ديفيساج

في الهندسة الجبرية ، يُعدّ "التفكيك" تقنيةً ابتكرها ألكسندر غروتينديك لإثبات عباراتٍ حول الحزم المتماسكة على المخططات النويثرية . ويُعتبر "التفكيك" تكييفًا لنوعٍ مُحدد من الاستقراء النويثري . وله تطبيقاتٌ عديدة، منها إثبات التسطيح العام وإثبات أن الصور المباشرة العليا للحزم المتماسكة تحت التشكلات المناسبة تكون متماسكة.

قام لوران غروسون وميشيل رينو بتوسيع هذا المفهوم ليشمل الحالة النسبية، أي الحالة التي لا يكون فيها المخطط قيد الدراسة بالضرورة نوثريًا، بل يسمح بتشكل مُقدَّم بشكل محدود إلى مخطط آخر. وقد فعلوا ذلك بتعريف كائن يُسمى "التجزئة النسبية" (relative dévissage)، وهو مناسب تمامًا لأنواع معينة من الحجج الاستقرائية. استخدموا هذه التقنية لتقديم معيار جديد لكون الوحدة نمطية مسطحة . ونتيجة لذلك، تمكنوا من تبسيط وتعميم نتائج EGA IV 11 حول انحدار التسطيح. ^{[ 1 ]}

كلمة dévissage تعني بالفرنسية فك البراغي .

ليكن X مخططًا نوثريًا. ولتكن C مجموعة من عناصر فئة الوحدات النمطية المتماسكة O _X التي تحتوي على الحزمة الصفرية والتي لها الخاصية التالية: لأي متتالية تامة قصيرة${\displaystyle 0\to A'\to A\to A''\to 0}$إذا كانت حزمتان من الحزم المتماسكة A و A ′ و A ′ ′ تنتميان إلى C ، فإن الثالثة تنتمي إليها أيضًا. ليكن X ′ فضاءً جزئيًا مغلقًا من الفضاء الطوبولوجي الأساسي لـ X. لنفترض أنه لكل مجموعة جزئية مغلقة غير قابلة للاختزال Y من X ′ ، توجد حزمة متماسكة G في C يكون ليفها عند النقطة العامة y من Y فضاءً متجهيًا أحادي البعد على حقل البقايا k ( y ). عندئذٍ، كل وحدة نمطية متماسكة من _{النوع OX} ، التي يقع دعمها في X ′، ^تقع في C. ^{[ 2} ]

في الحالة الخاصة التي يكون فيها X ′ = X ، تنص النظرية على أن C هي فئة الوحدات النمطية المتماسكة من النوع O _X. هذا هو السياق الذي تُطبق فيه النظرية في أغلب الأحيان، ولكن العبارة المذكورة أعلاه تُتيح إمكانية إثبات النظرية بالاستقراء النويثري.

يتمثل أحد أشكال النظرية في أنه إذا كان كل عامل مباشر لكائن في C موجودًا أيضًا في C ، فيمكن استبدال شرط أن يكون ليف G عند x أحادي البعد بشرط أن يكون الليف غير صفري. ^{[ 3 ]}

لنفترض أن f  : X → S هو تشاكل معروض بشكل محدود بين المخططات الأفينية، و s هي نقطة من S ، و M هو نمط منتهٍ من النوع O _{على X.} إذا كان n عددًا طبيعيًا ، فإن جروسون وراينو يُعرّفان تقسيم S في البعد n على أنه يتكون مما يلي:

1. مخطط فرعي مغلق معروض بشكل محدود X ′ من X يحتوي على المخطط الفرعي المغلق المحدد بواسطة مبيد M بحيث يكون بُعد X ′ ∩ f ^{− 1} ( s ) أقل من أو يساوي n .
2. مخطط T وتحليل X ′ → T → S لتقييد f على X ′ بحيث يكون X ′ → T تشاكلاً محدوداً و T → S تشاكلاً أفينياً أملساً بألياف متكاملة هندسياً ذات بُعد n . لنرمز إلى النقطة العامة لـ T × _S k ( s ) بـ τ وإلى عملية الدفع الأمامي لـ M إلى T بـ N.
3. وحدة نمطية حرة من النوع المحدود O _T L و α  : L → N بحيث يكون α ⊗ k ( τ ) تقابليًا.

إذا كانت n ₁ , n ₂ , ..., n _r متتالية متناقصة تمامًا من الأعداد الطبيعية، فإن S -dévissage في الأبعاد n ₁ , n ₂ , ..., n _r يتم تعريفها بشكل متكرر على النحو التالي:

1. S - dévissage في البعد n _1. نرمز إلى النواة المشتركة لـ α بـ P ₁ .
2. An S -dévissage in dimensions n ₂ , ..., n _r of P ₁ .

يُقال إنّ التقسيم يقع بين البُعدين n₁ و _{nₚ .} يُسمى r طول التقسيم. تتألف الخطوة الأخيرة من الاستدعاء الذاتي من تقسيم في البُعد _nₚ يتضمن تشاكلًا αₚ : _Lₚ → Nₚ _. نرمز إلى النواة المشتركة لهذا التشاكل بـ Pₚ . _{يُسمى التقسيم} كليًا إذا كان Pₚ يساوي _صفرًا . ^{[ 4 ]} 

يُثبت غروسون وراينو، بشكل عام، أن التقسيمات موجودة دائمًا محليًا. تحديدًا، ليكن f  : ( X , x ) → ( S , s ) تشاكلًا محدود العرض للمخططات المُشار إليها، وليكن M وحدة نمطية من النوع المحدود OX ذات ألياف غير صفرية عند x . لنفترض أن _n يساوي بُعد M ⊗ k ( s ) ، و r يساوي العمق المشترك لـ M عند s ، أي n − depth( M ⊗ k ( s )) . ^{[ 5 ]} ثم توجد جوارات إيتالية أفينية X ′ لـ x و S ′ لـ s ، إلى جانب النقاط x ′ و s ′ التي ترفع x و s ، بحيث تكون امتدادات حقل البقايا k ( x ) → k ( x ′ ) و k ( s ) → k ( s ′ ) تافهة ، ويحلل التطبيق X ′ → S من خلال S ′ ، ويرسل هذا التحليل x ′ إلى s ′ ، وأن سحب M إلى X ′ يسمح بتقسيم S ′ الكلي عند x ′ في الأبعاد بين n و n − r .

• الأماكن القريبة : ديودوني ، جان (1961). "Elements de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première Partie" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 11 . دوى : 10.1007/bf02684274 . السيد 0217085 . 
• الأماكن القريبة : ديودوني، جان (1964). "Élements de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas، Première Partie" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 20 . دوى : 10.1007/bf02684747 . السيد 0173675 . 
• جروسون، لوران؛ رينود ، ميشيل (1971)، “Critéres de platitude et de projectivité”، اختراعات الرياضيات (بالفرنسية)، 13 : 1–17 ، دوى : 10.1007 / bf01390094 ، ISSN 0020-9910