إضافة أسماء جديدة للثوابت والدوال

في المنطق الرياضي ، يمكن توسيع نظرية ما بإضافة ثوابت أو أسماء دوال جديدة في ظل شروط معينة، مع ضمان عدم حدوث أي تناقض. ولعلّ التوسيع بالتعريفات هو الأسلوب الأكثر شيوعًا، ولكنه يتطلب وجودًا فريدًا لعنصر ذي الخاصية المطلوبة. كما يمكن إضافة أسماء جديدة بأمان دون اشتراط التفرد.

لنفترض أن صيغة مغلقة

${\displaystyle \exists x_{1}\ldots \exists x_{m}\,\varphi (x_{1},\ldots ,x_{m})}$

هي نظرية من نظريات الرتبة الأولى${\displaystyle T}$. يترك${\displaystyle T_{1}}$أن تكون نظرية مستمدة من${\displaystyle T}$عن طريق توسيع لغتها بثوابت جديدة

${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}}$

وإضافة بديهية جديدة

${\displaystyle \varphi (a_{1},\ldots ,a_{m})}$.

ثم${\displaystyle T_{1}}$هو امتداد محافظ لـ${\displaystyle T}$وهذا يعني أن النظرية${\displaystyle T_{1}}$يحتوي على نفس مجموعة النظريات في اللغة الأصلية (أي بدون ثوابت).${\displaystyle a_{i}}$) كنظرية${\displaystyle T}$.

ويمكن أيضًا توسيع هذه النظرية بشكل متحفظ عن طريق إدخال رمز وظيفي جديد : ^{[ 1 ]}

لنفترض أن صيغة مغلقة${\displaystyle \forall {\vec {x}}\,\exists y\,\!\,\varphi (y,{\vec {x}})}$هي نظرية من نظريات الرتبة الأولى${\displaystyle T}$، حيث نرمز${\displaystyle {\vec {x}}:=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$. يترك${\displaystyle T_{1}}$أن تكون نظرية مستمدة من${\displaystyle T}$من خلال توسيع لغتها برمز وظيفي جديد${\displaystyle f}$(من النوع)${\displaystyle n}$) وإضافة بديهية جديدة${\displaystyle \forall {\vec {x}}\,\varphi (f({\vec {x}}),{\vec {x}})}$. ثم${\displaystyle T_{1}}$هو امتداد محافظ لـ${\displaystyle T}$أي النظريات${\displaystyle T}$و${\displaystyle T_{1}}$أثبت نفس النظريات دون استخدام الرمز الوظيفي${\displaystyle f}$).

يُصاغ شونفيلد النظرية بصيغة اسم دالة جديد، وتكون الثوابت مماثلة للدوال ذات المعاملات الصفرية. في الأنظمة الرسمية التي تقبل المجموعات المرتبة، يمكن تحقيق التوسيع بثوابت متعددة كما هو موضح هنا عن طريق إضافة مجموعة ثوابت جديدة، وتكون أسماء الثوابت الجديدة مساوية لقيم عناصر المجموعة.

• التوسع المحافظ
• التمديد بحكم التعريف