لعبة فارو شافل

خلط أوراق اللعب المعروف باسم " فارو شافل" (أمريكي)، أو "ويف شافل" (بريطاني)، أو "دوفيتيل شافل" ، هو أسلوب لخلط أوراق اللعب ، حيث تُمسك نصف الأوراق في كل يد مع توجيه الإبهامين للداخل، ثم تُفلت الأوراق من الإبهامين لتسقط على الطاولة متداخلة. ويُطلق دياكونيس وغراهام وكانتور على هذه التقنية اسم "التقنية" عند استخدامها في السحر. ^{[ 1 ]}

يستخدم علماء الرياضيات مصطلح "خلط فارو" لوصف عملية إعادة ترتيب دقيقة لمجموعة أوراق اللعب إلى مجموعتين متساويتين من 26 ورقة، ثم يتم خلطهما بشكل مثالي. ^{[ 2 ]}

يمسك اللاعب الأيمن الأوراق من الأعلى بيده اليسرى ومن الأسفل بيده اليمنى. تُقسّم مجموعة الأوراق إلى قسمين متساويين قدر الإمكان برفع نصف الأوراق قليلاً بإبهام اليد اليمنى، ثم يُدفع رزمة اليد اليسرى للأمام بعيدًا عن اليد اليمنى. غالبًا ما تُوضع الرزمتان متقاطعتين وتُطرقان على بعضهما لضبطهما. بعد ذلك، تُضغط الرزمتان معًا من الجانبين القصيرين وتُثنى إما لأعلى أو لأسفل. عندها تتساقط الأوراق بالتناوب، ويفضل أن تتساقط ورقة تلو الأخرى من كل نصف، تمامًا كالسحاب . يمكن إضافة لمسة فنية بالضغط على الرزمتين معًا وثنيهما من الأعلى. ^{[ 3 ]}

تنتهي لعبة فارو بوضع الأوراق في كومتين متساويتين، ويتعين على الموزع دمجهما لتوزيعها في الجولة التالية. ووفقًا للساحر جون ماسكيلين ، فقد استُخدمت الطريقة المذكورة أعلاه، والتي أطلق عليها اسم "خلط أوراق موزع فارو". ^{[ 4 ]} كان ماسكيلين أول من قدم تعليمات واضحة، ولكن الخلط استُخدم وارتبط بلعبة فارو في وقت سابق، كما اكتشفه في الغالب عالم الرياضيات والساحر بيرسي دياكونيس . ^{[ 5 ]}

خلطة فارو هي خلطة مضبوطة لا تقوم بتوزيع أوراق اللعب بشكل عشوائي تمامًا.

تتطلب عملية خلط أوراق اللعب المثالية في لعبة فارو، حيث يتم تبديل الأوراق بشكل مثالي، من الشخص الذي يقوم بالخلط أن يقسم مجموعة الأوراق إلى مجموعتين متساويتين وأن يطبق الضغط المناسب عند دفع نصفي المجموعة إلى بعضهما البعض.

تُعرف عملية خلط أوراق لعبة فارو التي تُبقي الورقة العلوية الأصلية في الأعلى والورقة السفلية الأصلية في الأسفل باسم " الخلط الخارجي" ، بينما تُعرف العملية التي تنقل الورقة العلوية الأصلية إلى المركز الثاني والورقة السفلية الأصلية إلى المركز الثاني من الأسفل باسم " الخلط الداخلي" . وقد صاغ هذه المصطلحات الساحر ومبرمج الكمبيوتر أليكس إلمسلي . ^{[ 6 ]}

يُعطي خلط الأوراق للخارج نفس نتيجة إزالة الورقتين العلوية والسفلية، ثم خلط الأوراق المتبقية للداخل، ثم إعادة الورقتين العلوية والسفلية إلى موضعيهما الأصليين. لا يُمكن لخلط الأوراق للخارج بشكل متكرر أن يُغيّر ترتيب المجموعة بأكملها، بل يُغيّر فقط ترتيب الأوراق الوسطى (n-2). وتُشير النظريات الرياضية المتعلقة بخلط أوراق لعبة فارو عادةً إلى خلط الأوراق للخارج.

تؤدي عملية الخلط الداخلي إلى نفس نتيجة إضافة بطاقة زائدة في الأعلى وبطاقة زائدة أخرى في الأسفل، ثم إعادة خلط المجموعة الموسعة، ثم إزالة البطاقات الزائدة. ويمكن أن يؤدي تكرار عملية الخلط الداخلي إلى عكس ترتيب المجموعة.

إذا تمكن المرء من إجراء خلط مثالي للأوراق، فإن 26 عملية خلط ستعكس ترتيب الأوراق، و26 عملية خلط أخرى ستعيدها إلى ترتيبها الأصلي. ^{[ 7 ]}

على العموم،${\displaystyle k}$إعادة ترتيب مثالية ستعيد النظام إلى${\displaystyle n}$مجموعة أوراق اللعب إذا${\displaystyle 2^{k}\equiv 1{\pmod {n+1}}}$على سبيل المثال، يؤدي إجراء 52 عملية خلط متتالية إلى استعادة ترتيب مجموعة أوراق اللعب المكونة من 52 ورقة، لأن${\displaystyle 2^{52}\equiv 1{\pmod {53}}}$.

على العموم،${\displaystyle k}$إعادة ترتيب الأوراق بشكل مثالي ستعيد النظام إلى${\displaystyle n}$مجموعة أوراق اللعب إذا${\displaystyle 2^{k}\equiv 1{\pmod {n-1}}}$على سبيل المثال، إذا تمكن شخص ما من إجراء ثماني عمليات خلط متتالية، فسيتم إعادة مجموعة أوراق اللعب المكونة من 52 ورقة إلى ترتيبها الأصلي، لأن${\displaystyle 2^{8}\equiv 1{\pmod {51}}}$ومع ذلك، لا يلزم سوى 6 عمليات خلط خارجية في لعبة فارو لاستعادة ترتيب مجموعة أوراق اللعب المكونة من 64 ورقة.

بمعنى آخر، فإن عدد عمليات الخلط المطلوبة لإعادة مجموعة أوراق اللعب ذات الحجم الزوجي n إلى ترتيبها الأصلي يتم إعطاؤه بواسطة الترتيب المضاعف لـ 2 modulo ( n  +  1 ).

على سبيل المثال، بالنسبة لحجم مجموعة أوراق اللعب n = 2، 4، 6، 8، 10، 12 ...، فإن عدد عمليات الخلط المطلوبة هي: 2، 4، 3، 6، 10، 12، 4، 8، 18، 6، 11، ... (التسلسل A002326 في OEIS ) .

وفقًا لتخمين آرتين حول الجذور الأولية ، يترتب على ذلك وجود عدد لا نهائي من أحجام مجموعات الأوراق التي تتطلب المجموعة الكاملة من عمليات الخلط n . ^{[ 8 ]}

العملية المماثلة لعملية الخلط الخارجي لتسلسل لانهائي هي تسلسل التداخل .

اكتشف الساحر أليكس إلمسلي أنه يمكن استخدام سلسلة مُتحكَّم بها من عمليات خلط الأوراق الداخلية والخارجية لنقل البطاقة العلوية من مجموعة الأوراق إلى أي موضع مرغوب. يكمن سرّ هذه الخدعة في التعبير عن الموضع المطلوب للبطاقة برقم ثنائي ، ثم إجراء خلط داخلي لكل رقم 1 وخلط خارجي لكل رقم 0.

على سبيل المثال، لتحريك البطاقة العلوية لأسفل بحيث تصبح فوقها عشر بطاقات، عبّر عن العدد عشرة بالنظام الثنائي (1010 ₂ ). اخلط البطاقات، ثم أخرجها، ثم أدخلها، ثم أخرجها. اسحب عشر بطاقات من أعلى المجموعة؛ ستكون البطاقة الحادية عشرة هي بطاقتك الأصلية. لاحظ أنه لا يهم ما إذا عبّرت عن العدد عشرة بـ 1010 ₂ أو 00001010 ₂ ؛ فالخلط الأولي للبطاقات لن يؤثر على النتيجة لأن الخلط النهائي يُبقي البطاقة العلوية دائمًا في الأعلى.

في الرياضيات ، يمكن اعتبار عملية الخلط المثالية عنصرًا من عناصر المجموعة المتناظرة .

وبشكل أعم، في${\displaystyle S_{2n}}$، التبديل المثالي هو التبديل الذي يقسم المجموعة إلى كومين ويخلط بينهما:

${\displaystyle S_{2n}}$=${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n-1&2n\\1&n+1&2&n+2&\cdots &n&2n\end{pmatrix}}}$

بمعنى آخر، إنها الخريطة

${\displaystyle k\mapsto {\begin{cases}{\frac {k+1}{2}}&k\ {\text{فردي}}\\n+{\frac {k}{2}}&k\ {\text{زوجي}}\end{cases}}}$

وبالمثل، فإن${\displaystyle (k,n)}$التبديل المثالي ^{[ 9 ]} هو عنصر من${\displaystyle S_{kn}}$يقوم ذلك بتقسيم المجموعة إلى k من الأكوام ودمجها.

ال${\displaystyle (2,n)}$- خلط مثالي، يُشار إليه بـ${\displaystyle \rho _{n}}$، هو تكوين${\displaystyle (2,n-1)}$خلط مثالي مع${\displaystyle n}$- دورة، لذا فإن إشارة${\displaystyle \rho _{n}}$يكون:

${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\rho _{n})=(-1)^{n+1}{\mbox{sgn}}(\rho _{n-1}).}$

وبالتالي فإن الإشارة دورية من الدرجة الرابعة:

${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

أولى عمليات الخلط المثالية هي:${\displaystyle \rho _{0}}$و${\displaystyle \rho _{1}}$أمور تافهة، و${\displaystyle \rho _{2}}$هو النقل${\displaystyle (23)\in S_{4}}$.

• Diaconis, بلاد فارس ; غراهام, RL ; كانتور، وم (1983). “رياضيات المراوغات المثالية” (PDF) . التقدم في الرياضيات التطبيقية . 4 (2): 175–196 . دوى : 10.1016/0196-8858(83)90009-X .

• إليس، ج.؛ فان، هـ.؛ شاليت، ج. (2002). "دورات التبديل المثالي متعدد الاتجاهات" (ملف PDF) . الرياضيات المتقطعة وعلوم الحاسوب النظرية . 5308 : 169-180 . doi : 10.46298/dmtcs.308 . تاريخ الاسترجاع: 26 ديسمبر 2013 .

• ماسكلين، جون (1894). المضاربون والمراهنات: كشف كامل لأسرار الغش في ألعاب الحظ والمهارة . لونغمانز، غرين وشركاه . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 ديسمبر 2013 .

• موريس، إس. برنت (1998). الخدع السحرية، خلط أوراق اللعب، وذاكرة الحاسوب الديناميكية . الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-883-85527-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 ديسمبر 2013 .

• كولاتا، جينا (أبريل 1982). "الخلط المثالي وعلاقته بالرياضيات". مجلة ساينس . 216 (4545): 505-506 . رمز Bibcode : 1982Sci...216..505K . doi : 10.1126/science.216.4545.505 . PMID 17735734 . 

• جاين، بيوش (مايو 2008). "خوارزمية بسيطة في مكانها لعمليات الخلط الداخلي". arXiv : 0805.1598 [ cs.DS ].