صفر دالة

رسم بياني للدالة${\displaystyle \cos(x)}$ل${\displaystyle x}$في${\displaystyle \left[-2\pi ,2\pi \right]}$، مع أصفار عند${\displaystyle -{\tfrac {3\pi }{2}},\;-{\tfrac {\pi }{2}},\;{\tfrac {\pi }{2}}}$، و${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}},}$مُعلَّم باللون الأحمر

في الرياضيات ، الصفر (ويسمى أحيانًا الجذر ) لدالة حقيقية أو مركبة أو دالة متجهة القيم بشكل عام${\displaystyle f}$، هو عضو${\displaystyle x}$من نطاق​${\displaystyle f}$بحيث${\displaystyle f(x)}$يختفي عند${\displaystyle x}$أي الوظيفة${\displaystyle f}$تصل قيمتها إلى 0 عند${\displaystyle x}$أو ما يعادل ذلك،${\displaystyle x}$هو حل للمعادلة${\displaystyle f(x)=0}$وبالتالي فإن "صفر" الدالة هو قيمة إدخال تنتج مخرجًا يساوي 0. ^{[ 1 ]}

جذر كثيرة الحدود هو صفر لدالة كثيرة الحدود المقابلة . [ 2 ^{] تُبين النظرية} الأساسية للجبر أن أي كثيرة حدود غير صفرية لها عدد من الجذور لا يتجاوز درجتها ، وأن عدد الجذور والدرجة متساويان عند حساب الجذور المركبة (أو بشكل أعم، الجذور في امتداد مغلق جبريًا ) مع مراعاة تعددها . [ ^{3 ] على} سبيل المثال، كثيرة الحدود${\displaystyle f}$من الدرجة الثانية، كما هو محدد بواسطة${\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)}$للمعادلة الجذران (أو الصفران) وهما 2 و 3 . $${\displaystyle f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0{\text{ و }}f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0.}$$

إذا كانت الدالة تربط الأعداد الحقيقية بالأعداد الحقيقية، فإن أصفارها هي${\displaystyle x}$إحداثيات النقاط التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع المحور السيني . اسم بديل لهذه النقطة${\displaystyle (x,0)}$في هذا السياق هو${\displaystyle x}$- نقطة التقاطع .

كل معادلة في المجهول${\displaystyle x}$يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle f(x)=0}$

بإعادة تجميع جميع الحدود في الطرف الأيسر. ويترتب على ذلك أن حلول هذه المعادلة هي بالضبط أصفار الدالة${\displaystyle f}$وبعبارة أخرى، فإن "صفر الدالة" هو بالضبط "حل المعادلة التي تم الحصول عليها عن طريق مساواة الدالة بصفر"، ودراسة أصفار الدوال هي نفسها دراسة حلول المعادلات.

كل كثيرة حدود حقيقية من الدرجة الفردية لها عدد فردي من الجذور الحقيقية (مع مراعاة التكرارات )؛ وبالمثل، يجب أن يكون لكثيرة الحدود الحقيقية من الدرجة الزوجية عدد زوجي من الجذور الحقيقية. وبالتالي، يجب أن يكون لكثيرات الحدود الحقيقية الفردية جذر حقيقي واحد على الأقل (لأن أصغر عدد صحيح فردي هو 1)، بينما قد لا يكون لكثيرات الحدود الزوجية أي جذر حقيقي. يمكن إثبات هذا المبدأ بالرجوع إلى نظرية القيمة المتوسطة : بما أن دوال كثيرات الحدود متصلة ، فإن قيمة الدالة يجب أن تعبر الصفر، في عملية التغير من السالب إلى الموجب أو العكس (وهو ما يحدث دائمًا للدوال الفردية).

توجد العديد من الطرق لحساب التقريبات الدقيقة لجذور الدوال، وأفضلها طريقة نيوتن ، انظر خوارزمية إيجاد الجذور .

بالنسبة لكثيرات الحدود ، توجد خوارزميات متخصصة أكثر كفاءة وقد توفر جميع الجذور أو جميع الجذور الحقيقية؛ انظر إيجاد جذر كثير الحدود وعزل الجذر الحقيقي .

يمكن التعبير عن جميع جذور بعض كثيرات الحدود، بما في ذلك جميع تلك التي لا تزيد درجتها عن 4، جبريًا بدلالة معاملاتها؛ انظر الحل في الجذور .

في مجالات مختلفة من الرياضيات، تُعرف مجموعة أصفار الدالة بأنها مجموعة جميع أصفارها. بتعبير أدق، إذا${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$إذا كانت دالة ذات قيم حقيقية (أو بشكل أعم، دالة تأخذ قيمًا في مجموعة جمعية ما )، فإن مجموعة أصفارها هي${\displaystyle f^{-1}(0)}$، الصورة المعكوسة لـ${\displaystyle \{0\}}$في${\displaystyle X}$.

وبناءً على نفس الفرضية المتعلقة بالمجال المقابل للدالة، فإن مجموعة المستوى للدالة${\displaystyle f}$هي مجموعة أصفار الدالة${\displaystyle fc}$بالنسبة للبعض${\displaystyle c}$في المجال المشترك لـ${\displaystyle f.}$

تُعرف مجموعة الأصفار للتحويل الخطي أيضًا باسم النواة .

مجموعة الأصفار المشتركة للدالة${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$هو مكمل مجموعة الأصفار لـ${\displaystyle f}$(أي، مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$على أي${\displaystyle f}$(غير صفري).

• خوارزمية البحث عن الجذر
• تنص نظرية بولزانو على أن الدالة المتصلة التي تأخذ إشارات معاكسة عند نقاط نهاية فترة ما، يكون لها على الأقل صفر في تلك الفترة.
• تنص نظرية جاوس-لوكاس على أن الأصفار المركبة لمشتقة متعددة الحدود تقع داخل الغلاف المحدب لجذور متعددة الحدود.
• نظرية ماردن ، وهي تحسين لنظرية جاوس-لوكاس لكثيرات الحدود من الدرجة الثالثة
• تخمين سيندوف ، وهو تحسين مُفترض لنظرية جاوس-لوكاس
• الصفر عند اللانهاية
• عبور الصفر ، خاصية لمنحنى الدالة بالقرب من الصفر
• أصفار وأقطاب الدوال التحليلية

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الجذر" . عالم الرياضيات .