التمديد بحكم التعريف

في المنطق الرياضي ، وتحديدًا في نظرية إثبات النظريات من الرتبة الأولى ، يُضفي التمديد بالتعريف طابعًا رسميًا على إدخال رمز جديد من خلال تعريف . على سبيل المثال، من الشائع في نظرية المجموعات البسيطة إدخال رمز${\displaystyle \emptyset }$بالنسبة للمجموعة التي لا تحتوي على عنصر. في الإطار الرسمي لنظريات الرتبة الأولى، يمكن القيام بذلك عن طريق إضافة ثابت جديد إلى النظرية${\displaystyle \emptyset }$والمسلمة الجديدة${\displaystyle \forall x(x\notin \emptyset )}$، بمعنى "لكل x ، فإن x ليس عضوًا في${\displaystyle \emptyset }$ويمكن إثبات أن القيام بذلك لا يُضيف شيئًا جوهريًا إلى النظرية القديمة، كما هو متوقع من التعريف. وبشكل أدق، فإن النظرية الجديدة هي امتداد محافظ للنظرية القديمة.

يترك${\displaystyle T}$أن تكون نظرية من الدرجة الأولى و${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n})}$صيغة من​${\displaystyle T}$بحيث${\displaystyle x_{1}}$...${\displaystyle x_{n}}$وهي متميزة وتشمل المتغيرات الحرة في${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n})}$صياغة نظرية جديدة من الدرجة الأولى${\displaystyle T'}$من${\displaystyle T}$بإضافة جديد${\displaystyle n}$رمز العلاقة -ary${\displaystyle R}$، البديهيات المنطقية التي تتضمن الرمز${\displaystyle R}$والمسلمة الجديدة

${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}(R(x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \phi (x_{1},\dots ,x_{n}))}$،

يُطلق عليه اسم البديهية الأساسية لـ${\displaystyle R}$.

لو${\displaystyle \psi }$هي صيغة من${\displaystyle T'}$، يترك${\displaystyle \psi ^{\ast }}$فلتكن صيغة${\displaystyle T}$تم الحصول عليه من${\displaystyle \psi }$عن طريق استبدال أي ظهور لـ${\displaystyle R(t_{1},\dots ,t_{n})}$بواسطة${\displaystyle \phi (t_{1},\dots ,t_{n})}$(تغيير المتغيرات المقيدة في${\displaystyle \phi }$إذا لزم الأمر، بحيث تكون المتغيرات التي تحدث في${\displaystyle t_{i}}$غير ملزمين بـ${\displaystyle \phi (t_{1},\dots ,t_{n})}$ثم ينطبق ما يلي:

1. ${\displaystyle \psi \leftrightarrow \psi ^{\ast }}$يمكن إثبات ذلك في${\displaystyle T'}$، و
2. ${\displaystyle T'}$هو امتداد محافظ لـ${\displaystyle T}$.

حقيقة أن${\displaystyle T'}$هو امتداد محافظ لـ${\displaystyle T}$يُظهر ذلك أن البديهية الأساسية لـ${\displaystyle R}$لا يمكن استخدامها لإثبات نظريات جديدة. الصيغة${\displaystyle \psi ^{\ast }}$يُطلق عليه ترجمة${\displaystyle \psi }$داخل${\displaystyle T}$من الناحية الدلالية، الصيغة${\displaystyle \psi ^{\ast }}$له نفس المعنى${\displaystyle \psi }$، لكن الرمز المحدد${\displaystyle R}$تم القضاء عليه.

يترك${\displaystyle T}$أن تكون نظرية من الدرجة الأولى ( مع المساواة ) و${\displaystyle \phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})}$صيغة من${\displaystyle T}$بحيث${\displaystyle y}$،${\displaystyle x_{1}}$...${\displaystyle x_{n}}$وهي متميزة وتشمل المتغيرات الحرة في${\displaystyle \phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})}$لنفترض أننا نستطيع إثبات

${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}\exists !y\phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})}$

في${\displaystyle T}$أي للجميع${\displaystyle x_{1}}$...${\displaystyle x_{n}}$يوجد عدد فريد y بحيث${\displaystyle \phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})}$صياغة نظرية جديدة من الدرجة الأولى${\displaystyle T'}$من${\displaystyle T}$بإضافة جديد${\displaystyle n}$رمز الدالة -ary${\displaystyle f}$، البديهيات المنطقية التي تتضمن الرمز${\displaystyle f}$والمسلمة الجديدة

${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}\phi (f(x_{1},\dots ,x_{n}),x_{1},\dots ,x_{n})}$،

يُطلق عليه اسم البديهية الأساسية لـ${\displaystyle f}$.

يترك${\displaystyle \psi }$أي صيغة ذرية من${\displaystyle T'}$نُعرّف الصيغة${\displaystyle \psi ^{\ast }}$ل${\displaystyle T}$بشكل متكرر كما يلي. إذا كان الرمز الجديد${\displaystyle f}$لا يحدث في${\displaystyle \psi }$، يترك${\displaystyle \psi ^{\ast }}$يكون${\displaystyle \psi }$وإلا، فاختر أحد الأمثلة التالية:${\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{n})}$في${\displaystyle \psi }$بحيث${\displaystyle f}$لا يحدث ذلك في الشروط${\displaystyle t_{i}}$ودع${\displaystyle \chi }$يمكن الحصول عليها من${\displaystyle \psi }$عن طريق استبدال ذلك الظهور بمتغير جديد${\displaystyle z}$ثم بما أن${\displaystyle f}$يحدث في${\displaystyle \chi }$مرة واحدة أقل من المرة السابقة${\displaystyle \psi }$الصيغة${\displaystyle \chi ^{\ast }}$تم تحديده بالفعل، ونترك${\displaystyle \psi ^{\ast }}$يكون

${\displaystyle \forall z(\phi (z,t_{1},\dots ,t_{n})\rightarrow \chi ^{\ast })}$

(تغيير المتغيرات المقيدة في${\displaystyle \phi }$إذا لزم الأمر، بحيث تكون المتغيرات التي تحدث في${\displaystyle t_{i}}$غير ملزمين بـ${\displaystyle \phi (z,t_{1},\dots ,t_{n})}$). للحصول على صيغة عامة${\displaystyle \psi }$الصيغة${\displaystyle \psi ^{\ast }}$يتم تشكيلها عن طريق استبدال كل ظهور لصيغة فرعية ذرية${\displaystyle \chi }$بواسطة${\displaystyle \chi ^{\ast }}$ثم ينطبق ما يلي:

1. ${\displaystyle \psi \leftrightarrow \psi ^{\ast }}$يمكن إثبات ذلك في${\displaystyle T'}$، و
2. ${\displaystyle T'}$هو امتداد محافظ لـ${\displaystyle T}$.

الصيغة${\displaystyle \psi ^{\ast }}$يُطلق عليه ترجمة${\displaystyle \psi }$داخل${\displaystyle T}$كما هو الحال مع رموز العلاقات، فإن الصيغة${\displaystyle \psi ^{\ast }}$له نفس المعنى${\displaystyle \psi }$لكن الرمز الجديد${\displaystyle f}$تم القضاء عليه.

ينطبق بناء هذه الفقرة أيضًا على الثوابت، والتي يمكن اعتبارها رموز دالة صفرية.

نظرية من الدرجة الأولى${\displaystyle T'}$تم الحصول عليه من${\displaystyle T}$يُطلق على عملية الإدخال المتتالي لرموز العلاقات ورموز الدوال كما هو مذكور أعلاه اسم الامتداد وفقًا لتعريفات${\displaystyle T}$. ثم${\displaystyle T'}$هو امتداد محافظ لـ${\displaystyle T}$، ولأي صيغة${\displaystyle \psi }$ل${\displaystyle T'}$يمكننا صياغة صيغة${\displaystyle \psi ^{\ast }}$ل${\displaystyle T}$، وتسمى ترجمة${\displaystyle \psi }$داخل${\displaystyle T}$بحيث${\displaystyle \psi \leftrightarrow \psi ^{\ast }}$يمكن إثبات ذلك في${\displaystyle T'}$إن هذه الصيغة ليست فريدة، ولكن يمكن إثبات أن أي اثنين منها متكافئان في T.

عملياً، امتداد بالتعريفات${\displaystyle T'}$لا يتم التمييز بين T والنظرية الأصلية T. في الواقع، صيغ${\displaystyle T'}$يمكن اعتبارها اختصارًا لترجماتها إلى T. ويتم تبرير معالجة هذه الاختصارات كصيغ فعلية بحقيقة أن الامتدادات عن طريق التعريفات محافظة.

• تقليديًا، تمتلك نظرية المجموعات من الدرجة الأولى ZF${\displaystyle =}$(المساواة) و${\displaystyle \in }$(العضوية) كرموز علاقاتها الأولية الوحيدة، ولا توجد رموز دوال. ومع ذلك، في الرياضيات اليومية، تُستخدم العديد من الرموز الأخرى مثل رمز العلاقة الثنائية${\displaystyle \subseteq }$الثابت${\displaystyle \emptyset }$، رمز الدالة الأحادية P ( عملية مجموعة القوى )، إلخ. جميع هذه الرموز تنتمي في الواقع إلى امتدادات من خلال تعريفات ZF.
• يترك${\displaystyle T}$لتكن T نظرية من الدرجة الأولى للمجموعات التي يكون فيها الرمز الأولي الوحيد هو الضرب الثنائي ×. في T ، يمكننا إثبات وجود عنصر وحيد y بحيث يكون x  × y = y × x = x لكل x . بالتالي، يمكننا إضافة ثابت جديد e إلى T والبديهية     

${\displaystyle \forall x(x\times e=x\land e\times x=x)}$،

وما نحصل عليه هو امتداد عن طريق التعريفات${\displaystyle T'}$ل${\displaystyle T}$ثم في${\displaystyle T'}$يمكننا إثبات أنه لكل x ، يوجد y وحيد بحيث يكون x  × y = y × x = e . وبالتالي، فإن نظرية الرتبة الأولى     ${\displaystyle T''}$تم الحصول عليه من${\displaystyle T'}$بإضافة رمز دالة أحادي${\displaystyle f}$والمسلمة

${\displaystyle \forall x(x\times f(x)=e\land f(x)\times x=e)}$

هو امتداد لتعريفات${\displaystyle T}$. عادة،${\displaystyle f(x)}$يُشار إليه بـ${\displaystyle x^{-1}}$.

• التوسع المحافظ
• وصف دقيق
• حساب إبسيلون
• إضافة أسماء جديدة للثوابت والدوال

• إس سي كلين (1952)، مقدمة في ما وراء الرياضيات ، دي فان نوستراند
• إي. مندلسون (1997). مقدمة في المنطق الرياضي (الطبعة الرابعة)، تشابمان وهول.
• جيه آر شوينفيلد (1967). المنطق الرياضي ، شركة أديسون ويسلي للنشر (أعيد طبعه في عام 2001 بواسطة إيه كيه بيترز)