عامل غير محدود

في الرياضيات ، وبشكل أكثر تحديدًا التحليل الوظيفي ونظرية المؤثرات ، يوفر مفهوم المؤثر غير المحدود إطارًا مجردًا للتعامل مع المؤثرات التفاضلية ، والكميات القابلة للرصد غير المحدودة في ميكانيكا الكم ، وحالات أخرى.

قد يكون مصطلح "المؤثر غير المحدود" مضللاً، لأن

• ينبغي أحيانًا فهم مصطلح "غير محدود" على أنه "ليس بالضرورة محدودًا"؛
• ينبغي فهم "المشغل" على أنه " مشغل خطي " (كما هو الحال في "المشغل المحدود")؛
• مجال المؤثر هو فضاء فرعي خطي ، وليس بالضرورة الفضاء بأكمله؛
• هذا الفضاء الفرعي الخطي ليس بالضرورة مغلقًا ؛ غالبًا (ولكن ليس دائمًا) يُفترض أنه كثيف ؛
• في الحالة الخاصة للمؤثر المحدود، ومع ذلك، يُفترض عادةً أن المجال هو الفضاء بأكمله.

على عكس المؤثرات المحدودة ، فإن المؤثرات غير المحدودة على فضاء معين لا تشكل جبرًا ، ولا حتى فضاءً خطيًا، لأن كل واحد منها معرف على نطاقه الخاص.

غالباً ما يعني مصطلح "المؤثر" "المؤثر الخطي المحدود"، ولكن في سياق هذه المقالة يعني "المؤثر غير المحدود"، مع التحفظات المذكورة أعلاه.

طُوِّرت نظرية المؤثرات غير المحدودة في أواخر عشرينيات وأوائل ثلاثينيات القرن العشرين كجزء من تطوير إطار رياضي دقيق لميكانيكا الكم . ^{[ 1 ]} ويعود الفضل في تطوير هذه النظرية إلى جون فون نيومان ^{[ 2 ]} ومارشال ستون . ^{[ 3 ]} وقد أدخل فون نيومان استخدام الرسوم البيانية لتحليل المؤثرات غير المحدودة في عام 1932. ^{[ 4 ]}

ليكن X و Y فضاءين من فضاءات باناخ . المؤثر غير المحدود (أو ببساطة المؤثر ) T  : D ( T ) → Y هو تطبيق خطي T من فضاء جزئي خطي D ( T ) ⊆ X - مجال T - إلى الفضاء Y. ^{[ 5 ]} وخلافًا للعرف الشائع، قد لا يكون T معرفًا على الفضاء X بأكمله .

الرسم البياني Γ( T ) لمؤثر${\displaystyle T}$من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$هي فضاء جزئي خطي من المجموع المباشر X ⊕ Y ، مُعرَّف بأنه مجموعة جميع الأزواج ( x , Tx ) ، حيث x يقع على مجال T. يُقال إن المؤثر T مغلق إذا كان رسمه البياني Γ( T ) مجموعة مغلقة . ^{[ 6 ]} بمعنى آخر، هذا يعني أنه لكل متتالية { xₙ } من النقاط من مجال T بحيث xₙ _{→ x} و Txₙ _→ y ، فإن xₙ ينتمي إلى مجال T و Tx = y . ^{[ 6 ]} يمكن أيضًا صياغة الانغلاق بدلالة معيار الرسم البياني : يكون المؤثر T مغلقًا إذا وفقط إذا كان مجاله D ( T ) فضاءً كاملاً بالنسبة لهذا المعيار. ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}.}$

يُقال إن المؤثر T مُعرَّف بكثافة إذا كان نطاقه كثيفًا في X. ^{[ 5 ]} يشمل هذا أيضًا المؤثرات المُعرَّفة على الفضاء X بأكمله ، لأن الفضاء بأكمله كثيف في ذاته. كثافة النطاق شرطٌ ضروري وكافٍ لوجود المؤثر المرافق (إذا كان X و Y فضاءين هيلبرت) والمُنَقل؛ انظر الأقسام أدناه.

إذا كانت الدالة T  : D ( T ) → Y مغلقة، ومُعرَّفة بكثافة، ^ومتصلة على مجالها، فإن مجالها هو كل X. ^{[ nb 1} ]

لنفترض أن C ([0, 1]) يمثل فضاء الدوال المتصلة على الفترة [0, 1]، ولنفترض أن C ¹ ([0, 1]) يمثل فضاء الدوال القابلة للتفاضل باستمرار على الفترة [0, 1].${\displaystyle C([0,1])}$مع المعيار الأعلى ،${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$مما يجعلها فضاء باناخ. عرّف عامل التفاضل الكلاسيكي ⁠ d / dx ⁠  : C ¹ ([0, 1]) → C ([0, 1]) بالصيغة المعتادة:

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}f\right)(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1].}$

كل دالة قابلة للتفاضل متصلة، لذا فإن ^C₁ ( [0, 1]) ⊆ C₁([0, 1]). ندعي أن d/ dx : C₁ ( [ 0 , 1 ] ) → C₁ ([0, 1]) مؤثر غير محدود معرف جيدًا، ومجاله C₁ ([0, 1]) ^. ولتحقيق ذلك، نحتاج إلى إثبات أن ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$خطي، ثم، على سبيل المثال، يُظهر بعض${\displaystyle \{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1])}$بحيث${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }=1}$و${\displaystyle \sup _{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty }=+\infty }$.

هذا مؤثر خطي، لأن التركيبة الخطية a f + bg لدالتين قابلتين للتفاضل باستمرار f و g هي أيضًا قابلة للتفاضل باستمرار، و

${\displaystyle \left({\tfrac {d}{dx}}\right)(af+bg)=a\left({\tfrac {d}{dx}}f\right)+b\left({\tfrac {d}{dx}}g\right).}$

المؤثر غير محدود. على سبيل المثال،

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [-1,1]\\f_{n}(x)=\sin(2\pi nx)\end{cases}}}$

مُرضٍ

${\displaystyle \left\|f_{n}\right\|_{\infty }=1,}$

لكن

${\displaystyle \left\|\left({\tfrac {d}{dx}}f_{n}\right)\right\|_{\infty }=2\pi n\to \infty }$

مثل${\displaystyle n\to \infty }$.

المؤثر معرف بشكل كثيف (والذي يمكن إثباته بواسطة نظرية تقريب فايرشتراس، حيث أن مجموعة الدوال متعددة الحدود على [0,1] موجودة في C ¹ ([0, 1]) ، بينما تكون كثيفة أيضًا في C ([0, 1]) ) ومغلقة.

يمكن التعامل مع المؤثر نفسه كمؤثر Z → Z للعديد من اختيارات فضاء باناخ Z ، دون أن يكون محدودًا بين أي منها. في الوقت نفسه، يمكن أن يكون محدودًا كمؤثر X → Y لأزواج أخرى من فضاءات باناخ X و Y ، وكذلك كمؤثر Z → Z لبعض فضاءات المتجهات الطوبولوجية Z. على سبيل المثال، ليكن I ⊂ R فترة مفتوحة، ولنعتبر

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}}\right)\to \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty }\right),}$

أين:

${\displaystyle \|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }.}$

يمكن تعريف المرافق لمؤثر غير محدود بطريقتين متكافئتين. ليكن${\displaystyle T:D(T)\subseteq H_{1}\to H_{2}}$ليكن عاملاً غير محدود بين فضاءات هيلبرت.

أولاً، يمكن تعريفه بطريقة مماثلة لكيفية تعريف المرافق لمؤثر محدود. أي المرافق${\displaystyle T^{*}:D\left(T^{*}\right)\subseteq H_{2}\to H_{1}}$يُعرَّف T بأنه عامل له الخاصية التالية :$${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\left\langle x\mid T^{*}y\right\rangle _{1},\qquad x\in D(T).}$$ وبشكل أدق،${\displaystyle T^{*}y}$يتم تعريفها بالطريقة التالية. إذا${\displaystyle y\in H_{2}}$بحيث${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$إذا كانت دالة خطية متصلة على مجال T ، فإن${\displaystyle y}$يُعلن أنه عنصر من${\displaystyle D\left(T^{*}\right),}$وبعد تمديد الدالة الخطية إلى الفضاء بأكمله عبر نظرية هان-باناخ ، يصبح من الممكن إيجاد بعض${\displaystyle z}$في${\displaystyle H_{1}}$بحيث $${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid z\rangle _{1},\qquad x\in D(T),}$$ بما أن نظرية تمثيل ريز تسمح بالثنائية المستمرة لفضاء هيلبرت${\displaystyle H_{1}}$يتم تعريفها بمجموعة الدوال الخطية المعطاة بواسطة الضرب الداخلي. هذا المتجه${\displaystyle z}$يتم تحديده بشكل فريد بواسطة${\displaystyle y}$إذا وفقط إذا كانت الدالة الخطية${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$معرفة بكثافة؛ أو بصورة مكافئة، إذا كانت T معرفة بكثافة. وأخيرًا، بوضع${\displaystyle T^{*}y=z}$يكمل بناء${\displaystyle T^{*},}$وهي بالضرورة دالة خطية. الدالة المرافقة${\displaystyle T^{*}y}$يوجد إذا وفقط إذا كانت T معرفة بشكل كثيف.

بحكم التعريف، مجال${\displaystyle T^{*}}$يتكون من عناصر${\displaystyle y}$في${\displaystyle H_{2}}$بحيث${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$الدالة متصلة على مجال T. وبالتالي، فإن مجال${\displaystyle T^{*}}$قد يكون أي شيء؛ قد يكون تافهاً (أي يحتوي على الصفر فقط). ^{[ 8 ]} قد يحدث أن يكون مجال${\displaystyle T^{*}}$هو مستوى فائق مغلق و${\displaystyle T^{*}}$يتلاشى في كل مكان على المجال. ^{[ 9 ] [ 10 ]} وبالتالي، فإن محدودية${\displaystyle T^{*}}$لا يعني وجود T على نطاقها محدوديتها . من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle T^{*}}$إذا كانت الدالة معرفة على الفضاء بأكمله، فإن T تكون محدودة على نطاقها، وبالتالي يمكن تمديدها بواسطة الاستمرارية لتصبح مؤثرًا محدودًا على الفضاء بأكمله. ^{[ ملاحظة 2 ]} إذا كان نطاق${\displaystyle T^{*}}$إذا كانت كثيفة، فإن لها مرافقها.${\displaystyle T^{**}.}$^{[ 11 ]} يكون المؤثرTمحدودًا إذا وفقط إذا${\displaystyle T^{*}}$محدود. ^{[ ملاحظة 3 ]}

يمكن الحصول على التعريف المكافئ الآخر للمُرافق من خلال ملاحظة حقيقة عامة. عرّف المؤثر الخطي${\displaystyle J}$على النحو التالي: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{cases}J:H_{1}\oplus H_{2}\to H_{2}\oplus H_{1}\\J(x\oplus y)=-y\oplus x\end{cases}}}$$ منذ${\displaystyle J}$بما أنه إسقاط متساوي القياس، فهو وحدوي. ومن ثم:${\displaystyle J(\Gamma (T))^{\bot }}$هو رسم بياني لبعض المؤثرات${\displaystyle S}$إذا وفقط إذا كانت T معرفة بشكل كثيف. ^{[ 12 ]} تُظهر عملية حسابية بسيطة أن هذا "بعض"${\displaystyle S}$يرضي: $${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1},}$$ لكل قيمة x في مجال T. وبالتالي${\displaystyle S}$هو المرافق لـ T.

ويترتب على التعريف أعلاه مباشرة أن المرافق${\displaystyle T^{*}}$مغلق. ^{[ 11 ]} على وجه الخصوص، عامل ذاتي الترافق (بمعنى${\displaystyle T=T^{*}}$المؤثر T مغلق. يكون المؤثر T مغلقًا ومُعرَّفًا بكثافة إذا وفقط إذا${\displaystyle T^{**}=T.}$^{[ ملاحظة 4 ]}

تُعمَّم بعض الخصائص المعروفة للمؤثرات المحدودة لتشمل المؤثرات المغلقة ذات التعريف الكثيف. نواة المؤثر المغلق مغلقة. علاوة على ذلك، فإن نواة المؤثر المغلق ذي التعريف الكثيف${\displaystyle T:H_{1}\to H_{2}}$يتطابق مع المتمم المتعامد لمدى المرافق. أي، ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }.}$$تنص نظرية فون نيومان على أن${\displaystyle T^{*}T}$و${\displaystyle TT^{*}}$هي ذاتية الترافق، وأن${\displaystyle I+T^{*}T}$و${\displaystyle I+TT^{*}}$لكليهما معكوس محدود. ^{[ 14 ]} إذا${\displaystyle T^{*}}$لها نواة تافهة، و T لها مدى كثيف (بحسب المتطابقة المذكورة أعلاه). علاوة على ذلك:

تكون الدالة T شاملة إذا وفقط إذا كان هناك${\displaystyle K>0}$بحيث${\displaystyle \|f\|_{2}\leq K\left\|T^{*}f\right\|_{1}}$للجميع${\displaystyle f}$في${\displaystyle D\left(T^{*}\right).}$^{[ ملاحظة 5 ]} (هذا في الأساس شكلٌ مُعدَّلٌ لما يُسمىبنظرية المدى المغلق). على وجه الخصوص،Tمغلقًا إذا وفقط إذا${\displaystyle T^{*}}$نطاقه قريب.

على عكس الحالة المحدودة، ليس من الضروري أن${\displaystyle (TS)^{*}=S^{*}T^{*},}$لأنه، على سبيل المثال، من الممكن حتى أن${\displaystyle (TS)^{*}}$غير موجود. ومع ذلك، هذا هو الحال إذا كانت T محدودة، على سبيل المثال. ^{[ 15 ]}

يُطلق على المؤثر T المغلق والمحدد بكثافة اسم المؤثر الطبيعي إذا كان يحقق الشروط المكافئة التالية: ^{[ 16 ]}

• ${\displaystyle T^{*}T=TT^{*}}$;
• مجال T يساوي مجال${\displaystyle T^{*},}$و${\displaystyle \|Tx\|=\left\|T^{*}x\right\|}$لكل قيمة x في هذا المجال؛
• توجد مؤثرات ذاتية الترافق${\displaystyle A,B}$بحيث${\displaystyle T=A+iB,}$${\displaystyle T^{*}=A-iB,}$و${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|Bx\|^{2}}$لكل x في مجال T.

كل عامل ذاتي الترافق هو عامل طبيعي.

يترك${\displaystyle T:B_{1}\to B_{2}}$ليكن عاملاً بين فضاءات باناخ. عندئذٍ يكون المنقول (أو الثنائي )${\displaystyle {}^{t}T:{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}}$ل${\displaystyle T}$هو المؤثر الخطي الذي يحقق ما يلي: $${\displaystyle \langle Tx,y'\rangle =\langle x,\left({}^{t}T\right)y'\rangle }$$ للجميع${\displaystyle x\in B_{1}}$و${\displaystyle y\in B_{2}^{*}.}$هنا، استخدمنا الترميز التالي:${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x).}$^{[ 17 ]}

الشرط الضروري والكافي لنقل${\displaystyle T}$الوجود هو ذلك${\displaystyle T}$يتم تعريفها بشكل كثيف (لنفس السبب تقريبًا كما هو الحال بالنسبة للمرافقين، كما نوقش أعلاه).

لأي مساحة هيلبرت${\displaystyle H,}$يوجد التماثل المضاد للخطية: $${\displaystyle J:H^{*}\to H}$$ مقدم من${\displaystyle Jf=y}$أين${\displaystyle f(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H).}$ من خلال هذا التشاكل، المنقول${\displaystyle {}^{t}T}$يتعلق بالتابع${\displaystyle T^{*}}$بالطريقة التالية: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle T^{*}=J_{1}\left({}^{t}T\right)J_{2}^{-1},}$$ أين${\displaystyle J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}}$(في حالة الأبعاد المحدودة، يتوافق هذا مع حقيقة أن المرافق للمصفوفة هو منقولها المرافق.) لاحظ أن هذا يعطي تعريف المرافق بدلالة المنقول.

المؤثرات الخطية المغلقة هي فئة من المؤثرات الخطية على فضاءات باناخ . وهي أكثر عمومية من المؤثرات المحدودة ، وبالتالي ليست بالضرورة متصلة ، لكنها مع ذلك تحتفظ بخصائص جيدة بما يكفي لتعريف طيفها (وبافتراضات معينة) وحساب التفاضل والتكامل الوظيفي لها. العديد من المؤثرات الخطية المهمة التي لا تكون محدودة هي في الواقع مغلقة، مثل المشتقة وفئة كبيرة من المؤثرات التفاضلية .

ليكن X و Y فضاءين من _فضاءات باناخ . يُقال عن المؤثر الخطي A  : D ( A ) ⊆ X → Y أنه مغلق إذا كان لكل متتالية { xⁿ } في D ( A ) تتقارب إلى x في X بحيث يكون Axⁿ → y ∈ Y عندما n → ∞ _، يكون x ∈ D ( A ) و Ax = y . وبصورة مكافئة، يكون A مغلقًا إذا كان رسمه البياني مغلقًا في المجموع المباشر X ⊕ Y.

إذا كان لدينا مؤثر خطي A ، ليس بالضرورة مغلقًا، وإذا كان إغلاق رسمه البياني في X ⊕ Y هو رسم بياني لمؤثر ما، يُسمى هذا المؤثر إغلاق A ، ونقول إن A قابل للإغلاق . نرمز لإغلاق A بالرمز A. ويترتب على ذلك أن A هو تقييد A على D ( A ) .

النواة ( أو المجال الأساسي ) للمؤثر القابل للإغلاق هي مجموعة فرعية C من D ( A ) بحيث يكون إغلاق تقييد A إلى C هو A.

يكون المؤثر T على فضاء هيلبرت متناظرًا إذا وفقط إذا كان لكل x و y في مجال T لدينا${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle =\langle x\mid Ty\rangle }$يكون المؤثر T المعرف بكثافة متناظرًا إذا وفقط إذا كان يتطابق مع المؤثر المرافق له ^T ∗ ^المقيد بمجال T ، بمعنى آخر عندما يكون T ^∗ امتدادًا لـ T. [ ^{20 ]}

بشكل عام، إذا كانت T معرفة بكثافة ومتناظرة، فإن مجال المرافق T ^* لا يشترط أن يساوي مجال T. إذا كانت T متناظرة وتطابق مجال T مع مجال المرافق، نقول إن T مرافق ذاتي . ^{[ 21 ]} تجدر الإشارة إلى أنه عندما تكون T مرافقة ذاتيًا، فإن وجود المرافق يستلزم أن T معرفة بكثافة، وبما أن T ^* مغلقة بالضرورة، فإن T مغلقة.

يكون المؤثر T المعرف بكثافة متناظرًا إذا كان الفضاء الجزئي Γ( T ) (المعرف في قسم سابق) متعامدًا مع صورته J (Γ( T )) تحت تأثير J (حيث J ( x , y ) := ( y , -x )). ^{[ ملاحظة 6 ]}

بصورة مكافئة، يكون المؤثر T ذاتي الترافق إذا كان معرفًا بكثافة، ومغلقًا، ومتناظرًا، ويحقق الشرط الرابع: أن يكون كلا المؤثرين T – i و T + i شاملين، أي أنهما يرسمان مجال T على الفضاء H بأكمله . بعبارة أخرى: لكل x في H، يوجد y و z في مجال T بحيث يكون Ty – iy = x و Tz + iz = x . ^{[ 22 ]}

يكون المؤثر T ذاتي الترافق إذا كان الفضاءان الجزئيان Γ( T ) و J (Γ( T )) متعامدين وكان مجموعهما هو الفضاء الكلي.${\displaystyle H\oplus H.}$^{[ 11 ]}

لا يشمل هذا النهج المؤثرات المغلقة غير المعرفة بكثافة. يمكن تعريف المؤثرات المتناظرة غير المعرفة بكثافة بشكل مباشر أو عبر الرسوم البيانية، ولكن ليس عبر المؤثرات المرافقة.

غالباً ما تتم دراسة المؤثر المتناظر من خلال تحويل كايلي الخاص به .

يكون المؤثر T على فضاء هيلبرت المركب متناظرًا إذا وفقط إذا كان العدد${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle }$حقيقي لجميع ^قيم x في مجال T. ^{[ 20} ]

يكون المؤثر المتناظر المغلق T، المعرّف بكثافة، ذاتي الترافق إذا وفقط إذا كان T ^* متناظرًا. ^{[ 23 ]} وقد يحدث ألا يكون كذلك. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

يُطلق على المؤثر T المعرف بكثافة اسم موجب ^{[ 26 ]} (أو غير سالب ^{[ 27 ]} ) إذا كان شكله التربيعي غير سالب، أي${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle \geq 0}$لكل x في مجال T. هذا المؤثر متناظر بالضرورة.

المؤثر T ^∗ T هو ذاتي الترافق ^{[ 28 ]} وموجب ^{[ 26 ]} لكل T مغلق معرف بكثافة .

يُقال عن المؤثر المتناظر T المعرّف بكثافة على فضاء هيلبرت H أنه محدود من الأسفل إذا كان T + a مؤثرًا موجبًا لعدد حقيقي a . أي أن ⟨Tx | x⟩ ≥ −a || x || ² ^لكل x في مجال T (أو بديلًا ⟨Tx | x⟩ ≥ a || x || ^² لأن a اختياري). ^{[ 26 ]} إذا كان كل من T و −T محدودين من الأسفل، فإن T يكون محدودًا . ^{[ 26 ]}

تنطبق نظرية الطيف على المؤثرات ذاتية الترافق ^{[ 29 ]} ، وكذلك على المؤثرات العادية ^{[ 30 ] [ 31 ]} ، ولكنها لا تنطبق على المؤثرات المغلقة ذات التعريف الكثيف بشكل عام، لأنه في هذه الحالة قد يكون الطيف فارغًا ^{[ 32 ] [ 33 ] .}

المؤثر المتناظر المعرف في كل مكان يكون مغلقًا، وبالتالي محدودًا، ^{[ 6 ]} وهو ما يُعرف بنظرية هيلينجر-توبليتز . ^{[ 34 ]}

بحسب التعريف، يكون المؤثر T امتدادًا للمؤثر S إذا كان Γ( S ) ⊆ Γ( T ) . ^{[ 35 ]} تعريف مباشر مكافئ: لكل x في مجال S ، ينتمي x إلى مجال T و Sx = Tx . ^{[ 5 ] [ 35 ]}

لاحظ أن لكل مؤثر امتدادًا معرفًا في كل مكان، وهي حقيقة جبرية بحتة موضحة في قسم "التطبيق الخطي غير المتصل" (  نظرية الوجود العامة ) ، وتستند إلى بديهية الاختيار . إذا كان المؤثر المعطى غير محدود، فإن الامتداد يكون تطبيقًا خطيًا غير متصل . وهو قليل الفائدة لأنه لا يحافظ على خصائص مهمة للمؤثر المعطى (انظر أدناه)، وعادةً ما يكون غير وحيد.

يُطلق على العامل T اسم قابل للإغلاق إذا استوفى الشروط المكافئة التالية: ^{[ 6 ] [ 35 ] [ 36 ]}

• T له امتداد مغلق؛
• إن إغلاق الرسم البياني لـ T هو الرسم البياني لبعض المؤثرات؛
• لكل سلسلة ( x _n ) من النقاط من مجال T بحيث x _n → 0 وأيضًا Tx _n → y ، فإن y = 0 .

ليست كل العمليات قابلة للإغلاق. ^{[ 37 ]}

يتمتع العامل القابل للإغلاق T بأقل امتداد مغلق${\displaystyle {\overline {T}}}$يُطلق عليه اسم إغلاق T. إغلاق الرسم البياني لـ T يساوي الرسم البياني لـ${\displaystyle {\overline {T}}.}$^{[ 6 ] [ 35 ]} قد توجد امتدادات مغلقة أخرى غير دنيا. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

يكون المؤثر T المعرف بكثافة قابلاً للإغلاق إذا وفقط إذا كان T ^* معرفًا بكثافة. في هذه الحالة${\displaystyle {\overline {T}}=T^{**}}$و${\displaystyle ({\overline {T}})^{*}=T^{*}.}$^{[ 11 ] [ 38 ]}

إذا كانت S معرفة بشكل كثيف و T امتداد لـ S فإن S ^∗ هو امتداد لـ T ^∗ . ^{[ 39 ]}

كل عامل متناظر قابل للإغلاق. ^{[ 40 ]}

يُطلق على المؤثر المتناظر اسم المؤثر المتناظر الأقصى إذا لم يكن له امتدادات متناظرة، باستثناء نفسه. ^{[ 20 ]} كل مؤثر ذاتي الترافق هو مؤثر متناظر أقصى. ^{[ 20 ]} والعكس غير صحيح. ^{[ 41 ]}

يُطلق على المؤثر اسم "مؤثر ذاتي الترافق" إذا كان إغلاقه ذاتي الترافق. ^{[ 40 ]} يكون المؤثر ذاتي الترافق إذا وفقط إذا كان له امتداد ذاتي الترافق واحد فقط. ^{[ 23 ]}

قد يكون للمؤثر المتناظر أكثر من امتداد ذاتي مرافق، بل وحتى سلسلة متصلة منها. ^{[ 25 ]}

يكون المؤثر T المتماثل والمحدد بكثافة ذاتي الترافق بشكل أساسي إذا وفقط إذا كان لكل من المؤثرين T – i و T + i مدى كثيف. ^{[ 42 ]}

ليكن T مؤثرًا معرفًا بكثافة. إذا رمزنا للعلاقة " T هو امتداد لـ S " بالرمز S ⊂ T (وهو اختصار متعارف عليه لـ Γ( S ) ⊆ Γ( T ))، فسنحصل على ما يلي. ^{[ 43 ]}

• إذا كانت T متناظرة فإن T ⊂ T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• إذا كانت T مغلقة ومتناظرة فإن T = T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• إذا كانت T ذاتية الترافق فإن T = T ^∗∗ = T ^∗ .
• إذا كانت T مترافقة ذاتيًا بشكل أساسي، فإن T ⊂ T ^∗∗ = T ^∗ .

تُعدّ فئة المؤثرات ذاتية الترافق ذات أهمية بالغة في الفيزياء الرياضية. فكل مؤثر ذاتي الترافق مُعرّف بكثافة، ومغلق، ومتناظر. وينطبق العكس على المؤثرات المحدودة، ولكنه لا ينطبق عليها عمومًا. وتُعتبر خاصية ذاتية الترافق أكثر تقييدًا من هذه الخصائص الثلاث. وينطبق مبدأ الطيف الشهير على المؤثرات ذاتية الترافق. وبالاقتران مع مبدأ ستون حول الزمر الوحدوية ذات المعامل الواحد، يُبيّن هذا المبدأ أن المؤثرات ذاتية الترافق هي تحديدًا المولدات المتناهية الصغر للزمر الوحدوية ذات المعامل الواحد المتصلة بقوة. وتكتسب هذه الزمر الوحدوية أهمية خاصة في وصف التطور الزمني في الميكانيكا الكلاسيكية والكمية.

• فضاء هيلبرت §  المؤثرات غير المحدودة
• نظرية ستون-فون نيومان
• عامل محدود