تعميمات أعداد فيبوناتشي

يُعدّ تريبوناتشي أحد أشكال متتالية فيبوناتشي ، حيث يكون كل عدد فيها مجموع الأعداد الثلاثة السابقة له. يبدأ من القيم الأولية.${\displaystyle T_{0}=T_{1}=0}$، و${\displaystyle T_{2}=1}$، التكرار $${\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3},\qquad \qquad (1)}$$ تعطي هذه السلسلة من الأرقام على النحو التالي $${\displaystyle 0,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,1705,3136,5768,10609,19513,35890,66012,\ldots .}$$ يمكن العثور على مصطلحات أخرى تحت رقم التسلسل A000073 في الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة ( OEIS ).

تتمتع متتالية تريبوناتشي بتاريخ طويل وحافل بالأحداث. ^{[ 7 ]} ويرتبط أبرز ظهور تاريخي لهذه المتتالية بتشارلز داروين (1809-1882) وكتابه الرائد "أصل الأنواع" ، حيث يُذكر تكاثر الأفيال ونموها السكاني كمثال توضيحي. ^{[ 8 ]} وفي عام 1892، ظهرت هذه المتتالية العددية في حل مسألة ترفيهية، تتعلق بمزارع وتربية الأغنام، طرحها عالم الرياضيات الأمريكي أرتيماس مارتن (1835-1918). ^{[ 9 ] : 107-108.} أما أول دراسة رياضية لمتتالية تريبوناتشي وبحث في خصائصها فقد أُجريت عام 1914، ويعود الفضل في ذلك إلى أغرونوموف. ^{[ 10 ]} ظهر مصطلح تريبوناتشي في وقت لاحق، وتحديداً في عام 1963، ويعود الفضل في ذلك إلى مارك فاينبرغ، الذي كان آنذاك طالباً في المدرسة الثانوية يبلغ من العمر أربعة عشر عاماً، والذي قدم المصطلح في مقال في مجلة فيبوناتشي الفصلية . ^{[ 11 ]}

هوية أغرونوموف. تُعدّ مذكرة أغرونوموف لعام 1914 جوهرة صغيرة تم تجاهلها، ولم تُحدث أي تأثير في ذلك الوقت، وتراكم عليها الغبار لأكثر من نصف قرن. ^{[ 7 ] : 709-710} على الرغم من كونها مذكرة قصيرة جدًا (إذ تتسع النسخة الحديثة منها بسهولة على صفحة واحدة ^{[ 7 ] : 719} )، إلا أنها تحمل هوية قوية. $${\displaystyle T_{n+k}=T_{k+1}T_{n+1}+\left(T_{k}+T_{k-1}\right)T_{n}+T_{k}T_{n-1}.\qquad \qquad (2)}$$ لاحظ أن متطابقة أغرونوموف متناظرة في${\displaystyle n}$و${\displaystyle k}$وذلك من أجل${\displaystyle k=2}$وبذلك، يستعيد المرء تكرار تريبوناتشي الأصلي. وقد استنتج أغرونوموف ذلك بافتراض أن كلا المعاملين${\displaystyle n}$و${\displaystyle k}$هي أعداد صحيحة غير سالبة. ومع ذلك، يمكن إثبات أن هذه المتطابقة أكثر عمومية وتتحقق بالفعل لأي عدد صحيح.${\displaystyle n}$و${\displaystyle k}$بتوسيع العلاقة التكرارية المحددة (1) لتشمل أعداد تريبوناتشي ذات الأسس السالبة. ^{[ 7 ] : 712} ويختتم أغرونوموف ملاحظته بعرض الخصائص المميزة التالية لأعداد تريبوناتشي، $${\displaystyle T_{2n}=T_{n+1}^{2}+2T_{n}T_{n-1}+T_{n}^{2}\quad \mathrm {and} \quad T_{2n-1}=T_{n-1}^{2}+2T_{n}T_{n+1}-T_{n}^{2}.\qquad \qquad (3)}$$ ويمكن استخلاص هذه المعلومات بسهولة من هويته عن طريق أخذ${\displaystyle k=n}$و${\displaystyle k=n-1}$وبالتالي، يمكن الاستفادة من هاتين المتطابقتين لاستنتاج صيغة بسيطة لمجموع مربعات أعداد تريبوناتشي. ^{[ 7 ] : المعادلة (9)}

صيغة الانعكاس. كما هو الحال مع أعداد فيبوناتشي، يمكن تطبيق صيغة التكرار لأعداد تريبوناتشي عكسيًا. من${\displaystyle T_{2},T_{1}}$، و${\displaystyle T_{0}}$يمكن للمرء أن يحدد${\displaystyle T_{-1}=1}$. من${\displaystyle T_{1},T_{0}}$، و${\displaystyle T_{-1}}$يمكن للمرء أن يحدد${\displaystyle T_{-2}=-1}$وهكذا. بالتالي، فإن قيم أعداد تريبوناتشي عند المؤشرات السالبة محددة جيدًا. بدءًا من${\displaystyle T_{0}=0}$،${\displaystyle T_{-1}=1}$، و${\displaystyle T_{-2}=-1}$وبعكس تكرار تريبوناتشي (1)، نحصل على متتالية أعداد تريبوناتشي ذات الفهرس السالب كما يلي: $${\displaystyle 0,1,-1,0,2,-3,1,4,-8,5,7,-20,18,9,-47,56,0,-103,159,-56,-206,421,-271,-356,1048,\ldots .}$$ يمكن الاطلاع على المزيد من المصطلحات تحت رقم التسلسل A057597 في الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة ( OEIS ). ويعني التوسع ليشمل المؤشرات السالبة أنه يمكن اعتبار متتالية تريبوناتشي متتالية لانهائية مزدوجة. $${\displaystyle \ldots ,-47,9,18,-20,7,5,-8,4,1,-3,2,0,-1,1,\mathbf {0} ,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,\ldots }$$ حيث تُكتب القيمة عند الفهرس صفر بخط غامق. عند اجتياز المتتالية من اليسار إلى اليمين، يُستخدم التكرار (1). عند اجتياز المتتالية من اليمين إلى اليسار، يُستخدم التكرار ${\displaystyle T_{n}=T_{n+3}-T_{n+2}-T_{n+1}}$العلاقة بين الأجزاء ذات الفهارس السالبة والموجبة من متتالية تريبوناتشي تُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle T_{-n}=T_{n+1}^{2}-T_{n}T_{n+2}.\qquad \qquad (4)}$$ تنطبق هذه المتطابقة على جميع الأعداد الصحيحة${\displaystyle n}$وتُعرف هذه الصيغة باسم صيغة الانعكاس لأعداد تريبوناتشي. ويمكن اشتقاقها باستخدام متطابقة أغرونوموف. ^{[ 7 ] : 714}

ثابت تريبوناتشي هو النسبة النهائية بين أعداد تريبوناتشي المتتالية. ويُرمز له عادةً بـ ⁠${\displaystyle \tau }$وهو أمر بالغ الأهمية بشكل خاص في دراسة المكعب القصير .

تكون ثلاث كميات a > b > c > 0 في نسبة تريبوناتشي إذا $${\displaystyle {\frac {a+b+c}{a}}={\frac {a}{b}}={\frac {b}{c}}=\tau }$$

استبدال​${\displaystyle b=\tau c}$و​​${\displaystyle a=\tau b=\tau ^{2}c}$في الكسر الأول يعطي $${\displaystyle \tau ={\frac {c(\tau ^{2}+\tau +1)}{\tau ^{2}c}}.}$$ويترتب على ذلك أن ثابت تريبوناتشي هو الحل الحقيقي الوحيد للمعادلة التكعيبية${\displaystyle \tau ^{3}=\tau ^{2}+\tau +1}$، تقريبًا1.839 286 755 214 161 ... (التسلسل A058265 في OEIS ) .

صيغ مغلقة لـ${\displaystyle \tau }$يتم إيجادها عن طريق حل المعادلة التكعيبية المنخفضة${\displaystyle y^{3}-{\tfrac {4}{3}}y-{\tfrac {38}{27}}}$، والتي لها صفر حقيقي${\displaystyle \tau -{\tfrac {1}{3}}}$[ ¹² ]^​​$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {19}{8}}\right)\right)\right).\end{aligned}}}$$

التكرار${\displaystyle x\gets {\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+x}}}$مع نقطة ثابتة${\displaystyle {\frac {1}{\tau -1}}}$وينتج عن ذلك استمرار الجذرية$${\displaystyle \tau =1+1/{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+\cdots }}}}}}}$$ بما أن التكرار مشتق من${\displaystyle 2x^{3}=2x+1}$[ ^{13 ] تعابير} بديلة لـ​${\displaystyle \tau }$هي​ $${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1,2}&=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {11}{3}}}\right)/4\\\tau &=1+({\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}})^{-1}\\&=1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\operatorname {sech} \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

يمكن كتابة ثابت تريبوناتشي بدلالة نفسه على شكل كسور $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &={\frac {\tau ^{2}+1}{\tau ^{2}-1}}\\\tau ^{2}&={\frac {\tau +1}{\tau -1}}\\\tau ^{3}&={\frac {\tau ^{4}+1}{2}}.\end{aligned}}}$$

على غرار المتسلسلة الهندسية اللانهائية$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\tau ^{2}+1}{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\tau ^{-n}\\{\frac {\tau +1}{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\tau ^{-2n}\\{\frac {1}{\tau -1}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\tau ^{-3n}.\end{aligned}}}$$

لكل عدد صحيح${\displaystyle n}$يمتلك المرء$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{n}&=\tau ^{n-1}+\tau ^{n-2}+\tau ^{n-3}\\&=2\tau ^{n-2}+2\tau ^{n-3}+\tau ^{n-4}\\&=3\tau ^{n-2}+\tau ^{n-4}+\tau ^{n-6}\end{aligned}}}$$ ومن هذا يمكن إيجاد عدد لا نهائي من العلاقات الأخرى. ومن الأمثلة البارزة على ذلك ⁠${\displaystyle \tau +\tau ^{-3}=2}$⁠ .

نمط الكسور المستمرة لعدد قليل من القوى المنخفضة ^{[ 14 ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{-1}&=[0;1,1,5,4,2,305,1,8,2,...]\approx 0.5437\;({\tfrac {31}{57}})\\\tau ^{0}&=[1]\\\tau ^{1}&=[1;1,5,4,2,305,1,8,2,1,...]\approx 1.8393\;({\tfrac {103}{56}})\\\tau ^{2}&=[3;2,1,1,1,1,2,1,152,2,...]\approx 3.3830\;({\tfrac {159}{47}})\\\tau ^{3}&=[6;4,2,305,1,8,2,1,4,6,...]\approx 6.2223\;({\tfrac {56}{9}})\\\tau ^{4}&=[11;2,4,152,1,17,1,2,2,...]\approx 11.4445\;({\tfrac {103}{9}})\end{aligned}}}$$

دع​${\displaystyle \tau }$وزوج مترافق معقد​​${\displaystyle \beta }$و​​${\displaystyle \gamma }$لتكن أصفار كثيرة الحدود${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1}$مع التمييز ​​${\displaystyle -44}$ثم تُعطى أعداد تريبوناتشي بواسطة صيغة بينيه$${\displaystyle T_{n+1}=a\tau ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n},}$$ حقيقي​${\displaystyle a}$والمقترنات​​${\displaystyle b}$و​​${\displaystyle c}$جذور​${\displaystyle 44y^{3}-2y-1=0.}$

منذ${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <{\tfrac {2}{5}}}$، الرقم${\displaystyle T_{n}}$هو أقرب عدد صحيح إلى${\displaystyle \,a\,\tau ^{n-1}}$، مع​${\displaystyle n>0}$والمعامل​${\displaystyle a=\tau ^{2}/(\tau ^{3}+\tau +2)=}$0.336 228 116 994 941 ... ^{[ أ ]} 

يمكن كتابة قوى ثابت تريبوناتشي باستخدام أرقام تريبوناتشي كمعاملات تربيعية.$${\displaystyle \tau ^{n}=\tau ^{2}T_{n}+\tau (T_{n-1}+T_{n-2})+T_{n-1},}$$وهو ما تم إثباته بالاستقراء الرياضي على${\displaystyle n.}$تنطبق هذه العلاقة أيضاً على${\displaystyle n<0.}$⁠

يتم الحصول على أعداد تريبوناتشي كقوى صحيحة .${\displaystyle n\geq 2}$مصفوفة ذات قيمة ذاتية حقيقية​${\displaystyle \tau }$[ ^{15 ]​}$${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}T_{n+2}&T_{n+1}+T_{n}&T_{n+1}\\T_{n+1}&T_{n}+T_{n-1}&T_{n}\\T_{n}&T_{n-1}+T_{n-2}&T_{n-1}\end{pmatrix}}}$$

أثر ⁠​​${\displaystyle Q^{n}}$يُعطي هذا الأعداد التريبوناتشي-لوكاس 3، 1، 3، 7، 11، 21، 39، 71، 131، 241، 443، 815، 1499، 2757،... والتي تُحقق نفس علاقة التكرار. بأشكال مختلفة،${\displaystyle L_{n}=\lfloor \tau ^{n}\rceil {\text{ for }}n\geq 4.}$(التسلسل A001644 في OEIS )

تتمتع أعداد لوكاس هذه بخاصية فيرما : إذا كان p عددًا أوليًا،${\displaystyle L_{p}\equiv L_{1}{\bmod {p}}.}$لا ينطبق العكس، ولكن العدد القليل من أعداد تريبوناتشي الأولية الزائفة${\displaystyle \,n\mid (L_{n}-1)}$يجعل هذا التسلسل مميزًا. الأعداد المركبة الوحيدة الأقل من ^10⁷ التي تجتاز الاختبار هي: n = 18²، 25²⁰، 2³³² ^، 6³⁶¹⁸، 19⁴³⁹، 75⁰⁸⁹، 8⁰⁵⁵، 18⁸⁹⁰⁹، 2⁴⁸⁹⁹، 3⁵⁴²⁵³، 3⁷⁶¹²⁹، 6⁸⁹⁹. (التسلسل A371805 في OEIS )

خصائص أخرى. أول إشارة ضمنية إلى ثابت تريبوناتشي كانت في القرن الحادي عشر، عندما وجد الشاعر الفارسي والعالم الموسوعي عمر الخيام الحل .${\displaystyle 10{\tfrac {\tau +1}{\tau }}}$من المكعب${\displaystyle x^{3}+200x=20x^{2}+2000}$من خلال النظر في تقاطع دائرة وقطع زائد قائم الزاوية . ^{[ 16 ]}

${\displaystyle W_{11}(x)=x^{3}-2x^{2}+2x-2,}$مع الصفر الحقيقي${\displaystyle \omega ={\tfrac {\tau +1}{\tau }}=\tau (\tau -1),}$هل متعددة الحدود من فئة ويبر مرتبطة بالمميز ؟${\displaystyle \Delta =-11}$تؤدي خصائص ثابت كلاين j المرتبط إلى شبه تطابق${\displaystyle \omega \approx (e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}+24)^{1/24}.}$

دعوى${\displaystyle \theta =\arccos({\tfrac {1}{2}}\tau )\,}$يرضي${\displaystyle \,4\sin(3\theta )-\tan(\theta )={\sqrt {11}}}$وهي نتيجة مرتبطة من خلال معامل المسافة${\displaystyle \,z=\tau (1-\tau )\cdot 2\cos({\tfrac {2\pi }{11}})}$إلى البناء "المعجز" للشكل الهندسي ذي الأحد عشر ضلعًا ، الذي اكتشفه بنيامين وسنايدر. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

المقلوب​${\displaystyle {\tfrac {1}{\tau }}}$حل ثابت تريبوناتشي للمعادلة${\displaystyle \,2\arctan(x)=\arccos(x)}$[ ^{19 ]} الزاوية قريبة من 1 راديان ^. متممتها${\displaystyle \,\arccos(\tau -1)=\arcsin({\tfrac {1}{\tau }})\,}$الأشكال في البناء الهندسي لثابت تريبوناتشي الذي اكتشفه عالم الأحياء زيراردو نييرا. ^{[ 20 ]}

تبدأ أعداد التتراناتشي بأربعة حدود محددة مسبقًا، وكل حد لاحق هو مجموع الحدود الأربعة السابقة. فيما يلي بعض أعداد التتراناتشي الأولى:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8 , 15 , 29 , 56 , 108 , 208 , 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (التسلسل A000078 في OEIS )

كما صاغ فاينبرغ مصطلح "تيتراناتشي" . ^{[ 11 ] : 73}

ثابت التتراناتشي هو النسبة التي تميل إليها أعداد التتراناتشي المتجاورة. وهو الجذر الحقيقي الموجب الوحيد لكثير الحدود .${\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$، تقريبًا1.927 561 975 482 925 ... (التسلسل A086088 في OEIS ) ، ويحقق أيضًا المعادلة ⁠${\displaystyle x+x^{-4}=2}$⁠ .

يمكن التعبير عن ثابت التتراناتشي بدلالة الجذور من خلال التعبير التالي: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle x={\frac {1}{4}}\!\left(1+{\sqrt {u}}+{\sqrt {11-u+{\frac {26}{\sqrt {u}}}}}\,\right)}$

أين،

${\displaystyle u={\frac {1}{3}}\left(11-56{\sqrt[{3}]{\frac {2}{-65+3{\sqrt {1689}}}}}+2\cdot 2^{\frac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{-65+3{\sqrt {1689}}}}\right)}$

و${\displaystyle u}$هو الجذر الحقيقي للمعادلة التكعيبية${\displaystyle u^{3}-11u^{2}+115u-169}$⁠ .

بما يتوافق مع أرقام لوكاس لمتتالية فيبوناتشي، إذا بدأنا بدلاً من ذلك بـ${\displaystyle L_{0}=4}$،${\displaystyle L_{1}=1}$،${\displaystyle L_{2}=3}$، و${\displaystyle L_{3}=7}$ثم يطبق تكرار التتراناتشي${\displaystyle L_{n}=\lfloor x^{n}\rceil }$لـ​${\displaystyle n\geq 6}$( التسلسل A073817 في OEIS )

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … (التسلسل A001591 في OEIS )

ثابت البنتاناشي هو النسبة التي تميل إليها أعداد البنتاناشي المتجاورة. وهو الجذر الحقيقي الوحيد لكثير الحدود .${\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$، تقريبًا1.965 948 236 645 485 ... (التسلسل A103814 في OEIS ) ، ويحقق أيضًا المعادلة ⁠${\displaystyle x+x^{-5}=2}$⁠ .

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … (التسلسل A001592 في OEIS )

ثابت الهكساناتشي هو النسبة التي تميل إليها أعداد الهكساناتشي المتجاورة. وهو الجذر الحقيقي الموجب الوحيد لكثير الحدود .${\displaystyle x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$، تقريبًا1.983 582 843 424 326 ... (المتتالية A118427 في OEIS ) ، كما أنها تحقق المعادلة ⁠${\displaystyle x+x^{-6}=2}$⁠ .

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … (التسلسل A122189 في OEIS )

ثابت الهيبتاناشي هو النسبة التي تميل إليها أعداد الهيبتاناشي المتجاورة. وهو الجذر الحقيقي الوحيد لكثير الحدود .${\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$، تقريبًا1.991 964 196 605 035 ... (التسلسل A118428 في OEIS ) ، ويحقق أيضًا المعادلة ⁠${\displaystyle x+x^{-7}=2}$⁠ .

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... (التسلسل A079262 في OEIS )

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, ... (التسلسل A104144 في OEIS )

إن متتالية "إنفيناتشي"، إن أمكن وصفها، ستؤدي بعد عدد لا نهائي من الأصفار إلى المتتالية التالية

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

وهي ببساطة قوى العدد اثنين .

نهاية نسبة الحدود المتتالية لـ${\displaystyle k}$تؤول متسلسلة ناشي إلى جذر المعادلة${\displaystyle x+x^{-k}=2}$( OEIS : A103814  , OEIS : A118427  , OEIS : A118428  ).

حد النسبة لأي${\displaystyle k\geq 2}$هو الجذر الموجب الوحيد للمعادلة المميزة ^{[ 21 ]}

⁠${\displaystyle x^{k}-\sum _{i=0}^{k-1}x^{i}=0}$⁠ .

الحالة الخاصة${\displaystyle k=2}$هل سلسلة فيبوناتشي التقليدية هي التي تعطي النسبة الذهبية ؟${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}$⁠ .

تبقى الصيغ المذكورة أعلاه للنسبة صالحة حتى بالنسبة لـ${\displaystyle k}$متسلسلة -ناتشي مُولَّدة من أرقام ابتدائية عشوائية. تقترب النسبة من 2 في حالة أن${\displaystyle k}$يزداد إلى ما لا نهاية.

الجذر${\displaystyle x}$يقع في الفترة ⁠${\displaystyle 2(1-2^{-k})<x<2}$الجذر السالب للمعادلة المميزة يقع في الفترة (-1، 0) عندما${\displaystyle k}$هو عدد زوجي. هذا الجذر وكل جذر مركب للمعادلة المميزة له معيار ⁠${\displaystyle 3^{-k}<}$[ ²¹ ]^​​

سلسلة للجذر الموجب${\displaystyle x}$لأي${\displaystyle k>0}$هو ^{[ 21 ]}

⁠${\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(k+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(k+1)i}}}}$⁠ .

لا يوجد حل للمعادلة المميزة بدلالة الجذور عندما يكون 5 ≤ k ≤ 11. ^{[ 21 ]}

يُعطى العنصر النوني في متتالية ناشي من الرتبة k بالصيغة التالية:

${\displaystyle F_{n}^{(k)}=\left\lfloor {\frac {x^{n-1}(x-1)}{(k+1)x-2k}}\right\rceil \!,}$

أين${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$تشير إلى دالة أقرب عدد صحيح و${\displaystyle x}$هو${\displaystyle k}$ثابت ناشي، وهو جذر${\displaystyle x+x^{-k}=2}$الأقرب إلى 2.

بما يتوافق مع أرقام لوكاس لمتتالية فيبوناتشي، إذا بدأنا بدلاً من ذلك بـ${\displaystyle L_{0}=k}$و${\displaystyle L_{n}=2^{n}-1}$لـ​${\displaystyle 0<n<k}$، ويطبق​${\displaystyle k}$⁠ -العودة nacci لحساب ⁠${\displaystyle L_{n}}$لـ​​${\displaystyle n\geq k}$ثم​${\displaystyle L_{n}=\lfloor x^{n}\rceil }$لجميع القيم الكبيرة بما يكفي لـ${\displaystyle n}$، حيث​${\displaystyle x}$هو​​${\displaystyle k}$ثابت -ناتشي . أو بعبارة أخرى، يمكن للمرء أن يبدأ بـ${\displaystyle L_{0}=k}$و${\displaystyle L_{n}=-1}$لـ​${\displaystyle -k<n<0}$ثم قم بتطبيق${\displaystyle k}$⁠ -العودة nacci لحساب ⁠${\displaystyle L_{n}}$لـ​​${\displaystyle n>0}$⁠ .

ترتبط مسألة رمي العملة المعدنية بـ${\displaystyle k}$متتالية ناشي. احتمال عدم${\displaystyle k}$ستحدث ذيول متتالية في${\displaystyle m}$رمي عملة معدنية مثالية هو${\displaystyle {\frac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(k)}}$[ ²² ]^​​