أسلوب التصوير المتعدد المباشر

في مجال الرياضيات المعروف باسم المعادلات التفاضلية العادية العددية ، تُعدّ طريقة التصويب المتعدد المباشر طريقةً عدديةً لحلّ مسائل القيم الحدية . تقسم هذه الطريقة الفترة التي يُراد إيجاد حلّ لها إلى عدة فترات أصغر، ثم تحلّ مسألة قيمة ابتدائية في كل فترة من هذه الفترات، وتفرض شروط مطابقة إضافية لتكوين حلّ على كامل الفترة. تُشكّل هذه الطريقة تحسينًا ملحوظًا في توزيع اللاخطية والاستقرار العددي مقارنةً بطرق التصويب الفردي .

يمكن استخدام طرق التصويب لحل مسائل القيم الحدية (BVP) مثل $${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{a})=y_{a},\quad y(t_{b})=y_{b},}$$ حيث تكون النقطتان الزمنيتان t _a و t _b معروفتين ونسعى $${\displaystyle y(t),\quad t\in (t_{a},t_{b}).}$$

تتم طرق التصويب الفردي على النحو التالي. لنفترض أن y ( t ; t ₀ , y ₀ ) يمثل حل مسألة القيمة الابتدائية (IVP). $${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=p}$$_عرّف الدالة F ( p ) على أنها الفرق بين y ( tb ; p ) والقيمة الحدية المحددة yb : F ( p ) = y ( tb ; p ) - yb _{. عندئذٍ ،} لكل حل ( ya , _{yb )} لمسألة القيمة الحدية، يكون لدينا _{ya =} y0 ، بينما _يمثل yb جذرًا للدالة F. يمكن إيجاد هذا الجذر بأي طريقة من طرق إيجاد الجذور، شريطة استيفاء شروط مسبقة معينة _تعتمد على الطريقة. غالبًا ما يتطلب ذلك تقديرات أولية لـ ya _و yb _. عادةً ، يكون إيجاد الجذر تحليليًا غير ممكن، وتُستخدم طرق تكرارية مثل طريقة نيوتن لهذه المهمة.

يعاني تطبيق طريقة التصويب الفردي للحل العددي لمسائل القيم الحدية من عدة عيوب.

• بالنسبة لقيمة ابتدائية معينة y _0، من الواضح أن حل مسألة القيمة الابتدائية يجب أن يكون موجودًا على الفترة [ t _a , t _b ] حتى نتمكن من تقييم الدالة F التي يتم البحث عن جذرها.

بالنسبة للمعادلات التفاضلية العادية غير الخطية أو غير المستقرة، يتطلب ذلك أن تكون القيمة الابتدائية y₀ قريبة للغاية من حل فعلي غير معروف yₐ _{. قد تؤدي القيم الابتدائية المختارة بعيدًا قليلًا عن} الحل الحقيقي إلى ظهور نقاط شاذة أو انهيار طريقة حل المعادلات التفاضلية العادية. مع ذلك، فإن اختيار مثل هذه الحلول أمر لا مفر منه في طريقة البحث التكراري عن الجذور.

• قد تجعل الحسابات العددية ذات الدقة المحدودة من المستحيل تمامًا إيجاد القيم الأولية التي تسمح بحل المعادلة التفاضلية العادية على كامل الفترة الزمنية.
• تتحول اللاخطية في المعادلة التفاضلية العادية فعلياً إلى لاخطية في الدالة F ، مما يستلزم استخدام تقنية لإيجاد الجذور قادرة على حل الأنظمة اللاخطية. عادةً ما تتقارب هذه الطرق ببطء كلما ازدادت اللاخطية حدةً، مما يؤثر سلباً على أداء حلّ مسائل القيم الحدية.
• حتى المعادلات التفاضلية العادية المستقرة وذات الحالة الجيدة قد تؤدي إلى مسائل قيم حدية غير مستقرة وذات حالة سيئة. قد يُحدث تغيير طفيف في القيمة الابتدائية المُفترضة y₀ قفزة كبيرة للغاية في حل المعادلات التفاضلية العادية y(tb; tₐ, _y₀ ) ، وبالتالي _في قيم الدالة F التي يُبحث _عن جذرها _. نادرًا ما تستطيع طرق إيجاد الجذر غير التحليلية التعامل مع هذا السلوك.

تقوم طريقة التصوير المتعدد المباشر بتقسيم الفترة [ t _a , t _b ] عن طريق إدخال نقاط شبكية إضافية $${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}.}$$ تبدأ الطريقة بتخمين قيم y عند جميع نقاط الشبكة t_{_k} حيث 0 ≤ k ≤ N − 1. لنرمز لهذه التخمينات بـ y _{_k} . لنفترض أن y ( t ; t_{_k} , y _{_k} ) يمثل الحل الناتج من نقطة الشبكة رقم k ، أي حل مسألة القيمة الابتدائية. $${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{k})=y_{k}.}$$ يمكن تجميع كل هذه الحلول لتشكيل مسار متصل إذا تطابقت قيم y عند نقاط الشبكة. وبالتالي، فإن حلول مسألة القيمة الحدية تُقابل حلول نظام المعادلات N التالي : $${\displaystyle {\begin{aligned}y(t_{1};t_{0},y_{0})&=y_{1}\\&\;\,\vdots \\y(t_{N-1};t_{N-2},y_{N-2})&=y_{N-1}\\y(t_{N};t_{N-1},y_{N-1})&=y_{b}.\end{aligned}}}$$ تمثل المعادلات المركزية N − 2 شروط المطابقة، بينما تمثل المعادلتان الأولى والأخيرة الشرطين y ( t_{_a} ) = ya _و y ( t_{_b} ) = y_{_b} من مسألة القيمة الحدية. تحل طريقة التصويب المتعدد مسألة القيمة الحدية بحل نظام المعادلات هذا. وعادةً ما يُستخدم تعديلٌ لطريقة نيوتن لهذه المهمة الأخيرة.

• ستوير، جوزيف. بوليرش ، رولاند (2002)، مقدمة في التحليل العددي (  الطبعة الثالثة)، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-0-387-95452-3انظر القسم 7.3.5 وما يليه.
• بوك، هانز جورج؛ بليت، كارل ج. (1984)، "خوارزمية إطلاق نار متعددة للحل المباشر لمسائل التحكم الأمثل"، وقائع المؤتمر العالمي التاسع للاتحاد الدولي للتحكم الآلي ، المؤتمر العالمي التاسع للاتحاد الدولي للتحكم الآلي: جسر بين علم التحكم والتكنولوجيا، بودابست، المجر، 2-6 يوليو 1984، المجلد  17، بودابست، الصفحات 1603-1608 ، doi : 10.1016/S1474-6670(17)61205-9 {{citation}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
• موريسون، ديفيد د.؛ رايلي، جيمس د.؛ زانكانارو، جون ف. (ديسمبر 1962)، "طريقة التصويب المتعدد لمسائل القيم الحدية ذات النقطتين" (ملف PDF) ، مجلة الاتصالات ACM ، 5 (12): 613-614 ، doi : 10.1145/355580.369128 ، S2CID 8774159