منحنى مستقر

الموسوعة الحرة

في الهندسة الجبرية ، المنحنى المستقر هو منحنى جبري مستقر تقاربياً بمعنى نظرية الثوابت الهندسية .

هذا يُعادل شرط أن يكون المنحنى متصلاً تماماً، وأن تكون نقاطه الشاذة الوحيدة هي نقاط مزدوجة عادية، وأن تكون مجموعة التشاكل الذاتي الخاصة به منتهية. ويمكن استبدال شرط أن تكون مجموعة التشاكل الذاتي منتهية بشرط ألا يكون جنسها الحسابي واحداً، وأن يلتقي كل مكون كسري غير شاذ بالمكونات الأخرى في ثلاث نقاط على الأقل ( ديليجن ومومفورد، 1969 ) .

المنحنى شبه المستقر هو منحنى يحقق شروطًا مماثلة، باستثناء أن مجموعة التشاكل الذاتي يُسمح لها بأن تكون اختزالية وليست منتهية (أو ما يعادلها، قد يكون مكونها المتصل عبارة عن سطح حلقي ). وبدلاً من ذلك، يُستبدل شرط التقاء المكونات النسبية غير المنفردة بالمكونات الأخرى في ثلاث نقاط على الأقل بشرط التقاءها في نقطتين على الأقل.

وبالمثل، يُطلق على المنحنى ذي العدد المحدود من النقاط المميزة اسم المنحنى المستقر إذا كان كاملاً، ومتصلاً، ولا يحتوي إلا على نقاط مزدوجة عادية كنقاط شاذة، وله زمرة تماثل ذاتي منتهية. على سبيل المثال، المنحنى الإهليلجي (منحنى غير شاذ من النوع 1 بنقطة مميزة واحدة) هو منحنى مستقر.

على الأعداد المركبة، يكون المنحنى المتصل مستقرًا إذا وفقط إذا كانت الأغطية الشاملة لجميع مكوناته متماثلة مع القرص الواحدي بعد إزالة جميع النقاط الشاذة والمميزة.

تعريف

بالنظر إلى مخطط عشوائيS{\displaystyle S}والضبطز≥2{\displaystyle g\geq 2}منحنى جنس g مستقر علىS{\displaystyle S}يُعرَّف بأنه تشاكل مسطح صحيحπ:ج→S{\displaystyle \pi :C\to S}بحيث يتم تقليل الألياف الهندسية، وربط المخططات أحادية البعدجs{\displaystyle C_{s}}بحيث

  1. جs{\displaystyle C_{s}}لا تحتوي إلا على نقاط تفرد عادية مزدوجة النقطة
  2. كل مكون عقلانيهـ{\displaystyle E}يفي بمتطلبات المكونات الأخرى بأكثر من2{\displaystyle 2}نقاط
  3. خافت⁡ح1(ياجs)=ز{\displaystyle \dim H^{1}({\mathcal {O}}_{C_{s}})=g}

تُعدّ هذه الشروط التقنية ضرورية لأنها: (1) تُقلّل من التعقيد التقني (ويمكن استخدام نظرية بيكارد-ليفشيتز هنا أيضًا)، (2) تُصلّب المنحنيات بحيث لا توجد تحويلات ذاتية متناهية الصغر لمجموعة المعاملات التي تُنشأ لاحقًا، و(3) تضمن أن يكون الجنس الحسابي لكل ليف متطابقًا. تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للشرط (1)، يمكن تصنيف أنواع النقاط الشاذة الموجودة في الأسطح الإهليلجية تصنيفًا كاملًا.

أمثلة

تُعد عائلة منحنيات فايرشتراس مثالاً كلاسيكياً على عائلة من المنحنيات المستقرة.

مشروع⁡(سؤال[ت][x،y،z]y2z-x(x-z)(x-تz))↓المواصفات⁡(سؤال[ت]){\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Q} [t][x,y,z]}{y^{2}zx(xz)(x-tz)}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {Q} [t])\end{matrix}}}

حيث تغطي الألياف كل نقطة≠0،1{\displaystyle \neq 0,1}تكون هذه المنحنيات ملساء، ولا تحتوي نقاطها المنحلة إلا على نقطة تفرد مزدوجة واحدة. ويمكن تعميم هذا المثال ليشمل حالة عائلة من المنحنيات الإهليلجية الفائقة الملساء ذات المعامل الواحد ، والتي تتدهور عند عدد محدود من النقاط.

أمثلة مضادة

في الحالة العامة لأكثر من مُعامل واحد، يجب توخي الحذر لإزالة المنحنيات التي تحتوي على نقاط تفرد أسوأ من النقاط المزدوجة. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك العائلة علىأs،ت2{\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}}مُشَكَّلة من كثيرات الحدود

y2=x(x-s)(x-ت)(x-1)(x-2){\displaystyle y^{2}=x(xs)(xt)(x-1)(x-2)}

لأن على طول القطرs=ت{\displaystyle s=t}توجد حالات شاذة غير مزدوجة النقاط. ومن الأمثلة الأخرى غير الشاذة عائلة فوقأت1{\displaystyle \mathbb {A} _{t}^{1}}معطاة بواسطة كثيرات الحدود

x3-y2+ت{\displaystyle x^{3}-y^{2}+t}

وهي عائلة من المنحنيات الإهليلجية التي تتدهور إلى منحنى منطقي ذي نقطة انعطاف.

ملكيات

من أهم خصائص المنحنيات المستقرة أنها كاملة محليًا (retakeantosjhi uqwnh fwiudsvay nhgrbfwuoeh0-u9ge8hy0ripw'[keifu928h[9ug4pcn;oej) . وهذا يعني إمكانية استخدام نظرية الازدواجية القياسية لسير . على وجه الخصوص، يمكن إثبات أنه لكل منحنى مستقرωج/S⊗3{\displaystyle \omega _{C/S}^{\otimes 3}}هي حزمة كبيرة نسبياً ؛ يمكن استخدامها لتضمين المنحنى فيPS5ز-6{\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{5g-6}}باستخدام نظرية مخطط هيلبرت القياسية، يمكننا بناء مخطط معياري لمنحنيات من النوعز{\displaystyle g}مُضمنة في فضاء إسقاطي ما. تُعطى متعددة حدود هيلبرت بالصيغة التالية:

Pز(ن)=(6ن-1)(ز-1){\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}

يوجد موضع فرعي من المنحنيات المستقرة ضمن مخطط هيلبرت

حز⊂هيلبPZ5ز-6Pز{\displaystyle H_{g}\subset {\textbf {Hilb}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5g-6}}^{P_{g}}}

هذا يمثل الدالة

حز(S)≅{منحنيات مستقرة π:ج→S مع ISO P(π*(ωج/S⊗3))≅P5ز-6×S}/∼≅هوم⁡(S،حز){\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}(S)\cong \left.\left\{{\begin{matrix}&{\text{stable curves }}\pi :C\to S\\&{\text{ with an iso }}\\&\mathbb {P} (\pi _{*}(\omega _{C/S}^{\otimes 3}))\cong \mathbb {P} ^{5g-6}\times S\end{matrix}}\right\}{\Bigg /}{\sim }\right.\cong \operatorname {Hom} (S,H_{g})}

أين∼{\displaystyle \sim }هي تماثلات للمنحنيات المستقرة. ولجعل هذا فضاءً معياريًا للمنحنيات دون النظر إلى التضمين (المُشفَّر بواسطة تماثل الفضاءات الإسقاطية)، علينا أن نُجري عملية التقسيم المعياري بواسطةPجيل(5ز-6){\displaystyle PGL(5g-6)}وهذا يعطينا مكدس المعاملات

مز:=[ح_ز/Pجيل_(5ز-6)]{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}:=[{\underline {H}}_{g}/{\underline {PGL}}(5g-6)]}

انظر أيضاً

مراجع