صيغة ELSV

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، صيغة ELSV ، التي سميت على اسم مؤلفيها الأربعة تورستن إيكيدال ، وسيرجي لاندو ، ومايكل شابيرو ، وأليك فاينشتاين ، هي مساواة بين عدد هورويتز (الذي يحسب التغطيات المتفرعة للكرة) وتكامل على فضاء المعاملات للمنحنيات المستقرة .

يمكن استنتاج العديد من النتائج الأساسية في نظرية تقاطع فضاءات معاملات المنحنيات من صيغة ELSV، بما في ذلك حدسية ويتن ، وقيود فيراسورو ، وλز{\displaystyle \lambda _{g}}-تخمين .

يتم تعميمها بواسطة صيغة جوباكومار-مارينو-فافا .

الصيغة

عرّف عدد هورويتز

حز؛ك1،...،كن{\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}

عدد التغطيات المتفرعة للخط الإسقاطي المركب ( كرة ريمان ،P1(ج)){\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ))}وهي منحنيات متصلة من النوع g ، مع n صورة عكسية مرقمة للنقطة عند اللانهاية ذات تعدداتك1،...،كن{\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}و m نقاط تفرع أبسط . هنا، إذا كان للغطاء زمرة تماثل ذاتي غير تافهة G، فيجب احتسابها بوزن.1/|جي|{\displaystyle 1/|G|}.

ثم تصبح صيغة ELSV كما يلي

حز؛ك1،...،كن=م!8مؤلف(ك1،...،كن)∏أنا=1نكأناكأناكأنا!∫م¯ز،نج(هـ*)(1-ك1ψ1)⋯(1-كنψن).{\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}={\dfrac {m!}{\#{\text{Aut}}(k_{1},\ldots ,k_{n})}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}.}

فيما يلي طريقة الترميز:

  • ز≥0{\displaystyle g\geq 0}هو عدد صحيح غير سالب؛
  • ن≥1{\displaystyle n\geq 1}هو عدد صحيح موجب؛
  • ك1،...،كن{\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}هي أعداد صحيحة موجبة؛
  • 8مؤلف⁡(ك1،...،كن){\displaystyle \#\operatorname {Aut} (k_{1},\ldots ,k_{n})}يمثل عدد التشاكلات الذاتية للـ n -tuple(ك1،...،كن)؛{\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n});}
  • م=∑كأنا+ن+2ز-2؛{\displaystyle m=\sum k_{i}+n+2g-2;}
  • م¯ز،ن{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}هي فضاء المعاملات للمنحنيات المستقرة من النوع g مع n نقطة مميزة؛
  • E هي حزمة متجهات هودج و c(E*) هي فئة تشيرن الكلية لحزمة المتجهات الثنائية الخاصة بها؛
  • ψ i هي فئة Chern الأولى لحزمة الخط المماسي للنقطة المميزة رقم i .

الأرقام

حز؛ك1،...،كن{\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}

تتمتع الحدود في الجانب الأيسر بتعريف توافقي وتستوفي خصائص يمكن إثباتها توافقياً. وتُترجم كل خاصية من هذه الخصائص إلى بيان حول التكاملات في الجانب الأيمن من صيغة ELSV ( كازاريان 2009 ) .

أرقام هورويتز

أرقام هورويتز

حز؛ك1،...،كن{\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}

لدينا أيضًا تعريف بمصطلحات جبرية بحتة. مع K = k₁ + ... + kₙ و m = K + n + 2g - 2، ولتكن τ₁ , ..., τₘ تبديلات في المجموعة المتناظرة SK ، و σ تبديلًا يتكون من n دورة مرقمة بأطوال k₁ , ..., kₙ . عندئذٍ

(τ1،...،τم،σ){\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{m},\sigma )}

يُعتبر تحليلًا متعديًا لعنصر الهوية من النوع ( k1 , ..., kn ) إذا كان حاصل الضرب

τ1⋯τمσ{\displaystyle \tau _{1}\cdots \tau _{m}\sigma }

يساوي التبديل المحايد والمجموعة المولدة بواسطة

τ1،...،τم{\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{m}}

هو فعل متعدٍ .

تعريف.حز؛ك1،...،كن{\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}هو عدد التحليلات المتعدية للهوية من النوع ( k1 ، ... ، kn ) مقسومًا على K !.

مثال أ. العددحز؛ك{\displaystyle h_{g;k}}يساوي 1/ k ! مضروبًا في عدد قوائم التبديلات(τ1،...،τك+2ز-1){\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{k+2g-1})}والذي يكون ناتجه دورة من النوع k . بعبارة أخرى،حز؛ك{\displaystyle h_{g;k}}هو 1/ k مضروبًا في عدد عمليات تحليل دورة k معينة إلى ناتج k + 2 g − 1 من عمليات النقل.

تُثبت التكافؤ بين تعريفَي أعداد هورويتز (حساب التغطيات المتفرعة للكرة، أو حساب التحليلات المتعدية) بوصف التغطية المتفرعة من خلال أحاديتها . بتعبير أدق: اختر نقطة أساسية على الكرة، ورقم صورها العكسية من 1 إلى K (وهذا يُدخل عامل K !، مما يُفسر القسمة عليه)، ثم انظر إلى أحاديات التغطية حول نقطة التفرع. يؤدي هذا إلى تحليل متعدٍ.

التكامل على فضاء المعاملات

فضاء المعاملاتم¯ز،ن{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}هي عبارة عن حزمة ديلين-مامفورد ملساء ذات بُعد (مركب) 3 g − 3 + n . (من الناحية الاستدلالية، تتصرف هذه الحزمة بشكل مشابه للمتشعب المركب، باستثناء أن تكاملات الفئات المميزة التي تكون أعدادًا صحيحة للمتشعبات هي أعداد نسبية لحزم ديلين-مامفورد.)

حزمة هودج E هي حزمة متجهات من الرتبة g على فضاء المعاملاتم¯ز،ن{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}التي يكون ليفها فوق منحنى ( C , x1 , ..., xn ) ذي n نقطة مميزة هو فضاء التفاضلات الأبيلية على C. ويُرمز إلى فئات تشيرن الخاصة بها بـ

λج=جج(هـ)∈ح2ج(م¯ز،ن،سؤال).{\displaystyle \lambda _{j}=c_{j}(E)\in H^{2j}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).}

لدينا

ج(هـ*)=1-λ1+λ2-⋯+(-1)زλز.{\displaystyle c(E^{*})=1-\lambda _{1}+\lambda _{2}-\cdots +(-1)^{g}\lambda _{g}.}

فئات ψ. تقديم حزم الخطوطل1،...،لن{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1},\ldots ,{\mathcal {L}}_{n}}زيادةم¯ز،ن{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}أليافلأنا{\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}يمثل الخط المماس للمنحنى ( C , x1 , ..., xn ) الخط المماس للمنحنى C عند x1 . الفئة الأولى من تشيرن لـلأنا{\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}يُرمز إليه بـ

ψأنا=ج1(لأنا)∈ح2(م¯ز،ن،سؤال).{\displaystyle \psi _{i}=c_{1}({\mathcal {L}}_{i})\in H^{2}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).}

الدالة المراد تكاملها. الكسر1/(1-كأناψأنا){\displaystyle 1/(1-k_{i}\psi _{i})}يُفسر على النحو التالي1+كأناψأنا+كأنا2ψأنا2+⋯{\displaystyle 1+k_{i}\psi _{i}+k_{i}^{2}\psi _{i}^{2}+\cdots }حيث يمكن تقسيم المجموع عند الدرجة 3g - 3 + n (بعد فضاء المعاملات). وبالتالي، فإن الدالة المراد تكاملها هي حاصل ضرب n + 1 عامل. نقوم بتوسيع هذا الناتج، واستخراج الجزء ذي الدرجة 3g - 3 + n منه ، ثم نكامله على فضاء المعاملات.

التكامل كمتعدد حدود. ويترتب على ذلك أن التكامل

∫م¯ز،نج(هـ*)(1-ك1ψ1)⋯(1-كنψن){\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}}

هي متعددة حدود متناظرة في المتغيرات k 1 ، ... ، k n ، حيث تتراوح درجات أحادياتها بين 3 g − 3 + n و 2 g − 3 + n . معامل أحادي الحدك1د1⋯كندن{\displaystyle k_{1}^{d_{1}}\cdots k_{n}^{d_{n}}}يساوي

∫م¯ز،ن(-1)جλجψ1د1⋯ψندن،{\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}(-1)^{j}\lambda _{j}\psi _{1}^{d_{1}}\cdots \psi _{n}^{d_{n}},}

أين

ج=3ز-3+ن-∑دأنا.{\displaystyle j=3g-3+n-\sum d_{i}.}

ملاحظة. تعددية الحدود للأعداد

حز؛ك1،...،كنم!∏أنا=1نكأنا!كأناكأنا{\displaystyle {\frac {h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}{m!}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}!}{k_{i}^{k_{i}}}}}

تم التكهن بهذا الأمر لأول مرة من قبل آي بي غولدن ودي إم جاكسون. ولا يوجد دليل معروف مستقل عن صيغة ELSV.

مثال ب. ليكن g = n = 1. إذن

∫م¯ز،نج(هـ*)(1-ك1ψ1)⋯(1-كنψن)=∫م¯1،11-λ11-ك1ψ1=[∫م¯1،1ψ1]ك1-[∫م¯1،1λ1].{\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k_{1}\psi _{1}}}=\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k_{1}-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right].}

مثال

لنفترض أن n = g = 1. لتبسيط الترميز، نرمز إلى k 1 بـ k . لدينا m = K + n + 2 g − 2 = k + 1.

وفقًا للمثال ب، فإن صيغة ELSV في هذه الحالة هي

ح1؛ك=(ك+1)!ككك!∫م¯1،11-λ11-كψ1=(ك+1)كك{[∫م¯1،1ψ1]ك-[∫م¯1،1λ1]}.{\displaystyle h_{1;k}=(k+1)!{\frac {k^{k}}{k!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k\psi _{1}}}=(k+1)k^{k}\left\{\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right]\right\}.}

من جهة أخرى، وفقًا للمثال أ، فإن عدد هورويتز h₁ , ₖ يساوي 1/ k مضروبًا في عدد طرق تحليل دورة k في المجموعة المتناظرة Sₖ إلى حاصل ضرب k + 1 عملية تبديل. وبالتحديد، h₁ ,₁ = 0 (لعدم وجود عمليات تبديل في S₁ )، بينما h₁ ,₂ = 1/2 (لوجود تحليل وحيد لعملية التبديل (1 2) في S₂ إلى حاصل ضرب ثلاث عمليات تبديل).

وبإدخال هاتين القيمتين في صيغة ELSV، نجد

∫م¯1،1ψ1=∫م¯1،1λ1=124.{\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}={\frac {1}{24}}.}

ومن ذلك نستنتج

ح1؛ك=(ك2-1)كك24.{\displaystyle h_{1;k}={\frac {(k^{2}-1)k^{k}}{24}}.}

تاريخ

أُعلن عن صيغة ELSV من قِبل إيكيدال وآخرون (1999) ، ولكن بإشارة خاطئة. أثبتها فانتيتشي وبانداريباندي (2002) لـ k 1 = ... = k n = 1 (مع تصحيح الإشارة). أثبت غرابير وفكيل (2003) الصيغة بشكل عام باستخدام تقنيات التوطين. تلا ذلك البرهان الذي أعلنه المؤلفون الأربعة الأوائل ( إيكيدال وآخرون، 2001 ) . الآن، وبعد أن أنشأ لي (2001) فضاء الخرائط المستقرة إلى الخط الإسقاطي بالنسبة لنقطة ، يمكن الحصول على برهان مباشرةً بتطبيق التوطين الافتراضي على هذا الفضاء.

قدم كازاريان (2009) ، بالاستناد إلى أعمال سابقة لعدة أشخاص، طريقة موحدة لاستنتاج معظم النتائج المعروفة في نظرية التقاطع لـم¯ز،ن{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}من صيغة ELSV.

فكرة الإثبات

يتركمز؛ك1،...،كن{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}ليكن فضاء التطبيقات المستقرة f من منحنى من الجنس g إلى P 1 ( C ) بحيث يكون لـ f بالضبط n قطبًا من الرتبك1،...،كن{\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}.

يُخصص التشاكل المتفرع br أو خريطة لياشكو-لويينغا لـو∈مز؛ك1،...،كن{\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}المجموعة غير المرتبة لنقاط تفرعها m في C مع مراعاة التعددية. في الواقع، لا يصح هذا التعريف إلا إذا كانت f دالة ملساء. لكن له امتداد طبيعي إلى فضاء الدوال المستقرة. على سبيل المثال، تُعتبر قيمة f على عقدة ما نقطة تفرع مزدوجة، كما يتضح من خلال النظر إلى عائلة المنحنيات C t المعطاة بالمعادلة xy = t وعائلة الدوال f t ( x , y ) = x + y . عندما t → 0، تتجه نقطتا تفرع f t نحو قيمة f 0 عند عقدة C 0 .

التشكل المتفرع ذو درجة محدودة، لكن له ألياف لا نهائية. هدفنا الآن هو حساب درجته بطريقتين مختلفتين.

الطريقة الأولى هي حساب الصور العكسية لنقطة عامة في الصورة. بعبارة أخرى، نحسب التغطيات المتفرعة لـ P1 ( C ) بنقطة تفرع من النوع ( k1 , ..., kn ) عند ∞ و m نقطة تفرع بسيطة ثابتة أخرى. هذا هو بالضبط عدد هورويتز .حز؛ك1،...،كن{\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}.

الطريقة الثانية لإيجاد درجة br هي النظر إلى الصورة العكسية لأكثر نقطة انحطاطًا، أي وضع جميع نقاط التفرع m معًا عند 0 في C.

الصورة الأصلية لهذه النقطة فيمز؛ك1،...،كن{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}هو ليف لانهائي من br متماثل مع فضاء المعاملاتم¯ز،ن{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}في الواقع، إذا كان لدينا منحنى مستقر ذو n نقطة مميزة ، فإننا نرسل هذا المنحنى إلى 0 في P1 ( C ) ونُلحق بنقاطه المميزة n من المكونات النسبية التي يكون للخريطة المستقرة عليها الشكل التالي:z↦zك1،...،z↦zكن{\displaystyle z\mapsto z^{k_{1}},\dots ,z\mapsto z^{k_{n}}}وهكذا نحصل على جميع الخرائط المستقرة فيمز؛ك1،...،كن{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}غير متفرعة خارج النطاقين 0 و∞. تسمح الطرق القياسية للهندسة الجبرية بإيجاد درجة دالة ما من خلال النظر إلى ليف لانهائي وحزمة عمودية عليه. تُعبّر النتيجة عن طريق تكامل فئات مميزة معينة على الليف اللانهائي. في حالتنا، يُصادف أن هذا التكامل يساوي الطرف الأيمن من صيغة ELSV.

وبالتالي فإن صيغة ELSV تعبر عن المساواة بين طريقتين لحساب درجة التشكل المتفرع.

مراجع