الاستقرار العددي

في فرع التحليل العددي من الرياضيات ، يُعدّ الاستقرار العددي خاصية مرغوبة عمومًا للخوارزميات العددية . ويعتمد التعريف الدقيق للاستقرار على السياق: أحد السياقات المهمة هو الجبر الخطي العددي ، وسياق آخر هو خوارزميات حل المعادلات التفاضلية العادية والجزئية بالتقريب المتقطع.

في الجبر الخطي العددي، يتمثل الشاغل الرئيسي في عدم الاستقرار الناتج عن الاقتراب من نقاط التفرد المختلفة، مثل القيم الذاتية الصغيرة جدًا أو المتقاربة جدًا . من ناحية أخرى، في الخوارزميات العددية للمعادلات التفاضلية، يكمن الشاغل في تزايد أخطاء التقريب و/أو التقلبات الطفيفة في البيانات الأولية، والتي قد تتسبب في انحراف كبير للإجابة النهائية عن الحل الدقيق.

قد تُخفف بعض الخوارزميات العددية من التقلبات الطفيفة (الأخطاء) في بيانات الإدخال، بينما قد تُضخّمها خوارزميات أخرى. تُسمى الحسابات التي يُمكن إثبات عدم تضخيمها لأخطاء التقريب بالخوارزميات المستقرة عدديًا . ومن المهام الشائعة في التحليل العددي محاولة اختيار خوارزميات قوية  ، أي لا تُنتج نتائج مختلفة بشكل كبير عند حدوث تغيير طفيف جدًا في بيانات الإدخال.

تُعدّ ظاهرة عدم الاستقرار ظاهرةً معاكسة . عادةً ما تتضمن الخوارزمية طريقةً تقريبية، وفي بعض الحالات يُمكن إثبات أن الخوارزمية ستقترب من الحل الصحيح في حدٍّ ما (عند استخدام أعداد حقيقية فعلية، وليس أعدادًا عشرية). حتى في هذه الحالة، لا يوجد ضمانٌ لتقاربها إلى الحل الصحيح، لأن أخطاء التقريب أو الاقتطاع في الأعداد العشرية قد تتضخم بدلًا من أن تتلاشى، مما يؤدي إلى نمو الانحراف عن الحل الدقيق بشكلٍ أُسّي. ^{[ 1 ]}

توجد طرق مختلفة لصياغة مفهوم الاستقرار. تُستخدم التعريفات التالية للاستقرار الأمامي والخلفي والمختلط بشكل شائع في الجبر الخطي العددي .

لنفترض أن المسألة المراد حلها بواسطة الخوارزمية العددية هي دالة f تربط البيانات x بالحل y . عادةً ما تنحرف نتيجة الخوارزمية، ولتكن y *، عن الحل "الحقيقي" y . من أهم أسباب الخطأ خطأ التقريب وخطأ الاقتطاع . الخطأ الأمامي للخوارزمية هو الفرق بين النتيجة والحل "الحقيقي"؛ في هذه الحالة، Δy = y * - y . أما الخطأ العكسي فهو أصغر قيمة لـ Δx بحيث يكون f ( x + Δx ) = y * ؛ بعبارة أخرى، يُخبرنا الخطأ العكسي عن المسألة التي حلتها الخوارزمية فعليًا. يرتبط الخطأ الأمامي والخطأ العكسي برقم الحالة : لا يتجاوز مقدار الخطأ الأمامي حاصل ضرب رقم الحالة في مقدار الخطأ العكسي.    

في كثير من الحالات، يكون من الطبيعي أكثر مراعاة الخطأ النسبي$${\displaystyle {\frac {|\Delta x|}{|x|}}}$$بدلاً من الخطأ المطلق Δ x .

يُقال إن الخوارزمية مستقرة عكسيًا إذا كان الخطأ العكسي صغيرًا لجميع المدخلات x . بالطبع، "صغير" مصطلح نسبي، ويعتمد تعريفه على السياق. غالبًا ما نرغب في أن يكون الخطأ من نفس رتبة، أو ربما أكبر ببضع رتب فقط من، تقريب الوحدة . 

يستخدم التعريف المعتاد للاستقرار العددي مفهومًا أعمّ يُسمى الاستقرار المختلط ، والذي يجمع بين الخطأ الأمامي والخطأ الخلفي. تكون الخوارزمية مستقرة بهذا المعنى إذا حلت مسألة مجاورة تقريبًا، أي إذا وُجد Δx بحيث يكون كل من Δx صغيرًا و f ( x + Δx ) - y * صغيرًا. وبالتالي، فإن الخوارزمية المستقرة خلفيًا تكون مستقرة دائمًا .

تكون الخوارزمية مستقرةً للأمام إذا كان خطأها الأمامي مقسومًا على رقم حالة المسألة صغيرًا. وهذا يعني أن الخوارزمية مستقرة للأمام إذا كان لها خطأ أمامي مماثل في مقداره لخوارزمية مستقرة للخلف.

تُعدّ التعريفات المذكورة أعلاه ذات أهمية خاصة في الحالات التي لا تُشكّل فيها أخطاء الاقتطاع عاملاً مهماً. أما في سياقات أخرى، كحلّ المعادلات التفاضلية مثلاً ، فيُستخدم تعريف مختلف للاستقرار العددي.

في المعادلات التفاضلية العادية العددية ، توجد مفاهيم مختلفة للاستقرار العددي، مثل استقرار A. وترتبط هذه المفاهيم بمفهوم الاستقرار في سياق الأنظمة الديناميكية ، وغالبًا ما يكون استقرار ليابونوف . من المهم استخدام طريقة مستقرة عند حل المعادلات الصلبة .

يُستخدم تعريف آخر في المعادلات التفاضلية الجزئية العددية . تُعتبر خوارزمية حل معادلة تفاضلية جزئية تطورية خطية مستقرة إذا ظل التغير الكلي للحل العددي عند زمن ثابت محدودًا مع اقتراب حجم الخطوة من الصفر. تنص نظرية لاكس للتكافؤ على أن الخوارزمية تتقارب إذا كانت متسقة ومستقرة (بهذا المعنى). يتحقق الاستقرار أحيانًا بإضافة الانتشار العددي . الانتشار العددي مصطلح رياضي يضمن توزيع أخطاء التقريب وغيرها من الأخطاء في الحساب وعدم تراكمها لتتسبب في انهيار الحساب. يُعد تحليل استقرار فون نيومان إجراءً شائع الاستخدام لتحليل استقرار مخططات الفروق المحدودة عند تطبيقها على المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية. لا تنطبق هذه النتائج على المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية، حيث يُعقّد تعريف عام ومتسق للاستقرار بسبب العديد من الخصائص غير الموجودة في المعادلات الخطية.

يُعد حساب الجذر التربيعي للعدد 2 (والذي يساوي تقريبًا 1.41421) مسألةً محددة جيدًا . تحل العديد من الخوارزميات هذه المسألة بالبدء بتقريب أولي x ₀ إلى${\displaystyle {\sqrt {2}}}$على سبيل المثال، _x₀ = 1.4، ثم حساب القيم المُحسّنة x₁ _، x₂ _{، إلخ} . إحدى هذه الطرق هي الطريقة البابلية الشهيرة ، والتي تُعطى بالمعادلة _xₖ₊₁ = ( _xₖ₊₂ / xₖ ) / 2. _وهناك طريقة أخرى، تُسمى "الطريقة X"، تُعطى بالمعادلة _xₖ₊₁ = ₍ xₖ₂ - ² ) _² ⁺ xₖ . _[ ^{ملاحظة 1 ]} تم حساب بعض التكرارات لكل طريقة في جدول أدناه، مع القيم الأولية _x₀ = 1.4 _و x₀ = _1.42 .

لاحظ أن الطريقة البابلية تتقارب بسرعة بغض النظر عن القيمة الابتدائية، بينما تتقارب الطريقة X ببطء شديد مع القيمة الابتدائية x₀ = _1.4 وتتباعد مع القيمة الابتدائية x₀ = 1.42. لذا، _فإن الطريقة البابلية مستقرة عدديًا، بينما الطريقة X غير مستقرة عدديًا.

يتأثر الاستقرار العددي بعدد الأرقام المعنوية التي تحتفظ بها الآلة. إذا استُخدمت آلة تحتفظ فقط بالأرقام العشرية الأربعة الأكثر أهمية، فيمكن تقديم مثال جيد على فقدان الأهمية من خلال الدالتين المتكافئتين.

${\displaystyle f(x)=x\left({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}\right)}$و${\displaystyle g(x)={\frac {x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}.}$

مقارنة نتائج

${\displaystyle f(500)=500\left({\sqrt {501}}-{\sqrt {500}}\right)=500\left(22.38-22.36\right)=500(0.02)=10}$

و

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}g(500)&={\frac {500}{{\sqrt {501}}+{\sqrt {500}}}}\\&={\frac {500}{22.38+22.36}}\\&={\frac {500}{44.74}}=11.17\end{alignedat}}}$

بمقارنة النتيجتين أعلاه، يتضح أن فقدان الدلالة الإحصائية (الناجم هنا عن الإلغاء الكارثي الناتج عن طرح التقريبات للأرقام المجاورة)${\displaystyle {\sqrt {501}}}$و${\displaystyle {\sqrt {500}}}$(على الرغم من حساب عملية الطرح بدقة) له تأثير كبير على النتائج، حتى وإن كانت الدالتان متكافئتين، كما هو موضح أدناه

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(x)&=x\left({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}\right)\\&=x\left({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}\right){\frac {{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=x{\frac {({\sqrt {x+1}})^{2}-({\sqrt {x}})^{2}}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=x{\frac {x+1-x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=x{\frac {1}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&={\frac {x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=g(x)\end{alignedat}}}$

القيمة المطلوبة، المحسوبة باستخدام دقة لا نهائية، هي 11.174755... ^{[ ملاحظة 2 ]}

• خوارزميات لحساب التباين
• نظرية الاستقرار
• نظرية الفوضى
• انتشار عدم اليقين

• نيكولاس ج. هايغام (1996). دقة واستقرار الخوارزميات العددية . فيلادلفيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. ISBN 0-89871-355-2.
• ريتشارد ل. بيردن؛ ج. دوغلاس فيرز (2005). التحليل العددي (  الطبعة الثامنة). الولايات المتحدة: تومسون بروكس/كول. رقم ISBN 0-534-39200-8.
• ميسنارد، أوليفييه؛ باربا، لورينا أ. (2017). "ديناميكا الموائع الحسابية القابلة للتكرار والاستنساخ: إنها أصعب مما تظن". الحوسبة في العلوم والهندسة . 19 (4): 44-55 . arXiv : 1605.04339 . Bibcode : 2017CSE....19d..44M . doi : 10.1109/MCSE.2017.3151254 . S2CID 11288122 .