متسلسلة فورييه المنفصلة

يُعطى الشكل الأسي لمتسلسلة فورييه بالصيغة التالية :

${\displaystyle s(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t},}$

وهي دورية بفترة اعتباطية يُرمز لها بـ${\displaystyle P.}$ عندما يكون الوقت مستمرا${\displaystyle t}$يتم استبدالها بالوقت المنفصل${\displaystyle nT,}$بالنسبة للقيم الصحيحة لـ${\displaystyle n}$والفاصل الزمني${\displaystyle T,}$تصبح السلسلة :

${\displaystyle s(nT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}nT},\quad n\in \mathbb {Z} .}$

مع${\displaystyle n}$عندما تكون القيم مقيدة بالأعداد الصحيحة، فإننا عادةً ما نقيد النسبة${\displaystyle P/T=N}$إلى قيمة عددية صحيحة، مما ينتج عنه${\displaystyle N}$دالة دورية :

وهي توافقيات التردد الرقمي الأساسي${\displaystyle 1/N.}$ ال${\displaystyle N}$يشير الرمز السفلي إلى دورية هذا الرمز. ونلاحظ أن بعض المؤلفين سيشيرون فقط إلى${\displaystyle S[k]}$المعاملات نفسها كمتسلسلة فورييه منفصلة. ^{[ 2 ] : ص 85 (معادلة 15أ)}

بسبب${\displaystyle N}$- دورية${\displaystyle e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}}$النواة، يمكن "طي" المجموع اللانهائي على النحو التالي :

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{_{N}}[n]&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{N-1}e^{i2\pi {\tfrac {k-mN}{N}}n}\ S[k-mN]\right)\\&=\sum _{k=0}^{N-1}e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\underbrace {\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }S[k-mN]\right)} _{\triangleq S_{N}[k]},\end{aligned}}}$

وهو التحويل العكسي لـ DFT لدورة واحدة من المجموع الدوري ،${\displaystyle S_{N}.}$^{[ 1 ] : ص.542 (معادلة 8.4) [ 3 ] : ص.77 (معادلة 4.24)}