رقم ديلانوي

ل${\displaystyle k}$يجب أن تكون هناك درجات مائلة (أي شمالية شرقية).${\displaystyle mk}$خطوات في${\displaystyle x}$الاتجاه و${\displaystyle nk}$خطوات في${\displaystyle y}$الاتجاه من أجل الوصول إلى النقطة${\displaystyle (m,n)}$بما أن هذه الخطوات يمكن تنفيذها بأي ترتيب، فإن عدد هذه المسارات يُعطى بواسطة معامل متعدد الحدود${\displaystyle {\binom {m+nk}{k,mk,nk}}={\binom {m+nk}{m}}{\binom {m}{k}}}$وبالتالي، نحصل على الصيغة المغلقة

${\displaystyle D(m,n)=\sum _{k=0}^{\min(m,n)}{\binom {m+nk}{m}}{\binom {m}{k}}.}$

ويمكن التعبير عن ذلك بصيغة بديلة.

${\displaystyle D(m,n)=\sum _{k=0}^{\min(m,n)}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}2^{k}}$

أو بواسطة المتسلسلة اللانهائية

${\displaystyle D(m,n)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k+1}}}{\binom {k}{n}}{\binom {k}{m}}.}$

وأيضًا

${\displaystyle D(m,n)=\sum _{k=0}^{n}A(m,k),}$

أين${\displaystyle A(m,k)}$يتم تقديمها مع (التسلسل A266213 في OEIS ) .

من السهل ملاحظة العلاقة التكرارية الأساسية لأعداد ديلانوي وهي

${\displaystyle D(m,n)={\begin{cases}1&{\text{إذا كان }}m=0{\text{ أو }}n=0\\D(m-1,n)+D(m-1,n-1)+D(m,n-1)&{\text{فيما عدا ذلك}}\end{cases}}}$

تؤدي علاقة التكرار هذه أيضًا بشكل مباشر إلى الدالة المولدة

${\displaystyle \sum _{m,n=0}^{\infty }D(m,n)x^{m}y^{n}=(1-xy-xy)^{-1}.}$

الاستبدال${\displaystyle m=n}$في التعبير المغلق الأول أعلاه، استبدل${\displaystyle k\leftrightarrow nk}$وبقليل من الجبر، نحصل على

${\displaystyle D(n)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}},}$

بينما ينتج عن التعبير الثاني أعلاه

${\displaystyle D(n)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}2^{k}.}$

كما أن أعداد ديلانوي المركزية تحقق علاقة تكرار ثلاثية الحدود فيما بينها، ^{[ 8 ]}

${\displaystyle nD(n)=3(2n-1)D(n-1)-(n-1)D(n-2),}$

ولها دالة توليد

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D(n)x^{n}=(1-6x+x^{2})^{-1/2}.}$

يُعطى السلوك التقاربي الرئيسي لأعداد ديلانوي المركزية بالصيغة التالية:

${\displaystyle D(n)={\frac {c\,\alpha ^{n}}{\sqrt {n}}}\,(1+O(n^{-1}))}$

أين ${\displaystyle \alpha =3+2{\sqrt {2}}\approx 5.828}$ و ${\displaystyle c=(4\pi (3{\sqrt {2}}-4))^{-1/2}\approx 0.5727}$.