعات السمبلكتيكية )، وهي تقدم معظم الأمثلة الأكثر شيوعًا لمجموعات الكذب.

المجموعات الكاذبة المتصلة الوحيدة ذات البعد واحد هي الخط الحقيقي (حيث تكون عملية المجموعة هي الجمع) ومجموعة الدائرة للأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة واحد (حيث تكون عملية المجموعة هي الضرب). غالبًا ما يشار إلى المجموعة باسم مجموعة المصفوفات الوحدوية. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle 1\times 1}$

في البعدين، إذا قصرنا الاهتمام على المجموعات المتصلة ببساطة، فسيتم تصنيفها حسب جبر لاي الخاص بها. هناك (حتى التماثل) جبر لاي اثنان فقط في البعد الثاني. مجموعات لاي المتصلة ببساطة المرتبطة هي (مع كون عملية المجموعة هي إضافة متجه) والمجموعة الأفينية في البعد الأول، الموصوفة في القسم الفرعي السابق تحت "الأمثلة الأولى". ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• المجموعة SU(2) هي مجموعة المصفوفات الوحدوية ذات المحدد . طوبولوجيًا، هي الكرة ؛ وكمجموعة، يمكن التعرف عليها بمجموعة الرباعيات الوحدوية .${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle S^{3}}$
• مجموعة هايزنبيرج هي مجموعة لاي ذات قدرة صفرية متصلة ذات أبعاد ، تلعب دورًا رئيسيًا في ميكانيكا الكم .${\displaystyle 3}$
• مجموعة لورنتز هي مجموعة لاي سداسية الأبعاد من المتماثلات الخطية في فضاء مينكوفسكي .
• مجموعة بوانكاريه هي مجموعة لاي ذات 10 أبعاد من التماثلات الأفينية لمساحة مينكوفسكي.
• المجموعات الاستثنائية لـ لي من الأنواع G ₂ و F ₄ و E ₆ و E ₇ و E ₈ لها أبعاد 14 و 52 و 78 و 133 و 248. إلى جانب سلسلة ABCD لمجموعات لي البسيطة ، تكمل المجموعات الاستثنائية قائمة مجموعات لي البسيطة.
• تتكون المجموعة السمبلكتيكية من جميع المصفوفات التي تحتفظ بالشكل السمبلكتيكي على . وهي مجموعة لي متصلة ذات بعد .${\displaystyle {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 2n\times 2n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle 2n^{2}+n}$

هناك عدة طرق قياسية لتشكيل مجموعات لاي جديدة من المجموعات القديمة:

• حاصل ضرب مجموعتي لاي هو مجموعة لاي.
• أي مجموعة فرعية مغلقة طوبولوجيًا لمجموعة لي هي مجموعة لي. وهذا ما يُعرف باسم نظرية المجموعة الفرعية المغلقة أو نظرية كارتان .
• حاصل قسمة مجموعة لي على مجموعة فرعية طبيعية مغلقة هو مجموعة لي.
• إن الغطاء الشامل لمجموعة لي المتصلة هو مجموعة لي. على سبيل المثال، المجموعة هي الغطاء الشامل لمجموعة الدائرة . في الواقع، أي غطاء لمتعدد شعب قابل للتفاضل هو أيضًا متعدد شعب قابل للتفاضل، ولكن من خلال تحديد الغطاء الشامل ، نضمن بنية المجموعة (متوافقة مع هياكلها الأخرى).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle S^{1}}$

بعض الأمثلة على المجموعات التي ليست مجموعات لي (باستثناء المعنى البسيط الذي مفاده أن أي مجموعة تحتوي على عدد لا يحصى من العناصر يمكن اعتبارها مجموعة لي ذات بعد صفري، مع الطوبولوجيا المنفصلة ):

• المجموعات ذات الأبعاد اللانهائية، مثل المجموعة المضافة لمساحة متجه حقيقي لا نهائية الأبعاد، أو مساحة الدوال السلسة من متعدد الشعب إلى مجموعة لي ، . هذه ليست مجموعات لي لأنها ليست متعددات شعب ذات أبعاد محدودة .${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C^{\infty }(X,G)}$
• بعض المجموعات المنفصلة تمامًا ، مثل مجموعة جالوا للامتداد اللانهائي للحقول، أو المجموعة المضافة للأعداد p -adic. هذه ليست مجموعات لي لأن المساحات الأساسية الخاصة بها ليست متشعبات حقيقية. (بعض هذه المجموعات هي " مجموعات لي p -adic".) بشكل عام، فقط المجموعات الطوبولوجية التي لها خصائص محلية مماثلة لـ R ⁿ لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة n يمكن أن تكون مجموعات لي (بالطبع يجب أن يكون لها أيضًا بنية قابلة للاشتقاق).

يمكننا ربط كل مجموعة لي بجبر لي الذي تكون مساحة متجهه الأساسية هي مساحة الظل لمجموعة لي عند عنصر الهوية والذي يلتقط تمامًا البنية المحلية للمجموعة. يمكننا بشكل غير رسمي أن نفكر في عناصر جبر لي كعناصر للمجموعة " قريبة بشكل لا نهائي " من الهوية، ويرتبط قوس لي لجبر لي بمبدل عنصرين لا نهائيين في الصغر. قبل إعطاء التعريف المجرد، نعطي بعض الأمثلة:

• جبر لاي لمساحة المتجه R ⁿ هو R ⁿ فقط مع قوس لاي المعطى بواسطة
      [ A ,  B ] = 0.
  (بشكل عام، قوس لاي لمجموعة لاي المتصلة يكون دائمًا 0 إذا وفقط إذا كانت مجموعة لاي أبيلية.)
• جبر لاي للمجموعة الخطية العامة GL( n , C ) للمصفوفات القابلة للعكس هو فضاء المتجه M( n , C ) للمصفوفات المربعة مع قوس لاي المعطى بواسطة
      [ A ,  B ] = AB  −  BA .
• إذا كانت G مجموعة فرعية مغلقة من GL( n , C ) فيمكن اعتبار جبر لي لـ G بشكل غير رسمي كمصفوفات m لـ M( n , C ) بحيث يكون 1 + ε m في G ، حيث ε هو عدد موجب لانهائي في الصغر مع ε ²  = 0 (بالطبع، لا يوجد مثل هذا العدد الحقيقي ε). على سبيل المثال، تتكون المجموعة المتعامدة O( n , R ) من مصفوفات A مع AA ^T  = 1، لذا يتكون جبر لي من المصفوفات m مع (1 + ε m )(1 + ε m ) ^T  = 1، وهو ما يعادل m  +  m ^T  = 0 لأن ε ²  = 0.
• يمكن جعل الوصف السابق أكثر دقة على النحو التالي. يمكن حساب جبر لاي لمجموعة فرعية مغلقة G من GL( n , C ) على النحو التالي

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},}$^{[16] [11]} حيث يتم تعريف exp( tX ) باستخدام مصفوفة الأس الأسي . ومن ثم يمكن إظهار أن جبر لاي لـ G هو فضاء متجه حقيقي مغلق تحت عملية الأقواس، . ^[17]${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

التعريف الملموس المذكور أعلاه لمجموعات المصفوفات سهل التعامل معه، ولكن به بعض المشاكل البسيطة: لاستخدامه، نحتاج أولاً إلى تمثيل مجموعة لاي كمجموعة من المصفوفات، ولكن لا يمكن تمثيل جميع مجموعات لاي بهذه الطريقة، وليس من الواضح حتى أن جبر لاي مستقل عن التمثيل الذي نستخدمه. ^[18] للتغلب على هذه المشاكل، نقدم التعريف العام لجبر لاي لمجموعة لاي (في 4 خطوات):

1. يمكن اعتبار الحقول المتجهة على أي متعدد الشعب السلس M بمثابة اشتقاقات X لحلقة الدوال السلسة على متعدد الشعب، وبالتالي تشكل جبر لاي تحت قوس لاي [ X ،  Y ] =  XY  −  YX ، لأن قوس لاي لأي اشتقاقين هو اشتقاق.
2. إذا كانت G هي أي مجموعة تؤثر بسلاسة على متعدد الشعب M ، فإنها تؤثر على حقول المتجهات، وتكون مساحة المتجهات لحقول المتجهات الثابتة بواسطة المجموعة مغلقة تحت قوس لاي وبالتالي تشكل أيضًا جبر لاي.
3. نطبق هذا البناء على الحالة التي يكون فيها متعدد الشعب M هو الفضاء الأساسي لمجموعة لي  G ، حيث تعمل G على G  =  M عن طريق الترجمات إلى اليسار L _g ( h ) =  gh . يوضح هذا أن فضاء حقول المتجهات الثابتة إلى اليسار (حقول المتجهات التي تلبي L _{g *} X _h =  X _gh لكل h في G ، حيث يشير L _{g *} إلى تفاضل L _g ) على مجموعة لي هو جبر لي تحت قوس لي لحقول المتجهات.
4. يمكن تمديد أي متجه مماس عند متطابقة مجموعة لي إلى حقل متجه ثابت يسارًا عن طريق ترجمة متجه المماس إلى نقاط أخرى من متعدد الشعب. على وجه التحديد، فإن الامتداد الثابت لليسار لعنصر v من فضاء المماس عند المتطابقة هو حقل المتجه المحدد بواسطة v ^ _g  =  L _{g *} v . وهذا يحدد فضاء المماس T _e G عند المتطابقة مع فضاء حقول المتجه الثابت لليسار، وبالتالي يجعل فضاء المماس عند المتطابقة جبر لي، يسمى جبر لي لـ G ، وعادة ما يشار إليه بواسطة Fraktur وبالتالي فإن قوس لي على يُعطى صراحةً بواسطة [ v ,  w ] = [ v ^,  w ^] _e .${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

إن جبر لاي هذا هو منتهٍ الأبعاد وله نفس بُعد متعدد الشعب G. يحدد جبر لاي لـ G قيمة G حتى "التماثل المحلي"، حيث تُسمى مجموعتا لاي متماثلتين محليًا إذا كانتا تبدوان متشابهتين بالقرب من عنصر الهوية. غالبًا ما يتم حل المشكلات المتعلقة بمجموعات لاي عن طريق حل المشكلة المقابلة لجبر لاي أولاً، وعادةً ما تتبع النتيجة للمجموعات بسهولة. على سبيل المثال، يتم تصنيف مجموعات لاي البسيطة عادةً عن طريق تصنيف جبر لاي المقابل أولاً. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

يمكننا أيضًا تعريف بنية جبر لاي على T _e باستخدام حقول متجهات ثابتة لليمين بدلاً من حقول متجهات ثابتة لليسار. يؤدي هذا إلى نفس جبر لاي، لأنه يمكن استخدام الخريطة العكسية على G لتحديد حقول متجهات ثابتة لليسار مع حقول متجهات ثابتة لليمين، وتعمل كـ −1 على الفضاء المماس T _e .

يمكن أيضًا وصف بنية جبر لاي على T _{e على النحو التالي: عملية المبدل}

( x , y ) → xyx ⁻¹ y ⁻¹

على G × G يرسل ( e ,  e ) إلى e ، لذا فإن مشتقه ينتج عملية خطية ثنائية على T _e G. هذه العملية الخطية الثنائية هي في الواقع الخريطة الصفرية، ولكن المشتقة الثانية، تحت التعريف الصحيح للمساحات المماسية، تنتج عملية تلبي بديهيات قوس الكذب ، وهي تساوي ضعف العملية المحددة من خلال حقول المتجهات الثابتة لليسار.

إذا كانت G و H مجموعتي لي، فإن تماثل مجموعة لي f  : G → H هو تماثل سلس للمجموعة . وفي حالة مجموعات لي المعقدة، يلزم أن يكون هذا التماثل عبارة عن خريطة هولومورفية . ومع ذلك، فإن هذه المتطلبات صارمة بعض الشيء؛ فكل تماثل مستمر بين مجموعات لي الحقيقية يتبين أنه تحليلي (حقيقي) . ^{[19] [ب]}

إن تركيب تماثلين من تماثلات لي هو مرة أخرى تماثل، وتشكل فئة جميع مجموعات لي، مع هذه التماثلات، فئة . وعلاوة على ذلك، فإن كل تماثل من تماثلات مجموعة لي يحفز تماثلًا بين جبر لي المقابل. دع يكون تماثل مجموعة لي ودع يكون مشتقها عند المتطابقة. إذا حددنا جبر لي لـ G و H بمساحاتهما المماسية عند عناصر المتطابقة، فعندئذٍ تكون خريطة بين جبر لي المقابل: ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$${\displaystyle \phi _{*}}$${\displaystyle \phi _{*}}$

${\displaystyle \phi _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},}$

الذي يتبين أنه تماثل جبر لي (أي أنه خريطة خطية تحافظ على قوس لي ). في لغة نظرية الفئة ، لدينا بعد ذلك مُترافق متغاير من فئة مجموعات لي إلى فئة جبر لي والتي ترسل مجموعة لي إلى جبر لي الخاص بها وتماثل مجموعة لي إلى مشتقها عند الهوية.

تُسمى مجموعتا لي متماثلتين إذا كان هناك تماثل ثنائي الشكل بينهما يكون معكوسه أيضًا تماثلًا لمجموعة لي. وعلى نحو مكافئ، يكون تماثلًا تفاضليًا وهو أيضًا تماثل مجموعة. لاحظ أنه وفقًا لما سبق، فإن التماثل المستمر من مجموعة لي إلى مجموعة لي يكون تماثلًا لمجموعات لي إذا وفقط إذا كان تماثليًا. ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

تحتوي مجموعات لاي المتماثلة بالضرورة على جبر لاي متماثل؛ ومن المعقول إذن أن نسأل كيف ترتبط فئات التماثل لمجموعات لاي بفئات التماثل لجبر لاي.

النتيجة الأولى في هذا الاتجاه هي نظرية لي الثالثة ، والتي تنص على أن كل جبر لي حقيقي محدود الأبعاد هو جبر لي لبعض مجموعات لي (الخطية). إحدى الطرق لإثبات نظرية لي الثالثة هي استخدام نظرية أدو ، والتي تنص على أن كل جبر لي حقيقي محدود الأبعاد متماثل لجبر لي المصفوفة. وفي الوقت نفسه، لكل جبر لي مصفوفة محدود الأبعاد، توجد مجموعة خطية (مجموعة لي مصفوفة) مع هذا الجبر كجبر لي الخاص بها. ^[20]

من ناحية أخرى، لا يلزم أن تكون مجموعات لاي ذات جبر لاي المتماثل متماثلة الشكل. وعلاوة على ذلك، تظل هذه النتيجة صحيحة حتى إذا افترضنا أن المجموعات متصلة. بعبارة أخرى، لا يتم تحديد البنية العالمية لمجموعة لاي من خلال جبر لاي الخاص بها؛ على سبيل المثال، إذا كانت Z أي مجموعة فرعية منفصلة لمركز G، فإن G و G / Z لهما نفس جبر لاي (انظر جدول مجموعات لاي للحصول على أمثلة). ومن الأمثلة المهمة في الفيزياء المجموعتان SU(2) و SO(3) . تحتوي هاتان المجموعتان على جبر لاي متماثل، ^[21] لكن المجموعات نفسها ليست متماثلة الشكل، لأن SU(2) متصلة ببساطة ولكن SO(3) ليست كذلك. ^[22]

من ناحية أخرى، إذا طلبنا أن تكون مجموعة لي متصلة ببساطة ، فإن البنية العالمية تتحدد من خلال جبر لي الخاص بها: مجموعتا لي متصلتان ببساطة مع جبر لي متماثلان متماثلان. ^[23] (انظر القسم الفرعي التالي لمزيد من المعلومات حول مجموعات لي المتصلة ببساطة.) في ضوء نظرية لي الثالثة، يمكننا القول إذن أنه يوجد تطابق واحد لواحد بين فئات التماثل لجبر لي الحقيقي ذي الأبعاد المحدودة وفئات التماثل لمجموعات لي المتصلة ببساطة.

يقال إن مجموعة لي متصلة ببساطة إذا كان من الممكن تقليص كل حلقة في باستمرار إلى نقطة في . هذه الفكرة مهمة بسبب النتيجة التالية التي لها اتصال بسيط كفرضية: ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

المبرهنة : ^[24] افترض أن و هما مجموعات لي ذات جبر لي و و و أن هذه تماثل جبر لي. إذا كانت متصلة ببساطة، فإن هناك تماثل مجموعة لي فريد بحيث ، حيث هو التفاضل ل عند المتطابقة.${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi :G\rightarrow H}$${\displaystyle \phi _{*}=f}$${\displaystyle \phi _{*}}$${\displaystyle \phi }$

تنص نظرية لي الثالثة على أن كل جبر لي حقيقي ذي بعد محدود هو جبر لي لمجموعة لي. ويترتب على نظرية لي الثالثة والنتيجة السابقة أن كل جبر لي حقيقي ذي بعد محدود هو جبر لي لمجموعة لي فريدة ومتصلة ببساطة.

مثال على المجموعة المتصلة بشكل بسيط هي المجموعة الوحدوية الخاصة SU(2) ، والتي تكون كمتعدد شعب عبارة عن كرة ثلاثية الأبعاد. من ناحية أخرى، فإن مجموعة الدوران SO(3) ليست متصلة بشكل بسيط. (انظر طوبولوجيا SO(3) .) إن فشل SO(3) في أن تكون متصلة بشكل بسيط مرتبط ارتباطًا وثيقًا بالتمييز بين الدوران الصحيح والدوران نصف الصحيح في ميكانيكا الكم. تشمل الأمثلة الأخرى لمجموعات لاي المتصلة بشكل بسيط المجموعة الوحدوية الخاصة SU(n) ، ومجموعة الدوران (الغطاء المزدوج لمجموعة الدوران) Spin(n) لـ ، والمجموعة السمبلكتيكية المدمجة Sp(n) . ^[25]${\displaystyle n\geq 3}$

تتم مناقشة طرق تحديد ما إذا كانت مجموعة لي متصلة ببساطة أم لا في المقالة حول المجموعات الأساسية لمجموعات لي .

يتم تعريف الخريطة الأسية من جبر لاي للمجموعة الخطية العامة إلى بواسطة مصفوفة الأسية ، والتي تعطى بواسطة سلسلة القوى المعتادة: ${\displaystyle \mathrm {M} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$

للمصفوفات . إذا كانت مجموعة فرعية مغلقة من ، فإن الخريطة الأسية تأخذ جبر لاي إلى ؛ وبالتالي، لدينا خريطة أسية لجميع مجموعات المصفوفات. كل عنصر من تلك العناصر قريب بدرجة كافية من المتطابقة هو أسي لمصفوفة في جبر لاي. ^[26]${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

التعريف أعلاه سهل الاستخدام، لكنه غير محدد لمجموعات لي التي ليست مجموعات مصفوفة، وليس من الواضح أن الخريطة الأسية لمجموعة لي لا تعتمد على تمثيلها كمجموعة مصفوفة. يمكننا حل كلتا المشكلتين باستخدام تعريف أكثر تجريدًا للخريطة الأسية التي تعمل لجميع مجموعات لي، على النحو التالي.

لكل متجه في جبر لاي ( أي الفضاء المماس لـ عند المتطابقة)، نثبت أن هناك مجموعة فرعية فريدة ذات معامل واحد بحيث . إن القول بأن مجموعة فرعية ذات معامل واحد يعني ببساطة أن هذه خريطة سلسة إلى وأن ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \rightarrow G}$${\displaystyle c'(0)=X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)\ }$

بالنسبة لجميع و . العملية على الجانب الأيمن هي ضرب المجموعة في . يبرر التشابه الرسمي لهذه الصيغة مع الصيغة الصالحة للدالة الأسية التعريف ${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp(X)=c(1).\ }$

يُطلق على هذا اسم الخريطة الأسية ، وهي ترسم جبر لاي في مجموعة لاي . وهي توفر تماثلًا تفاضليًا بين جوار 0 في وجوار في . هذه الخريطة الأسية هي تعميم للدالة الأسية للأعداد الحقيقية (لأنه جبر لاي لمجموعة لاي للأعداد الحقيقية الموجبة مع الضرب)، وللأعداد المركبة (لأنه جبر لاي لمجموعة لاي للأعداد المركبة غير الصفرية مع الضرب) وللمصفوفات ( لأنه مع المُبادل المنتظم هو جبر لاي لمجموعة لاي لجميع المصفوفات القابلة للعكس). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

نظرًا لأن الخريطة الأسية هي شمولية لبعض جوار ، فمن الشائع تسمية عناصر جبر لاي بالمولدات اللانهائية في الصغر للمجموعة . المجموعة الفرعية لـ التي تم إنشاؤها بواسطة هي مكون الهوية لـ . ${\displaystyle N}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

تحدد الخريطة الأسية وجبر لاي بنية المجموعة المحلية لكل مجموعة لاي متصلة، وذلك بسبب صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف : يوجد جوار للعنصر الصفري لـ ، بحيث يكون لدينا ${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle X,Y\in U}$

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),}$

حيث تكون المصطلحات المحذوفة معروفة وتتضمن أقواسًا كاذبة مكونة من أربعة عناصر أو أكثر. في حالة التبديل ، يتم تقليص هذه الصيغة إلى القانون الأسي المألوف${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)}$

تربط الخريطة الأسية بين تماثلات مجموعة لي. أي إذا كانت هناك تماثلات مجموعة لي والخريطة المستحثة على جبر لي المقابل، فعندئذٍ لكل ما لدينا ${\displaystyle \phi :G\to H}$${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).\,}$

بعبارة أخرى، الرسم التخطيطي التالي يتنقل ، ^[27]

(باختصار، exp هو تحويل طبيعي من المتجه Lie إلى المتجه المتطابق في فئة مجموعات Lie.)

الخريطة الأسيّة من جبر لي إلى مجموعة لي ليست دائمًا على ، حتى لو كانت المجموعة متصلة (على الرغم من أنها تُرسم على مجموعة لي للمجموعات المتصلة التي تكون مضغوطة أو غير قادرة على إحداث أي تأثير). على سبيل المثال، الخريطة الأسيّة لـ SL(2, R ) ليست شاملة. أيضًا، الخريطة الأسيّة ليست شاملة ولا حقنية لمجموعات لي ذات الأبعاد اللانهائية (انظر أدناه) المصممة على أساس فضاء فريشيه C ^∞ ، حتى من جوار صغير تعسفي من 0 إلى جوار مماثل من 1.

مجموعة لي الفرعية لمجموعة لي هي مجموعة لي هي مجموعة فرعية من و بحيث تكون خريطة التضمين من إلى عبارة عن غمر حقني وتجانس المجموعة . وفقًا لنظرية كارتان ، فإن المجموعة الفرعية المغلقة من تسمح ببنية سلسة فريدة تجعلها مجموعة لي فرعية مدمجة من —أي مجموعة لي فرعية بحيث تكون خريطة التضمين عبارة عن تضمين سلس. ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

أمثلة المجموعات الفرعية غير المغلقة كثيرة؛ على سبيل المثال، خذ to تكون حلقة ذات بعد 2 أو أكبر، وليكن مجموعة فرعية ذات معامل واحد ومنحدر غير نسبي ، أي مجموعة متعرجة في G . ثم هناك تماثل مجموعة لاي مع . سيكون إغلاق حلقة فرعية في . ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to G}$${\displaystyle \mathrm {im} (\varphi )=H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

تعطي الخريطة الأسية تطابقًا واحدًا لواحد بين مجموعات لاي الفرعية المتصلة لمجموعة لاي المتصلة والجبر الفرعي لجبر لاي لـ . ^[28] عادةً، لا تكون المجموعة الفرعية المقابلة للجبر الفرعي مجموعة فرعية مغلقة. لا يوجد معيار يعتمد فقط على هيكل يحدد الجبر الفرعي الذي يتوافق مع المجموعات الفرعية المغلقة. ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

أحد الجوانب المهمة لدراسة مجموعات لي هو تمثيلاتها، أي الطريقة التي يمكن أن تعمل بها (خطيًا) على فضاءات المتجهات. في الفيزياء، غالبًا ما تشفر مجموعات لي تناظرات النظام الفيزيائي. الطريقة التي يستخدم بها المرء هذا التناظر للمساعدة في تحليل النظام غالبًا ما تكون من خلال نظرية التمثيل. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن في ميكانيكا الكم، . افترض أن النظام المعني له مجموعة الدوران SO(3) كتناظر، مما يعني أن عامل هاملتون يتنقل مع عمل SO(3) على دالة الموجة . (أحد الأمثلة المهمة لمثل هذا النظام هو ذرة الهيدروجين ، التي لها مدار كروي واحد.) لا يعني هذا الافتراض بالضرورة أن الحلول هي وظائف ثابتة دورانيًا. بل يعني أن مساحة الحلول لـ ثابتة تحت الدورات (لكل قيمة ثابتة لـ ). وبالتالي، تشكل هذه المساحة تمثيلًا لـ SO(3). لقد تم تصنيف هذه التمثيلات ، ويؤدي التصنيف إلى تبسيط كبير للمشكلة ، وذلك بتحويل معادلة تفاضلية جزئية ثلاثية الأبعاد إلى معادلة تفاضلية عادية أحادية البعد. ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$${\displaystyle E}$

حالة مجموعة لي المدمجة المتصلة K (بما في ذلك الحالة المذكورة للتو SO(3)) قابلة للحل بشكل خاص. ^[29] في هذه الحالة، يتحلل كل تمثيل ذي أبعاد محدودة لـ K كمجموع مباشر للتمثيلات غير القابلة للاختزال. تم تصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال بدورها بواسطة هيرمان ويل . التصنيف من حيث "أعلى وزن" للتمثيل. يرتبط التصنيف ارتباطًا وثيقًا بتصنيف تمثيلات جبر لي شبه البسيط .

يمكننا أيضًا دراسة التمثيلات الوحدوية (بشكل عام لا نهائي الأبعاد) لمجموعة لي عشوائية (ليست بالضرورة مضغوطة). على سبيل المثال، من الممكن تقديم وصف صريح وبسيط نسبيًا لتمثيلات المجموعة SL(2,R) وتمثيلات مجموعة بوانكاريه .

يمكن اعتبار مجموعات لي بمثابة عائلات متباينة بسلاسة من التناظرات. ومن أمثلة التناظرات الدوران حول محور. وما يجب فهمه هو طبيعة التحويلات "الصغيرة"، على سبيل المثال، الدوران عبر زوايا صغيرة، التي تربط بين التحويلات القريبة. ويسمى الكائن الرياضي الذي يلتقط هذا الهيكل جبر لي ( أطلق عليه لي نفسه "مجموعات متناهية الصغر"). ويمكن تعريفه لأن مجموعات لي عبارة عن متشعبات سلسة، وبالتالي لها مساحات مماسية عند كل نقطة.

يمكن تحليل جبر لاي لأي مجموعة لاي مضغوطة (تقريبًا: مجموعة تشكل فيها التناظرات مجموعة محدودة) كمجموع مباشر لجبر لاي الإبلي وعدد من الجبر البسيط . إن بنية جبر لاي الإبلي غير مثيرة للاهتمام رياضيًا (نظرًا لأن قوس لاي يساوي صفرًا على نحو متطابق)؛ والاهتمام ينصب على المجاميع البسيطة. ومن هنا يأتي السؤال: ما هي جبر لاي البسيط للمجموعات المضغوطة؟ اتضح أنها تنقسم في الغالب إلى أربع عائلات لا نهائية، وهي "جبر لاي الكلاسيكي" A _n و B _n و C _n و D _n ، والتي لها أوصاف بسيطة من حيث تناظرات الفضاء الإقليدي. ولكن هناك أيضًا خمسة "جبر لاي استثنائي" فقط لا تندرج تحت أي من هذه العائلات. E ₈ هو الأكبر من بينها.

يتم تصنيف مجموعات الكذب وفقًا لخصائصها الجبرية ( بسيطة ، شبه بسيطة ، قابلة للحل ، غير قابلة للحل ، أبيلية )، وترابطها ( متصلة أو متصلة ببساطة ) واكتنازها .

النتيجة الرئيسية الأولى هي تحلل ليفي ، الذي ينص على أن كل مجموعة لي متصلة ببساطة هي حاصل ضرب شبه مباشر لمجموعة فرعية طبيعية قابلة للحل ومجموعة فرعية شبه بسيطة.

• جميع مجموعات لي المدمجة المتصلة معروفة: فهي حاصل قسمة مركزية منتهية لحاصل نسخ من مجموعة الدائرة S ¹ ومجموعات لي المدمجة البسيطة (والتي تتوافق مع مخططات داينكين المتصلة ).
• أي مجموعة لي قابلة للحل ومتصلة بشكل بسيط تكون متماثلة مع مجموعة فرعية مغلقة من مجموعة المصفوفات المثلثية العلوية القابلة للعكس من رتبة ما، وأي تمثيل غير قابل للاختزال ذي الأبعاد المحدودة لمثل هذه المجموعة يكون أحادي البعد. المجموعات القابلة للحل فوضوية للغاية بحيث لا يمكن تصنيفها إلا في بضعة أبعاد صغيرة.
• أي مجموعة لي ذات قدرة صفرية متصلة بشكل بسيط تكون متماثلة مع مجموعة فرعية مغلقة من مجموعة المصفوفات المثلثية العلوية القابلة للعكس ذات 1 على قطري رتبة ما، وأي تمثيل غير قابل للاختزال ذي أبعاد محدودة لمثل هذه المجموعة يكون أحادي البعد. ومثل المجموعات القابلة للحل، فإن المجموعات ذات القدرة الصفرية فوضوية للغاية بحيث لا يمكن تصنيفها إلا في بضعة أبعاد صغيرة.
• تُعرَّف مجموعات لي البسيطة أحيانًا بأنها تلك التي تكون بسيطة كمجموعات مجردة، وتُعرَّف أحيانًا بأنها مجموعات لي متصلة بجبر لي بسيط. على سبيل المثال، SL(2, R ) بسيطة وفقًا للتعريف الثاني ولكن ليس وفقًا للأول. وقد تم تصنيفها جميعًا (لأي من التعريفين).
• مجموعات لي شبه البسيطة هي مجموعات لي التي يكون جبر لي فيها حاصل ضرب جبر لي البسيط. ^[30] وهي امتدادات مركزية لمنتجات مجموعات لي البسيطة.

المكون المتطابق لأي مجموعة لي هو مجموعة فرعية طبيعية مفتوحة ، ومجموعة الحاصل هي مجموعة منفصلة . الغطاء الشامل لأي مجموعة لي متصلة هو مجموعة لي متصلة بسيطة، وعلى العكس من ذلك، أي مجموعة لي متصلة هي حاصل قسمة لمجموعة لي متصلة بسيطة بواسطة مجموعة فرعية طبيعية منفصلة للمركز. يمكن تحليل أي مجموعة لي G إلى مجموعات منفصلة وبسيطة وأبيلية بطريقة قانونية على النحو التالي. اكتب

G _con للمكون المتصل للهوية

G _sol لأكبر مجموعة فرعية قابلة للحل متصلة بشكل طبيعي

G _nil لأكبر مجموعة فرعية طبيعية متصلة ذات قدرة صفرية

حتى يكون لدينا تسلسل من المجموعات الفرعية الطبيعية

1 ⊆ G _nil ⊆ G _sol ⊆ G _con ⊆ G .

ثم

G / G _con منفصل

G _con / G _sol هو امتداد مركزي لمنتج مجموعات لاي المتصلة البسيطة .

G _sol / G _nil هي مجموعة أبيلية. مجموعة لاي أبيلية متصلة متماثلة مع حاصل نسخ R ومجموعة الدائرة S ¹ .

G _nil /1 هو قابل للعدم، وبالتالي فإن سلسلته المركزية الصاعدة تحتوي على جميع حاصلاتها أبيلية.

يمكن استخدام هذا لتقليل بعض المشاكل حول مجموعات لاي (مثل إيجاد تمثيلاتها الوحدوية) إلى نفس المشاكل الخاصة بالمجموعات البسيطة المتصلة والمجموعات الفرعية القابلة للحل والقابلة للحل ذات الأبعاد الأصغر.

• تؤثر مجموعة التشكل التفاضلي لمجموعة لي بشكل انتقالي على مجموعة لي
• كل مجموعة لي قابلة للتوازي ، وبالتالي فهي متعددة الشعب قابلة للتوجيه (هناك تماثل حزمة بين حزمة الظل الخاصة بها وحاصل ضربها في الفضاء المماس عند الهوية)

غالبًا ما يتم تعريف مجموعات لي بأنها ذات أبعاد محدودة، ولكن هناك العديد من المجموعات التي تشبه مجموعات لي، باستثناء كونها ذات أبعاد غير محدودة. أبسط طريقة لتحديد مجموعات لي ذات الأبعاد المحدودة هي نمذجتها محليًا على فضاءات باناخ (على عكس الفضاء الإقليدي في حالة الأبعاد المحدودة)، وفي هذه الحالة، يشبه الكثير من النظرية الأساسية تلك الخاصة بمجموعات لي ذات الأبعاد المحدودة. ومع ذلك، فإن هذا غير كافٍ للعديد من التطبيقات، لأن العديد من الأمثلة الطبيعية لمجموعات لي ذات الأبعاد المحدودة ليست متشعبات باناخ . بدلاً من ذلك، يحتاج المرء إلى تعريف مجموعات لي على أساس فضاءات متجهية طوبولوجية محدبة محليًا أكثر عمومية . في هذه الحالة، تصبح العلاقة بين جبر لي ومجموعة لي دقيقة إلى حد ما، ولم تعد العديد من النتائج حول مجموعات لي ذات الأبعاد المحدودة صالحة.

الأدبيات ليست موحدة تمامًا في مصطلحاتها فيما يتعلق بالخصائص الدقيقة للمجموعات ذات الأبعاد اللانهائية التي تؤهل المجموعة للبادئة Lie in Lie group . من ناحية جبر لاي، تكون الأمور أبسط نظرًا لأن معايير التأهيل للبادئة Lie in Lie جبرية بحتة. على سبيل المثال، قد يكون لجبر لاي اللانهائي الأبعاد مجموعة لاي مقابلة أو لا يكون له. أي أنه قد تكون هناك مجموعة مقابلة لجبر لاي، لكنها قد لا تكون جيدة بما يكفي لتسمى مجموعة لاي، أو قد لا يكون الارتباط بين المجموعة وجبر لاي جيدًا بما يكفي (على سبيل المثال، فشل الخريطة الأسية في أن تكون على جوار الهوية). إن "الجيد بما يكفي" هو ما لا يتم تعريفه عالميًا.

ومن بين الأمثلة التي تمت دراستها ما يلي:

• مجموعة التغايرات الشكلية لمتعدد الشعب. يُعرف الكثير عن مجموعة التغايرات الشكلية للدائرة. جبر لي الخاص بها هو (تقريبًا) جبر ويت ، الذي يمثل امتداده المركزي جبر فيراسورو (انظر جبر فيراسورو من جبر ويت لاستنتاج هذه الحقيقة) وهو جبر التناظر لنظرية المجال المطابق ثنائي الأبعاد . مجموعات التغايرات الشكلية لمتعدد الشعب المضغوط ذي الأبعاد الأكبر هي مجموعات لي فريشيت منتظمة ؛ ولا يُعرف سوى القليل جدًا عن بنيتها.
• تظهر مجموعة التشكلات التفاضلية للزمكان أحيانًا في محاولات لتحديد كمية الجاذبية.
• مجموعة الخرائط السلسة من متعدد الشعب إلى مجموعة لي ذات الأبعاد المحدودة هي مثال لمجموعة قياس (مع عملية الضرب النقطي )، وتُستخدم في نظرية المجال الكمومي ونظرية دونالدسون . إذا كان متعدد الشعب عبارة عن دائرة، فإنها تسمى مجموعات حلقية ، ولها امتدادات مركزية تكون جبر لي فيها (أكثر أو أقل) جبر كاك-مودي .
• توجد نظائر ذات أبعاد لا نهائية للمجموعات الخطية العامة والمجموعات المتعامدة وما إلى ذلك. ^[31] أحد الجوانب المهمة هو أن هذه قد يكون لها خصائص طوبولوجية أبسط : انظر على سبيل المثال نظرية كايبر . في نظرية M ، على سبيل المثال، تصبح نظرية مقياس SU( N ) ذات العشرة أبعاد نظرية ذات أحد عشر بُعدًا عندما تصبح N غير محدودة.

• الوسائط المتعلقة بمجموعات الكذب في ويكيميديا ​​كومنز
• مجلة نظرية الكذب