تحويل فورييه المنفصل

إن استخدام التعريف القياسي لـ DFT يحذف فترة أخذ العينات (أو مسافة أخذ العينات).${\displaystyle \Delta t}$في الحالات التي يتوافق فيها المؤشر مع الوقت عبر${\displaystyle n\Delta t=t}$.

لربط معاملات تحويل فورييه المنفصل بتحويل فورييه المستمر للبيانات المأخوذة عينات منها، يمكن تضمين فترة أخذ العينات بشكل صريح كما يلي:

${\displaystyle {\tilde {X}}_{k}=\Delta t\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}}$

تقوم معظم مكتبات البرامج بحساب معاملات DFT غير المُقاسة${\displaystyle X_{k}}$، بما في ذلك تطبيقات تحويل فورييه السريع المقابلة لها . وبالتالي، يمكن الحصول على المعاملات المُقاسة على النحو التالي:${\displaystyle {\tilde {X}}_{k}=\Delta t\cdot X_{k}}$.

يصبح التحويل العكسي المقابل كما يلي:

${\displaystyle x_{n}=\Delta f\sum _{k=0}^{N-1}{\tilde {X}}_{k}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}}$

أين${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\Delta tN}}}$.

باستخدام تحويل فورييه المنفصل العكسي كما هو مطبق في معظم مكتبات البرامج، يمكن كتابة ذلك بشكل مكافئ على النحو التالي:

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{\Delta t}}\operatorname {IDFT} ({\tilde {X}})}$

عند تطبيق تحويل فورييه المنفصل على البيانات الفيزيائية، تكون فترة أخذ العينات${\displaystyle \Delta t}$(أو ما يعادل ذلك)${\displaystyle \Delta f}$يُعدّ تضمين فترة أخذ العينات جزءًا أساسيًا من تعريف الإشارة. ويضمن هذا التضمين تفسيرًا صحيحًا للسعة والطاقة والتردد، لا سيما عند دمج أو مقارنة البيانات من مصادر مختلفة.

يمكن اعتبار تحويل فورييه المنفصل (DFT) بمثابة تحويل لتسلسل محدود من عينات متساوية التباعد لدالة ما إلى تسلسل مماثل من عينات متساوية التباعد لتحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT)، وهو دالة ذات قيم مركبة للتردد. الفترة الزمنية التي تُؤخذ عندها عينات DTFT هي مقلوب مدة التسلسل المدخل. ^{[ أ ] [ 5 ]} يُعد تحويل فورييه المنفصل العكسي (IDFT) متسلسلة فورييه ، حيث تُستخدم عينات DTFT كمعاملات لدوال جيبية مركبة عند ترددات DTFT المقابلة. وله نفس قيم العينات الخاصة بالتسلسل المدخل الأصلي. لذلك، يُقال إن DFT هو تمثيل في مجال التردد للتسلسل المدخل الأصلي. إذا كان التسلسل الأصلي يشمل جميع القيم غير الصفرية لدالة ما، فإن DTFT الخاص به يكون متصلًا (ودوريًا)، ويُوفر DFT عينات منفصلة لدورة واحدة. أما إذا كان التسلسل الأصلي دورة واحدة لدالة دورية ، فإن DFT يُوفر جميع القيم غير الصفرية لدورة DTFT واحدة.

يمكن تفسير المعادلة 1 أو اشتقاقها بطرق مختلفة، على سبيل المثال:

التحويل المنفصل هو تحويل خطي، أي إذا${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$و${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{y_{n}\})_{k}=Y_{k}}$ثم لأي أعداد مركبة${\displaystyle a,b}$:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{ax_{n}+by_{n}\})_{k}=aX_{k}+bY_{k}}$

عكس الزمن (أي استبدال${\displaystyle n}$بواسطة${\displaystyle N-n}$) ^{[ ج ]} في${\displaystyle x_{n}}$يتوافق ذلك مع عكس التردد (أي${\displaystyle k}$بواسطة${\displaystyle N-k}$). ^{[ 6 ] : ص 421} رياضياً، إذا${\displaystyle \{x_{n}\}}$يمثل المتجه x إذن

لو${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$

ثم${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{N-n}\})_{k}=X_{N-k}}$

لو${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$ثم${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}^{*}\})_{k}=X_{N-k}^{*}}$[ ^{6 ] : ص 423}

يوضح هذا الجدول بعض العمليات الحسابية على${\displaystyle x_{n}}$في المجال الزمني والتأثيرات المقابلة على تحويل فورييه المنفصل (DFT)${\displaystyle X_{k}}$في مجال التردد.

ملكية	المجال الزمني${\displaystyle x_{n}}$	مجال التردد${\displaystyle X_{k}}$
جزء حقيقي في الوقت	${\displaystyle \operatorname {Re} {\left(x_{n}\right)}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X_{k}+X_{N-k}^{*}\right)}$
جزء خيالي في الزمن	${\displaystyle \operatorname {Im} {\left(x_{n}\right)}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}\left(X_{k}-X_{N-k}^{*}\right)}$
الجزء الحقيقي في التردد	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(x_{n}+x_{N-n}^{*}\right)}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {\left(X_{k}\right)}}$
الجزء التخيلي في التردد	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}\left(x_{n}-x_{N-n}^{*}\right)}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {\left(X_{k}\right)}}$

المتجهات${\displaystyle u_{k}=\left[\left.e^{{\frac {i2\pi }{N}}kn}\;\right|\;n=0,1,\ldots ,N-1\right]^{\mathsf {T}}}$، ل${\displaystyle k=0,1,\ldots ,N-1}$، تشكل أساسًا متعامدًا على مجموعة المتجهات المركبة ذات الأبعاد N :

${\displaystyle u_{k}^{\mathsf {T}}u_{k'}^{*}=\sum _{n=0}^{N-1}\left(e^{{\frac {i2\pi }{N}}kn}\right)\left(e^{{\frac {i2\pi }{N}}(-k')n}\right)=\sum _{n=0}^{N-1}e^{{\frac {i2\pi }{N}}(k-k')n}=N~\delta _{kk'}}$

أين${\displaystyle \delta _{kk'}}$هي دالة كرونكر دلتا . (في الخطوة الأخيرة، يكون الجمع تافهاً إذا${\displaystyle k=k'}$، حيث يكون 1 + 1 + ⋯ = N ، وإلا فهي متسلسلة هندسية يمكن جمعها صراحة للحصول على الصفر.) يمكن استخدام شرط التعامد هذا لاستنتاج صيغة تحويل فورييه المنفصل العكسي من تعريف تحويل فورييه المنفصل، وهو مكافئ لخاصية الوحدة أدناه.

لو${\displaystyle X_{k}}$و${\displaystyle Y_{k}}$هي تحويلات التيار المنفصلة لـ${\displaystyle x_{n}}$و${\displaystyle y_{n}}$على التوالي، تنص نظرية بارسيفال على ما يلي:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}y_{n}^{*}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}Y_{k}^{*}}$

حيث تشير النجمة إلى المرافق المركب . ^{[ 7 ]} تُعدّ نظرية بلانشيريل حالة خاصة من نظرية بارسيفال، وتنص على ما يلي:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x_{n}|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X_{k}|^{2}.}$

هذه النظريات مكافئة أيضاً للشرط الوحدوي أدناه.

يمكن إثبات الدورية مباشرة من التعريف:

${\displaystyle X_{k+N}\ \triangleq \ \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}(k+N)n}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}kn}\underbrace {e^{-i2\pi n}} _{1}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}kn}=X_{k}.}$

وبالمثل، يمكن إثبات أن صيغة تحويل فورييه العكسي المنفصل تؤدي إلى امتداد دوري لـ${\displaystyle x_{n}}$.

الضرب${\displaystyle x_{n}}$بواسطة طور خطي${\displaystyle e^{{\frac {i2\pi }{N}}nm}}$بالنسبة لعدد صحيح ما m، يتوافق ذلك مع إزاحة دائرية للمخرج${\displaystyle X_{k}}$:${\displaystyle X_{k}}$يتم استبدالها بـ${\displaystyle X_{k-m}}$حيث يُفسَّر الرمز السفلي بتردد N (أي دوريًا). ^{[ 7 ]} وبالمثل، إزاحة دائرية للمدخل${\displaystyle x_{n}}$يتوافق ذلك مع ضرب الناتج${\displaystyle X_{k}}$بواسطة طور خطي . رياضياً، إذا${\displaystyle \{x_{n}\}}$يمثل المتجه x إذن

لو${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$

ثم${\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\left\{x_{n}\cdot e^{{\frac {i2\pi }{N}}nm}\right\}\right)_{k}=X_{k-m}}$

و${\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\left\{x_{n-m}\right\}\right)_{k}=X_{k}\cdot e^{-{\frac {i2\pi }{N}}km}}$

تنص نظرية الالتفاف لتحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT) على أنه يمكن الحصول على التفاف متتابعتين كتحويل عكسي لحاصل ضرب التحويلين الفرديين. ويحدث تبسيط مهم عندما تكون إحدى المتتابعتين دورية من الدرجة N، ويرمز لها هنا بـ${\displaystyle y_{_{N}},}$لأن${\displaystyle \scriptstyle {\text{DTFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}}$تكون قيمتها غير صفرية عند الترددات المنفصلة فقط (انظر DTFT §  البيانات الدورية )، وبالتالي فإن حاصل ضربها بالدالة المستمرة يكون غير صفري أيضًا.${\displaystyle \scriptstyle {\text{DTFT}}\displaystyle \{x\}.}$يؤدي ذلك إلى تبسيط كبير للتحويل العكسي.

${\displaystyle x*y_{_{N}}\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right],}$

أين${\displaystyle x_{_{N}}}$هو مجموع دوري لـ${\displaystyle x}$تسلسل :${\displaystyle (x_{_{N}})_{n}\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }x_{(n-mN)}.}$

عادةً، يتم إجراء عمليات جمع DFT وDFT العكسي على المجال${\displaystyle [0,N-1]}$تعريف تلك التحويلات المنفصلة للوظائف على النحو التالي:${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$والنتيجة هي :

${\displaystyle (x*y_{_{N}})_{n}\triangleq \sum _{\ell =-\infty }^{\infty }x_{\ell }\cdot (y_{_{N}})_{n-\ell }=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}} _{\rm {DFT^{-1}}}\left\{X\cdot Y\right\}_{n}.}$

عملياً، الـ${\displaystyle x}$عادةً ما يكون طول التسلسل N أو أقل، و${\displaystyle y_{_{N}}}$هو امتداد دوري لطول N${\displaystyle y}$-المتتالية، والتي يمكن التعبير عنها أيضًا كدالة دائرية :

${\displaystyle (y_{_{N}})_{n}=\sum _{p=-\infty }^{\infty }y_{(n-pN)}=y_{(n\operatorname {mod} N)},\quad n\in \mathbb {Z} .}$

ويمكن كتابة عملية الالتفاف على النحو التالي :

مما يؤدي إلى تفسيرها على أنها التفاف دائري لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y.}$^{[ 8 ] [ 9 ]} غالبًا ما تُستخدم لحساب الالتفاف الخطي بكفاءة. (انظرالالتفاف الدائري،وخوارزميات الالتفاف السريع،وحفظ التداخل)

وبالمثل، فإن الارتباط المتبادل لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y_{_{N}}}$يُعطى بواسطة :

${\displaystyle (x\star y_{_{N}})_{n}\triangleq \sum _{\ell =-\infty }^{\infty }x_{\ell }^{*}\cdot (y_{_{N}})_{n+\ell }={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X^{*}\cdot Y\right\}_{n}.}$

كما رأينا سابقًا، يتميز تحويل فورييه المنفصل بخاصية أساسية تتمثل في تحويل عملية الالتفاف إلى ضرب عنصري. والسؤال الذي يطرح نفسه هو: هل هو التحويل الوحيد الذي يمتلك هذه الخاصية؟ لقد ثبت ^{[ 10 ] [ 11 ]} أن أي تحويل خطي يحول الالتفاف إلى ضرب نقطي هو تحويل فورييه المنفصل حتى تبديل المعاملات. وبما أن عدد تباديل n عنصرًا يساوي n!، فإنه يوجد بالضبط n! من التحويلات الخطية والعكسية التي لها نفس الخاصية الأساسية لتحويل فورييه المنفصل فيما يتعلق بالالتفاف.

ويمكن أيضاً إثبات ما يلي :

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\mathbf {x\cdot y} \right\}_{k}\ \triangleq \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot y_{n}\cdot e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{N}}(\mathbf {X*Y_{N}} )_{k},}$وهو الالتفاف الدائري لـ${\displaystyle \mathbf {X} }$و${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

متعددة الحدود المثلثية للاستيفاء

${\displaystyle p(t)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{N}}\left[{\begin{alignedat}{3}X_{0}+X_{1}e^{i2\pi t}+\cdots &+X_{{\frac {N}{2}}-1}e^{i2\pi {\big (}\!{\frac {N}{2}}-1\!{\big )}t}&\\&+X_{\frac {N}{2}}\cos(N\pi t)&\\&+X_{{\frac {N}{2}}+1}e^{-i2\pi {\big (}\!{\frac {N}{2}}-1\!{\big )}t}&+\cdots +X_{N-1}e^{-i2\pi t}\end{alignedat}}\right]&N{\text{ even}}\\\displaystyle {\frac {1}{N}}\left[{\begin{alignedat}{3}X_{0}+X_{1}e^{i2\pi t}+\cdots &+X_{\frac {N-1}{2}}e^{i2\pi {\frac {N-1}{2}}t}&\\&+X_{\frac {N+1}{2}}e^{-i2\pi {\frac {N-1}{2}}t}&+\cdots +X_{N-1}e^{-i2\pi t}\end{alignedat}}\right]&N{\text{ odd}}\end{cases}}}$

حيث تُعطى المعاملات X _k بواسطة تحويل فورييه المنفصل لـ x _n أعلاه، وتُحقق خاصية الاستيفاء${\displaystyle p(n/N)=x_{n}}$ل${\displaystyle n=0,\ldots ,N-1}$.

بالنسبة لـ N الزوجية ، لاحظ أن مكون نايكويست${\textstyle {\frac {X_{N/2}}{N}}\cos(N\pi t)}$يتم التعامل معها بشكل خاص.

هذا الاستيفاء ليس فريدًا : يشير التداخل إلى أنه يمكن إضافة N إلى أي من ترددات الموجة الجيبية المركبة (على سبيل المثال، تغيير${\displaystyle e^{-it}}$ل${\displaystyle e^{i(N-1)t}}$) دون تغيير خاصية الاستيفاء، ولكن بإعطاء قيم مختلفة بينهما${\displaystyle x_{n}}$النقاط. مع ذلك، يُعدّ الخيار المذكور أعلاه نموذجيًا لأنه يتمتع بخاصيتين مفيدتين. أولًا، يتكون من موجات جيبية ذات ترددات ذات أصغر قيم ممكنة: أي أن الاستيفاء محدود النطاق . ثانيًا، إذا كان ${\displaystyle x_{n}}$إذا كانت أعدادًا حقيقية، فإن${\displaystyle p(t)}$وهو حقيقي أيضاً.

في المقابل، فإن أكثر كثيرات الحدود المثلثية وضوحًا هي تلك التي تتراوح تردداتها من 0 إلى${\displaystyle N-1}$(بدلاً من تقريبًا)${\displaystyle -N/2}$ل${\displaystyle +N/2}$كما سبق)، على غرار صيغة تحويل فورييه المنفصل العكسي. لا يقلل هذا الاستيفاء من الميل، ولا تكون قيمته حقيقية بشكل عام للأعداد الحقيقية.${\displaystyle x_{n}}$يُعدّ استخدامها خطأً شائعاً.

هناك طريقة أخرى للنظر إلى تحويل فورييه المنفصل (DFT) وهي ملاحظة أنه في المناقشة أعلاه، يمكن التعبير عن تحويل فورييه المنفصل (DFT) على أنه مصفوفة تحويل فورييه المنفصل (DFT) ، وهي مصفوفة فاندرموند ، التي قدمها سيلفستر في عام 1867.

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\omega _{N}^{0\cdot 0}&\omega _{N}^{0\cdot 1}&\cdots &\omega _{N}^{0\cdot (N-1)}\\\omega _{N}^{1\cdot 0}&\omega _{N}^{1\cdot 1}&\cdots &\omega _{N}^{1\cdot (N-1)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{N}^{(N-1)\cdot 0}&\omega _{N}^{(N-1)\cdot 1}&\cdots &\omega _{N}^{(N-1)\cdot (N-1)}\\\end{bmatrix}}}$

أين${\displaystyle \omega _{N}=e^{-i2\pi /N}}$هو جذر أولي من الرتبة N للوحدة .

على سبيل المثال، في الحالة التي${\displaystyle N=2}$،${\displaystyle \omega _{N}=e^{-i\pi }=-1}$، و

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\\end{bmatrix}},}$

(وهي مصفوفة هادامارد ) أو عندما ${\displaystyle N=4}$كما هو الحال في تحويل فورييه المنفصل §  المثال أعلاه،${\displaystyle \omega _{N}=e^{-i\pi /2}=-i}$، و

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-i&-1&i\\1&-1&1&-1\\1&i&-1&-i\\\end{bmatrix}}.}$

ثم يُعطى التحويل العكسي بواسطة معكوس المصفوفة المذكورة أعلاه،

${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}={\frac {1}{N}}\mathbf {F} ^{*}}$

باستخدام ثوابت التطبيع الموحدة${\textstyle 1/{\sqrt {N}}}$، يصبح تحويل فورييه المنفصل تحويلاً وحدوياً ، يتم تعريفه بواسطة مصفوفة وحدوية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} &={\frac {1}{\sqrt {N}}}\mathbf {F} \\\mathbf {U} ^{-1}&=\mathbf {U} ^{*}\\\left|\det(\mathbf {U} )\right|&=1\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \det()}$هي دالة المحدد . المحدد هو حاصل ضرب القيم الذاتية، والتي تكون دائمًا${\displaystyle \pm 1}$أو${\displaystyle \pm i}$كما هو موضح أدناه. في فضاء متجهي حقيقي، يمكن اعتبار التحويل الوحدوي مجرد دوران صلب لنظام الإحداثيات، ويمكن إيجاد جميع خصائص الدوران الصلب في تحويل فورييه المنفصل الوحدوي.

يتم الآن التعبير عن تعامد تحويل فورييه المنفصل كشرط للتعامد المعياري (والذي يظهر في العديد من مجالات الرياضيات كما هو موضح في جذر الوحدة ):

${\displaystyle \sum _{m=0}^{N-1}U_{km}U_{mn}^{*}=\delta _{kn}}$

إذا عُرِّف X بأنه تحويل فورييه المنفصل الوحدوي للمتجه x ، فإن

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}U_{kn}x_{n}}$

وتُصاغ نظرية بارسيفال على النحو التالي:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}y_{n}^{*}=\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}Y_{k}^{*}}$

إذا نظرنا إلى تحويل فورييه المنفصل (DFT) على أنه مجرد تحويل إحداثيات يحدد ببساطة مكونات متجه في نظام إحداثيات جديد، فإن ما سبق هو مجرد بيان بأن حاصل الضرب النقطي لمتجهين يبقى محفوظًا تحت تحويل فورييه المنفصل الوحدوي. أما في الحالة الخاصة${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} }$وهذا يعني أن طول المتجه محفوظ أيضًا - وهذه هي ببساطة نظرية بلانشيريل .

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x_{n}|^{2}=\sum _{k=0}^{N-1}|X_{k}|^{2}}$

من نتائج نظرية الالتفاف الدائري أن مصفوفة DFT F تقوم بقطرنة أي مصفوفة دائرية .

من الخصائص المفيدة لتحويل فورييه المنفصل (DFT) سهولة التعبير عن معكوسه بدلالة تحويل فورييه المنفصل (الأمامي)، وذلك عبر عدة "حيل" معروفة. (على سبيل المثال، في الحسابات، من الملائم غالبًا تطبيق تحويل فورييه سريع خاص باتجاه تحويل واحد فقط، ثم الحصول على اتجاه التحويل الآخر من الأول).

أولاً، يمكننا حساب تحويل فورييه المنفصل العكسي عن طريق عكس جميع المدخلات باستثناء واحد: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(\{x_{n}\})={\frac {1}{N}}{\mathcal {F}}(\{x_{N-n}\})}$

(وكالعادة، تُفسَّر الرموز السفلية بتردد N ؛ وبالتالي، بالنسبة لـ${\displaystyle n=0}$لدينا${\displaystyle x_{N-0}=x_{0}}$.)

ثانيًا، يمكن أيضًا ربط المدخلات والمخرجات:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(\mathbf {x} )={\frac {1}{N}}{\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} ^{*}\right)^{*}}$

ثالثًا، هناك شكل مختلف من هذه الحيلة المتعلقة بالاقتران، وهو أمر مفضل أحيانًا لأنه لا يتطلب تعديل قيم البيانات، ويتضمن تبديل الأجزاء الحقيقية والخيالية (وهو ما يمكن القيام به على جهاز الكمبيوتر ببساطة عن طريق تعديل المؤشرات ). عرّف${\textstyle \operatorname {swap} (x_{n})}$مثل${\displaystyle x_{n}}$مع تبديل أجزائها الحقيقية والخيالية - أي إذا${\displaystyle x_{n}=a+bi}$ثم${\textstyle \operatorname {swap} (x_{n})}$يكون${\displaystyle b+ai}$أو بعبارة أخرى،${\textstyle \operatorname {swap} (x_{n})}$يساوي${\displaystyle ix_{n}^{*}}$. ثم

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(\mathbf {x} )={\frac {1}{N}}\operatorname {swap} ({\mathcal {F}}(\operatorname {swap} (\mathbf {x} )))}$

أي أن التحويل العكسي هو نفسه التحويل الأمامي مع تبديل الأجزاء الحقيقية والخيالية لكل من المدخلات والمخرجات، وصولاً إلى عملية التطبيع. ^{[ 12 ]}

يمكن أيضًا استخدام حيلة الاقتران لتعريف تحويل جديد، يرتبط ارتباطًا وثيقًا بتحويل فورييه المنفصل، وهو تحويل عكسي - أي أنه معكوس نفسه. على وجه الخصوص،${\displaystyle T(\mathbf {x} )={\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} ^{*}\right)/{\sqrt {N}}}$من الواضح أنها معكوسة نفسها:${\displaystyle T(T(\mathbf {x} ))=\mathbf {x} }$. تحويل انطوائي وثيق الصلة (بمعامل من${\textstyle {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}}$) يكون${\displaystyle H(\mathbf {x} )={\mathcal {F}}\left((1+i)\mathbf {x} ^{*}\right)/{\sqrt {2N}}}$منذ${\displaystyle (1+i)}$العوامل في${\displaystyle H(H(\mathbf {x} ))}$ألغِ الرقم 2. بالنسبة للمدخلات الحقيقية${\displaystyle \mathbf {x} }$الجزء الحقيقي من${\displaystyle H(\mathbf {x} )}$وهو ليس سوى تحويل هارتلي المنفصل ، وهو أيضًا تحويل عكسي.

القيم الذاتية لمصفوفة تحويل فورييه المنفصل بسيطة ومعروفة، بينما المتجهات الذاتية معقدة وغير فريدة، وهي موضوع بحث مستمر. تُقدم صيغ صريحة مع قدر كبير من نظرية الأعداد . ^{[ 13 ]}

ضع في اعتبارك الشكل الوحدوي${\displaystyle \mathbf {U} }$تم تعريف ذلك أعلاه لتحويل فورييه المنفصل ذي الطول N ، حيث

${\displaystyle \mathbf {U} _{m,n}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\omega _{N}^{(m-1)(n-1)}={\frac {1}{\sqrt {N}}}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}(m-1)(n-1)}.}$

تحقق هذه المصفوفة معادلة كثير الحدود المصفوفية التالية :

${\displaystyle \mathbf {U} ^{4}=\mathbf {I} .}$

ويمكن ملاحظة ذلك من خلال الخصائص العكسية المذكورة أعلاه: التشغيل${\displaystyle \mathbf {U} }$يؤدي تكرار العملية مرتين إلى عكس ترتيب البيانات الأصلية، لذا فإن التشغيل${\displaystyle \mathbf {U} }$تؤدي عملية الضرب أربع مرات إلى استعادة البيانات الأصلية، وبالتالي تصبح مصفوفة الوحدة . هذا يعني أن القيم الذاتية${\displaystyle \lambda }$تحقق المعادلة التالية:

${\displaystyle \lambda ^{4}=1.}$

وبالتالي، فإن القيم الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {U} }$هي الجذور الرابعة للوحدة :${\displaystyle \lambda }$هو +1، -1، + i ، أو - i .

بما أن هناك أربع قيم ذاتية مميزة فقط لهذا${\displaystyle N\times N}$للمصفوفات، توجد تعددية معينة . تُعطي هذه التعددية عدد المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا والمقابلة لكل قيمة ذاتية. (يوجد N متجهًا ذاتيًا مستقلًا؛ المصفوفة الوحدوية لا تكون معيبة أبدًا ).

تم حل مشكلة تعددها بواسطة ماكليلان وباركس (1972)، على الرغم من أنه تبين لاحقًا أنها مكافئة لمشكلة حلها جاوس (ديكنسون وستيغليتز، 1982). يعتمد التعدد على قيمة N بتردد 4، ويُعطى بالجدول التالي:

وبعبارة أخرى، فإن متعددة الحدود المميزة لـ${\displaystyle \mathbf {U} }$يكون:

${\displaystyle \det(\lambda I-\mathbf {U} )=(\lambda -1)^{\left\lfloor {\tfrac {N+4}{4}}\right\rfloor }(\lambda +1)^{\left\lfloor {\tfrac {N+2}{4}}\right\rfloor }(\lambda +i)^{\left\lfloor {\tfrac {N+1}{4}}\right\rfloor }(\lambda -i)^{\left\lfloor {\tfrac {N-1}{4}}\right\rfloor }.}$

لا توجد صيغة تحليلية بسيطة معروفة للمتجهات الذاتية العامة. علاوة على ذلك، فإن المتجهات الذاتية ليست فريدة، لأن أي توليفة خطية من المتجهات الذاتية لنفس القيمة الذاتية هي أيضًا متجه ذاتي لتلك القيمة الذاتية. وقد اقترح باحثون مختلفون خيارات متعددة للمتجهات الذاتية، تم اختيارها لتحقيق خصائص مفيدة مثل التعامد، وللحصول على صيغ "بسيطة" (على سبيل المثال، McClellan and Parks, 1972; Dickinson and Steiglitz, 1982; Grünbaum, 1982; Candan et al. , 2000; Hanna et al. , 2004; Gurevich and Hadani, 2008). ^{[ 14 ]}

إحدى طرق إنشاء متجهات ذاتية لتحويل فورييه المنفصل (DFT) لقيمة ذاتية${\displaystyle \lambda }$يعتمد على التركيبة الخطية للمؤثرات: ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }={\frac {1}{4}}\left(\mathbf {I} +\lambda ^{-1}\mathbf {U} +\lambda ^{-2}\mathbf {U} ^{2}+\lambda ^{-3}\mathbf {U} ^{3}\right)}$

لمتجه عشوائي${\displaystyle \mathbf {v} }$متجه${\displaystyle \mathbf {u} (\lambda )={\mathcal {P}}_{\lambda }\mathbf {v} }$يرضي:

${\displaystyle {\textbf {U}}\mathbf {u} (\lambda )=\lambda \mathbf {u} (\lambda )}$

وبالتالي، متجه${\displaystyle \mathbf {u} (\lambda )}$هو، في الواقع، المتجه الذاتي لمصفوفة DFT${\displaystyle \mathbf {U} }$المشغلون${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }}$إسقاط المتجهات على فضاءات فرعية متعامدة لكل قيمة من${\displaystyle \lambda }$[ ^{16 ]} أي، بالنسبة لمتجهين ذاتيين ^،${\displaystyle \mathbf {u} (\lambda )={\mathcal {P}}_{\lambda }\mathbf {v} }$و${\displaystyle \mathbf {u} '(\lambda ')={\mathcal {P}}_{\lambda '}\mathbf {v} '}$لدينا:

${\displaystyle \mathbf {u} ^{\dagger }(\lambda )\mathbf {u} '(\lambda ')=\delta _{\lambda \lambda '}\mathbf {u} ^{\dagger }(\lambda )\mathbf {v} '}$

مع ذلك، بشكل عام، لا تُنتج طريقة عامل الإسقاط متجهات ذاتية متعامدة ضمن فضاء فرعي واحد. ^{[ 17 ]} العامل${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }}$يمكن اعتبارها مصفوفة، أعمدتها هي المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {U} }$لكنها ليست متعامدة. عندما تكون مجموعة من المتجهات${\displaystyle \{\mathbf {v} _{n}\}_{n=1,\dots ,N_{\lambda }}}$، تمتد${\displaystyle N_{\lambda }}$الفضاء ذو ​​الأبعاد (حيث${\displaystyle N_{\lambda }}$تعددية القيم الذاتية${\displaystyle \lambda }$يتم اختيار ) لتوليد مجموعة المتجهات الذاتية${\displaystyle \{\mathbf {u} _{n}(\lambda )={\mathcal {P}}_{\lambda }\mathbf {v} _{n}\}_{n=1,\dots ,N_{\lambda }}}$إلى القيمة الذاتية${\displaystyle \lambda }$، التعامد المتبادل لـ${\displaystyle \mathbf {u} _{n}(\lambda )}$ليس مضمونًا. ومع ذلك، يمكن الحصول على المجموعة المتعامدة من خلال تطبيق خوارزمية التعامد على المجموعة.${\displaystyle \{\mathbf {u} _{n}(\lambda )\}_{n=1,\dots ,N_{\lambda }}}$على سبيل المثال، عملية غرام-شميدت . ^{[ 18 ]}

تتمثل إحدى الطرق المباشرة للحصول على المتجهات الذاتية لتحويل فورييه المنفصل (DFT) في تقسيم دالة ذاتية لتحويل فورييه المستمر ، وأشهرها دالة غاوس . وبما أن الجمع الدوري للدالة يعني تقسيم طيف ترددها، والتقسيم يعني الجمع الدوري للطيف، فإن دالة غاوس المقسمة والمجمعة دوريًا تُعطي متجهًا ذاتيًا للتحويل المنفصل.

• ${\displaystyle F(m)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-{\frac {\pi \cdot (m+N\cdot k)^{2}}{N}}\right).}$

يمكن التعبير عن الصيغة المغلقة للمتسلسلة باستخدام دوال جاكوبي ثيتا كما يلي:

• ${\displaystyle F(m)={\frac {1}{\sqrt {N}}}\vartheta _{3}\left({\frac {\pi m}{N}},\exp \left(-{\frac {\pi }{N}}\right)\right).}$

تم العثور على العديد من المتجهات الذاتية التحليلية البسيطة ذات الشكل المغلق لفترة DFT الخاصة N (Casper-Yakimov، 2024): ^{[ 19 ]}

بالنسبة لدورة DFT N = 2 L + 1 = 4 K + 1، حيث K عدد صحيح، فإن ما يلي هو متجه ذاتي لـ DFT:

• ${\displaystyle F(m)=\prod _{s=K+1}^{L}\left[\cos \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)-\cos \left({\frac {2\pi }{N}}s\right)\right]}$

بالنسبة لدورة DFT N = 2 L = 4 K ، حيث K عدد صحيح، فإن المتجهات الذاتية لـ DFT هي كالتالي:

• ${\displaystyle F(m)=\sin \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)\prod _{s=K+1}^{L-1}\left[\cos \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)-\cos \left({\frac {2\pi }{N}}s\right)\right]}$
• ${\displaystyle F(m)=\cos \left({\frac {\pi }{N}}m\right)\prod _{s=K+1}^{3K-1}\sin \left({\frac {\pi (s-m)}{N}}\right)}$

بالنسبة لدورة DFT N = 4 K - 1، حيث K عدد صحيح، فإن المتجهات الذاتية لـ DFT هي كالتالي:

• ${\displaystyle F(m)=\sin \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)\prod _{s=K+1}^{3K-2}\sin \left({\frac {\pi (s-m)}{N}}\right)}$
• ${\displaystyle F(m)=\left(\cos \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)-\cos \left({\frac {2\pi }{N}}K\right)\pm \sin \left({\frac {2\pi }{N}}K\right)\right)\prod _{s=K+1}^{3K-2}\sin \left({\frac {\pi (s-m)}{N}}\right)}$

أصبح اختيار المتجهات الذاتية لمصفوفة تحويل فورييه المنفصل (DFT) ذا أهمية بالغة في السنوات الأخيرة لتعريف نظير منفصل لتحويل فورييه الكسري ، حيث يمكن رفع مصفوفة DFT إلى قوى كسرية برفع القيم الذاتية إلى أس. ^{[ 20 ]} أما بالنسبة لتحويل فورييه المستمر ، فإن الدوال الذاتية المتعامدة الطبيعية هي دوال هيرميت ، لذا استُخدمت نظائر منفصلة مختلفة لها كمتجهات ذاتية لتحويل فورييه المنفصل، مثل كثيرات حدود كرافتشوك . ^{[ 14 ]} ومع ذلك، لا يزال اختيار المتجهات الذاتية "الأمثل" لتعريف تحويل فورييه المنفصل الكسري سؤالًا مفتوحًا. وقد بُذلت محاولات لإجراء تحويل فورييه الكسري باستخدام مصفوفة فاندرموند المتلاقية . ^{[ 21 ]}

• لو${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N-1}}$إذا كانت أعدادًا حقيقية ، كما هو الحال غالبًا في التطبيقات العملية، فإن تحويل فورييه المنفصل (DFT)${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{N-1}}$متناظرة حتى :

${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \{0,\ldots ,N-1\}\implies X_{k}=X_{-k\mod N}^{*}\quad \forall k\in \{0,\ldots ,N-1\}}$، أين${\displaystyle X^{*}\,}$يدل على الاقتران المعقد .

ويترتب على ذلك أنه بالنسبة للزوجي${\displaystyle N}$${\displaystyle X_{0}}$و${\displaystyle X_{N/2}}$وهي ذات قيم حقيقية، ويتم تحديد باقي تحويل فورييه المنفصل بالكامل بواسطة فقط${\displaystyle N/2-1}$الأعداد المركبة.

• لو${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N-1}}$إذا كانت أعدادًا تخيلية بحتة، فإن تحويل فورييه المنفصل (DFT)${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{N-1}}$متناظر فردي :

${\displaystyle x_{n}\in i\mathbb {R} \quad \forall n\in \{0,\ldots ,N-1\}\implies X_{k}=-X_{-k\mod N}^{*}\quad \forall k\in \{0,\ldots ,N-1\}}$، أين${\displaystyle X^{*}\,}$يدل على الاقتران المعقد .