تقدير المسافة الدنيا

يُعد تقدير المسافة الدنيا ( MDE ) أسلوبًا مفاهيميًا لمطابقة نموذج إحصائي مع البيانات، وعادةً ما يكون التوزيع التجريبي . ويمكن اعتبار المقدرات شائعة الاستخدام مثل المربعات الصغرى العادية حالات خاصة من تقدير المسافة الدنيا.

على الرغم من أن تقديرات المسافة الدنيا متسقة وتقترب من التوزيع الطبيعي ، إلا أنها عمومًا ليست فعالة إحصائيًا مقارنةً بتقديرات الاحتمال الأقصى ، لأنها تُهمل مصفوفة جاكوبي الموجودة عادةً في دالة الاحتمال . ومع ذلك، فإن هذا يقلل بشكل كبير من التعقيد الحسابي لمسألة التحسين.

يترك${\displaystyle \displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$لتكن عينة عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع (iid) من مجتمع ذي توزيع${\displaystyle F(x;\theta )\colon \theta \in \Theta }$و${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}(k\geq 1)}$.

يترك${\displaystyle \displaystyle F_{n}(x)}$لتكن دالة التوزيع التجريبية المستندة إلى العينة.

يترك${\displaystyle {\hat {\theta }}}$كن مقدراً لـ${\displaystyle \displaystyle \theta }$. ثم${\displaystyle F(x;{\hat {\theta }})}$هو مُقدِّر لـ${\displaystyle \displaystyle F(x;\theta )}$.

يترك${\displaystyle d[\cdot ,\cdot ]}$لنفترض دالة تُرجع مقياسًا ما لـ "المسافة" بين وسيطيها.${\displaystyle \displaystyle د}$وتسمى أيضاً دالة المعيار.

إذا كان هناك${\displaystyle {\hat {\theta }}\in \Theta }$بحيث${\displaystyle d[F(x;{\hat {\theta }}),F_{n}(x)]=\inf\{d[F(x;\theta ),F_{n}(x)];\theta \in \Theta \}}$، ثم${\displaystyle {\hat {\theta }}}$يُطلق عليه تقدير المسافة الدنيا لـ${\displaystyle \displaystyle \theta }$.

( دروسوس وفيليبو 1980 ، ص 121) 

تعتمد معظم الدراسات النظرية لتقدير المسافة الدنيا، ومعظم التطبيقات، على مقاييس "المسافة" التي تُشكّل أساس اختبارات جودة المطابقة المُعتمدة : حيث تُستخدم إحصائية الاختبار المُستخدمة في أحد هذه الاختبارات كمقياس للمسافة المراد تقليله. فيما يلي بعض الأمثلة على الاختبارات الإحصائية التي استُخدمت لتقدير المسافة الدنيا.

ترتبط نظرية تقدير المسافة الدنيا بنظرية التوزيع التقاربي لاختبارات جودة المطابقة الإحصائية المقابلة . غالبًا ما تُعالج حالات معيار كرامر-فون ميزس ، واختبار كولموغوروف-سميرنوف ، واختبار أندرسون-دارلينغ في آنٍ واحد، باعتبارها حالات خاصة من صيغة أعمّ لمقياس المسافة. ومن أمثلة النتائج النظرية المتاحة: اتساق تقديرات المعلمات، ومصفوفات التغاير التقاربي لتقديرات المعلمات.

• تقدير الاحتمال الأقصى
• تقدير أقصى مسافة بين القطع