مُقدِّر القيم القصوى

في الإحصاء والاقتصاد القياسي ، تُعدّ مُقدِّرات القيم القصوى فئة واسعة من المُقدِّرات للنماذج البارامترية ، والتي تُحسب من خلال تعظيم (أو تصغير) دالة هدف معينة ، تعتمد على البيانات. وقد طوّر أميميا (1985) النظرية العامة لمُقدِّرات القيم القصوى .

المُقدِّر${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}}$يُطلق عليه اسم مُقدِّر القيم القصوى ، إذا كانت هناك دالة هدف${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Q}}_{n}}$بحيث

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\underset {\theta \in \Theta }{\operatorname {arg\;max} }}\ {\widehat {Q}}_{n}(\theta ),}$

حيث Θ هي فضاء المعاملات . أحيانًا يُعطى تعريف أضعف قليلاً:

${\displaystyle {\widehat {Q}}_{n}({\hat {\theta}})\geq \max _{\theta \in \Theta }\,{\widehat {Q}}_{n}(\theta ) -o_{p}(1),}$

حيث أن o _p (1) هو المتغير الذي يتقارب احتماليًا إلى الصفر . مع هذا التعديل${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}}$ليس بالضرورة أن يكون هو القيمة القصوى الدقيقة لدالة الهدف، يكفي أن يكون قريبًا منها بدرجة كافية.

لا تُحدد نظرية مُقدِّرات القيم القصوى ماهية دالة الهدف. توجد أنواع مختلفة من دوال الهدف التي تُناسب نماذج مُختلفة، ويُتيح لنا هذا الإطار تحليل الخصائص النظرية لهذه المُقدِّرات من منظور مُوحَّد. تُحدد النظرية فقط الخصائص التي يجب أن تمتلكها دالة الهدف، وبالتالي فإن اختيار دالة هدف مُعينة لا يتطلب سوى التحقق من استيفاء تلك الخصائص.

إذا كانت فضاءات المعاملات Θ مضغوطة، وكانت هناك دالة حدية Q ₀ ( θ ) بحيث:${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Q}}_{n}(\theta )}$_{إذا تقاربت الدالة Q₀} ( θ ) إلى Q₀ (θ) باحتمال منتظم على Θ، وكانت الدالة Q₀ ( θ ) متصلة ولها قيمة عظمى وحيدة عند θ = θ₀ _، فإن${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}}$متسق ^{بالنسبة} لـ θ _0. [ ^{1 ]}​

التقارب المنتظم في احتمالية${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Q}}_{n}(\theta )}$هذا يعني أن

${\displaystyle \sup _{\theta \in \Theta }{\big |}{\hat {Q}}_{n}(\theta )-Q_{0}(\theta ){\big |}\ {\xrightarrow {p}}\ 0.}$

يمكن استبدال شرط كون Θ متراصة بافتراض أضعف، وهو أن الحد الأقصى لـ _{Q₀ كان} متباعدًا جيدًا، أي أنه لا ينبغي أن توجد أي نقاط _θ بعيدة عن θ₀ ولكن تكون Q₀ ( θ ) قريبة من Q₀ ₍ θ₀ ) . _{وبعبارة أخرى} ، يعني هذا أنه لأي متتالية { θᵢ } _بحيث Q₀ ( _θᵢ ) _→ Q₀ ( θ₀ _{) ،} يجب أن يكون صحيحًا أن θᵢ → θ₀ _.

بافتراض أن الاتساق قد تم إثباته ومشتقات العينة${\displaystyle Q_{n}}$^{[ 2 ]} إذا استوفى بعض الشروط الأخرى، فإن مقدر القيم القصوى يتقارب إلى توزيع طبيعي تقاربياً.

• مقدرات M

• أميميا، تاكيشي (1985). "الخصائص التقاربية لمُقدِّرات القيم القصوى" . الاقتصاد القياسي المتقدم . مطبعة جامعة هارفارد. ص 105-158 . ISBN  0-674-00560-0.
• هاياشي، فوميو (2000). "مُقدِّرات القيم القصوى" . الاقتصاد القياسي . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ص 445-506 . ISBN  0-691-01018-8.
• نيوي، ويتني ك.؛ ماكفادين، دانيال (1994). "تقدير العينات الكبيرة واختبار الفرضيات". دليل الاقتصاد القياسي . المجلد  الرابع. إلسيفير ساينس. الصفحات 2111-2245 . doi : 10.1016/S1573-4412(05)80005-4 . ISBN  0-444-88766-0.