سلسلة فورييه

تحويلات فورييه
تحويل فورييه سلسلة فورييه تحويل فورييه في الزمن المنفصل تحويل فورييه المنفصل تحويل فورييه المنفصل على حلقة تحويل فورييه على المجموعات المحدودة تحليل فورييه التحويلات ذات الصلة

سلسلة فورييه ( / ˈfʊrieɪ , -iər / [ ^1] ) هي توسعة لدالة دورية إلى مجموع دوال مثلثية . سلسلة فورييه هي مثال على سلسلة مثلثية ، ولكن ليست كل السلاسل المثلثية متسلسلة فورييه. ^{[2] من خلال التعبير} عن دالة كمجموع من الجيب وجيب التمام، تصبح العديد من المشكلات التي تنطوي على الدالة أسهل في التحليل لأن الدوال المثلثية مفهومة جيدًا. على سبيل المثال، استخدم جوزيف فورييه متسلسلة فورييه لأول مرة لإيجاد حلول لمعادلة الحرارة . هذا التطبيق ممكن لأن مشتقات الدوال المثلثية تقع في أنماط بسيطة. لا يمكن استخدام متسلسلة فورييه لتقريب الدوال التعسفية، لأن معظم الدوال لها عدد لا نهائي من الحدود في متسلسلة فورييه الخاصة بها، والمتسلسلة لا تتقارب دائمًا . الدوال ذات السلوك الجيد، على سبيل المثال الدوال السلسة ، لها متسلسلة فورييه تتقارب مع الدالة الأصلية. يتم تحديد معاملات سلسلة فورييه من خلال تكاملات الدالة مضروبة في الدوال المثلثية، كما هو موضح في الأشكال الشائعة لسلسلة فورييه أدناه.

تركز دراسة تقارب متسلسلة فورييه على سلوكيات المجاميع الجزئية ، مما يعني دراسة سلوك المجموع مع جمع المزيد والمزيد من الحدود من المتسلسلة. توضح الأشكال أدناه بعض نتائج متسلسلة فورييه الجزئية لمكونات الموجة المربعة .

• 
  يتم تقريب الموجة المربعة (الممثلة بالنقطة الزرقاء) من خلال مجموعها الجزئي السادس (الممثل بالنقطة الأرجوانية)، والذي يتكون من جمع الحدود الستة الأولى (الممثلة بأسهم) من سلسلة فورييه للموجة المربعة. يبدأ كل سهم من المجموع الرأسي لجميع الأسهم إلى يساره (أي المجموع الجزئي السابق).
• 
  أول أربع مجموعات جزئية من سلسلة فورييه لموجة مربعة . ومع إضافة المزيد من التوافقيات، تتقارب المجموعات الجزئية إلى (تصبح أكثر فأكثر مثل) الموجة المربعة.
• 
  الدالة (باللون الأحمر) عبارة عن مجموع تسلسلي فورييه لست موجات جيبية مترابطة توافقيًا (باللون الأزرق). وتحويل فورييه الخاص بها عبارة عن تمثيل لمجال التردد يكشف عن سعات الموجات الجيبية المجمعة.${\displaystyle s_{6}(x)}$${\displaystyle S(f)}$

ترتبط سلسلة فورييه ارتباطًا وثيقًا بتحويل فورييه ، وهي أداة أكثر عمومية يمكنها حتى العثور على معلومات التردد للوظائف غير الدورية. يمكن تحديد الوظائف الدورية بالوظائف على دائرة؛ لهذا السبب تعد سلسلة فورييه موضوع تحليل فورييه على دائرة، وعادةً ما يشار إليها باسم أو . تحويل فورييه هو أيضًا جزء من تحليل فورييه ، ولكنه محدد للوظائف على . ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

منذ زمن فورييه، تم اكتشاف العديد من الأساليب المختلفة لتحديد وفهم مفهوم سلسلة فورييه، وكلها متسقة مع بعضها البعض، ولكن كل منها يؤكد على جوانب مختلفة من الموضوع. تعتمد بعض الأساليب الأكثر قوة وأناقة على أفكار وأدوات رياضية لم تكن متاحة في زمن فورييه. حدد فورييه في الأصل سلسلة فورييه للوظائف ذات القيمة الحقيقية للحجج الحقيقية، واستخدم وظائف الجيب وجيب التمام في التحليل. منذ ذلك الحين تم تعريف العديد من التحويلات الأخرى المتعلقة بفورييه ، مما أدى إلى توسيع فكرته الأولية إلى العديد من التطبيقات وولادة مجال من الرياضيات يسمى تحليل فورييه .

سلسلة فورييه هي دالة مستمرة دورية تنشأ من مجموع الدوال الجيبية المترابطة توافقيًا. ولها عدة أشكال مختلفة، ولكنها متكافئة، موضحة هنا كمجاميع جزئية. ولكن من الناحية النظرية، تحدد الرموز المكتوبة أسفل الصفحة، والتي تسمى المعاملات ، والفترة، الدالة على النحو التالي :${\displaystyle N\rightarrow \infty .}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)}$

يتم فهرسة التوافقيات بعدد صحيح، وهو أيضًا عدد الدورات التي تقوم بها الجيوب الأنفية المقابلة في الفترة . وبالتالي، فإن الجيوب الأنفية لها :${\displaystyle n,}$${\displaystyle P}$

• طول موجي يساوي بنفس وحدات .${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$${\displaystyle x}$
• تردد يساوي في وحدات مقلوب .${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$${\displaystyle x}$

من الواضح أن هذه السلسلة يمكن أن تمثل الدوال التي هي مجرد مجموع واحد أو أكثر من الترددات التوافقية. والشيء المذهل هو أنها يمكن أن تمثل أيضًا الترددات المتوسطة و/أو الدوال غير الجيبية بسبب العدد اللانهائي من الحدود. إن شكل السعة والطور مفيد بشكل خاص لرؤيته للأساس المنطقي لمعاملات السلسلة. (انظر § الاشتقاق) يمكن تعميم الشكل الأسي بسهولة أكبر للدوال ذات القيمة المعقدة. (انظر § الدوال ذات القيمة المعقدة)

يتطلب تكافؤ هذه الأشكال علاقات معينة بين المعاملات. على سبيل المثال، المتطابقة المثلثية :

يعني أن :

لذلك و هما الإحداثيات المستطيلة لمتجه مع إحداثيات قطبية و${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle \varphi _{n}.}$

يمكن إعطاء/افتراض المعاملات، مثل مُركِّب الموسيقى أو عينات الوقت لشكل الموجة. في الحالة الأخيرة، يقوم الشكل الأسي لسلسلة فورييه بتوليف تحويل فورييه في وقت منفصل حيث يمثل المتغير التردد بدلاً من الوقت. ${\displaystyle x}$

ولكن عادةً ما يتم تحديد المعاملات من خلال تحليل التردد/التوافقيات لدالة ذات قيمة حقيقية معينة وتمثل الوقت :${\displaystyle s(x),}$${\displaystyle x}$

الهدف هو التقارب إلى أقصى حد أو جميع قيم في فترة زمنية محددة. بالنسبة للوظائف ذات السلوك الجيد النموذجية للعمليات الفيزيائية، يُفترض عادةً المساواة، وتوفر شروط دي ريتشليت ظروفًا كافية. ${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P.}$

يمثل الترميز التكامل على الفاصل الزمني المختار. الخيارات النموذجية هي و . يحدد بعض المؤلفين ذلك لأنه يبسط حجج الدوال الجيبية، على حساب العمومية. ويفترض بعض المؤلفين أن يكون أيضًا دوريًا -، وفي هذه الحالة يقترب من الدالة بأكملها. يتم تفسير عامل القياس من خلال أخذ حالة بسيطة : فقط حد المعادلة 2 مطلوب للتقارب، مع و   وفقًا لذلك توفر المعادلة 5 :${\displaystyle \int _{P}}$${\displaystyle [-P/2,P/2]}$${\displaystyle [0,P]}$${\displaystyle P\triangleq 2\pi }$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$ ${\displaystyle s(x)=\cos \left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right).}$${\displaystyle n=k}$${\displaystyle A_{k}=1}$${\displaystyle B_{k}=0.}$

${\displaystyle A_{k}={\frac {2}{P}}\underbrace {\int _{P}\cos ^{2}\left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right)\,dx} _{P/2}=1,}$       حسب الحاجة.

هناك هوية أخرى قابلة للتطبيق وهي صيغة أويلر :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}\\[6pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {+n}{P}}x}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {-n}{P}}x}\end{aligned}}}$

(ملاحظة : يشير ∗ إلى التصريف المعقد .)

عند استبدال هذا في المعادلة 1 والمقارنة بالمعادلة 3، يتضح في النهاية :

وعلى العكس من ذلك :

يؤدي استبدال المعادلة 5 في المعادلة 6 أيضًا إلى الكشف عن : ^[3]

تنطبق المعادلة 7 والمعادلة 3 أيضًا عندما تكون دالة ذات قيمة معقدة. ^[أ] يتبع ذلك التعبير عن و كمتسلسلة فورييه منفصلة ذات قيمة حقيقية، و${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s_{N}(x))}$${\displaystyle \operatorname {Im} (s_{N}(x))}$${\displaystyle s_{N}(x)=\operatorname {Re} (s_{N}(x))+i\ \operatorname {Im} (s_{N}(x)).}$

يمكن فهم المعاملات واستنتاجها من حيث الارتباط المتبادل بين و جيب تمام التردد . بالنسبة للتردد العام وفترة التحليل، تكون دالة الارتباط المتبادل :${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle \varphi _{n}}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P],}$

هو في الأساس مرشح مطابق ، مع قالب . الحد الأقصى لـ هو مقياس لسعة التردد في الدالة ، وقيمة عند الحد الأقصى تحدد طور هذا التردد. الشكل 2 هو مثال، حيث هو موجة مربعة (غير موضحة)، والتردد هو التوافقي. وهو أيضًا مثال لاستنتاج الحد الأقصى من عينتين فقط، بدلاً من البحث في الدالة بأكملها. يؤدي الجمع بين المعادلة 8 والمعادلة 4 إلى :${\displaystyle \cos(2\pi fx)}$${\displaystyle \mathrm {X} _{f}(\tau )}$${\displaystyle (D)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (\varphi )}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 4^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{n}(\varphi )&={\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx;\quad \varphi \in [0,2\pi ]\\&=\cos(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{A}+\sin(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{B}\\&=\cos(\varphi )\cdot A+\sin(\varphi )\cdot B\end{aligned}}}$

المشتق يساوي صفرًا في مرحلة الارتباط الأقصى. ${\displaystyle \mathrm {X} _{n}(\varphi )}$

${\displaystyle \mathrm {X} '_{n}(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot A-\cos(\varphi )\cdot B=0\quad \longrightarrow \quad \tan(\varphi )={\frac {B}{A}}\quad \longrightarrow \quad \varphi =\arctan(B,A)}$

لذلك، فإن الحساب وفقًا للمعادلة 5 ينشئ طور الارتباط الأقصى للمكون . وسعة المكون هي :${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle \varphi _{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}\triangleq \mathrm {X} _{n}(\varphi _{n})\ &=\cos(\varphi _{n})\cdot A_{n}+\sin(\varphi _{n})\cdot B_{n}\\&={\frac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot A_{n}+{\frac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot B_{n}={\frac {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}&={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}.\end{aligned}}}$

إن هذا الترميز غير مناسب لمناقشة معاملات فورييه للعديد من الدوال المختلفة. لذلك، يتم استبداله عادة بشكل معدّل من الدالة ( في هذه الحالة)، مثل أو ، وغالبًا ما يحل الترميز الوظيفي محل الترميز السفلي :${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$${\displaystyle S[n]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

في الهندسة، وخاصة عندما يمثل المتغير الوقت، تسمى تسلسل المعاملات تمثيل المجال الترددي . غالبًا ما تُستخدم الأقواس المربعة للتأكيد على أن مجال هذه الدالة عبارة عن مجموعة منفصلة من الترددات. ${\displaystyle x}$

يستخدم تمثيل آخر شائع الاستخدام لمجال التردد معاملات سلسلة فورييه لتعديل مشط ديراك :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

حيث يمثل مجال تردد مستمر. عندما يكون للمتغير وحدات ثانية، يكون له وحدات هرتز . تتباعد "أسنان" المشط بمضاعفات (أي التوافقيات ) لـ ، وهو ما يسمى التردد الأساسي . يمكن استردادها من هذا التمثيل عن طريق تحويل فورييه العكسي : ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$${\displaystyle s_{\infty }(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}}$

لذلك يشار إلى الدالة المبنية عادةً باسم تحويل فورييه ، على الرغم من أن تكامل فورييه للدالة الدورية ليس متقاربًا عند الترددات التوافقية. ^[ب]${\displaystyle S(f)}$

خذ في الاعتبار دالة المنشار :

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}$

${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$

في هذه الحالة، يتم إعطاء معاملات فورييه بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

يمكن إظهار أن متسلسلة فورييه تتقارب عند كل نقطة حيث تكون قابلة للاشتقاق، وبالتالي :${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$

عندما تتقارب سلسلة فورييه إلى 0، وهو نصف مجموع الحدين الأيسر والأيمن لـ s عند . وهذا مثال خاص لنظرية دي ريتشليه لمتسلسلة فورييه. ${\displaystyle x=\pi }$${\displaystyle x=\pi }$

يؤدي هذا المثال إلى حل مشكلة بازل .

تم استعراض إثبات أن سلسلة فورييه هي تمثيل صحيح لأي دالة دورية (تلبي شروط دي ريتشليه ) في § نظرية فورييه التي تثبت تقارب سلسلة فورييه.

في التطبيقات الهندسية ، يُفترض عمومًا أن متسلسلة فورييه تتقارب باستثناء انقطاعات القفز لأن الدوال التي نواجهها في الهندسة تتصرف بشكل أفضل من الدوال التي نواجهها في التخصصات الأخرى. على وجه الخصوص، إذا كانت مستمرة والمشتق لـ (الذي قد لا يوجد في كل مكان) قابل للتكامل التربيعي، فإن متسلسلة فورييه تتقارب بشكل مطلق وموحد إلى . ^[4] إذا كانت الدالة قابلة للتكامل التربيعي على الفاصل ، فإن متسلسلة فورييه تتقارب إلى الدالة في كل مكان تقريبًا . من الممكن تعريف معاملات فورييه لوظائف أو توزيعات أكثر عمومية، وفي هذه الحالة غالبًا ما يفشل التقارب حسب النقطة، وعادةً ما تتم دراسة التقارب في التقارب المعياري أو الضعيف .${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$

• أربع مجموعات جزئية (سلسلة فورييه) بطول 1 و2 و3 و4 حدود، توضح كيف يتحسن التقريب إلى موجة مربعة مع زيادة عدد الحدود (رسوم متحركة)
• أربع مجموعات جزئية (سلسلة فورييه) بأطوال 1 و2 و3 و4 حدود، توضح كيف يتحسن التقريب إلى موجة سن المنشار مع زيادة عدد الحدود (رسوم متحركة)
• 
  مثال على التقارب إلى دالة تعسفية إلى حد ما. لاحظ تطور "الرنين" ( ظاهرة جيبس ) عند الانتقال من/إلى المقاطع الرأسية.

تم تسمية سلسلة فورييه تكريمًا لجان بابتيست جوزيف فورييه (1768-1830)، الذي قدم مساهمات مهمة في دراسة المتسلسلات المثلثية ، بعد التحقيقات الأولية التي أجراها ليونارد أويلر وجان لورون دالمبيرت ودانييل برنولي . ^[ج] قدم فورييه السلسلة لغرض حل معادلة الحرارة في صفيحة معدنية، ونشر نتائجه الأولية في Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ( أطروحة حول انتشار الحرارة في الأجسام الصلبة ) عام 1807، ونشر Théorie analytique de la chaleur ( النظرية التحليلية للحرارة ) عام 1822. قدمت المذكرة تحليل فورييه، وتحديدًا متسلسلة فورييه. من خلال بحث فورييه، تم إثبات حقيقة مفادها أنه يمكن تمثيل دالة عشوائية (في البداية، متصلة ^[5] ثم تم تعميمها لاحقًا على أي دالة متقطعة ناعمة ^{[6] ) بواسطة سلسلة مثلثية. تم الإعلان الأول عن هذا الاكتشاف العظيم بواسطة} فورييه في عام 1807، أمام الأكاديمية الفرنسية . ^[7] تعود الأفكار المبكرة لتحليل دالة دورية إلى مجموع الدوال المتذبذبة البسيطة إلى القرن الثالث قبل الميلاد، عندما اقترح علماء الفلك القدماء نموذجًا تجريبيًا لحركات الكواكب، بناءً على المؤجلات والمدارات الدائرية .

معادلة الحرارة هي معادلة تفاضلية جزئية . قبل عمل فورييه، لم يكن هناك حل معروف لمعادلة الحرارة في الحالة العامة، على الرغم من أن الحلول الخاصة كانت معروفة إذا كان مصدر الحرارة يتصرف بطريقة بسيطة، على وجه الخصوص، إذا كان مصدر الحرارة عبارة عن موجة جيبية أو موجة جيب التمام . تسمى هذه الحلول البسيطة الآن أحيانًا الحلول الذاتية . كانت فكرة فورييه هي نمذجة مصدر حراري معقد كتراكب (أو تركيبة خطية ) من موجات جيبية وجيب التمام البسيطة، وكتابة الحل كتراكب للحلول الذاتية المقابلة . يسمى هذا التراكب أو التركيبة الخطية متسلسلة فورييه.

من وجهة نظر حديثة، كانت نتائج فورييه غير رسمية إلى حد ما، بسبب الافتقار إلى مفهوم دقيق للدالة والتكامل في أوائل القرن التاسع عشر. في وقت لاحق، عبر بيتر جوستاف لوجون دي ريتشليه ^[8] وبرنهارد ريمان ^{[9] [10] [11] عن نتائج} فورييه بدقة أكبر ورسمية.

على الرغم من أن الدافع الأصلي كان حل معادلة الحرارة، إلا أنه أصبح من الواضح لاحقًا أنه يمكن تطبيق نفس التقنيات على مجموعة واسعة من المشكلات الرياضية والفيزيائية، وخاصة تلك التي تنطوي على معادلات تفاضلية خطية ذات معاملات ثابتة، والتي تكون حلولها الذاتية عبارة عن جيب تمام . تحتوي سلسلة فورييه على العديد من التطبيقات في الهندسة الكهربائية ، وتحليل الاهتزاز ، والصوتيات ، والبصريات ، ومعالجة الإشارات ، ومعالجة الصور ، وميكانيكا الكم ، والاقتصاد القياسي ، ^[12] ونظرية الغلاف ، ^[13] وما إلى ذلك .

كتب جوزيف فورييه: ^{[ مشكوك فيه – ناقش ]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

ضرب كلا الطرفين في ، ثم التكامل من إلى ينتج: ${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle y=-1}$${\displaystyle y=+1}$

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

—  جوزيف فورييه، مذكرة حول نشر التطهير في الأجسام الصلبة . (1807) ^{[14] [د]}

يعطي هذا على الفور أي معامل a _k من السلسلة المثلثية لـ φ( y ) لأي دالة لها مثل هذا التوسع. إنه يعمل لأنه إذا كان لـ φ مثل هذا التوسع، فعندئذٍ (تحت افتراضات التقارب المناسبة) يمكن إجراء التكامل حدًا بحد. لكن جميع الحدود التي تتضمن لـ j ≠ k تختفي عند تكاملها من −1 إلى 1، مما يترك الحد فقط. $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$$${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$

في هذه الأسطر القليلة، والتي تقترب من الصيغة الحديثة المستخدمة في متسلسلة فورييه، أحدث فورييه ثورة في كل من الرياضيات والفيزياء. وعلى الرغم من استخدام متسلسلة مثلثية مماثلة من قبل أويلر ودالمبيرت ودانييل برنولي وجاوس ، إلا أن فورييه كان يعتقد أن مثل هذه المتسلسلة المثلثية يمكن أن تمثل أي دالة عشوائية. وبمعنى ما يكون هذا صحيحًا بالفعل، فهذه قضية دقيقة إلى حد ما، وقد أدت المحاولات على مدى سنوات عديدة لتوضيح هذه الفكرة إلى اكتشافات مهمة في نظريات التقارب ومساحات الوظائف والتحليل التوافقي .

عندما قدم فورييه مقالاً لاحقًا للمسابقة في عام 1811، خلصت اللجنة (التي ضمت لاغرانج ولابلاس ومالوس وليجندر ، من بين آخرين) إلى: ... الطريقة التي يصل بها المؤلف إلى هذه المعادلات ليست خالية من الصعوبات و... تحليله لدمجها لا يزال يترك شيئًا مما هو مرغوب فيه من حيث العمومية وحتى الدقة . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

يبدو توسيع سلسلة فورييه لدالة سن المنشار (أعلاه) أكثر تعقيدًا من الصيغة البسيطة ، لذلك ليس من الواضح على الفور سبب احتياج المرء إلى سلسلة فورييه. في حين أن هناك العديد من التطبيقات، كان دافع فورييه في حل معادلة الحرارة . على سبيل المثال، ضع في اعتبارك صفيحة معدنية على شكل مربع يبلغ قياس أضلاعه أمتارًا، مع إحداثيات . إذا لم يكن هناك مصدر حرارة داخل الصفيحة، وإذا تم تثبيت ثلاثة من الأضلاع الأربعة عند 0 درجة مئوية، بينما يتم الحفاظ على الضلع الرابع، المعطى بواسطة ، عند تدرج درجة الحرارة درجات مئوية، لـ في ، فيمكن للمرء أن يُظهر أن توزيع الحرارة الثابت (أو توزيع الحرارة بعد انقضاء فترة طويلة من الزمن) يُعطى بواسطة ${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$${\displaystyle y=\pi }$${\displaystyle T(x,\pi )=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (0,\pi )}$

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

هنا، sinh هي دالة الجيب الزائدية . يتم الحصول على حل معادلة الحرارة هذا عن طريق ضرب كل حد من المعادلة 9 في . في حين يبدو أن دالة المثال لدينا تحتوي على سلسلة فورييه معقدة بلا داعٍ، فإن توزيع الحرارة ليس تافهًا. لا يمكن كتابة الدالة كتعبير مغلق الشكل . أصبحت هذه الطريقة لحل مشكلة الحرارة ممكنة من خلال عمل فورييه. ${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle T(x,y)}$${\displaystyle T}$

تطبيق آخر هو حل مشكلة بازل باستخدام نظرية بارسيفال . المثال يعمم ويمكن للمرء أن يحسب ζ (2 n )، لأي عدد صحيح موجب n .

تظهر في الجدول أدناه بعض الأزواج الشائعة للوظائف الدورية ومعاملات سلسلة فورييه الخاصة بها.

• ${\displaystyle s(x)}$يشير إلى دالة دورية بفترة .${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle A_{0},A_{n},B_{n}}$تعيين معاملات سلسلة فورييه (شكل الجيب وجيب التمام) للدالة الدورية .${\displaystyle s(x)}$

مجال الوقت ${\displaystyle s(x)}$	حبكة	مجال التردد (صيغة الجيب وجيب التمام) ${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{0}\\&A_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&B_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$	ملاحظات	مرجع
${\displaystyle s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}}$	الجيب المصحح للموجة الكاملة	[15] : ص 193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{for }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}}$	الجيب المصحح نصف الموجة	[15] : ص 193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{for }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&AD\\A_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\B_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle 0\leq D\leq 1}$
${\displaystyle s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[15] : ص 192
${\displaystyle s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[15] : ص 192
${\displaystyle s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{3}}\\A_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}}$		[15] : ص 193

يوضح هذا الجدول بعض العمليات الحسابية في مجال الزمن والتأثير المقابل لها في معاملات سلسلة فورييه. التدوين:

• يتم الإشارة إلى الاقتران المعقد بواسطة علامة النجمة.
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$تعيين - وظائف دورية أو وظائف محددة فقط لـ${\displaystyle P}$${\displaystyle x\in [0,P].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$تعيين معاملات سلسلة فورييه (الشكل الأسي) لـ و${\displaystyle s}$${\displaystyle r.}$

ملكية	مجال الوقت	مجال التردد (الشكل الأسي)	ملاحظات	مرجع
الخطية	${\displaystyle a\cdot s(x)+b\cdot r(x)}$	${\displaystyle a\cdot S[n]+b\cdot R[n]}$	${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$
عكس الزمن / عكس التردد	${\displaystyle s(-x)}$	${\displaystyle S[-n]}$		[16] : ص 610
اقتران الوقت	${\displaystyle s^{*}(x)}$	${\displaystyle S^{*}[-n]}$		[16] : ص 610
عكس الزمن والتصريف	${\displaystyle s^{*}(-x)}$	${\displaystyle S^{*}[n]}$
جزء حقيقي في الوقت المناسب	${\displaystyle \operatorname {Re} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n])}$
جزء خيالي في الزمن	${\displaystyle \operatorname {Im} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])}$
الجزء الحقيقي في التردد	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {(S[n])}}$
الجزء التخيلي في التردد	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {(S[n])}}$
التحول في الزمن / التعديل في التردد	${\displaystyle s(x-x_{0})}$	${\displaystyle S[n]\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {x_{0}}{P}}n}}$	${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$	[16] : ص610
التحول في التردد / التعديل في الوقت	${\displaystyle s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {n_{0}}{P}}x}}$	${\displaystyle S[n-n_{0}]\!}$	${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {Z} }$	[16] : ص 610

عندما يتم تحليل الأجزاء الحقيقية والتخيلية لدالة معقدة إلى أجزائها الزوجية والفردية ، فهناك أربعة مكونات، يشار إليها أدناه بالرموز السفلية RE وRO وIE وIO. وهناك تعيين واحد لواحد بين المكونات الأربعة لدالة زمنية معقدة والمكونات الأربعة لتحويل التردد المعقد الخاص بها: ^[17]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

ومن هنا تظهر علاقات مختلفة، على سبيل المثال:

• تحويل دالة ذات قيمة حقيقية ( s _RE + s _RO ) هو دالة متماثلة زوجية S _RE + i S _IO . وعلى العكس من ذلك، فإن التحويل المتماثل الزوجي يعني مجال زمني ذو قيمة حقيقية.
• تحويل الدالة ذات القيمة التخيلية ( i s _IE + i s _IO ) هو الدالة المتماثلة الفردية S _RO + i S _IE ، والعكس صحيح.
• تحويل الدالة المتماثلة الزوجية ( s _RE + i s _IO ) هو الدالة ذات القيمة الحقيقية S _RE + S _RO ، والعكس صحيح.
• تحويل الدالة المتماثلة الفردية ( s _RO + i s _IE ) هو الدالة ذات القيمة التخيلية i S _IE + i S _IO ، والعكس صحيح.

إذا كان قابلاً للتكامل ،، وتعرف هذه النتيجة باسم مبرهنة ريمان-ليبيج .${\displaystyle S}$${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

إذا كان ينتمي إلى (دوري على مدى فترة زمنية ) فإن :${\displaystyle s}$${\displaystyle L^{2}(P)}$${\displaystyle P}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$

إذا كانت معاملات و ، فهناك دالة فريدة بحيث لكل . ${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$${\displaystyle S[n]=c_{n}}$${\displaystyle n}$

الدوال الدورية المعطاة ، ومع معاملات سلسلة فورييه و${\displaystyle P}$${\displaystyle s_{_{P}}}$${\displaystyle r_{_{P}}}$${\displaystyle S[n]}$${\displaystyle R[n],}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• حاصل الضرب النقطي : هو أيضًا دوري - ، ويتم إعطاء معاملات سلسلة فورييه الخاصة به بواسطة الالتفاف المنفصل لمتتاليات و :$${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$ $${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• الالتفاف الدوري : هو أيضًا دوري، مع معاملات سلسلة فورييه :$${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$$${\displaystyle P}$ $${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• المتوالية اللانهائية المزدوجة في هي متوالية معاملات فورييه لدالة في إذا وفقط إذا كانت عبارة عن التفاف لمتواليتين في . انظر ^[18 ]${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

نقول أن ينتمي إلى إذا كانت دالة دورية 2π والتي تكون قابلة للاشتقاق 2 مرات، ومشتقتها متصلة. ${\displaystyle s}$${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$

• إذا ، فيمكن التعبير عن معاملات فورييه للمشتقة من حيث معاملات فورييه للدالة ، من خلال الصيغة .${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]=in{\widehat {s}}[n]}$
• إذا ، إذن . وعلى وجه الخصوص، بما أنه بالنسبة لثابت لدينا ، فيترتب على ذلك أن يميل إلى الصفر، مما يعني أن معاملات فورييه تتقارب إلى الصفر بشكل أسرع من القوة k لـ n لأي .${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle k\geq 1}$

من الخصائص المثيرة للاهتمام لتحويل فورييه التي ذكرناها، أنه يحمل التفافات إلى حاصل ضرب نقطي. إذا كانت هذه هي الخاصية التي نسعى إلى الحفاظ عليها، فيمكن للمرء إنتاج سلسلة فورييه على أي مجموعة مضغوطة . تشمل الأمثلة النموذجية تلك المجموعات الكلاسيكية المضغوطة. هذا يعمم تحويل فورييه على جميع المساحات من النموذج L ² ( G )، حيث G هي مجموعة مضغوطة، بطريقة تحمل تحويل فورييه التفافات إلى حاصل ضرب نقطي. توجد سلسلة فورييه وتتقارب بطرق مماثلة لحالة [− π ، π ] .

الامتداد البديل للمجموعات المدمجة هو نظرية بيتر-ويل ، والتي تثبت النتائج حول تمثيل المجموعات المدمجة المشابهة لتلك الخاصة بالمجموعات المحدودة.

إذا لم يكن المجال مجموعة، فلا يوجد التفاف محدد جوهريًا. ومع ذلك، إذا كان متعدد شعب ريماني مضغوط ، فإنه يحتوي على عامل لابلاس-بلترامي . عامل لابلاس-بلترامي هو العامل التفاضلي الذي يتوافق مع عامل لابلاس لمتعدد الشعب الريماني . ثم، عن طريق القياس، يمكن للمرء أن ينظر في معادلات الحرارة على . نظرًا لأن فورييه وصل إلى أساسه من خلال محاولة حل معادلة الحرارة، فإن التعميم الطبيعي هو استخدام الحلول الذاتية لمشغل لابلاس-بلترامي كأساس. هذا يعمم سلسلة فورييه على مساحات من النوع ، حيث هو متعدد شعب ريماني. تتقارب سلسلة فورييه بطرق مماثلة للحالة . أحد الأمثلة النموذجية هو أن نأخذ أن تكون الكرة بالمقياس المعتاد، وفي هذه الحالة يتكون أساس فورييه من التوافقيات الكروية . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{2}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle X}$

إن التعميم على المجموعات المدمجة التي تمت مناقشتها أعلاه لا ينطبق على المجموعات غير المدمجة وغير الآبيلية . ومع ذلك، هناك تعميم مباشر على المجموعات الآبيلية المدمجة محليًا (LCA) .

يعمم هذا تحويل فورييه إلى أو ، حيث تكون مجموعة LCA. إذا كانت مضغوطة، نحصل أيضًا على سلسلة فورييه، والتي تتقارب على نحو مماثل للحالة ، ولكن إذا كانت غير مضغوطة، نحصل بدلاً من ذلك على تكامل فورييه . ينتج عن هذا التعميم تحويل فورييه المعتاد عندما تكون المجموعة الإبيلية المدمجة محليًا الأساسية هي . ${\displaystyle L^{1}(G)}$${\displaystyle L^{2}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

يمكننا أيضًا تعريف متسلسلة فورييه لوظائف متغيرين وفي المربع : ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

بصرف النظر عن كونها مفيدة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية مثل معادلة الحرارة، فإن أحد التطبيقات البارزة لسلسلة فورييه على المربع هو في ضغط الصورة . على وجه الخصوص، يستخدم معيار ضغط صور JPEG تحويل جيب التمام المنفصل ثنائي الأبعاد ، وهو شكل منفصل من تحويل جيب التمام فورييه ، والذي يستخدم جيب التمام فقط كدالة أساسية.

بالنسبة للمصفوفات ثنائية الأبعاد ذات المظهر المتدرج، يختفي نصف معاملات سلسلة فورييه، بسبب التناظر الإضافي. ^[19]

تُعرَّف شبكة برافيس ثلاثية الأبعاد بأنها مجموعة متجهات من النموذج: حيث هما أعداد صحيحة و هما ثلاثة متجهات مستقلة خطيًا. بافتراض أن لدينا دالة ما ، بحيث تخضع لشرط الدورية لأي متجه شبكة برافيس ، ، يمكننا عمل سلسلة فورييه منها. يمكن أن يكون هذا النوع من الوظائف، على سبيل المثال، الإمكانات الفعالة التي "يشعر" بها" إلكترون واحد داخل بلورة دورية. من المفيد عمل سلسلة فورييه للإمكانات عند تطبيق نظرية بلوخ . أولاً، يمكننا كتابة أي متجه موضع عشوائي في نظام إحداثيات الشبكة: حيث يعني أن يتم تعريفه على أنه مقدار ، وبالتالي فإن متجه الوحدة موجه على طول . $${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$${\displaystyle a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|,}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} _{i}}}={\frac {\mathbf {a} _{i}}{a_{i}}}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

وبالتالي يمكننا تعريف وظيفة جديدة، $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).}$$

هذه الوظيفة الجديدة، ، هي الآن وظيفة لثلاثة متغيرات، كل منها له دورية ، ، و على التوالي: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle a_{3}}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).}$$

يتيح لنا هذا إنشاء مجموعة من معاملات فورييه، كل منها مفهرس بثلاثة أعداد صحيحة مستقلة . فيما يلي، نستخدم تدوين الدالة للإشارة إلى هذه المعاملات، حيث استخدمنا سابقًا الفهارس السفلية. إذا كتبنا سلسلة لـ على الفاصلة لـ ، فيمكننا تعريف ما يلي: ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \left[0,a_{1}\right]}$${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}}$$

ومن ثم يمكننا أن نكتب: $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}}$$

مزيد من التعريف: $${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}}$$

ويمكننا أن نكتب مرة أخرى على النحو التالي: ${\displaystyle g}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}}$$

وأخيرًا، بتطبيق نفس الشيء على الإحداثي الثالث، نقوم بتعريف: $${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}}$$

نكتب على النحو التالي: ${\displaystyle g}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}}$$

إعادة الترتيب: $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}$$

الآن، يمكن كتابة كل متجه شبكي متبادل (ولكن هذا لا يعني أنه الطريقة الوحيدة للكتابة) على النحو التالي ، حيث هما أعداد صحيحة و هما متجهان شبكيان متبادلان لإرضاء ( بالنسبة إلى ، وبالنسبة إلى ). ثم بالنسبة لأي متجه شبكي متبادل تعسفي ومتجه موضع تعسفي في فضاء شبكة برافيس الأصلي، فإن حاصل ضربهما القياسي هو: ${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}}$${\displaystyle \delta _{ij}=1}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \delta _{ij}=0}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right).}$$

لذا فمن الواضح أنه في توسعنا لـ ، المجموع هو في الواقع على متجهات الشبكة المتبادلة: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=f(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },}$$

أين$${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.}$$

بافتراض أنه يمكننا حل نظام المعادلات الخطية الثلاث هذا بالنسبة إلى ، ، وبالنسبة إلى ، ومن أجل حساب عنصر الحجم في نظام الإحداثيات المستطيلية الأصلي. بمجرد أن يكون لدينا ، وبالنسبة إلى ، وبالنسبة إلى ، يمكننا حساب محدد جاكوبي : والذي يمكن بعد بعض الحسابات وتطبيق بعض متطابقات الضرب المتقاطع غير التافهة أن يُظهِر أنه يساوي: $${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$$${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}}$$$${\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}}$$

(قد يكون من المفيد من أجل تبسيط الحسابات، العمل في نظام إحداثيات مستطيلي، حيث يحدث أن يكون موازيًا لمحور x ، ويقع في المستوى xy ، وله مكونات المحاور الثلاثة). المقام هو بالضبط حجم الخلية الوحدوية البدائية التي تحيط بها المتجهات البدائية الثلاثة ، و . وعلى وجه الخصوص، نعلم الآن أن ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$$${\displaystyle dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\cdot dx\,dy\,dz.}$$

يمكننا الآن الكتابة على هيئة تكامل بنظام الإحداثيات التقليدي على حجم الخلية البدائية، بدلاً من الكتابة باستخدام المتغيرات و : الكتابة لعنصر الحجم ؛ وحيث تكون الخلية الوحدوية البدائية، وبالتالي، يكون حجم الخلية الوحدوية البدائية. ${\displaystyle h(\mathbf {G} )}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$$${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$$${\displaystyle d\mathbf {r} }$${\displaystyle dx\,dy\,dz}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}$

في لغة فضاءات هيلبرت ، مجموعة الدوال هي أساس متعامد عمودي لمساحة الدوال القابلة للتكامل التربيعي على . هذه المساحة هي في الواقع مساحة هيلبرت مع حاصل ضرب داخلي لأي عنصرين و بواسطة: ${\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}(x)\,dx,}$أين هو المركب المعقد لـ${\displaystyle g^{*}(x)}$${\displaystyle g(x).}$

يمكن كتابة نتيجة سلسلة فورييه الأساسية لمساحات هيلبرت على النحو التالي

${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.}$

يتوافق هذا تمامًا مع الصيغة الأسية المعقدة الموضحة أعلاه. كما أن النسخة التي تحتوي على الجيب وجيب التمام مبررة أيضًا بتفسير فضاء هيلبرت. في الواقع، تشكل الجيب وجيب التمام مجموعة متعامدة : (حيث δ _mn هي دلتا كرونيكر )، وعلاوة على ذلك، تكون الجيب وجيب التمام متعامدين مع الدالة الثابتة . يتم تشكيل أساس متعامد عمودي للتكوين من الدوال الحقيقية بواسطة الدوال و ، مع n = 1،2،.... كثافة امتدادها هي نتيجة لنظرية ستون-فايرشتراس ، ولكنها تتبع أيضًا خصائص النوى الكلاسيكية مثل نواة فيجر . $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,}$$ $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$$$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;}$$${\displaystyle 1}$${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {2}}\cos(nx)}$${\displaystyle {\sqrt {2}}\sin(nx)}$

يُشار أحيانًا إلى هذه النظريات، والاختلافات غير الرسمية منها التي لا تحدد شروط التقارب، بشكل عام باسم نظرية فورييه أو نظرية فورييه . ^{[20] [21] [22] [23]}

المعادلة السابقة 3 :

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$

هي كثيرة حدود مثلثية من الدرجة التي يمكن التعبير عنها عمومًا على النحو التالي :${\displaystyle N}$

${\displaystyle p_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$

تتضمن نظرية بارسيفال ما يلي:

بسبب خاصية المربعات الصغرى، وبسبب اكتمال قاعدة فورييه، نحصل على نتيجة تقارب أولية.

لقد ذكرنا بالفعل أنه إذا كان قابلاً للاشتقاق بشكل مستمر، فإن معامل فورييه للمشتقة هو . نظرًا لأن المشتقة متصلة، وبالتالي محدودة، فهي قابلة للتكامل التربيعي ومعاملات فورييه الخاصة بها قابلة للجمع التربيعي . إذن، وفقًا لمتباينة كوشي-شوارتز ، ${\displaystyle s}$${\displaystyle (i\cdot n)S[n]}$${\displaystyle n^{\text{th}}}$${\displaystyle s'}$

${\displaystyle \left(\sum _{n\neq 0}|S[n]|\right)^{2}\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \sum _{n\neq 0}|nS[n]|^{2}.}$

هذا يعني أن قابل للجمع بشكل مطلق. مجموع هذه السلسلة هو دالة متصلة، تساوي ، لأن سلسلة فورييه تتقارب في : ${\displaystyle s_{\infty }}$${\displaystyle s}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle s}$

يمكن إثبات هذه النتيجة بسهولة إذا افترضنا أيضًا أنها ، حيث تميل في هذه الحالة إلى الصفر مثل . وبشكل عام، فإن سلسلة فورييه قابلة للجمع المطلق، وبالتالي تتقارب بشكل موحد إلى ، بشرط أن تلبي شرط هولدر من الدرجة . في حالة إمكانية الجمع المطلق، تكون المتباينة: ${\displaystyle s}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle n^{2}S[n]}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \alpha >1/2}$

${\displaystyle \sup _{x}|s(x)-s_{_{N}}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S[n]|}$

يثبت التقارب الموحد.

هناك العديد من النتائج الأخرى المتعلقة بتقارب متسلسلة فورييه ، والتي تتراوح من النتيجة البسيطة إلى حد ما والتي تقول بأن المتسلسلة تتقارب عند إذا كانت قابلة للاشتقاق عند ، إلى نتيجة لينارت كارلسون الأكثر تعقيدًا والتي تقول بأن متسلسلة فورييه لدالة تتقارب فعليًا في كل مكان تقريبًا . ${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L^{2}}$

نظرًا لأن متسلسلة فورييه تتمتع بخصائص تقارب جيدة، فإن العديد من الأشخاص غالبًا ما يفاجأون ببعض النتائج السلبية. على سبيل المثال، لا يلزم أن تتقارب متسلسلة فورييه لدالة دورية متصلة ذات قيمة T نقطة نقطة. يقدم مبدأ الحدود المنتظمة دليلاً بسيطًا غير بناء لهذه الحقيقة.

في عام 1922، نشر أندريه كولموغوروف مقالاً بعنوان سلسلة فورييه-ليبيج المتباعدة جزئيًا ، حيث أعطى مثالاً لدالة قابلة للتكامل باستخدام ليبيج تتباعد سلسلة فورييه الخاصة بها في كل مكان تقريبًا. ثم قام لاحقًا ببناء مثال لدالة قابلة للتكامل تتباعد سلسلة فورييه الخاصة بها في كل مكان. ^[24]

من الممكن إعطاء أمثلة واضحة لدالة مستمرة تتباعد سلسلة فورييه الخاصة بها عند 0: على سبيل المثال، الدالة الزوجية والدورية 2π f المحددة لجميع x في [0,π] بواسطة ^[25]

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].}$

لأن الدالة زوجية فإن سلسلة فورييه تحتوي فقط على جيب التمام:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }C_{m}\cos(mx).}$

المعاملات هي:

${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left\{{\frac {2}{2^{n^{3}}+1-2m}}+{\frac {2}{2^{n^{3}}+1+2m}}\right\}}$

مع زيادة m ، ستكون المعاملات موجبة ومتزايدة حتى تصل إلى قيمة حوالي عند لبعض n ثم تصبح سالبة (تبدأ بقيمة حوالي ) وتصبح أصغر، قبل بدء موجة جديدة من هذا القبيل. في سلسلة فورييه، يكون المجموع الجاري ببساطة هو وهذا يتراكم إلى حوالي ${\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi )}$${\displaystyle m=2^{n^{3}}/2}$${\displaystyle -2/(n^{2}\pi )}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle C_{m},}$

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}\pi }}\sum _{k=0}^{2^{n^{3}}/2}{\frac {2}{2k+1}}\sim {\frac {1}{n^{2}\pi }}\ln 2^{n^{3}}={\frac {n}{\pi }}\ln 2}$

في الموجة n قبل العودة إلى ما يقرب من الصفر، مما يدل على أن السلسلة لا تتقارب عند الصفر ولكنها تصل إلى قمم أعلى وأعلى. لاحظ أنه على الرغم من أن الدالة متصلة، إلا أنها غير قابلة للاشتقاق.

• "سلسلة فورييه"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• هوبسون، إرنست (1911). "سلسلة فورييه"  . الموسوعة البريطانية . المجلد 10 (الطبعة الحادية عشرة). ص 753-758.
• وايسشتاين، إريك دبليو. "متسلسلة فورييه". MathWorld .
• جوزيف فورييه – موقع عن حياة فورييه تم استخدامه للقسم التاريخي لهذه المقالة في موقع واي باك مشين (تم أرشفته في 5 ديسمبر 2001)

تتضمن هذه المقالة مواد من مثال سلسلة فورييه على PlanetMath ، والتي تخضع لرخصة المشاع الإبداعي المنسوبة/المشابهة .