تخمين إردوش حول المتتابعات الحسابية

حدسية إردوش حول المتتابعات الحسابية ، والتي يشار إليها غالبًا باسم حدسية إردوش-توران ، هي حدسية في التوافقية الحسابية . وتنص على أنه إذا كان مجموع مقلوبات عناصر مجموعة A من الأعداد الصحيحة الموجبة متباعدًا، فإن A تحتوي على متتابعات حسابية طويلة كيفما كانت .

بصورة رسمية، تنص الفرضية على أنه إذا كانت A مجموعة كبيرة بالمعنى التالي:

$${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}\ =\ \infty ,}$$

إذن ، تحتوي المجموعة A على متتابعات حسابية بأي طول مُعطى، مما يعني أنه لكل عدد صحيح موجب k يوجد عدد صحيح a وعدد صحيح غير صفري c بحيث${\displaystyle \{a,a{+}c,a{+}2c,\ldots ,a{+}kc\}\subset A}$.

في عام 1936، وضع بول إردوش وبال توران فرضية أضعف مفادها أن أي مجموعة من الأعداد الصحيحة ذات الكثافة الطبيعية الموجبة تحتوي على عدد لا نهائي من المتتابعات الحسابية المكونة من ثلاثة حدود. ^{[ 1 ]} وقد أثبت كلاوس روث هذه الفرضية في عام 1952، وعمّمها سيميريدي في عام 1975 لتشمل المتتابعات الحسابية ذات الأطوال التعسفية، فيما يُعرف الآن بنظرية سيميريدي .

في محاضرة ألقاها عام 1976 بعنوان "إلى ذكرى صديقي وزميلي مدى الحياة بول توران"، عرض إردوش جائزة قدرها 3000 دولار أمريكي لمن يثبت صحة هذه الفرضية. ^{[ 2 ]} وفي عام 1996 رفع قيمة الجائزة إلى 5000 دولار أمريكي. ^{[ 3 ]}

يمكن اعتبار حدسية إردوش حول المتتابعات الحسابية نسخةً أقوى من نظرية سيميريدي. ولأن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية متباعد، فإن نظرية غرين-تاو حول المتتابعات الحسابية هي حالة خاصة من الحدسية.

إن الادعاء الأضعف بأن المجموعة A يجب أن تحتوي على عدد لا نهائي من المتتابعات الحسابية ذات الطول 3 هو نتيجة لتحسين الحد في نظرية روث . وقد أثبتت ورقة بحثية لبلوم ^{[ 4 ]} نُشرت عام 2016 أنه إذا${\displaystyle A\subset \{1,...,N\}}$إذا لم يكن يحتوي على متتابعات حسابية غير تافهة مكونة من ثلاثة حدود${\displaystyle |A|\ll N(\log {\log {N}})/\log {N}}$.

في عام 2020، حسّنت دراسة أولية أجراها بلوم وسيساك ^{[ 5 ]} الحدّ إلى${\displaystyle |A|\ll N/(\log {N})^{1+c}}$لبعض الثوابت المطلقة${\displaystyle c>0}$.

في عام 2023، تم إطلاق مجموعة جديدة من${\displaystyle \exp(-c(\log N)^{1/12})N}$^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} اكتشفها عالما الحاسوب كيلي وميكا، وقدمبلوموسيساك شرحًا لها بلغة رياضية أكثر شيوعًا، ^{[ 9 ] [ 10 ]} وقد حسّنا منذ ذلك الحين أسّ حد كيلي-ميكا إلى${\displaystyle \beta =1/9}$، وخمّن${\displaystyle \beta =5/41}$، في نسخة أولية. ^{[ 11 ]}

• مسائل تتضمن متتابعات حسابية
• قائمة بمجموع مقلوبات الأعداد
• قائمة التخمينات لبول إيردوس
• نظرية مونتز-ساس

• P. Erdős: النتائج والمشاكل في نظرية الأسماء ، Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973)، Théorie des nombres ، Fasc 2.، Exp. رقم 24، ص  7،
• P. Erdős وP. Turán، حول بعض متواليات الأعداد الصحيحة، J. London Math. شركة نفط الجنوب. 11 (1936)، 261-264.
• ب. إردوش: مشاكل في نظرية الأعداد والتوافقية، وقائع المؤتمر السادس لمانيتوبا حول الرياضيات العددية، المؤتمر العددي الثامن عشر (1977)، 35-58 .
• ب. إردوش: حول المسائل التوافقية التي أود أن أرى حلولاً لها، كومبيناتوريكا ، 1 (1981)، 28. doi : 10.1007/BF02579174

• حدسية إردوس-توران أم حدسية إردوس؟ على MathOverflow