الطيف المنفصل (الرياضيات)

يترك${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ليكن فضاء باناخ . لنعتبر مؤثرًا خطيًا معرفًا جزئيًا${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$مع النطاق${\displaystyle {\mathfrak {D}}(أ)}$. الخطي الجذري${\displaystyle {\mathfrak {L}} _ {\lambda }(A)}$المقابل لقيمة ذاتية${\displaystyle \lambda \in \sigma _{p}(A)}$يُعرَّف بأنه مجموعة العناصر${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle x,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})x,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{2}x,\dots }$جميعهم ينتمون إلى${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)}$وبعد عدد محدود من الخطوات، نصل في النهاية إلى الصفر:${\displaystyle (A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{k}x=0}$.

هذه المجموعة عبارة عن فضاء خطي ، لكنها ليست بالضرورة مغلقة. إذا كانت مغلقة (على سبيل المثال، عندما تكون ذات أبعاد محدودة)، فإنها تُسمى الفضاء الذاتي المعمم لـ${\displaystyle A}$المقابل للقيمة الذاتية${\displaystyle \lambda }$.

القيمة الذاتية${\displaystyle \lambda \in \sigma _{p}(A)}$لمؤثر خطي مغلق${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$في فضاء باناش${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$مع النطاق${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)\subset {\mathfrak {B}}}$يُطلق عليه اسم طبيعي (في المصطلحات الأصلية،${\displaystyle \lambda }$يتوافق مع فضاء جذري محدود الأبعاد قابل للتقسيم بشكل طبيعي ) إذا تحققت الشروط التالية: ^{[ 5 ] [ 2 ] [ 3 ]}

1. التعدد الجبري لـ ${\displaystyle \lambda }$محدود:${\displaystyle \nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)<\infty }$، أين${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}$هو الجذر الخطي لـ${\displaystyle A}$المقابل للقيمة الذاتية${\displaystyle \lambda }$؛
2. المساحة${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$يمكن تحليلها إلى مجموع مباشر${\displaystyle {\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)\oplus {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$، أين${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$هو فضاء جزئي ثابت من${\displaystyle A}$في أي${\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}$لها معكوس محدود.

بشكل عام، يمكن أن تكون رتبة مُسقط ريز أكبر من بُعد الجذر الخطي${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }}$للقيمة الذاتية المقابلة، وعلى وجه الخصوص من الممكن أن يكون${\displaystyle \mathrm {dim} \,{\mathfrak {L}}_{\lambda }<\infty }$،${\displaystyle \mathrm {rank} \,P_{\lambda }=\infty }$لذا، يتضمن ذلك ما يلي:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)\subset \{{\mbox{isolated points of the spectrum of }}A{\mbox{ with finite algebraic multiplicity}}\}.}$

على وجه الخصوص، بالنسبة للمؤثر شبه عديم القوة

${\displaystyle Q:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} ),\qquad Q:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (0,a_{1}/2,a_{2}/2^{2},a_{3}/2^{3},\dots ),}$

يمتلك المرء${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(Q)=\{0\}}$،${\displaystyle \mathrm {rank} \,P_{\lambda }=\infty }$. لذلك،${\displaystyle \lambda =0}$هي قيمة ذاتية معزولة ذات تعددية جبرية محدودة، لكنها ليست ضمن الطيف المنفصل: ${\displaystyle \sigma (Q)=\{0\}}$، ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(Q)=\emptyset }$.

الطيف المنفصل${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$من مشغل${\displaystyle A}$لا ينبغي الخلط بينه وبين طيف النقطة${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(A)}$، والتي تُعرَّف بأنها مجموعة القيم الذاتية لـ${\displaystyle A}$كل نقطة من نقاط الطيف المنفصل هي قيمة ذاتية، لذا

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)\subset \sigma _{\mathrm {p} }(A).}$

مع ذلك، قد تكون هذه القيم غير متساوية. قد لا تكون القيمة الذاتية نقطة معزولة في الطيف، أو قد تكون معزولة ولكن مع مُسقط ريز ذي رتبة لانهائية. على سبيل المثال، بالنسبة لمؤثر الإزاحة إلى اليسار ، ${\displaystyle L:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} ),\quad L:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\dots ),}$ طيف النقطة هو قرص الوحدة المفتوح${\displaystyle \mathbb {D} _{1}}$في المستوى المركب ، يكون الطيف الكامل هو قرص الوحدة المغلق${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$، والطيف المنفصل فارغ:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(L)=\mathbb {D} _{1},\qquad \sigma (L)={\overline {\mathbb {D} _{1}}},\qquad \sigma _{\mathrm {d} }(L)=\emptyset .}$

وذلك لأن${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(L)}$لا توجد بها نقاط معزولة.

طيف المؤثر المغلق${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$في فضاء باناش${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$يمكن تقسيمها إلى اتحاد مجموعتين منفصلتين : الطيف المنفصل والنوع الخامس من الطيف الأساسي (انظر الصفحة لتعريف كل نوع):

${\displaystyle \sigma (A)=\sigma _{\mathrm {d} }(A)\cup \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A).}$