خريطة خطية

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( ديسمبر 2021 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

في الرياضيات ، وبشكل أكثر تحديدًا في الجبر الخطي ، الخريطة الخطية (وتسمى أيضًا رسم خطي ، أو تحويل خطي ، أو تماثل مساحة المتجهات ، أو في بعض السياقات دالة خطية ) هي رسم بين مساحتين متجهتين تحافظ على عمليات جمع المتجهات والضرب القياسي . تُستخدم نفس الأسماء ونفس التعريف أيضًا للحالة الأكثر عمومية للوحدات النمطية على حلقة ؛ انظر تماثل الوحدة النمطية . ${\displaystyle V\to W}$

إذا كانت الخريطة الخطية عبارة عن تطابق فإنها تسمىالتماثل الخطي . في الحالة حيث، تسمى الخريطة الخطيةتماثلًا خطيًا. في بعض الأحيان، يُستخدم المصطلح${\displaystyle V=W}$يشير العامل الخطي إلى هذه الحالة،^[1]ولكن مصطلح "العامل الخطي" يمكن أن يكون له معاني مختلفة لاتفاقيات مختلفة: على سبيل المثال، يمكن استخدامه للتأكيد على أنوهماحقيقية(ليس بالضرورة مع)،^{[ بحاجة لمصدر ]}أو يمكن استخدامه للتأكيد على أنهيمساحة دالة، وهي اتفاقية شائعة فيالتحليل الوظيفي.^[2]في بعض الأحيان يكون لمصطلح الدالة الخطية نفس معنىالخريطة الخطية، بينما فيالتحليللا يكون كذلك. ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V=W}$${\displaystyle V}$

الخريطة الخطية من إلى ترسم دائمًا أصل إلى أصل . علاوة على ذلك، فإنها ترسم فضاءات فرعية خطية في إلى فضاءات فرعية خطية في (ربما ذات بعد أقل )؛ ^[3] على سبيل المثال، ترسم مستوى يمر عبر الأصل في إلى مستوى يمر عبر الأصل في ، أو خط يمر عبر الأصل في ، أو الأصل فقط في . يمكن غالبًا تمثيل الخرائط الخطية كمصفوفات ، وتشمل الأمثلة البسيطة التحويلات الخطية للدوران والانعكاس . ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

في لغة نظرية الفئات ، الخرائط الخطية هي تماثلات لمساحات المتجهات، وتشكل فئة مكافئة لفئة المصفوفات .

ليكن و فضاءات متجهة على نفس المجال . يقال أن الدالة عبارة عن خريطة خطية إذا تم استيفاء الشرطين التاليين لأي متجهين وأي عدد قياسي :${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle f:V\to W}$${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$${\displaystyle c\in K}$

• الجمع / عملية الجمع$${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$$
• تجانس الدرجة 1 / عملية الضرب القياسي$${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$$

وبالتالي، يُقال عن الخريطة الخطية أنها تحافظ على العمليات . بعبارة أخرى، لا يهم ما إذا كانت الخريطة الخطية تُطبق قبل (الجانبين الأيمنين من الأمثلة المذكورة أعلاه) أو بعد (الجانبين الأيسرين من الأمثلة) عمليات الجمع والضرب القياسي.

من خلال ارتباطية عملية الجمع التي يشار إليها بـ +، لأي متجهات ومتغيرات قياسية، تنطبق المساواة التالية: ^{[4] [5]} وبالتالي فإن الخريطة الخطية هي تلك التي تحافظ على التركيبات الخطية . ${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$${\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,}$ $${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$$

وبالإشارة إلى العناصر الصفرية لمساحات المتجهات و بواسطة و على التوالي، يتبع ذلك أن ليكن و في معادلة التجانس من الدرجة 1: ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$${\textstyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.}$${\displaystyle c=0}$${\textstyle \mathbf {v} \in V}$$${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$$

تُسمى الخريطة الخطية التي يتم عرضها كمساحة متجهية أحادية البعد فوق نفسها بالدالة الخطية . ^[6]${\displaystyle V\to K}$${\displaystyle K}$

تعمم هذه العبارات على أي وحدة يسارية على حلقة دون تعديل، وعلى أي وحدة يمينية عند عكس الضرب القياسي. ${\textstyle {}_{R}M}$${\displaystyle R}$

• أحد الأمثلة النموذجية التي تعطي الخرائط الخطية اسمها هي الدالة ، حيث يكون الرسم البياني عبارة عن خط يمر عبر الأصل. ^[7]${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx}$
• بشكل عام، أي تجانس يتركز في أصل فضاء المتجه هو خريطة خطية (هنا c عبارة عن مقياس).${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$
• الخريطة الصفرية بين فضائيين متجهين (فوق نفس الحقل ) هي خطية.${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$
• خريطة الهوية على أي وحدة هي مشغل خطي.
• بالنسبة للأعداد الحقيقية، الخريطة ليست خطية.${\textstyle x\mapsto x^{2}}$
• بالنسبة للأعداد الحقيقية، الخريطة ليست خطية (بل هي تحويل تآلفي ).${\textstyle x\mapsto x+1}$
• إذا كانت مصفوفة حقيقية ، فإنها تحدد خريطة خطية من إلى عن طريق إرسال متجه عمودي إلى متجه العمود . وعلى العكس من ذلك، يمكن تمثيل أي خريطة خطية بين فضاءات متجهات ذات أبعاد محدودة بهذه الطريقة؛ راجع الفقرة "المصفوفات" أدناه.${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$
• إذا كانت معادلة قياس بين فضاءات معيارية حقيقية بحيث تكون خريطة خطية. هذه النتيجة ليست بالضرورة صحيحة للفضاء المعياري المعقد. ^[8]${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle f(0)=0}$${\displaystyle f}$
• يحدد التفاضل خريطة خطية من فضاء جميع الدوال القابلة للاشتقاق إلى فضاء جميع الدوال. كما يحدد عامل خطي على فضاء جميع الدوال السلسة (العامل الخطي هو تماثل خطي ، أي خريطة خطية بنفس المجال والمجال المشترك ). في الواقع،$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.}$$
• التكامل المحدد على فترة زمنية معينة I هو عبارة عن خريطة خطية من فضاء جميع الدوال القابلة للتكامل ذات القيمة الحقيقية على I إلى . في الواقع،${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.}$$
• يحدد التكامل غير المحدد (أو المشتق العكسي ) ذو نقطة بداية تكامل ثابتة خريطة خطية من فضاء جميع الدوال القابلة للتكامل ذات القيمة الحقيقية إلى فضاء جميع الدوال القابلة للاشتقاق ذات القيمة الحقيقية على . بدون نقطة بداية ثابتة، يتم تعيين المشتق العكسي إلى فضاء حاصل قسمة الدوال القابلة للاشتقاق بواسطة الفضاء الخطي للدوال الثابتة.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• إذا كانت و فضاءات متجهة ذات أبعاد محدودة على حقل F ، بأبعاد m و n على التوالي ، فإن الدالة التي تقوم بربط الخرائط الخطية إلى مصفوفات n × m بالطريقة الموضحة في الفقرة "المصفوفات" (أدناه) هي خريطة خطية، وحتى تماثل خطي .${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\textstyle f:V\to W}$
• القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي (الذي هو في الواقع دالة، وبالتالي عنصر من عناصر فضاء المتجه) تكون خطية، كما هو الحال بالنسبة للمتغيرات العشوائية و لدينا و ، ولكن تباين المتغير العشوائي ليس خطيًا.${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}$${\displaystyle E[aX]=aE[X]}$

• 
  الدالة مع عبارة عن خريطة خطية. تقوم هذه الدالة بقياس مكون المتجه بواسطة العامل .${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle x}$${\textstyle 2}$
• 
  الوظيفة إضافية: لا يهم ما إذا كانت المتجهات تُضاف أولاً ثم يتم تعيينها أو ما إذا كانت تُعين ثم تُضاف أخيرًا:${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
• 
  الوظيفة متجانسة: لا يهم ما إذا كان المتجه يتم قياسه أولاً ثم تعيينه أو تعيينه أولاً ثم تعيينه:${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

في كثير من الأحيان، يتم إنشاء خريطة خطية عن طريق تعريفها على مجموعة فرعية من مساحة المتجه ثمتمتد خطيًا إلىالامتداد الخطيللمجال. افترض أنوهما فضاءات متجهة وهيدالةمعرفة على بعض المجموعات الفرعية ثم${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle S\subseteq X.}$الامتداد الخطي لـ${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$إذا كان موجودًا، فهو خريطة خطيةمحددة علىتمتد[^{ملاحظة 1]}(بمعنى أنهبالنسبةلجميع) وتأخذ قيمها من المجال المشترك لـ^[9] عندما تكون المجموعة الفرعيةفضاءً فرعيًا متجهًا لـ،فإن الامتداد الخطي (- القيم) لـإلى جميعمن مضمون وجوده إذا (وفقط إذا)كانت خريطة خطية.^[9]على وجه الخصوص، إذاكان له امتداد خطي إلى، فإنه يكون له امتداد خطي إلى جميع${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle F(s)=f(s)}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {span} S,}$${\displaystyle X.}$

يمكن تمديد الخريطة إلى خريطة خطية إذا وفقط إذا كان كلما عددًا صحيحًا، ومقياسين، ومتجهين بحيث يكون بالضرورة ^[10] إذا كان هناك امتداد خطي لـ ، فإن الامتداد الخطي يكون فريدًا وينطبق على كل و كما هو مذكور أعلاه. ^[10] إذا كان مستقلاً خطيًا، فإن كل دالة في أي فضاء متجه لها امتداد خطي إلى خريطة (خطية) (والعكس صحيح أيضًا). ${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$${\displaystyle 0=c_{1}s_{1}+\cdots +c_{n}s_{n},}$${\displaystyle 0=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right).}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$$${\displaystyle F\left(c_{1}s_{1}+\cdots c_{n}s_{n}\right)=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)}$$${\displaystyle n,c_{1},\ldots ,c_{n},}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle \;\operatorname {span} S\to Y}$

على سبيل المثال، إذا و ، فيمكن تمديد التعيين و خطيًا من مجموعة المتجهات المستقلة خطيًا إلى خريطة خطية على الامتداد الخطي الفريد هو الخريطة التي ترسل إلى ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle (1,0)\to -1}$${\displaystyle (0,1)\to 2}$${\displaystyle S:=\{(1,0),(0,1)\}}$${\displaystyle \operatorname {span} \{(1,0),(0,1)\}=\mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (x,y)=x(1,0)+y(0,1)\in \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle F(x,y)=x(-1)+y(2)=-x+2y.}$$

كل دالة خطية (ذات قيمة عددية) محددة في فضاء متجه فرعي من فضاء متجه حقيقي أو مركب لها امتداد خطي لجميع في الواقع، تضمن نظرية الامتداد التي تهيمن عليها هان-باناخ أنه عندما تهيمن على هذه الدالة الخطية بعض شبه المعيار المعطاة (بمعنى أن تنطبق على كل شيء في مجال ) فإن هناك امتدادًا خطيًا لـ يهيمن عليه أيضًا${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p.}$

إذا كانت و فضاءات متجهات ذات أبعاد محدودة وتم تعريف أساس لكل فضاء متجه، فيمكن تمثيل كل خريطة خطية من إلى بمصفوفة . ^[11] وهذا مفيد لأنه يسمح بإجراء حسابات ملموسة. تنتج المصفوفات أمثلة على الخرائط الخطية: إذا كانت مصفوفة حقيقية ، فإن ذلك يصف خريطة خطية (انظر الفضاء الإقليدي ). ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

ليكن أساسًا لـ . عندئذٍ يتم تحديد كل متجه بشكل فريد من خلال المعاملات في المجال : ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$$

إذا كانت خريطة خطية، ${\textstyle f:V\to W}$$${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}$$

وهذا يعني أن الدالة f محددة بالكامل بواسطة المتجهات . الآن دعونا نجعل أساسًا لـ . ثم يمكننا تمثيل كل متجه على النحو التالي ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$$${\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$$

وبالتالي، يتم تحديد الدالة بالكامل من خلال قيم . إذا وضعنا هذه القيم في مصفوفة ، فيمكننا استخدامها بسهولة لحساب خرج المتجه لأي متجه في . للحصول على ، كل عمود في هو متجه يتوافق مع كما هو محدد أعلاه. لتعريفه بشكل أكثر وضوحًا، لبعض الأعمدة التي تتوافق مع التعيين ، حيث هي مصفوفة . بعبارة أخرى، يحتوي كل عمود على متجه مماثل تكون إحداثياته ​​هي عناصر العمود . يمكن تمثيل خريطة خطية واحدة بالعديد من المصفوفات. وذلك لأن قيم عناصر المصفوفة تعتمد على القواعد المختارة. ${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle j}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$${\displaystyle a_{1j},\cdots ,a_{mj}}$${\displaystyle j}$

يمكن تمثيل مصفوفات التحويل الخطي بصريًا:

1. مصفوفة بالنسبة إلى :${\textstyle T}$${\textstyle B}$${\textstyle A}$
2. مصفوفة بالنسبة إلى :${\textstyle T}$${\textstyle B'}$${\textstyle A'}$
3. مصفوفة الانتقال من إلى :${\textstyle B'}$${\textstyle B}$${\textstyle P}$
4. مصفوفة الانتقال من إلى :${\textstyle B}$${\textstyle B'}$${\textstyle P^{-1}}$

بحيث نبدأ من الزاوية السفلية اليسرى ونبحث عن الزاوية السفلية اليمنى ، يمكننا الضرب إلى اليسار - أي . والطريقة المكافئة هي الطريقة "الأطول" التي تسير في اتجاه عقارب الساعة من نفس النقطة بحيث يتم الضرب إلى اليسار بـ ، أو . ${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$${\textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$${\textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$${\textstyle P^{-1}AP}$${\textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$

في الفضاء ثنائي الأبعاد ، يتم وصف الخرائط الخطية R ^{2 بواسطة} مصفوفات 2 × 2. وفيما يلي بعض الأمثلة:

• تناوب
  • بـ 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$$
  • بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• انعكاس
  • من خلال المحور x :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$
  • من خلال المحور y :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$$
  • من خلال خط يصنع زاوية θ مع الأصل:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}}$$
• التوسع بمقدار 2 في جميع الاتجاهات:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I} }$$
• رسم القص الأفقي :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}}$$
• انحراف المحور y بزاوية θ :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&-\sin \theta \\0&\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• رسم الخرائط الضغطية :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}}$$
• الإسقاط على المحور y :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$$

إذا كانت الخريطة الخطية تتكون فقط من الدوران والانعكاس و/أو التدرج المنتظم، فإن الخريطة الخطية عبارة عن تحويل خطي مطابق .

إن تركيب الخرائط الخطية خطي: ​​إذا كانت و خطية، فإن تركيبها يكون كذلك . ويترتب على ذلك أن فئة جميع فضاءات المتجهات على حقل معين K ، جنبًا إلى جنب مع الخرائط الخطية K كأشكال ، تشكل فئة . ${\displaystyle f:V\to W}$${\textstyle g:W\to Z}$ ${\textstyle g\circ f:V\to Z}$

العكس من الخريطة الخطية، عندما يتم تعريفه، هو خريطة خطية مرة أخرى.

إذا كانا و خطيين، فإن مجموعهما النقطي يكون كذلك ، والذي يتم تعريفه بواسطة . ${\textstyle f_{1}:V\to W}$${\textstyle f_{2}:V\to W}$${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(\mathbf {x} )=f_{1}(\mathbf {x} )+f_{2}(\mathbf {x} )}$

إذا كان خطيًا وكان عنصرًا من حقل الأرض ، فإن الخريطة المحددة بواسطة تكون خطية أيضًا. ${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle \alpha }$${\textstyle K}$${\textstyle \alpha f}$${\textstyle (\alpha f)(\mathbf {x} )=\alpha (f(\mathbf {x} ))}$

وبالتالي، فإن مجموعة الخرائط الخطية من إلى نفسها تشكل فضاء متجهًا على ، ^[12] يُشار إليه أحيانًا بـ . ^[13] وعلاوة على ذلك، في حالة أن ، فإن فضاء المتجه هذا، المُشار إليه بـ ، هو جبر ارتباطي بموجب تكوين الخرائط ، لأن تكوين خريطتين خطيتين هو مرة أخرى خريطة خطية، وتكوين الخرائط دائمًا ارتباطي. تتم مناقشة هذه الحالة بمزيد من التفصيل أدناه. ${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$${\textstyle V}$${\textstyle W}$${\textstyle K}$${\textstyle \operatorname {Hom} (V,W)}$${\textstyle V=W}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

بالنظر مرة أخرى إلى الحالة ذات الأبعاد المحدودة، إذا تم اختيار القواعد، فإن تكوين الخرائط الخطية يتوافق مع ضرب المصفوفة ، وإضافة الخرائط الخطية تتوافق مع جمع المصفوفة ، وضرب الخرائط الخطية بالمقاييس القياسية يتوافق مع ضرب المصفوفات بالمقاييس القياسية.

التحويل الخطي هو تماثل داخلي لـ ؛ مجموعة كل هذه التماثلات الداخلية مع الجمع والتركيب والضرب القياسي كما هو محدد أعلاه تشكل جبرًا ارتباطيًا مع عنصر محايد فوق الحقل (وبشكل خاص حلقة ). عنصر التماثل المضاعف لهذا الجبر هو خريطة الهوية . ${\textstyle f:V\to V}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$${\textstyle K}$ ${\textstyle \operatorname {id} :V\to V}$

يُطلق على التماثل الداخلي لـ الذي يكون أيضًا تماثلًا داخليًا اسم التماثل الداخلي لـ . إن تركيب تماثلين داخليين هو مرة أخرى تماثل داخلي، ومجموعة كل التماثلات الداخلية لـ تشكل مجموعة ، ويُشار إلى مجموعة التماثل الداخلي لها بواسطة أو . ونظرًا لأن التماثلات الداخلية هي بالتحديد تلك التماثلات الداخلية التي تمتلك معكوسات تحت التركيب، فهي مجموعة الوحدات في الحلقة . ${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$${\textstyle \operatorname {GL} (V)}$${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

إذا كان له بعد محدود ، فإنه يكون متماثلًا مع الجبر الترابطي لجميع المصفوفات ذات الإدخالات في . وتكون مجموعة التماثل التلقائي متماثلة مع المجموعة الخطية العامة لجميع المصفوفات القابلة للعكس ذات الإدخالات في . ${\textstyle V}$${\textstyle n}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$${\textstyle n\times n}$${\textstyle K}$${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {GL} (n,K)}$${\textstyle n\times n}$${\textstyle K}$

إذا كان خطيًا، فإننا نحدد النواة والصورة أو النطاق بواسطة${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle f}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,\mathbf {w} \in W:\mathbf {w} =f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in V\,\}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \ker(f)}$هي فضاء جزئي لـ و هي فضاء جزئي لـ . تُعرف صيغة البعد التالية باسم نظرية الرتبة والعدم : ^[14]${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {im} (f)}$${\textstyle W}$ $${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).}$$

يُطلق على الرقم أيضًا رتبة ويُكتب على هيئة ، أو في بعض الأحيان،؛ [ ^{15] [16]} يُطلق على الرقم عدم وجود ويُكتب على هيئة أو . ^{[15] [16]} إذا كانت و ذات أبعاد محدودة، وتم اختيار القواعد ويتم تمثيلها بواسطة المصفوفة ، فإن رتبة وعدم وجود يساويان رتبة وعدم وجود المصفوفة ، على التوالي. ${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$${\textstyle f}$${\textstyle \operatorname {rank} (f)}$${\textstyle \rho (f)}$${\textstyle \dim(\ker(f))}$${\textstyle f}$${\textstyle \operatorname {null} (f)}$${\textstyle \nu (f)}$${\textstyle V}$${\textstyle W}$${\textstyle f}$${\textstyle A}$${\textstyle f}$${\textstyle A}$

الثوابت الأكثر دقة للتحويل الخطي هي النواة المشتركة ، والتي يتم تعريفها على أنها ${\textstyle f:V\to W}$$${\displaystyle \operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).}$$

هذا هو المفهوم المزدوج للنواة: فكما أن النواة هي مساحة فرعية للمجال ، فإن النواة المشتركة هي مساحة حاصل القسمة للهدف . رسميًا، لدينا التسلسل الدقيق $${\displaystyle 0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.}$$

يمكن تفسير ذلك على النحو التالي: إذا كانت المعادلة الخطية f ( v ) = w لحلها،

• النواة هي فضاء الحلول للمعادلة المتجانسة f ( v ) = 0، وبعدها هو عدد درجات الحرية في فضاء الحلول، إذا لم تكن فارغة؛
• النواة المشتركة هي مساحة القيود التي يجب أن تلبيها الحلول، وبعدها هو الحد الأقصى لعدد القيود المستقلة.

إن بُعد النواة المشتركة وبُعد الصورة (المرتبة) يساويان بُعد الفضاء المستهدف. وبالنسبة للأبعاد المحدودة، فإن هذا يعني أن بُعد الفضاء الحاصل W / f ( V ) هو بُعد الفضاء المستهدف مطروحًا منه بُعد الصورة.

كمثال بسيط، ضع في اعتبارك الخريطة f : R ² → R ² ، المعطاة بواسطة f ( x ، y ) = (0، y ). ثم لكي يكون للمعادلة f ( x ، y ) = ( a ، b ) حل، يجب أن يكون لدينا a = 0 (قيد واحد)، وفي هذه الحالة تكون مساحة الحل هي ( x ، b ) أو ما يعادلها، (0، b ) + ( x ، 0)، (درجة حرية واحدة). يمكن التعبير عن النواة على أنها الفضاء الفرعي ( x ، 0) < V : قيمة x هي الحرية في الحل - بينما يمكن التعبير عن النواة المشتركة عبر الخريطة W → R ،: نظرًا للمتجه ( a ، b )، فإن قيمة a هي العائق أمام وجود حل. ${\textstyle (a,b)\mapsto (a)}$

يتم توفير مثال يوضح الحالة اللانهائية الأبعاد من خلال الخريطة f : R ^∞ → R ^∞ ، حيث b ₁ = 0 و b _{n + 1} = a _n لـ n > 0. تتكون صورتها من جميع التسلسلات ذات العنصر الأول 0، وبالتالي تتكون نواتها المشتركة من فئات التسلسلات ذات العنصر الأول المتطابق. وبالتالي، في حين أن نواتها لها البعد 0 (تقوم فقط بتعيين التسلسل الصفري إلى التسلسل الصفري)، فإن نواتها المشتركة لها البعد 1. نظرًا لأن المجال ومساحة الهدف متماثلان، فإن رتبة وبُعد النواة يضيفان إلى نفس مجموع رتبة وبُعد النواة المشتركة ( )، ولكن في الحالة اللانهائية الأبعاد لا يمكن استنتاج أن نواة ونواة التماثل الداخلي لها نفس البعد (0 ≠ 1). ويحدث الوضع العكسي للخريطة h : R ^∞ → R ^∞ ، حيث c _n = a _{n + 1} . صورتها هي مساحة الهدف بأكملها، وبالتالي فإن نواتها المشتركة لها البعد 0، ولكن نظرًا لأنها تقوم بربط جميع التسلسلات التي يكون فيها العنصر الأول فقط غير صفري بالتسلسل الصفري، فإن نواتها لها البعد 1. ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$${\textstyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$

بالنسبة لمشغل خطي ذو نواة ذات أبعاد محدودة ونواة مشتركة، يمكن تعريف الفهرس على النحو التالي: درجات الحرية مطروحًا منها عدد القيود. $${\displaystyle \operatorname {ind} (f):=\dim(\ker(f))-\dim(\operatorname {coker} (f)),}$$

بالنسبة للتحويل بين فضاءات متجهات ذات أبعاد محدودة، فإن هذا هو الفرق بين dim( V ) − dim( W )، حسب الرتبة والعدم. وهذا يعطي مؤشرًا لعدد الحلول أو عدد القيود التي يمتلكها المرء: إذا كان التعيين من فضاء أكبر إلى فضاء أصغر، فقد تكون الخريطة على، وبالتالي سيكون لها درجات حرية حتى بدون قيود. وعلى العكس من ذلك، إذا كان التعيين من فضاء أصغر إلى فضاء أكبر، فلا يمكن أن تكون الخريطة على، وبالتالي سيكون لدى المرء قيود حتى بدون درجات حرية.

مؤشر المشغل هو على وجه التحديد خاصية أويلر للمركب ذي الحدين 0 → V → W → 0. في نظرية المشغل ، يعد مؤشر مشغلات فريدهولم موضوعًا للدراسة، وكانت النتيجة الرئيسية هي نظرية مؤشر عطية-سينجر . ^[17]

لا يمكن لأي تصنيف للخرائط الخطية أن يكون شاملاً. تسرد القائمة غير الكاملة التالية بعض التصنيفات المهمة التي لا تتطلب أي بنية إضافية في فضاء المتجه.

ليكن V و W يمثلان فضاءات متجهية على حقل F وليكن T : V → W خريطة خطية.

يقال أن T هو حقن أو شكل واحد إذا كان أي من الشروط المكافئة التالية صحيحًا:

1. T هو واحد لواحد كخريطة للمجموعات .
2. كير ت = {0 _فولت }
3. ديم(كر ت ) = 0
4. T أحادية أو قابلة للإلغاء إلى اليسار، وهذا يعني أنه بالنسبة لأي فضاء متجه U وأي زوج من الخرائط الخطية R : U → V و S : U → V ، فإن المعادلة TR = TS تعني R = S.
5. T قابلة للعكس إلى اليسار ، وهذا يعني أن هناك خريطة خطية S : W → V بحيث تكون ST هي خريطة الهوية على V.

يقال أن T هو شكلي أو شكلي إذا كان أي من الشروط المكافئة التالية صحيحًا:

1. تعتبر T بمثابة خريطة للمجموعات.
2. التفحيم T = {0 _وات }
3. T ملحمية أو قابلة للإلغاء إلى اليمين ، وهذا يعني أنه بالنسبة لأي فضاء متجه U وأي زوج من الخرائط الخطية R : W → U و S : W → U ، فإن المعادلة RT = ST تعني R = S.
4. T قابلة للعكس إلى اليمين ، وهذا يعني أن هناك خريطة خطية S : W → V بحيث تكون TS هي خريطة الهوية على W.

يقال إن T عبارة عن تماثل إذا كان قابلاً للعكس من اليسار واليمين. وهذا يعادل أن تكون T متماثلة من واحد إلى واحد ومن على ( تطابق مجموعات) أو أن تكون T متماثلة من كل من الأضلاع والأحادي، وبالتالي تكون تماثلاً .

إذا كانت T : V → V عبارة عن تماثل داخلي، فإن:

• إذا كان التكرار رقم n لـ T ، T ⁿ ، بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة n ، يساوي صفرًا تمامًا، فيقال إن T غير محتملة .
• إذا كان T ² = T ، فيقال أن T ذات قدرة أيديولوجية
• إذا كانت T = kI ، حيث k هو عدد قياسي، فيقال أن T عبارة عن تحويل قياسي أو خريطة ضرب قياسي؛ انظر مصفوفة قياسية .

بالنظر إلى خريطة خطية تمثل تماثلًا داخليًا تكون مصفوفتها A ، في الأساس B للفضاء، فإنها تحول إحداثيات المتجه [u] إلى [v] = A [u]. نظرًا لأن المتجهات تتغير مع معكوس B (إحداثيات المتجهات متضادة المتغيرات )، فإن تحويلها العكسي هو [v] = B [v'].

استبدال هذا في التعبير الأول وبالتالي $${\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}$$$${\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}$$

وبالتالي، فإن المصفوفة في الأساس الجديد هي A′ = B ⁻¹ AB ، حيث أن B هي مصفوفة الأساس المعطى.

لذلك، يقال إن الخرائط الخطية عبارة عن كائنات متغيرة 1-co-1-contra- ، أو موتر من النوع (1، 1) .

قد يكون التحويل الخطي بين فضاءات المتجهات الطوبولوجية، على سبيل المثال الفضاءات المعيارية، مستمرًا . إذا كان مجاله ومجاله المشترك متماثلين، فسيكون عاملًا خطيًا مستمرًا . يكون العامل الخطي في فضاء خطي معياري مستمرًا إذا وفقط إذا كان محدودًا ، على سبيل المثال، عندما يكون المجال محدود الأبعاد. ^[18] قد يكون للمجال غير المحدود الأبعاد عوامل خطية غير متصلة .

من الأمثلة على التحويل الخطي غير المحدود، وبالتالي غير المستمر، التفاضل على فضاء الدوال الملساء المزودة بالمعيار الأعلى (يمكن أن يكون للدالة ذات القيم الصغيرة مشتقة ذات قيم كبيرة، بينما مشتق 0 هو 0). بالنسبة لمثال محدد، يتقارب sin( nx )/ n إلى 0، لكن مشتقه cos( nx ) لا يتقارب، لذا فإن التفاضل ليس متصلاً عند 0 (وبموجب تنويعة من هذه الحجة، فهو ليس متصلاً في أي مكان).

أحد التطبيقات المحددة للخرائط الخطية هو التحويلات الهندسية ، مثل تلك التي يتم إجراؤها في الرسومات الحاسوبية ، حيث يتم تنفيذ نقل وتدوير وتوسيع الكائنات ثنائية الأبعاد أو ثلاثية الأبعاد باستخدام مصفوفة التحويل . تُستخدم التعيينات الخطية أيضًا كآلية لوصف التغيير: على سبيل المثال في حساب التفاضل والتكامل تتوافق مع المشتقات؛ أو في النسبية، تُستخدم كجهاز لتتبع التحويلات المحلية لإطارات المرجع.

تطبيق آخر لهذه التحويلات هو في تحسينات المترجم لكود الحلقة المتداخلة، وفي تقنيات المترجم المتوازية .

• خريطة إضافية  – تماثل الوحدة Z
• خريطة غير خطية  – خريطة متجانسة مترافقة إضافية
• الدالة المنحنية  – نوع خاص من الدالة المنطقية
• عامل محدود  – تحويل خطي بين فضاءات المتجهات الطوبولوجية
• معادلة كوشي الوظيفية  – المعادلة الوظيفية
• مشغل خطي مستمر
• دالة خطية  – خريطة خطية من فضاء متجه إلى مجاله القياسيPages displaying short descriptions of redirect targets
• القياس الخطي المتساوي الأبعاد  – التحويل الرياضي للحفاظ على المسافةPages displaying short descriptions of redirect targets
• فئة المصفوفات
• شبه خطي

• أكسلر، شيلدون جاي (2015). الجبر الخطي المنجز بشكل صحيح (الطبعة الثالثة). سبرينغر . رقم ISBN 978-3-319-11079-0.
• برونشتاين، إن؛ سيميندياييف، كيه إيه (2004). كتاب دليل الرياضيات (الطبعة الرابعة). نيويورك: دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 3-540-43491-7.
• هالموس، بول ريتشارد (1974) [1958]. فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة (الطبعة الثانية). سبرينغر . رقم ISBN 0-387-90093-4.
• هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (2013). تحليل المصفوفة (الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0-521-83940-2.
• كاتسنلسون, اسحق ; كاتسنلسون، يوناتان ر. (2008). (مقتضب) مقدمة في الجبر الخطي . جمعية الرياضيات الأمريكية . رقم ISBN 978-0-8218-4419-9.
• كوبروسلي، كارلوس (2001). عناصر نظرية المشغل . بوسطن: بيركهاوزر. ISBN 978-1-4757-3328-0. OCLC  754555941.
• لانج، سيرج (1987)، الجبر الخطي (الطبعة الثالثة)، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ ، رقم ISBN 0-387-96412-6
• رودين، والتر (1973). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 25 (الطبعة الأولى). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . رقم ISBN 9780070542259.
• رودين، والتر (1976). مبادئ التحليل الرياضي. سلسلة والتر رودين للطلاب في الرياضيات المتقدمة (الطبعة الثالثة). نيويورك: ماكجرو هيل. رقم ISBN 978-0-07-054235-8.
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي. السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 8 (الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . رقم ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• شايفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . جي تي إم . المجلد 8 (الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك طبعة سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• شيشتر، إيريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: أكاديميك بريس. رقم ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• شوارتز، تشارلز (1992). مقدمة إلى التحليل الوظيفي . نيويورك: م. ديكر. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• تو، لورينج دبليو. (2011). مقدمة إلى المتشعبات (الطبعة الثانية). سبرينغر . رقم ISBN 978-0-8218-4419-9.
• ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: دوفر للنشر، المحدودة. رقم ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.