ديوفانتوس ٢.٨

المسألة الثامنة من الكتاب الثاني من كتاب الحساب لديوفانتوس ( حوالي 200/214 م - حوالي 284/298 م ) هي تقسيم مربع إلى مجموع مربعين.   

يأخذ ديوفانتوس المربع على أنه 16 ويحل المسألة على النحو التالي: ^{[ 1 ]}

تقسيم مربع معين إلى مجموع مربعين.

لتقسيم العدد 16 إلى مجموع مربعين.

ليكن الحد الأول هو${\displaystyle x^{2}}$وبالتالي الثاني${\displaystyle 16-x^{2}}$أما الأخير فهو مربع. أُشكّل مربع الفرق بين مضاعف عشوائي لـ x مطروحًا منه جذر 16، أي مطروحًا منه 4. أُشكّل، على سبيل المثال، مربع 2x -  4.  وهو${\displaystyle 4x^{2}+16-16x}$أضع هذا التعبير مساوياً لـ${\displaystyle 16-x^{2}}$أضيف إلى كلا الجانبين${\displaystyle x^{2}+16x}$وأطرح 16. وبهذه الطريقة أحصل على${\displaystyle 5x^{2}=16x}$، لذلك${\displaystyle x=16/5}$.

إذن، أحد العددين هو 256/25 والآخر 144/25. مجموع هذين العددين هو 16، وكل حد من حدود المجموع هو مربع كامل.

هندسيًا، يمكننا توضيح هذه الطريقة برسم الدائرة x² + y² = ^{4/2 والمستقيم} y = 2x - 4. المربعان المطلوبان هما x₀ / 2 و y₀ ^/ ₂ ^، حيث ( x₀ _, y₀ ₎ هي النقطة التي لا تقع على _محور الصادات ، ^وهي نقطة تقاطع المستقيم والدائرة. يوضح الرسم التوضيحي المجاور ذلك.        

يمكننا تعميم حل ديوفانتوس لحل المسألة لأي مربع معطى، والذي سنمثله جبريًا بالرمز a² ^. وبما أن ديوفانتوس يشير إلى مضاعف اختياري للعدد x ، فسنعتبر هذا المضاعف الاختياري هو tx . إذن:

$\begin{aligned}\displaystyle\begin{aligned}\(tx-a)^{2}=a^{2}-x^{2}\Rightarrow \ \ &t^{2}x^{2}-2atx+a^{2}=a^{2}-x^{2}\Rightarrow \ \ &x^{2}(t^{2}+1)=2atx\Rightarrow \ \ &x={\frac {2at}{t^{2}+1}}{\text{ أو }}x=0.\end{aligned}}}$

لذلك، نجد أن أحد الحدود هو${\displaystyle x^{2}=\left({\tfrac {2at}{t^{2}+1}}\right)^{2}}$والآخر هو${\displaystyle (tx-a)^{2}=\left({\tfrac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right)^{2}}$مجموع هذه الأرقام هو${\displaystyle a^{2}}$وكل حد من حدود المعادلة مربع. هندسيًا، قمنا بتقاطع الدائرة x² ⁺ y²  = ^a² مع المستقيم y = tx - a ، كما هو موضح في الرسم التوضيحي المجاور. [ ^{2 ] بكتابة أطوال أضلاع المثلث OAB ، OB} و OA وAB، على ^شكل مجموعة مرتبة، نحصل على الثلاثية       

${\displaystyle \left[a;{\frac {2at}{t^{2}+1}};{\frac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right]}$.

يمكن الحصول على النتيجة المحددة التي توصل إليها ديوفانتوس بأخذ a  =  4 و t  =  2:

${\displaystyle \left[a;{\frac {2at}{t^{2}+1}};{\frac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right]=\left[{\frac {20}{5}};{\frac {16}{5}};{\frac {12}{5}}\right]={\frac {4}{5}}\left[5;4;3\right].}$

نلاحظ أن الحل الخاص لديوفانتوس هو في الواقع ثلاثية (3، 4، 5) مُقنّعة ببراعة. ومع ذلك، بما أن الثلاثية ستكون دائمًا عددًا نسبيًا طالما أن a و t عددان نسبيًا، فيمكننا الحصول على عدد لا نهائي من الثلاثيات النسبية بتغيير قيمة t ، وبالتالي تغيير قيمة أي مضاعف لـ x .

لا يحتاج هذا الحل الجبري إلا إلى خطوة إضافية واحدة للوصول إلى المتتالية الأفلاطونية${\displaystyle [{\tfrac {t^{2}+1}{2}};t;{\tfrac {t^{2}-1}{2}}]}$وذلك بضرب جميع أطراف العدد الثلاثي المذكور أعلاه في عامل.${\displaystyle \quad {\tfrac {t^{2}+1}{2a}}}$لاحظ أيضًا أنه إذا كانت قيمة a تساوي 1، فإن الأضلاع [OB, OA, AB] تُختزل إلى

${\displaystyle \left[1;{\frac {2t}{t^{2}+1}};{\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}}\right].}$

في التدوين الحديث، هذا هو ببساطة${\displaystyle (1,\sin \theta ,\cos \theta ),}$بالنسبة لـ θ الموضحة في الرسم البياني أعلاه، مكتوبة بدلالة ظل تمام θ/2، t . في المثال المحدد الذي قدمه ديوفانتوس، قيمة t تساوي 2، وهو المضاعف الاختياري لـ x . عند تبسيط المقامات ، سيولد هذا التعبير ثلاثيات فيثاغورس . ومن المثير للاهتمام أن المضاعف الاختياري لـ x أصبح حجر الزاوية في التعبير (التعبيرات) المولدة.

يتوصل ديوفانتوس (II.IX) إلى الحل نفسه بطريقة أسرع، وهي مشابهة جدًا للحل العام المذكور أعلاه. ومرة ​​أخرى، تكمن المشكلة في تقسيم العدد 16 إلى مربعين. ^{[ 3 ]}

ليكن العدد الأول N والعدد الثاني مضاعفًا اختياريًا لـ N مطروحًا منه جذر 16. على سبيل المثال 2N -  4.  إذن:

${\displaystyle {\begin{aligned}&N^{2}+(2N-4)^{2}=16\\\Rightarrow \\ &5N^{2}+16-16N=16\\\Rightarrow \\ &5N^{2}=16N\\\Rightarrow \\ &N={\frac {16}{5}}\\\end{aligned}}}$

يظهر تعليق فيرما الشهير الذي أصبح فيما بعد نظرية فيرما الأخيرة محصوراً بين "Quaestio VIII" و "Quaestio IX" في الصفحة 61 من طبعة عام 1670 من كتاب Arithmetica .

• نظرية فيرما الأخيرة وديوفانتوس II.VIII