المنطق الرياضي

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

المنطق الرياضي هو دراسة المنطق الصوري ضمن الرياضيات . تشمل فروعه الرئيسية نظرية النماذج ، ونظرية البرهان ، ونظرية المجموعات ، ونظرية الاستدعاء الذاتي (المعروفة أيضًا بنظرية الحوسبة). تتناول الأبحاث في المنطق الرياضي عادةً الخصائص الرياضية للأنظمة المنطقية الصورية، مثل قدرتها التعبيرية والاستنتاجية. ومع ذلك، يمكن أن تشمل أيضًا استخدام المنطق لتوصيف الاستدلال الرياضي الصحيح أو لإرساء أسس الرياضيات .

منذ نشأتها، أسهمت المنطق الرياضي في دراسة أسس الرياضيات، واستلهمت منها في الوقت نفسه. بدأت هذه الدراسة في أواخر القرن التاسع عشر مع تطوير أطر بديهية للهندسة والحساب والتحليل . وفي أوائل القرن العشرين ، تشكلت هذه الدراسة بفضل برنامج ديفيد هيلبرت لإثبات اتساق النظريات التأسيسية. وقد قدمت نتائج كورت غودل ، وجيرهارد جنتزن ، وغيرهما، حلاً جزئياً لهذا البرنامج، ووضحت المسائل المتعلقة بإثبات الاتساق. وأظهرت الدراسات في نظرية المجموعات أن جميع فروع الرياضيات تقريباً يمكن صياغتها بدلالة المجموعات، على الرغم من وجود بعض النظريات التي لا يمكن إثباتها في أنظمة البديهيات الشائعة لنظرية المجموعات. غالباً ما تركز الدراسات المعاصرة في أسس الرياضيات على تحديد أي أجزاء من الرياضيات يمكن صياغتها في أنظمة شكلية محددة (كما في الرياضيات العكسية )، بدلاً من محاولة إيجاد نظريات يمكن من خلالها تطوير جميع فروع الرياضيات.

المجالات الفرعية والنطاق

يقدم كتاب "دليل المنطق الرياضي" [ 1 ] في عام 1977 تقسيمًا تقريبيًا للمنطق الرياضي المعاصر إلى أربعة مجالات:

  1. نظرية المجموعات
  2. نظرية النموذج
  3. نظرية التكرار ، و
  4. نظرية البرهان والرياضيات البنائية (يُعتبران جزءًا من مجال واحد).

بالإضافة إلى ذلك، يُدمج مجال نظرية التعقيد الحسابي أحيانًا مع المنطق الرياضي. [ 2 ] [ 3 ] لكل مجال تركيزه الخاص، على الرغم من أن العديد من التقنيات والنتائج مشتركة بين مجالات متعددة. ولا تكون الحدود الفاصلة بين هذه المجالات، والخطوط الفاصلة بين المنطق الرياضي وفروع الرياضيات الأخرى، واضحة دائمًا. لا تُمثل نظرية عدم الاكتمال لغودل علامة فارقة في نظرية الاستدعاء الذاتي ونظرية البرهان فحسب، بل أدت أيضًا إلى نظرية لوب في المنطق الموجه. وتُستخدم طريقة الإجبار في نظرية المجموعات، ونظرية النماذج، ونظرية الاستدعاء الذاتي، وكذلك في دراسة الرياضيات الحدسية.

يستخدم مجال نظرية الفئات في الرياضيات العديد من الأساليب البديهية الرسمية، ويشمل دراسة المنطق الفئوي ، إلا أن نظرية الفئات لا تُعتبر عادةً فرعًا من فروع المنطق الرياضي. ونظرًا لتطبيقاتها المتعددة في مختلف فروع الرياضيات، فقد اقترح علماء رياضيات، من بينهم سوندرز ماك لين، نظرية الفئات كنظام تأسيسي للرياضيات، مستقل عن نظرية المجموعات. وتعتمد هذه الأسس على التوبوسات الأولية ، التي تُشبه نماذج مُعممة لنظرية المجموعات، والتي قد تستخدم المنطق الكلاسيكي أو غير الكلاسيكي.

تاريخ

ظهر المنطق الرياضي في منتصف القرن التاسع عشر كفرع من فروع الرياضيات، انعكاسًا لتلاقي تقاليدَين: المنطق الفلسفي الصوري والرياضيات. [ 4 ] يُعرف المنطق الرياضي أيضًا باسم "المنطق اللوجستي" و"المنطق الرمزي" و" جبر المنطق "، ومؤخرًا ببساطة "المنطق الصوري"، وهو مجموعة النظريات المنطقية التي طُوِّرت خلال القرن التاسع عشر باستخدام رموز اصطناعية ومنهج استنتاجي دقيق. [ 5 ] قبل هذا الظهور، دُرِسَ المنطق من خلال البلاغة ، والحسابات ، [ 6 ] والقياس المنطقي ، والفلسفة . شهد النصف الأول من القرن العشرين طفرةً في النتائج الأساسية، مصحوبةً بنقاشات حادة حول أسس الرياضيات.

التاريخ المبكر

تطورت نظريات المنطق في العديد من الثقافات عبر التاريخ، بما في ذلك الصين القديمة والهند واليونان والإمبراطورية الرومانية والعالم الإسلامي . وقد لاقت الأساليب اليونانية، ولا سيما المنطق الأرسطي (أو منطق المصطلحات) كما ورد في كتاب "الأورغانون" ، رواجًا واسعًا وقبولًا كبيرًا في العلوم والرياضيات الغربية لآلاف السنين. [ 7 ] بدأ الرواقيون ، وخاصة خريسيبوس ، بتطوير منطق القضايا . وفي أوروبا خلال القرن الثامن عشر، بذل علماء رياضيات فلاسفة، من بينهم لايبنتز ولامبرت، محاولات لمعالجة عمليات المنطق الصوري بطريقة رمزية أو جبرية ، إلا أن جهودهم ظلت معزولة وغير معروفة على نطاق واسع.

القرن التاسع عشر

في منتصف القرن التاسع عشر، قدّم جورج بول، ثم أوغسطس دي مورغان، معالجات رياضية منهجية للمنطق. وقد وسّع عملهما، الذي استند إلى أعمال علماء الجبر مثل جورج بيكوك ، المذهب الأرسطي التقليدي للمنطق ليصبح إطارًا كافيًا لدراسة أسس الرياضيات . [ 8 ] وفي عام 1847، أنجز فاتروسلاف بيرتيتش عملًا هامًا في جبر المنطق، بشكل مستقل عن بول. [ 9 ] وفي وقت لاحق، بنى تشارلز ساندرز بيرس على عمل بول لتطوير نظام منطقي للعلاقات والمكممات، والذي نشره في عدة أوراق بحثية بين عامي 1870 و1885.

قدّم غوتلوب فريجه في كتابه "Begriffsschrift" ، الذي نُشر عام 1879، تطويرًا مستقلًا للمنطق باستخدام المُكمِّمات ، وهو عمل يُعتبر عمومًا نقطة تحوّل في تاريخ المنطق. مع ذلك، ظلّ عمل فريجه غير معروف حتى بدأ برتراند راسل بالترويج له مع مطلع القرن العشرين. ولم يُعتمد الترميز ثنائي الأبعاد الذي طوّره فريجه على نطاق واسع، وهو غير مستخدم في النصوص المعاصرة.

نشر إرنست شرودر بين عامي 1890 و1905 كتاب "محاضرات في جبر المنطق" في ثلاثة مجلدات. وقد لخص هذا العمل أعمال بول، ودي مورغان، وبيرس، ووسع نطاقها، وكان مرجعاً شاملاً للمنطق الرمزي كما كان يُفهم في نهاية القرن التاسع عشر.

النظريات الأساسية

أدت المخاوف من أن الرياضيات لم تُبنَ على أساس سليم إلى تطوير أنظمة بديهية للمجالات الأساسية للرياضيات مثل الحساب والتحليل والهندسة.

في المنطق، يشير مصطلح الحساب إلى نظرية الأعداد الطبيعية . نشر جوزيبي بيانو [ 10 ] مجموعة من بديهيات الحساب التي عُرفت باسمه ( بديهيات بيانو )، مستخدمًا صيغة معدلة من النظام المنطقي لبول وشرودر، مع إضافة المُكمِّمات. لم يكن بيانو على دراية بعمل فريجه في ذلك الوقت. في نفس الفترة تقريبًا، بيّن ريتشارد ديديكيند أن الأعداد الطبيعية تتميز بشكل فريد بخصائص الاستقراء . اقترح ديديكيند توصيفًا مختلفًا، يفتقر إلى الطابع المنطقي الرسمي لبديهيات بيانو. [ 11 ] مع ذلك، أثبت عمل ديديكيند نظريات لم يكن من الممكن الوصول إليها في نظام بيانو، بما في ذلك تفرد مجموعة الأعداد الطبيعية (حتى التشاكل) والتعريفات الاسترجاعية للجمع والضرب من دالة الخلف والاستقراء الرياضي.

في منتصف القرن التاسع عشر، ظهرت عيوب في بديهيات إقليدس في الهندسة. [ 12 ] فبالإضافة إلى استقلالية مسلمة التوازي ، التي وضعها نيكولاي لوباتشيفسكي عام 1826، [ 13 ] اكتشف علماء الرياضيات أن بعض النظريات التي اعتبرها إقليدس مسلمات لم تكن قابلة للإثبات من بديهياته. ومن بين هذه النظريات، نظرية أن الخط المستقيم يحتوي على نقطتين على الأقل، أو أن الدوائر التي لها نفس نصف القطر والتي تفصل بين مركزيها مسافة ذلك النصف قطر لا بد أن تتقاطع. وقد وضع هيلبرت [ 14 ] مجموعة كاملة من بديهيات الهندسة ، مستندًا إلى أعمال سابقة لباش. [ 15 ] وقد حفز نجاحه في وضع بديهيات الهندسة هيلبرت على البحث عن بديهيات كاملة لمجالات أخرى من الرياضيات، مثل الأعداد الطبيعية وخط الأعداد الحقيقية . وقد أثبت هذا أنه مجال بحث رئيسي في النصف الأول من القرن العشرين.

شهد القرن التاسع عشر تقدماً كبيراً في نظرية التحليل الحقيقي ، بما في ذلك نظريات تقارب الدوال ومتسلسلات فورييه . بدأ علماء رياضيات مثل كارل فايرشتراس في بناء دوال تتجاوز الحدس، مثل الدوال المتصلة غير القابلة للتفاضل في أي مكان . لم تعد المفاهيم السابقة للدالة كقاعدة للحساب، أو كرسم بياني أملس، كافية. بدأ فايرشتراس في الدعوة إلى حسابية التحليل ، التي سعت إلى وضع بديهيات التحليل باستخدام خصائص الأعداد الطبيعية. كان بولزانو قد طور التعريف الحديث (ε، δ) للدوال الحدية والمتصلة في عام 1817، [ 16 ] ولكنه ظل غير معروف نسبياً. عرّف كوشي في عام 1821 الاتصال بدلالة الكميات المتناهية الصغر (انظر دروس التحليل، صفحة 34). في عام 1858، اقترح ديديكيند تعريفًا للأعداد الحقيقية من حيث قطوع ديديكيند للأعداد النسبية، وهو تعريف لا يزال مستخدمًا في النصوص المعاصرة. [ 17 ]

طوّر جورج كانتور المفاهيم الأساسية لنظرية المجموعات اللانهائية. وقد أسهمت نتائجه المبكرة في تطوير نظرية العددية ، وأثبت أن الأعداد الحقيقية والأعداد الطبيعية لها أعداد أصلية مختلفة. [ 18 ] وعلى مدى العشرين عامًا التالية، طوّر كانتور نظرية الأعداد المتسامية في سلسلة من المنشورات. وفي عام 1891، نشر برهانًا جديدًا على عدم قابلية الأعداد الحقيقية للعد، والذي قدّم فيه حجة القطر ، واستخدم هذه الطريقة لإثبات نظرية كانتور التي تنص على أنه لا يمكن لأي مجموعة أن تمتلك نفس عددية مجموعة القوى الخاصة بها . كان كانتور يعتقد أن كل مجموعة يمكن ترتيبها ترتيبًا جيدًا ، لكنه لم يتمكن من تقديم برهان لهذه النتيجة، مما جعلها مسألة مفتوحة في عام 1895. [ 19 ]

القرن العشرين

في العقود الأولى من القرن العشرين، انصبّ التركيز الرئيسي للدراسة على نظرية المجموعات والمنطق الصوري. وقد دفع اكتشاف المفارقات في نظرية المجموعات غير الرسمية البعض إلى التساؤل عما إذا كانت الرياضيات نفسها غير متسقة، وإلى البحث عن براهين على اتساقها.

في عام 1900، طرح هيلبرت قائمة شهيرة تضم 23 مسألة للقرن التالي. تمثلت المسألتان الأوليان في حل فرضية الاستمرارية وإثبات اتساق العمليات الحسابية الأولية، على التوالي؛ أما المسألة العاشرة فكانت ابتكار طريقة لتحديد ما إذا كانت معادلة متعددة المتغيرات ذات حدود على الأعداد الصحيحة قابلة للحل. وقد ساهمت الجهود اللاحقة لحل هذه المسائل في توجيه مسار المنطق الرياضي، كما فعلت الجهود المبذولة لحل مسألة هيلبرت للقرار (Entscheidungsproblem ) التي طرحها عام 1928. تطلبت هذه المسألة إجراءً يحدد، بناءً على عبارة رياضية رسمية، ما إذا كانت العبارة صحيحة أم خاطئة.

نظرية المجموعات والمفارقات

قدّم إرنست زيرميلو برهانًا على إمكانية ترتيب أي مجموعة ترتيبًا جيدًا ، وهي نتيجة عجز جورج كانتور عن التوصل إليها. [ 20 ] ولتحقيق هذا البرهان، قدّم زيرميلو بديهية الاختيار ، التي أثارت جدلًا واسعًا وبحثًا مكثفًا بين علماء الرياضيات ورواد نظرية المجموعات. ودفعت الانتقادات المباشرة للمنهج زيرميلو إلى نشر عرض ثانٍ لنتيجته، متناولًا فيه الانتقادات الموجهة لبرهانه بشكل مباشر. [ 21 ] وأسفرت هذه الورقة البحثية عن قبول بديهية الاختيار على نطاق واسع في الأوساط الرياضية.

تعززت الشكوك حول بديهية الاختيار باكتشاف مفارقات حديثة في نظرية المجموعات البسيطة . كان سيزار بورالي-فورتي [ 22 ] أول من طرح مفارقة: مفارقة بورالي-فورتي تُظهر أن مجموعة جميع الأعداد الترتيبية لا يمكن أن تُشكّل مجموعة. بعد ذلك بوقت قصير، اكتشف برتراند راسل مفارقة راسل عام 1901، واكتشف جول ريتشارد مفارقة ريتشارد . [ 23 ]

قدّم زيرميلو أول مجموعة من البديهيات لنظرية المجموعات. [ 24 ] تُعرف هذه البديهيات، بالإضافة إلى بديهية الاستبدال الإضافية التي اقترحها أبراهام فرانكل ، الآن باسم نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF). وقد تضمنت بديهيات زيرميلو مبدأ تحديد الحجم لتجنب مفارقة راسل.

في عام ١٩١٠، نُشر المجلد الأول من كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" لراسل وألفريد نورث وايتهيد . وقد طوّر هذا العمل الرائد نظرية الدوال والعددية في إطار رسمي كامل لنظرية الأنواع ، التي وضعها راسل ووايتهيد في محاولة لتجنب المفارقات. يُعتبر كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" من أكثر الأعمال تأثيرًا في القرن العشرين، على الرغم من أن إطار نظرية الأنواع لم يلقَ رواجًا كنظرية تأسيسية للرياضيات. [ ٢٥ ]

أثبت فرانكل [ 26 ] أنه لا يمكن إثبات بديهية الاختيار من بديهيات نظرية زيرميلو للمجموعات مع العناصر الأولية . وأظهرت دراسة لاحقة لبول كوهين [ 27 ] أن إضافة العناصر الأولية غير ضرورية، وأن بديهية الاختيار غير قابلة للإثبات في نظرية زيرميلو للمجموعات. وقد طوّر برهان كوهين طريقة الإجبار ، التي تُعدّ الآن أداةً مهمةً لإثبات نتائج الاستقلال في نظرية المجموعات. [ 28 ]

المنطق الرمزي

توصل ليوبولد لوفنهايم [ 29 ] وثورالف سكوليم [ 30 ] إلى نظرية لوفنهايم-سكوليم ، التي تنص على أن منطق الرتبة الأولى لا يمكنه التحكم في عدد عناصر البنى اللانهائية. أدرك سكوليم أن هذه النظرية تنطبق على صياغات الرتبة الأولى لنظرية المجموعات، وأنها تستلزم أن أي صياغة من هذا القبيل لها نموذج قابل للعد . عُرفت هذه الحقيقة غير البديهية باسم مفارقة سكوليم .

صورة لكورت غودل الشاب كطالب في فيينا ، 1925

في أطروحته للدكتوراه، برهن كورت غودل على نظرية الاكتمال ، التي تُثبت وجود تطابق بين بناء الجملة والدلالة في منطق الرتبة الأولى. [ 31 ] استخدم غودل نظرية الاكتمال لإثبات نظرية التراص ، مُظهرًا الطبيعة المحدودة للاستنتاج المنطقي من الرتبة الأولى . ساهمت هذه النتائج في ترسيخ منطق الرتبة الأولى كمنطق سائد يستخدمه علماء الرياضيات.

في عام ١٩٣١، نشر غودل كتابه " حول القضايا غير القابلة للتقرير رسميًا في كتاب مبادئ الرياضيات والأنظمة ذات الصلة" ، والذي أثبت عدم اكتمال (بمعنى مختلف للكلمة) جميع نظريات الرتبة الأولى القوية والفعالة بما فيه الكفاية. هذه النتيجة، المعروفة باسم نظرية عدم اكتمال غودل ، تفرض قيودًا صارمة على الأسس البديهية للرياضيات، موجهةً ضربة قوية لبرنامج هيلبرت . وقد أظهرت استحالة تقديم برهان اتساقي للحساب ضمن أي نظرية حسابية رسمية. مع ذلك ، لم يُقر هيلبرت بأهمية نظرية عدم الاكتمال لبعض الوقت.

تُبيّن نظرية غودل أنه لا يُمكن الحصول على برهان اتساق لأي نظام بديهيات قوي وفعّال بما فيه الكفاية في النظام نفسه، إذا كان النظام متسقًا، ولا في أي نظام أضعف. وهذا يُبقي الباب مفتوحًا أمام إمكانية وجود براهين اتساق لا يُمكن صياغتها رسميًا ضمن النظام الذي تُدرسه. أثبت غنتزن اتساق الحساب باستخدام نظام محدود مع مبدأ الاستقراء المتجاوز . [ 32 ] قدّمت نتيجة غنتزن فكرتي حذف القطع والأعداد الترتيبية في نظرية البرهان، والتي أصبحت أدوات أساسية في نظرية البرهان. قدّم غودل برهان اتساق مختلفًا، يُختزل اتساق الحساب الكلاسيكي إلى اتساق الحساب الحدسي في الأنواع العليا. [ 33 ]

كتب لويس كارول ، مؤلف كتاب مغامرات أليس في بلاد العجائب ، أول كتاب مدرسي عن المنطق الرمزي لعامة الناس في عام 1896. [ 34 ]

بدايات الفروع الأخرى

قام ألفريد تارسكي بتطوير أساسيات نظرية النماذج .

ابتداءً من عام ١٩٣٥، تعاونت مجموعة من علماء الرياضيات البارزين تحت اسم مستعار هو نيكولاس بورباكي لنشر سلسلة "عناصر الرياضيات" ، وهي سلسلة من النصوص الموسوعية في الرياضيات. ركزت هذه النصوص، المكتوبة بأسلوب صارم وبديهي، على العرض الدقيق والأسس النظرية للمجموعات. وقد تم اعتماد المصطلحات التي صاغتها هذه النصوص، مثل مصطلحات التقابل والحقن والشمول ، بالإضافة إلى الأسس النظرية للمجموعات التي استخدمتها، على نطاق واسع في جميع فروع الرياضيات .

أصبح علم الحوسبة يُعرف بنظرية الاستدعاء الذاتي أو نظرية الحوسبة ، لأن الصياغات الرسمية المبكرة التي وضعها غودل وكلين اعتمدت على تعريفات استدعاء ذاتي للدوال. [ ب ] عندما ثبت أن هذه التعريفات مكافئة لصياغة تورينغ الرسمية التي تتضمن آلات تورينغ ، اتضح أنه تم اكتشاف مفهوم جديد - الدالة القابلة للحوسبة - وأن هذا التعريف قوي بما يكفي ليسمح بالعديد من التوصيفات المستقلة. في عمله على نظريات عدم الاكتمال عام 1931، افتقر غودل إلى مفهوم دقيق لنظام رسمي فعال؛ فأدرك على الفور أنه يمكن استخدام التعريفات الجديدة للحوسبة لهذا الغرض، مما سمح له بصياغة نظريات عدم الاكتمال بشكل عام، وهو ما كان يمكن استنتاجه ضمنيًا فقط في الورقة الأصلية.

حقق ستيفن كول كلين وإميل ليون بوست نتائج عديدة في نظرية الاستدعاء الذاتي خلال أربعينيات القرن العشرين . قدّم كلين [ 36 ] مفهومي الحسابية النسبية، اللذين بشّر بهما تورينج [ 37 ] ، والتسلسل الهرمي الحسابي . وفي وقت لاحق، عمّم كلين نظرية الاستدعاء الذاتي لتشمل الدوال ذات الرتب العليا. درس كلين وجورج كرايزل الصيغ الرسمية للرياضيات الحدسية، لا سيما في سياق نظرية البرهان.

الأنظمة المنطقية الرسمية

في جوهرها، تتعامل المنطق الرياضي مع المفاهيم الرياضية المُعبر عنها باستخدام أنظمة منطقية صورية . هذه الأنظمة، على الرغم من اختلافها في العديد من التفاصيل، تشترك في خاصية واحدة هي أنها لا تنظر إلا إلى التعبيرات المكتوبة بلغة صورية ثابتة . يُعد نظاما منطق القضايا ومنطق الرتبة الأولى الأكثر دراسةً اليوم، نظرًا لتطبيقاتهما في أسس الرياضيات وخصائصهما المرغوبة في نظرية البرهان. [ ج ] كما تُدرس أيضًا أنواع المنطق الكلاسيكية الأقوى، مثل منطق الرتبة الثانية والمنطق اللانهائي ، إلى جانب أنواع المنطق غير الكلاسيكية ، مثل المنطق الحدسي .

منطق الرتبة الأولى

المنطق من الدرجة الأولى هو نظام منطقي رسمي خاص . يتضمن تركيبه النحوي فقط تعبيرات محدودة كصيغ سليمة ، بينما تتميز دلالاته بتقييد جميع الكميات بمجال ثابت من الخطاب .

أظهرت نتائج مبكرة في المنطق الصوري قصور منطق الرتبة الأولى. فقد بينت نظرية لوفنهايم-سكوليم (1919) أنه إذا كان لمجموعة من الجمل في لغة قابلة للعد من الرتبة الأولى نموذج لانهائي، فإنها تمتلك على الأقل نموذجًا واحدًا لكل عدد لانهائي. وهذا يدل على استحالة أن تُميّز مجموعة من بديهيات الرتبة الأولى الأعداد الطبيعية، أو الأعداد الحقيقية، أو أي بنية لانهائية أخرى حتى التشاكل . ولأن هدف الدراسات التأسيسية المبكرة كان إنتاج نظريات بديهية لجميع فروع الرياضيات، فقد كان هذا القصور جليًا بشكل خاص.

أثبتت نظرية غودل للاكتمال التكافؤ بين التعريفات الدلالية والنحوية للنتيجة المنطقية في منطق الرتبة الأولى. [ 31 ] تُبين هذه النظرية أنه إذا كانت جملة معينة صحيحة في كل نموذج يحقق مجموعة معينة من البديهيات، فلا بد من وجود استنتاج محدود للجملة من هذه البديهيات. ظهرت نظرية التراص لأول مرة كلِمة في برهان غودل لنظرية الاكتمال، واستغرق الأمر سنوات عديدة قبل أن يُدرك علماء المنطق أهميتها ويبدأوا بتطبيقها بشكل روتيني. تنص هذه النظرية على أن مجموعة من الجمل لها نموذج إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة جزئية منتهية نموذج، أو بعبارة أخرى، لا بد أن يكون لمجموعة الصيغ غير المتسقة مجموعة جزئية منتهية غير متسقة. تُتيح نظريتا الاكتمال والتراص إجراء تحليل متطور للنتيجة المنطقية في منطق الرتبة الأولى وتطوير نظرية النماذج ، وهما سبب رئيسي لبروز منطق الرتبة الأولى في الرياضيات.

تُرسّخ نظريات عدم الاكتمال لغودل قيودًا إضافية على بديهيات الرتبة الأولى. [ 38 ] تنص نظرية عدم الاكتمال الأولى على أنه لأي نظام منطقي متسق، معطى فعليًا (كما هو مُعرّف أدناه)، قادر على تفسير العمليات الحسابية، توجد عبارة صحيحة (بمعنى أنها تنطبق على الأعداد الطبيعية) ولكنها غير قابلة للإثبات ضمن ذلك النظام المنطقي (وقد تفشل بالفعل في بعض النماذج الحسابية غير القياسية التي قد تكون متسقة مع النظام المنطقي). على سبيل المثال، في كل نظام منطقي قادر على التعبير عن بديهيات بيانو ، تكون جملة غودل صحيحة بالنسبة للأعداد الطبيعية ولكن لا يمكن إثباتها.

يُقال هنا إن النظام المنطقي مُعطى فعليًا إذا أمكن تحديد ما إذا كانت الصيغة، عند إعطائها بلغة النظام، بديهيةً أم لا، ويُطلق على النظام الذي يُعبّر عن بديهيات بيانو اسم "قوي بما فيه الكفاية". عند تطبيقها على منطق الرتبة الأولى، تُشير نظرية عدم الاكتمال الأولى إلى أن أي نظرية قوية ومتسقة وفعّالة من الرتبة الأولى تحتوي على نماذج غير متكافئة بشكلٍ أساسي ، وهو قيدٌ أقوى من القيد الذي تُحدّده نظرية لوفنهايم-سكوليم. تنص نظرية عدم الاكتمال الثانية على أنه لا يُمكن لأي نظام بديهيات قوي ومتسق وفعّال في الحساب أن يُثبت اتساقه، وهو ما فُسِّر على أنه يُبيّن استحالة الوصول إلى برنامج هيلبرت .

المنطق الكلاسيكي الآخر

تُدرس العديد من أنواع المنطق إلى جانب منطق الرتبة الأولى. وتشمل هذه الأنواع المنطق اللانهائي ، الذي يسمح للصيغ بتوفير كمية لا نهائية من المعلومات، والمنطق من الرتب العليا ، الذي يتضمن جزءًا من نظرية المجموعات بشكل مباشر في دلالاته.

المنطق اللانهائي الأكثر دراسة هولω1،ω{\displaystyle L_{\أوميغا _{1},\أوميغا }}في هذا المنطق، لا يمكن تداخل المحددات إلا إلى أعماق محدودة، كما هو الحال في منطق الرتبة الأولى، ولكن يمكن أن تحتوي الصيغ على روابط وفصل محدودة أو قابلة للعد غير محدودة بداخلها. وبالتالي، على سبيل المثال، من الممكن القول إن كائنًا ما هو عدد صحيح باستخدام صيغة منلω1،ω{\displaystyle L_{\أوميغا _{1},\أوميغا }}مثل

(x=0)∨(x=1)∨(x=2)∨⋯.{\displaystyle (x=0)\lor (x=1)\lor (x=2)\lor \cdots .}

تتيح المنطقيات ذات الرتبة العليا إمكانية تحديد كميات ليس فقط عناصر مجال الخطاب ، بل أيضًا مجموعات فرعية من مجال الخطاب، ومجموعات من هذه المجموعات الفرعية، وغيرها من الكائنات ذات النوع الأعلى. تُعرَّف الدلالات بحيث لا يكون لكل مُكمِّم من النوع الأعلى مجال منفصل، بل تشمل المُكمِّمات جميع الكائنات من النوع المناسب. وقد اتسمت المنطقيات التي دُرست قبل تطوير منطق الرتبة الأولى، كمنطق فريجه على سبيل المثال، بجوانب نظرية مجموعات مماثلة. ورغم أن المنطقيات ذات الرتبة العليا أكثر تعبيرًا، إذ تسمح بوضع بديهيات كاملة لبنى مثل الأعداد الطبيعية، إلا أنها لا تُحقق نظائر نظريتي الاكتمال والتراص في منطق الرتبة الأولى، وبالتالي فهي أقل قابلية للتحليل البرهاني.

وهناك نوع آخر من المنطق هومنطق النقطة الثابتة الذييسمحبالتعريفات الاستقرائية، كما هو الحال بالنسبةللدوال التكرارية الأولية.

يمكن تعريف امتداد منطق الرتبة الأولى بشكل رسمي - وهو مفهوم يشمل جميع أنواع المنطق في هذا القسم لأنها تتصرف مثل منطق الرتبة الأولى بطرق أساسية معينة، ولكنه لا يشمل جميع أنواع المنطق بشكل عام، على سبيل المثال، لا يشمل المنطق الحدسي أو الموجه أو الضبابي .

تشير نظرية ليندستروم إلى أن الامتداد الوحيد لمنطق الرتبة الأولى الذي يحقق كلاً من نظرية التراص ونظرية لوفنهايم-سكوليم التنازلية هو منطق الرتبة الأولى.

المنطق غير الكلاسيكي والمنطق الموجه

تتضمن المنطق الموجه عوامل موجهة إضافية، مثل عامل ينص على أن صيغة معينة ليست صحيحة فحسب، بل صحيحة بالضرورة. على الرغم من أن المنطق الموجه لا يُستخدم غالبًا في وضع بديهيات الرياضيات، فقد استُخدم لدراسة خصائص قابلية الإثبات من الدرجة الأولى [ 39 ] والإجبار في نظرية المجموعات [ 40 ] .

طوّر هيتينغ المنطق الحدسي لدراسة برنامج براور للحدسية، الذي تجنّب فيه براور نفسه الصياغة الرسمية. ولا يتضمن المنطق الحدسي تحديدًا قانون الوسط المرفوع ، الذي ينص على أن كل جملة إما صحيحة أو نفيها صحيح. وقد أظهر عمل كلين في نظرية برهان المنطق الحدسي إمكانية استخلاص معلومات بنائية من البراهين الحدسية. فعلى سبيل المثال، أي دالة كلية قابلة للإثبات في الحساب الحدسي قابلة للحساب ؛ وهذا لا ينطبق على النظريات الكلاسيكية للحساب، مثل حساب بيانو .

المنطق الجبري

يستخدم المنطق الجبري أساليب الجبر المجرد لدراسة دلالات المنطق الصوري. ومن الأمثلة الأساسية على ذلك استخدام الجبر البولياني لتمثيل قيم الصدق في منطق القضايا الكلاسيكي، واستخدام جبر هيتينغ لتمثيل قيم الصدق في منطق القضايا الحدسي. أما المنطق الأقوى، كمنطق الرتبة الأولى ومنطق الرتب العليا، فيتم دراسته باستخدام بنى جبرية أكثر تعقيدًا، كالجبر الأسطواني .

نظرية المجموعات

نظرية المجموعات هي دراسة المجموعات ، وهي تجمعات مجردة من الأشياء. وقد طُوِّرت العديد من المفاهيم الأساسية، مثل الأعداد الترتيبية والأعداد الأصلية، بشكل غير رسمي على يد كانتور قبل وضع الصيغ البديهية الرسمية لنظرية المجموعات. أُجريت أول صيغة بديهية من هذا النوع ، والتي وضعها زيرميلو [ 24 ] ، ثم وُسِّعت قليلاً لتصبح نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF)، وهي الآن النظرية التأسيسية الأكثر استخدامًا في الرياضيات.

طُرحت صياغات رسمية أخرى لنظرية المجموعات، منها نظرية فون نيومان-بيرنايز-غودل (NBG)، ونظرية مورس-كيلي (MK)، ونظرية الأسس الجديدة (NF). تتشابه هذه النظريات، ZF وNBG وMK، في وصفها للتسلسل الهرمي التراكمي للمجموعات. أما نظرية الأسس الجديدة فتتبنى منهجًا مختلفًا؛ إذ تسمح بوجود كائنات مثل مجموعة جميع المجموعات، ولكن على حساب فرض قيود على بديهيات وجود المجموعات فيها. ويرتبط نظام نظرية كريپكي-بلاتيك ارتباطًا وثيقًا بنظرية الاستدعاء المعمم.

من أشهر العبارات في نظرية المجموعات بديهية الاختيار وفرضية الاستمرارية . بديهية الاختيار، التي صاغها زيرميلو لأول مرة [ 20 ] ، أثبتها فرانكل بشكل مستقل عن زيرميلو [ 26 ] ، لكنها أصبحت مقبولة على نطاق واسع بين علماء الرياضيات. تنص هذه البديهية على أنه إذا أُعطيت مجموعة من المجموعات غير الفارغة، توجد مجموعة واحدة C تحتوي على عنصر واحد فقط من كل مجموعة في تلك المجموعة. يُقال إن المجموعة C "تختار" عنصرًا واحدًا من كل مجموعة في المجموعة. في حين أن القدرة على إجراء مثل هذا الاختيار تُعتبر بديهية لدى البعض، نظرًا لأن كل مجموعة في المجموعة غير فارغة، فإن غياب قاعدة عامة وملموسة يمكن من خلالها إجراء الاختيار يجعل البديهية غير بنائية. وقد بيّن ستيفان باناش وألفريد تارسكي أنه يمكن استخدام بديهية الاختيار لتقسيم كرة صلبة إلى عدد محدود من القطع التي يمكن إعادة ترتيبها، دون تغيير في الحجم، لتكوين كرتين صلبتين بنفس الحجم الأصلي. [ 41 ] هذه النظرية، المعروفة باسم مفارقة باناش-تارسكي ، هي واحدة من العديد من النتائج غير البديهية لبديهية الاختيار.

فرضية الاستمرارية، التي اقترحها كانتور كفرضية أولية، أدرجها ديفيد هيلبرت ضمن مسائله الثلاث والعشرين عام 1900. بيّن غودل أنه لا يمكن دحض فرضية الاستمرارية انطلاقًا من بديهيات نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (سواءً مع بديهية الاختيار أو بدونها)، وذلك بتطوير الكون القابل للبناء في نظرية المجموعات الذي يجب أن تتحقق فيه فرضية الاستمرارية. في عام 1963، بيّن بول كوهين أنه لا يمكن إثبات فرضية الاستمرارية انطلاقًا من بديهيات نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات. [ 27 ] مع ذلك، لم تُحسم نتيجة الاستقلال هذه مسألة هيلبرت تمامًا، إذ من الممكن أن تحل بديهيات جديدة لنظرية المجموعات هذه الفرضية. وقد أجرى دبليو هيو وودين مؤخرًا أعمالًا في هذا الاتجاه ، على الرغم من أن أهميتها لم تتضح بعد. [ 42 ]

تشمل الأبحاث المعاصرة في نظرية المجموعات دراسة الأعداد الكبيرة والحتمية . الأعداد الكبيرة هي أعداد أصلية ذات خصائص مميزة لدرجة أنه لا يمكن إثبات وجودها في نظرية ZFC. إن وجود أصغر عدد كبير يُدرس عادةً، وهو عدد غير قابل للوصول ، يُشير ضمنيًا إلى اتساق نظرية ZFC. على الرغم من أن الأعداد الكبيرة تتميز بعدد أصلي هائل ، إلا أن وجودها له تداعيات عديدة على بنية خط الأعداد الحقيقية. تشير الحتمية إلى إمكانية وجود استراتيجيات رابحة في بعض الألعاب الثنائية (تُسمى هذه الألعاب " محسومة "). وجود هذه الاستراتيجيات يُشير إلى خصائص بنيوية لخط الأعداد الحقيقية والفضاءات البولندية الأخرى .

نظرية النموذج

تدرس نظرية النماذج نماذج النظريات الصورية المختلفة. تُعرَّف النظرية هنا بأنها مجموعة من الصيغ في منطق صوري محدد وبصمة معينة ، بينما يُعرَّف النموذج بأنه بنية تُعطي تفسيرًا ملموسًا للنظرية. ترتبط نظرية النماذج ارتباطًا وثيقًا بالجبر الشامل والهندسة الجبرية ، على الرغم من أن مناهج نظرية النماذج تُركز بشكل أكبر على الاعتبارات المنطقية مقارنةً بهذين المجالين.

تُسمى مجموعة جميع نماذج نظرية معينة فئة أولية ؛ وتسعى نظرية النموذج الكلاسيكية إلى تحديد خصائص النماذج في فئة أولية معينة، أو تحديد ما إذا كانت فئات معينة من الهياكل تشكل فئات أولية.

يمكن استخدام طريقة حذف الكميات لإثبات أن المجموعات القابلة للتعريف في نظريات معينة لا يمكن أن تكون معقدة للغاية. وقد أثبت تارسكي حذف الكميات للحقول المغلقة الحقيقية ، وهي نتيجة تُظهر أيضًا أن نظرية حقل الأعداد الحقيقية قابلة للتقرير . [ 43 ] كما لاحظ أن طرقه قابلة للتطبيق بنفس القدر على الحقول المغلقة جبريًا ذات الخصائص العشوائية. ويتناول أحد الحقول الفرعية الحديثة المنبثقة عن ذلك البنى الدنيا من الرتبة o .

تنص نظرية مورلي للتصنيف ، التي أثبتها مايكل دي مورلي ، [ 44 ] على أنه إذا كانت نظرية من الدرجة الأولى في لغة قابلة للعد تصنيفية في بعض الكاردينالية غير القابلة للعد، أي أن جميع نماذج هذه الكاردينالية متماثلة، فإنها تكون تصنيفية في جميع الكاردينالية غير القابلة للعد.

من النتائج البديهية لفرضية الاستمرارية أن النظرية الكاملة التي تحتوي على أقل من عدد نماذجها القابلة للعد غير المتماثلة يمكن أن تحتوي على عدد قابل للعد فقط. وتنص حدسية فوغت ، نسبةً إلى روبرت لوسون فوغت ، على أن هذا صحيح حتى بمعزل عن فرضية الاستمرارية. وقد تم إثبات العديد من الحالات الخاصة لهذه الحدسية.

نظرية التكرار

تُعنى نظرية الاستدعاء الذاتي ، والتي تُسمى أيضًا نظرية الحوسبة ، بدراسة خصائص الدوال القابلة للحساب ودرجات تورينج ، التي تُقسّم الدوال غير القابلة للحساب إلى مجموعات لها نفس مستوى عدم قابلية الحساب. كما تشمل نظرية الاستدعاء الذاتي دراسة الحوسبة المعممة وقابلية التعريف. وقد نشأت هذه النظرية من أعمال روزا بيتر ، وألونزو تشيرش ، وآلان تورينج في ثلاثينيات القرن العشرين، والتي توسعت بشكل كبير على يد كلين وبوستفي أربعينيات القرن العشرين. [ 45 ]

تركز نظرية الاستدعاء الذاتي الكلاسيكية على قابلية حساب الدوال من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الطبيعية. وتُرسّخ النتائج الأساسية فئةً قويةً ومعياريةً من الدوال القابلة للحساب، مع العديد من الخصائص المستقلة والمتكافئة باستخدام آلات تورينج ، وحساب لامدا ، وأنظمة أخرى. وتتعلق نتائج أكثر تقدماً ببنية درجات تورينج وشبكة المجموعات القابلة للتعداد الاستدعائي .

تُوسّع نظرية الاستدعاء المعممة مفاهيم نظرية الاستدعاء لتشمل العمليات الحسابية التي لم تعد بالضرورة محدودة. وهي تشمل دراسة قابلية الحساب في الأنواع العليا، بالإضافة إلى مجالات مثل نظرية الحساب الفائق ونظرية الاستدعاء من النوع ألفا .

تشمل الأبحاث المعاصرة في نظرية التكرار دراسة تطبيقات مثل العشوائية الخوارزمية ، ونظرية النموذج القابل للحساب ، والرياضيات العكسية ، بالإضافة إلى نتائج جديدة في نظرية التكرار البحتة.

مشاكل غير قابلة للحل خوارزميًا

يُعنى فرعٌ هامٌ من نظرية الاستدعاء بدراسة عدم قابلية حل المسائل الخوارزمية؛ إذ تُعتبر مسألة القرار أو مسألة الدالة غير قابلة للحل خوارزميًا إذا لم يكن هناك خوارزمية قابلة للحساب تُعيد الإجابة الصحيحة لجميع المدخلات المسموح بها للمسألة. وقد أظهرت النتائج الأولى حول عدم قابلية الحل، والتي توصل إليها كلٌ من تشرش وتورينج بشكل مستقل عام 1936، أن مسألة القرار (Entscheidungsproblem) غير قابلة للحل خوارزميًا. وقد أثبت تورينج ذلك من خلال إثبات عدم قابلية حل مسألة التوقف (halting problem )، وهي نتيجةٌ لها آثارٌ بعيدة المدى في كلٍ من نظرية الاستدعاء وعلوم الحاسوب.

توجد أمثلة عديدة معروفة لمسائل غير قابلة للحل في الرياضيات العادية. فقد أثبت بيوتر نوفيكوف في عام 1955، وبشكل مستقل، أثبت دبليو بون في عام 1959، عدم إمكانية حل مسألة الكلمات الخاصة بالمجموعات خوارزميًا. وتُعد مسألة القندس المشغول ، التي طورها تيبور رادو في عام 1962، مثالًا آخر معروفًا.

تطلّبت المسألة العاشرة لهيلبرت إيجاد خوارزمية لتحديد ما إذا كانت معادلة متعددة المتغيرات ذات معاملات صحيحة لها حل في مجموعة الأعداد الصحيحة. وقد أحرزت جوليا روبنسون ومارتن ديفيس وهيلاري بوتنام تقدماً جزئياً في هذا الصدد. وفي عام 1970، أثبت يوري ماتياسيفيتش استحالة حل المسألة خوارزمياً. [ 46 ]

نظرية البرهان والرياضيات البنائية

نظرية البرهان هي دراسة البراهين الرسمية في أنظمة الاستدلال المنطقي المختلفة. تُمثَّل هذه البراهين ككائنات رياضية رسمية، مما يُسهِّل تحليلها باستخدام التقنيات الرياضية. وتُعتبر عدة أنظمة استدلال شائعة، بما في ذلك أنظمة الاستدلال على نمط هيلبرت ، وأنظمة الاستدلال الطبيعي ، وحساب المتتاليات الذي طوره جنتزن.

يشمل علم الرياضيات البنائية ، في سياق المنطق الرياضي، دراسة الأنظمة في المنطق غير الكلاسيكي، مثل المنطق الحدسي، بالإضافة إلى دراسة الأنظمة التنبؤية . وكان هيرمان فايل من أوائل المؤيدين للتنبؤية ، حيث بيّن أنه من الممكن تطوير جزء كبير من التحليل الحقيقي باستخدام الأساليب التنبؤية فقط. [ 47 ]

لأن البراهين نهائية تمامًا، بينما الحقيقة في البنية ليست كذلك، فمن الشائع في الرياضيات البنائية التركيز على إمكانية البرهان. وتكتسب العلاقة بين إمكانية البرهان في الأنظمة الكلاسيكية (أو غير البنائية) وإمكانية البرهان في الأنظمة الحدسية (أو البنائية، على التوالي) أهمية خاصة. وتُظهر نتائج مثل ترجمة غودل-غينتزن السلبية أنه من الممكن تضمين (أو ترجمة ) المنطق الكلاسيكي في المنطق الحدسي، مما يسمح بنقل بعض خصائص البراهين الحدسية إلى البراهين الكلاسيكية.

تشمل التطورات الحديثة في نظرية البرهان دراسة استخراج البرهان بواسطة أولريش كولينباخ ودراسة الترتيبات البرهانية بواسطة مايكل راثجين .

التطبيقات

لقد تم تطبيق المنطق الرياضي بنجاح ليس فقط على الرياضيات وأسسها ( ج. فريجه ، ب. راسل ، د. هيلبرت ، ب. بيرنايز ، هـ. شولز ، ر. كارناب ، س. ليسنيوسكي ، ت . سكوليم )، ولكن أيضًا على الفيزياء (ر. كارناب، أ. ديتريش، ب. راسل، س. إ. شانون ، أ. ن. وايتهيد ، هـ. رايشنباخ ، ب. فيفرييه)، وعلى علم الأحياء ( ج. هـ. وودجر ، أ. تارسكي )، وعلى علم النفس ( ف. ب. فيتش ، س. ج. هيمبل )، وعلى القانون والأخلاق ( ك. مينجر ، يو. كلوج، ب. أوبنهايم)، وعلى الاقتصاد ( ج. نيومان ، أ. مورجنسترن )، وعلى المسائل العملية ( إ. س. بيركلي ، إ. ستام)، وحتى على الميتافيزيقا (ج. [يان] سلاموتشا، هـ. شولز، ج. م. بوتشينسكي ). أثبتت التطبيقات في تاريخ المنطق أنها مثمرة للغاية ( ج. لوكاسيفيتش ، هـ. شولز، ب. ماتس ، أ. بيكر، إ. مودي ، ج. سلاموتشا، ك. دوير، ز. جوردان، ب. بونر ، ج. م. بوتشينسكي، س. [ستانيسواف] ت. شاير، د. إنجلز ). [ 48 ] كما تم تطبيقها في علم اللاهوت (ف. دريونوفسكي، ج. سلاموتشا، إ. توماس). [ 48 ]

الروابط مع علوم الحاسوب

ترتبط دراسة نظرية الحوسبة في علوم الحاسوب ارتباطًا وثيقًا بدراسة الحوسبة في المنطق الرياضي. مع ذلك، ثمة اختلاف في التركيز؛ إذ يركز علماء الحاسوب غالبًا على لغات البرمجة الملموسة والحوسبة الممكنة ، بينما يركز الباحثون في المنطق الرياضي غالبًا على الحوسبة كمفهوم نظري وعلى عدم قابليتها للحوسبة.

ترتبط نظرية دلالات لغات البرمجة بنظرية النماذج ، وكذلك التحقق من البرامج (وخاصةً التحقق من النماذج ). وترتبط علاقة كاري-هوارد بين البراهين والبرامج بنظرية البراهين ، ولا سيما المنطق الحدسي . وتُدرس الحسابات الرسمية، مثل حساب لامدا والمنطق التوافقي ، حاليًا كلغات برمجة مثالية .

يساهم علم الحاسوب أيضاً في الرياضيات من خلال تطوير تقنيات للتحقق التلقائي أو حتى إيجاد البراهين، مثل إثبات النظريات الآلي والبرمجة المنطقية .

تربط نظرية التعقيد الوصفي المنطق بالتعقيد الحسابي . وقد أثبتت أول نتيجة مهمة في هذا المجال، وهي نظرية فاجين (1974)، أن NP هي تحديداً مجموعة اللغات التي يمكن التعبير عنها بجمل منطق الوجود من الدرجة الثانية .

أسس الرياضيات

في القرن التاسع عشر، أدرك علماء الرياضيات وجود ثغرات وتناقضات منطقية في مجالهم. فقد تبين أن بديهيات إقليدس في الهندسة، التي دُرست لقرون كمثال على المنهج البديهي، كانت ناقصة. كما أُثيرت تساؤلات حول استخدام المتناهيات في الصغر ، وحتى تعريف الدالة نفسه، في التحليل الرياضي، وذلك بعد اكتشاف أمثلة شاذة مثل دالة فايرشتراس المتصلة غير القابلة للتفاضل في أي مكان.

أثارت دراسة كانتور للمجموعات اللانهائية العشوائية انتقاداتٍ أيضًا. فقد صرّح ليوبولد كرونكر بمقولته الشهيرة: "الله خلق الأعداد الصحيحة، وكل ما عداها من صنع الإنسان"، مؤيدًا بذلك العودة إلى دراسة الأشياء المحدودة والملموسة في الرياضيات. ورغم أن البنائيين تبنّوا حجة كرونكر في القرن العشرين، إلا أن المجتمع الرياضي ككل رفضها. ودافع ديفيد هيلبرت عن دراسة اللانهائي، قائلًا: "لن يُخرجنا أحد من الفردوس الذي خلقه كانتور".

بدأ علماء الرياضيات بالبحث عن أنظمة بديهية يمكن استخدامها لصياغة أجزاء كبيرة من الرياضيات. فبالإضافة إلى إزالة الغموض عن المصطلحات التي كانت تُفهم ببساطة سابقًا، مثل الدالة، كان يُؤمل أن تُتيح هذه البديهية إمكانية إثبات الاتساق. في القرن التاسع عشر، كانت الطريقة الرئيسية لإثبات اتساق مجموعة من البديهيات هي تقديم نموذج لها. وهكذا، على سبيل المثال، يمكن إثبات اتساق الهندسة غير الإقليدية بتعريف النقطة على أنها نقطة على كرة ثابتة، والخط على أنه دائرة عظمى على الكرة. ويُحقق الهيكل الناتج، وهو نموذج للهندسة الإهليلجية ، بديهيات الهندسة المستوية باستثناء مسلمة التوازي.

مع تطور المنطق الصوري، تساءل هيلبرت عما إذا كان من الممكن إثبات اتساق نظام بديهي من خلال تحليل بنية البراهين الممكنة في النظام، وإظهار استحالة إثبات تناقض من خلال هذا التحليل. أدت هذه الفكرة إلى دراسة نظرية البرهان . علاوة على ذلك، اقترح هيلبرت أن يكون التحليل ملموسًا تمامًا، مستخدمًا مصطلح "نهائي" للإشارة إلى الطرق التي يسمح بها دون تعريفها بدقة. تأثر هذا المشروع، المعروف ببرنامج هيلبرت ، بشدة بنظريات عدم الاكتمال لغودل، التي تُظهر أنه لا يمكن إثبات اتساق النظريات الصورية للحساب باستخدام طرق قابلة للصياغة في تلك النظريات. أثبت جنتزن أنه من الممكن تقديم برهان على اتساق الحساب في نظام نهائي مُعزز ببديهيات الاستقراء المتسامي ، وكانت التقنيات التي طورها لتحقيق ذلك أساسية في نظرية البرهان.

يتناول خيطٌ ثانٍ في تاريخ أسس الرياضيات المنطق غير الكلاسيكي والرياضيات البنائية . تشمل دراسة الرياضيات البنائية العديد من البرامج المختلفة بتعريفاتٍ متنوعةٍ للبنائية . في أقصى درجات الشمولية، يُطلق العديد من علماء الرياضيات على البراهين في نظرية مجموعات ZF التي لا تستخدم بديهية الاختيار اسم "بنائية". أما النسخ الأكثر محدودية من البنائية فتقتصر على الأعداد الطبيعية ، والدوال العددية ، ومجموعات الأعداد الطبيعية (التي يمكن استخدامها لتمثيل الأعداد الحقيقية، مما يُسهّل دراسة التحليل الرياضي ). ومن الأفكار الشائعة أنه يجب معرفة وسيلةٍ ملموسةٍ لحساب قيم الدالة قبل القول بوجود الدالة نفسها.

في أوائل القرن العشرين، أسس لويتزن إيغبرتوس يان براور المذهب الحدسي كجزء من فلسفة الرياضيات . وقد نصت هذه الفلسفة، التي لم تُفهم جيدًا في البداية، على أنه لكي تكون العبارة الرياضية صحيحة في نظر عالم الرياضيات، يجب أن يكون قادرًا على استنباطها حدسيًا، أي ليس فقط الإيمان بصحتها، بل فهم سبب صحتها. ومن نتائج هذا التعريف للحقيقة رفض قانون الوسط المرفوع ، إذ توجد عبارات، وفقًا لبراور، لا يمكن الجزم بصحتها، كما لا يمكن الجزم بصحة نفيها أيضًا. كانت فلسفة براور مؤثرة، وسببًا لخلافات حادة بين علماء الرياضيات البارزين. لاحقًا، درس كلين وكريسل نسخًا رسمية من المنطق الحدسي (رفض براور الصياغة الرسمية، وقدم عمله بلغة طبيعية غير رسمية). ومع ظهور تفسير BHK ونماذج كريپكي ، أصبح التوفيق بين المذهب الحدسي والرياضيات الكلاسيكية أسهل.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ في مقدمة الطبعة الأولى لعام 1934 من كتاب " Grundlagen der Mathematik " ( Hilbert & Bernays 1934 )، كتب بيرنايز ما يلي، وهو ما يذكرنا بالملاحظة الشهيرة التي كتبها فريجه عندما تم إبلاغه بمفارقة راسل.
    "Die Ausführung dieses Vorhabens hat eine Wesentliche Verzögerung daurch erfahren، daß in einem Stadium، in dem die Darstellung schon ihrem Abschuß nahe war، durch das Erscheinen der Arbeiten von Herbrand and von Gödel eine veränderte Situation im Gebiet der Beweistheorie لذا، فإن التصميم الجديد ليس شيئًا جديدًا في عالم الأعمال، لذلك يجب أن يكون هناك جزء واحد من هذه الصناعة."
    ترجمة:
    لقد واجه تنفيذ هذه الخطة [التي وضعها هيلبرت لعرض نظرية البرهان في المنطق الرياضي] تأخيراً جوهرياً، لأنه في المرحلة التي كان فيها العرض على وشك الانتهاء، طرأ تغيير في مجال نظرية البرهان نتيجة ظهور أعمال هيربراند وغودل، مما استدعى النظر في رؤى جديدة. وهكذا اتسع نطاق هذا الكتاب، ما جعل تقسيمه إلى مجلدين أمراً مستحسناً.
    لذلك كان هيلبرت بالتأكيد على دراية بأهمية عمل غودل بحلول عام 1934. وتضمن المجلد الثاني في عام 1939 شكلاً من أشكال برهان جينتزن على الاتساق في الحساب.
  2. ↑ تم تقديم دراسة مفصلة لهذه المصطلحات بواسطة سواري 1996 .
  3. ↑ يستعرض فيريروس 2001 صعود منطق الدرجة الأولى على حساب المنطق الرسمي الآخر في أوائل القرن العشرين.

مراجع

  1. ↑ باروايز (1989) .
  2. ↑ "المنطق والتعقيد الحسابي | قسم الرياضيات" . math.ucsd.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-12-05 .
  3. ↑ "نظرية الحوسبة وأسس الرياضيات / 17-20 فبراير 2014 / معهد طوكيو للتكنولوجيا، طوكيو، اليابان" (PDF) .
  4. ^ فيريروس (2001) ، ص. 443.
  5. ^ بوخينسكي (1959) ، ثانية. 0.1، ص. 1.
  6. ↑ سوينزهيد (1498) .
  7. ↑ بونر (1950) ، ص. 14.
  8. ↑ كاتز (1998) ، ص 686.
  9. ^ "بيرتيتش، فاتروسلاف" . www.enciklopedija.hr . تم الاسترجاع بتاريخ 2023-05-01 .
  10. ↑ بيانو (1889) .
  11. ↑ ديديكيند (1888) .
  12. ↑ كاتز (1998) ، ص 774.
  13. ↑ لوباتشيفسكي (1840) .
  14. ↑ هيلبرت (1899) .
  15. ↑ باش (1882) .
  16. ↑ فيلشر (2000) .
  17. ↑ ديديكيند (1872) .
  18. ↑ كانتور (1874) .
  19. ↑ كاتز (1998) ، ص 807.
  20. 1 2 زيرميلو (1904) .
  21. ↑ زيرميلو (1908أ) .
  22. ↑ بورالي فورتي (1897) .
  23. ↑ ريتشارد (1905) .
  24. 1 2 زيرميلو (1908ب) .
  25. ^ فيريروس (2001) ، ص. 445.
  26. 1 2 فرانكل (1922) .
  27. 1 2 كوهين (1966) .
  28. ↑ انظر أيضًا كوهين 2008 .
  29. ↑ لوفنهايم (1915) .
  30. ↑ سكوليم (1920) .
  31. 1 2 غودل (1929) .
  32. ↑ جنتزن (1936) .
  33. ↑ غودل (1958) .
  34. ↑ لويس كارول: المنطق الرمزي، الجزء الأول: أساسيات. منشورات ماكميلان، 1896. متاح على الإنترنت على الرابط التالي: https://archive.org/details/symboliclogic00carr
  35. ↑ كارول (1896) .
  36. ↑ كلين (1943) .
  37. ↑ تورينج (1939) .
  38. ↑ غودل (1931) .
  39. ↑ سولوفاي (1976) .
  40. ↑ هامكينز ولو (2007) .
  41. ↑ باناش وتارسكي (1924) .
  42. ↑ وودين (2001) .
  43. ↑ تارسكي (1948) .
  44. ↑ مورلي (1965) .
  45. ↑ سواري (2011) .
  46. ↑ ديفيس (1973) .
  47. ↑ ويل 1918 .
  48. 1 2 بوخينسكي (1959) ، ثانية. 0.3، ص. 2.

نصوص المرحلة الجامعية الأولى

نصوص الدراسات العليا

أوراق بحثية، ودراسات، ونصوص، واستطلاعات

الأوراق والنصوص والمجموعات الكلاسيكية

بوتشينسكي، جوزيف ماريا، محرر. (1959). موجز في المنطق الرياضي . مكتبة سينثيز، المجلد 1. ترجمة أوتو بيرد. دوردريخت : سبرينغر . doi : 10.1007/978-94-017-0592-9 . ISBN 9789048183296.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

  • بورالي فورتي، سيزار (1897). سؤال حول الأعداد العابرة للحدود .أعيد طبعه في فان هيجنورت 1976 ، الصفحات من 104 إلى 111 . 

كانتور ، جورج (1874). "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" (PDF) . مجلة für die Reine und Angewandte Mathematik . 1874 (77): 258–262 . دوى : 10.1515/crll.1874.77.258 . S2CID 199545885 . كارول، لويس (1896). المنطق الرمزي . طبعات كيسينجر ليجاسي المعاد طباعتها. ISBN 9781163444955.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

سواري، روبرت إيرفينغ (22 ديسمبر 2011). "نظرية الحوسبة وتطبيقاتها: فن الحوسبة الكلاسيكية" (ملف PDF) . قسم الرياضيات ، جامعة شيكاغو. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 30 يونيو 2022. تاريخ الاطلاع: 23 أغسطس 2017 .سواينشيد، ريتشارد (1498). Calculationes Suiseth Anglici (باللغة الليتوانية). بابي: لكل فرانسيسكوم جيراردنغوم.{{cite book}}: CS1 maint: publisher location ( link )